精品解析：2025年黑龙江省牡丹江市第五子联盟初中学业水平考试第二次适应性考试数学试题

2025年牡丹江市初中学业水平考试第二次试应性考试 数 学 试 卷 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（　　） A. a2⋅a3＝a6 B. C. （﹣3a2b）2＝6a4b2 D. a5÷a3+a2＝2a2 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则，负指数，积的乘方及幂的乘方运算，同底数幂的除法法则计算，合并同类项后，即可作出判断． 【详解】解：A、a2•a3=a2+3=a5，故该选项错误； B、2a-2=，故该选项错误； C、（-3a2b）2=9a4b2，故该选项错误； D、a5÷a3+a2=a2+a2=2a2，故该选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：同底数幂的乘法、除法法则，积的乘方及幂的乘方运算法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键； 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个判断即可得到答案. 【详解】解：第一个和第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第二个图形和第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形． 故既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个． 故选B． 3. 由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据题意可得最下面一层有4个小立方体，中间一层最多有2个，上面一层最多有2个，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，每个位置小立方体最多的情况如下： ∴这种几何体所需小正方体个数最多是， 故选：C． 4. 一组数据，，，，，，，中有唯一的众数，平均数是5，则这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、平均数，理解众数、平均数、中位数的意义，掌握相关计算方法是解题关键． 先根据平均数求出，再由众数意义求出a，b的值，然后根据中位数的计算方法求解即可． 【详解】解：∵平均数是5， ∴， ∴， ∵有唯一的众数， ∴众数可以为2或3， 当众数为3时，a，b分别为3，8， 从小到大排列后位于正中间的两个数均为3， 此时中位数为； 当众数为2时，a，b分别为2，9， 从小到大排列后位于正中间的两个数均为3， 此时中位数为； 综上所述，中位数为3． 故选：C 5. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( ) A. -1或3 B. -1 C. 3 D. -3或1 【答案】C 【解析】 【分析】由图像经过原点可知m2-2m-3=0，同时注意m＋1≠0. 详解】解：由图像过原点可得，m2-2m-3=0，解得m=-1或3；再由二次函数定义可知m＋1≠0，即m≠-1，故m=3. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m＋1≠0. 6. 已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 7. 某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（ ） A. 9组 B. 28组 C. 36组 D. 45组 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】点落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】过点分别作轴，轴，垂足为， 点在反比例函数上，点在上， 又 ， 设则 在 故选 【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值． 9. 在四边形中，，则的长为( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】把绕点A逆时针旋转，连接，作，交的延长线于点F，则是等腰直角三角形，证明，推出，求出，，进而求出，，再求出，，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：把绕点A逆时针旋转，连接，作，交的延长线于点F， 则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及直角三角形的性质，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 10. 如图，在中，，M是边延长线上一点，交的于点D，E为延长线上一点，且，是中点，连接，下列结论中：①；②；③若，则；④；⑤，正确结论的序号是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得出，利用证明，得出，，，即可得出①正确，根据，证明，，得出，，根据中位线的性质可得出②④正确，根据，，证明，根据相似三角形的性质，结合得出，根据等腰三角形的性质可得出③正确，根据，，证明，根据相似三角形的性质可得出⑤正确，综上即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，延长交延长线于， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴，故①正确， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵是中点， ∴，，即，故②④正确， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，故③正确， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有①②③④⑤． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 二、填空题（本题10小题，每小题3分，共30分） 11. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居世界第110位．数27500用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据27500用科学记数法表示为； 故答案为：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．解题的关键是熟知各自的性质． 【详解】解：依题意可得且， 解得，且． 故函数中自变量x的取值范围是． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，点E在上，，请添加一个条件___________，使．(只填写一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的性质，全等三角形的判定．根据矩形的性质可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：添加， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 14. 在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是正确画出树状图． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况， ∴两球恰好是一个黄球和一个红球的为：． 故答案为：． 15. 若关于x的一元一次不等式组有两个负整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出关于a的不等式是解此题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的情况即可得出a的范围． 【详解】解：， ∵解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 又∵关于x的一元一次不等式组有两个负整数解， ∴， 故答案为：． 16. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用扇形的面积公式表示出圆锥的侧面积，则，所以，然后利用弧长公式得到，然后解n的方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于． 故答案为：． 17. 在半径为2的中，弦长为，点C在上，若，则弦的长为_________________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题可先根据圆的半径和弦的长求出圆心到弦的距离，再结合，分情况讨论点的位置，进而求出弦的长．本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及等边三角形和直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）、圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）以及特殊三角形（等边三角形和直角三角形）的性质是解题的关键．在解题过程中，要注意点位置的讨论，避免遗漏解． 【详解】解：过作于，连接， ∵， ∴， ，， ∴ ∴， 情况一：当点在劣弧上时 ∵， ∴ ∴点、、三点共线， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴ 情况二：当点在优弧上时， ∵， ∴点、、三点共线， ∴ 综上，弦的长为或 故答案为：2或4． 18. 在菱形中，点在上，，，，点是平面内一点，，点在直线上，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查性质的性质，点到圆上一点的最小距离，含角的直角三角形的性质，轴对称，勾股定理，熟练掌握相关性质并确定点的轨迹是解题的关键．先确定点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆上作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，由对称性得，，，则，由两点之间线段最短，并结合点到圆上一点的最短距离可知当、、依次共线时最小，此时点为，最小值为，再进行计算即可． 【详解】解：∵点是菱形内部一点，， ∴点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆上，如图， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由对称性得，，， ∴， 由两点之间线段最短，并结合点到圆上一点的最短距离可知当、、依次共线时最小，此时点为，最小值为， ∵菱形中，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即最小为， 故答案为：． 19. 在矩形中，，，点为射线上一点，将沿折叠得到，连接，．若是以为腰的等腰三角形时，的长为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据矩形的判定及性质，勾股定理及相似三角形的判定及性质分，且点在线段上时，，且点在线段的延长线上时，以及时，三种情况求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， 当，且点在线段上时，如图，过作交，于，，则，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴即， ∴ ∵， ∴即 解得或（不符合题意舍去）， 当，且点在线段延长线上时，如图，过作交，于，，则，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴即， ∴ ∵， ∴即 解得（不符合题意舍去）或， 当时，如图，过作交，于，，则，四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， 解得， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 20. 正方形按照如图的方式摆放，点在直线上，点在轴上，则点的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数上点的特征，正方形的性质和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键．首先利用一次函数解析式结合正方形的性质求出的坐标，可以得到规律：，据此即可求解． 【详解】解：∵点在直线上，点在轴上，且为正方形， 当时，， ∴，，； 当时，， ∴，，； 当时，， ∴，，； ； ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共60分） 21. 化简，再求值：(), 其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊三角函数值的运用．熟练掌握分式的运算法则（通分、约分、除法变乘法等）和特殊三角函数值（如），是解题的关键．在化简过程中，要注意运算顺序和符号的变化；在求值时，要准确代入的值并进行正确的计算．先对括号内的式子进行通分计算，再将除法运算转化为乘法运算，最后进行约分，从而化简式子，再将的值代入化简后的式子中进行计算． 【详解】解： ， 将代入可得： 22. 如图，在的网格中建立平面直角坐标系，网格中每个小正方形的边长均为，已知的三个顶点的坐标分别为，，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）画出一个以为一边的平行四边形，使其一个内角为，，均在小正方形的顶点上，并直接写出的面积． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3）图见解析， 【解析】 【分析】（1）关于轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标不变．根据这一特征，分别找出、、三点关于轴对称的点、、的坐标，然后在坐标系中描出这些点并连接成三角形，进而得到点的坐标． （2）旋转作图的步骤为：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，再将图形中的关键点绕旋转中心按指定方向和角度旋转，得到对应点，最后连接这些对应点得到旋转后的图形．根据旋转的性质求出点绕点逆时针旋转后的对应点的坐标，同理求出、的坐标，然后连接成三角形． （3）先根据平行四边形的性质确定、的位置，再根据平行四边形面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图，为所求， ∴； 【小问2详解】 解：如图，为所求， ∴ 【小问3详解】 解：如图，即为所求， ∵，，，， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴是等腰直角三角形， ∴ 的面积为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形的对称、旋转以及平行四边形的绘制与面积计算．熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征、图形旋转的作图方法以及平行四边形的性质和面积公式是解题的关键．在作图过程中，要准确运用坐标的变化规律和旋转的性质来确定点的位置，进而得到所需的图形． 23. 如图，抛物线经过点，，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第四象限的抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大，若存在，请直接写出点的坐标和四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），12 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、抛物线与坐标轴的交点以及四边形面积的最值问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能根据函数图象与坐标轴的交点坐标求出相关线段的长度，以及运用分割法求不规则图形的面积，并利用二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）已知抛物线经过点，，可将这两点的坐标代入抛物线方程，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，从而得到抛物线的解析式． （2）先求出点的坐标，设点的横坐标为，根据抛物线解析式表示出点的纵坐标．通过分割法，将四边形的面积表示为与的面积之和，再根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时点的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入得： 即 解得 ， ， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过作轴交于点， 对于，令，则， ∴． 设． ∵，，． ∴，设直线为， ∴， 解得， ∴， ∴ ， ∴ ∴当时，有最大值，此时， ∴． 24. 某校为了解学生一周的课外劳动情况，随机调查了部分学生一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下两幅统计图．请根据图中的信息．解答下列问题： （1）本次调查共抽取 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中一周课外劳动时间为2小时所对应的圆心角的度数是 ； （4）若该校共有2400名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不少于3小时的人数． 【答案】（1）40 （2）见解析； （3） （4）1680人 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图中某部分的数量及其所占百分比，用该部分数量除以对应百分比可求出总人数，这里可找已知数量和对应百分比（如劳动时间为的人数及占比 ）来计算． （2）先根据总人数和扇形统计图中各部分占比求出劳动时间为、的人数，再补全条形统计图． （3）先求出劳动时间为的人数占总人数的百分比，再用乘以该百分比得到对应圆心角度数． （4）先算出劳动时间不少于的人数占调查总人数的百分比，再用全校总人数乘以该百分比进行估计． 【小问1详解】 解：由扇形统计图知劳动时间为的人数占，从条形统计图知劳动时间为的人数是名． 设总人数为，则，解得（名） ． 【小问2详解】 解：劳动时间为的人数：（名）． 劳动时间为的人数：（名）． 据此补全条形统计图如下． 【小问3详解】 解：劳动时间为的人数是名，占总人数的比例为 ． 对应圆心角度数为 ． 【小问4详解】 解：劳动时间不少于的人数为（名），占调查总人数的比例为 ． 该校共有名学生，估计人数为（人） ． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，包括从统计图中获取信息、计算总数、补全统计图、求圆心角、用样本估计总体等．熟练掌握两种统计图的特点及数据间的关系，准确进行计算和分析是解题的关键． 25. 在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发驶向C地，半小时后，乙车从C地出发驶向B地，到达B地用半小时装载货物后，立即掉头返回C地．甲、乙两车均匀速行驶，两车距各自出发地的距离y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地相距 千米； （2）求乙车从B地返回C地时，y与x的函数关系式，不需要写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲车出发多长时间后，两车相距25千米． 【答案】（1）270 （2） （3） 或或或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用—行程问题，解题的关键是结合函数图像分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）根据半小时后，乙车从C地出发，此时甲车行驶了30千米，可求出甲车的速度，再求出A，C两地之间距离，点E纵坐标可得B，C两地之间距离，即可求出A，B两地之间距离； （2）根据乙车从C地出发驶向B地，到达B地用半小时装载货物，得到，由甲车的速度得到点N坐标，再求出点H坐标，利用待定系数法求解即可； （3）设甲车出发x小时，行驶中的两车之间的路程是25千米，根据运动过程，分五种情况讨论：①在乙车到B地之前时，②当乙在B地停留时，③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，④当乙车追上甲车并超过千米时，⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地千米时，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象得半小时后，乙车从C地出发，此时甲车行驶了30千米， 则甲车的速度为：（千米/小时）， 则A，C两地之间距离（千米）， ∵， ∴B，C两地之间的距离为360千米， ∴A，B两地之间的距离为（千米）， 【小问2详解】 解：∵，乙车从C地出发驶向B地，到达B地用半小时装载货物， ∴， ∵（千米）， ∴， ∴， 设乙车从B地返回C地时，y与x的函数关系式为， 则， 解得：， ∴乙车从B地返回C地时，y与x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设甲车出发x小时，行驶中的两车之间的路程是25千米， 乙车从C地出发驶向B地的速度为：（千米/小时）， 乙车从B地出发驶向C地的速度为千米/小时， 由（1）知B，C两地之间的距离为360千米，A，B两地之间的距离为千米， 则（小时），（小时）， ∴甲、乙两车同时到达B地， ①在乙车到B地之前时， 则，解得：； ②当乙在B地停留时， 则，解得：； ③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前， 则，解得：； ④当乙车追上甲车并超过千米时， 则，解得：； ⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地千米时， 此时，（小时）， 则， 此时甲车距离地的距离为（千米） 则，解得：； 综上，甲车出发或或或或后，两车相距25千米． 26. 在中，点D在直线上，点E在直线上，直线，交于点G，过C作，交直线于点F，．若是等边三角形，当点D，E分别在线段，上时，如图①，易证：．当点D，E分别在线段，的延长线上时，若是等边三角形，如图②；若为等腰三角形，，，如图③，请分别写出线段，，之间的数量关系，并选择图(2)或图(3)进行证明． 【答案】图②：；图③：，证明见解析 【解析】 【分析】图②：先根据等边三角形的性质，得出，，再证明，从而可得，根据全等三角形的性质可得，，进而可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据，可证得； 图③：在上截取，通过构造一线三等角模型证明全等，再利用线段和求得结果：． 【详解】解：图②：在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， 又， ∴； 图③：在上截取， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是利用截长补短来证明线段和问题． 27. 某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元． （1）甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，其中购进甲种纪念品的数量的5倍少于购进乙种纪念品数量的4倍，且总费用超过5670元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，每件甲种纪念品的售价为110元，每件乙种纪念品的售价为52元，在两种纪念品全部售出后，哪种方案的获利最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种纪念品每件的进价为 80 元，乙种纪念品每件的进价为 40 元 （2）共有三种进货方案，方案一：甲购进 42 件，乙购进 58 件；方案二：甲购进 43 件，乙购进 57 件；方案三：甲购进 44 件，乙购进 56 件． （3）甲购进 44 件，乙购进 56 件时，可获最大利润 1992 元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品每件的进价为x元，乙种纪念品每件的进价为y元，再根据购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元建立方程组求解即可； （2）设购进甲纪念品m件，则购进乙纪念品件，根据购进甲种纪念品的数量的5倍少于购进乙种纪念品数量的4倍，且总费用超过5670元列出不等式组求解即可； （3）可求出每件甲纪念品的利润大于每件乙纪念品的利润，则甲越多，利润越大，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种纪念品每件的进价为x元，乙种纪念品每件的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种纪念品每件的进价为80元，乙种纪念品每件的进价为40元； 【小问2详解】 解；设购进甲纪念品m件，则购进乙纪念品件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴共有三种进货方案，方案一：甲购进 42 件，乙购进 58 件；方案二：甲购进 43 件，乙购进 57 件；方案三：甲购进 44 件，乙购进 56 件． 【小问3详解】 解：， ∴每件甲纪念品的利润比每件乙纪念品的利润大， ∴甲纪念品越多，总利润越大， ∴甲购进 44 件，乙购进 56 件时获利最大，最大值为元． 28. 如图①，矩形在平面直角坐标系中摆放的位置如图所示，线段的长是一元二次方程的两根，其中． （1）求点B的坐标； （2）若点P从点A开始以每秒2个单位长度速度沿的折线运动，同时点Q从点O以每秒4个单位长度的速度沿折线运动，P，Q中任意一个点到达终点后，另一个点随之停止运动．设两点运动的时间为t秒，求与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，平面内是否存在点M，N，且M的横坐标小于N点的横坐标，使以M，N，P，Q为顶点的四边形是正方形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解方法解一元二次方程，根据矩形的性质结合，即可得到点B的坐标； （2）分点P在上，在上时，，点P在上，在上时，，点P在上，在上时，，三种情况画出示意图，利用三角形面积求解即可； （3）分点P在上，在上，，点P在上，在上，点P在上，在上，三种情况讨论，再结合N点的位置利用三角形全等即勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：解方程， 解得：， 根据题意得：， 则； 【小问2详解】 解：矩形中，， 则，即秒时，点Q运动到点，此时两点停止运动； 点Q运动到点时，则， 点P运动到点时，则， 如图，当点P在上，在上时，， 则， 此时，， ∴， 如图，当点P在上，在上时，， 则， 此时，， ∴； 如图，当点P在上，在上时，， 则， 此时，， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：存在， 如图，当点P在上，在上时，， ∵，，， ∴，即， 解得：或（舍去）； 此时，， 如图，当以为正方形的边，点N在轴上方时，过点N作轴于点G， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当以为正方形的边，点N在轴下方时， 同理得：， ∴， ∴； 如图，当以为正方形的对角线，过点N作轴于点G，轴于点H， 则， ∵是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∵， ∴（负值舍去）， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴； 当点P在上，在上时，， ∵，此时，不存在； 如图，当点P在上，在上时，， ∵，，， ∴ ∴，即， ∵， ∴方程无解，此时，不存在 ，； 综上，点N的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程、函数解析式等知识点，掌握分类讨论和数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年牡丹江市初中学业水平考试第二次试应性考试 数 学 试 卷 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．所有试题请在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（　　） A. a2⋅a3＝a6 B. C. （﹣3a2b）2＝6a4b2 D. a5÷a3+a2＝2a2 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 一组数据，，，，，，，中有唯一的众数，平均数是5，则这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( ) A. -1或3 B. -1 C. 3 D. -3或1 6. 已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程正整数解有（ ） A. 9组 B. 28组 C. 36组 D. 45组 8. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点恰好分别落在函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在四边形中，，则的长为( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 10. 如图，在中，，M是边延长线上一点，交的于点D，E为延长线上一点，且，是中点，连接，下列结论中：①；②；③若，则；④；⑤，正确结论的序号是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题（本题10小题，每小题3分，共30分） 11. 我国是世界上严重缺水国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居世界第110位．数27500用科学记数法表示为__________． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 13. 如图，矩形中，点E在上，，请添加一个条件___________，使．(只填写一个即可) 14. 在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 ________． 15. 若关于x的一元一次不等式组有两个负整数解，则a的取值范围是________． 16. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______°． 17. 在半径为2的中，弦长为，点C在上，若，则弦的长为_________________． 18. 在菱形中，点在上，，，，点是平面内一点，，点在直线上，则的最小值为__________． 19. 在矩形中，，，点为射线上一点，将沿折叠得到，连接，．若是以为腰等腰三角形时，的长为____________． 20. 正方形按照如图的方式摆放，点在直线上，点在轴上，则点的坐标为________． 三、解答题（共60分） 21. 化简，再求值：(), 其中． 22. 如图，在的网格中建立平面直角坐标系，网格中每个小正方形的边长均为，已知的三个顶点的坐标分别为，，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）画出一个以为一边的平行四边形，使其一个内角为，，均在小正方形的顶点上，并直接写出的面积． 23. 如图，抛物线经过点，，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第四象限的抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大，若存在，请直接写出点的坐标和四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 24. 某校为了解学生一周的课外劳动情况，随机调查了部分学生一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下两幅统计图．请根据图中的信息．解答下列问题： （1）本次调查共抽取 名学生； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中一周课外劳动时间为2小时所对应的圆心角的度数是 ； （4）若该校共有2400名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外劳动时间不少于3小时的人数． 25. 在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发驶向C地，半小时后，乙车从C地出发驶向B地，到达B地用半小时装载货物后，立即掉头返回C地．甲、乙两车均匀速行驶，两车距各自出发地的距离y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）A，B两地相距 千米； （2）求乙车从B地返回C地时，y与x的函数关系式，不需要写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲车出发多长时间后，两车相距25千米． 26. 在中，点D在直线上，点E在直线上，直线，交于点G，过C作，交直线于点F，．若是等边三角形，当点D，E分别在线段，上时，如图①，易证：．当点D，E分别在线段，的延长线上时，若是等边三角形，如图②；若为等腰三角形，，，如图③，请分别写出线段，，之间的数量关系，并选择图(2)或图(3)进行证明． 27. 某商场决定购进甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元． （1）甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，其中购进甲种纪念品的数量的5倍少于购进乙种纪念品数量的4倍，且总费用超过5670元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，每件甲种纪念品的售价为110元，每件乙种纪念品的售价为52元，在两种纪念品全部售出后，哪种方案的获利最大，最大利润是多少？ 28. 如图①，矩形在平面直角坐标系中摆放的位置如图所示，线段的长是一元二次方程的两根，其中． （1）求点B的坐标； （2）若点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿的折线运动，同时点Q从点O以每秒4个单位长度的速度沿折线运动，P，Q中任意一个点到达终点后，另一个点随之停止运动．设两点运动的时间为t秒，求与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，平面内是否存在点M，N，且M的横坐标小于N点的横坐标，使以M，N，P，Q为顶点的四边形是正方形．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$