精品解析：浙江嘉兴市平湖市当湖高级中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

2025学年第二学期高二6月阶段性测试  数学学科 试题卷 一、单选题 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】. 2. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数性质判断可得，即得答案. 【详解】，，， 又， 所以. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由利用诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 4. 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（ ） A. 24 B. 36 C. 96 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】相邻元素用捆绑法解题即可. 【详解】三个唱歌节目捆绑共种排法，再和其他三个节目进行排列， 共有种不同排法. 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算． 【详解】设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”， 则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 由题意得，，，，，. 由贝叶斯公式有. 故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为. 6. 已知，为的导函数，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到 ，根据奇偶性排除B，D，由特殊值计算排除C选项得到答案. 【详解】对 求导可得 ， 又， 则为奇函数，排除B，D， 当时， ，故排除C，因此A符合题意. 7. 已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（ ） A. 增大，增大 B. 增大，减小 C. 减小，增大 D. 减小，减小 【答案】B 【解析】 【详解】随机变量服从两点分布，其分布列为：， ， 当增大时，减小，因此增大， 两点分布的方差公式为，其中，故： ， 由对勾函数性质，当时，随增大而递增，因此分母增大，减小． 综上，增大，减小． 8. 已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围. 【详解】，， 设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点， 则，，， 所以． 即，由， 得，代入，得关于的方程． 等式两边取对数得， 令，定义函数， 其定义域为（当）或（当）． 则， 当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值； 当时，同理可得在处取极小值， 故有唯一极小值点，极小值为． 的解的个数对应公切线的条数： 若，则有两个解，即有两条公切线； 若，则有一个解，即一条公切线； 若，则无解，即无公切线． 当时，则，分子（因恒成立），故； 当时，可得，令可得，即，解得． 此外，时无公切线，时仅一条． 因此，恰好有两条公切线时的取值范围是． 二、多选题 9. 已知随机变量，且，，则给出的下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于对称轴对称的性质，先求解均值，再结合正态分布的概率特征、期望方差的定义逐一判断各选项的正误. 【详解】∵ 随机变量，且， 正态曲线关于对称，故. 对于选项B：正态分布的期望，故B正确. 对于选项D：正态分布的方差，故D错误. 对于选项C：∵ 正态分布曲线关于对称，对称轴左侧的概率为，故，故C正确. 对于选项A：∵ 与关于对称，故， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，故A错误. 10. 有一组成对样本数据，先计算相关系数为，再根据最小二乘法计算回归直线方程为，最后计算出残差．下列说法正确的是（ ） A. 回归直线经过点． B. 由这组数据得到新成对样本数据，再根据最小二乘法计算回归直线方程，则两条回归直线的斜率相同． C. 相关系数越大，两个变量之间的线性相关性越强． D. 残差和越小，回归直线方程为拟合效果越好． 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A回归直线必经过样本中心点；选项B代入计算新数据的斜率公式，可得两条回归直线的斜率相同；选项C绝对值越接近于，线性相关性越强；选项D无法通过残差和判断拟合效果. 【详解】回归直线必经过样本中心点，选项A正确； 新样本数据的样本中心点为， 其斜率为， 所以两条回归直线的斜率相同，选项B正确； 相关系数的取值范围为，其绝对值越接近于，线性相关性越强， 相关系数越大，不能说明两个变量之间的线性相关性越强， 比如与，所以选项C错误； 残差和是指，由于回归直线必过样本中心点，残差和恒为零， 无法通过残差和判断拟合效果，选项D错误. 11. 对于函数，下列说法正确的有（    ） A. 在 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若 在上恒成立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解． 【详解】对于A，函数，， 令，即，解得， 当时，，故在上为单调递增函数， 当时，，故在上为单调递减函数， 在时取得极大值，故A正确； 对于B，在上为单调递增函数，，函数在上有唯一零点， 当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确； 对于C，在上为单调递减函数，，，故C正确； 对于D，由在上恒成立，即在上恒成立， 设，则，令，解得：， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误． 三、填空题 12. 已知角终边经过点，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义求出，结合二倍角公式即可求出. 【详解】因为，则， 由任意角三角函数定义可得， 所以. 13. 甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，分别求出对应的概率，再求，最后根据求解即可. 【详解】由题意可得， 且， ，， ， 所以， 所以. 14. 已知，若对任意的，都存在，使得成立，则正实数的取值范围是_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】就、、、结合正弦型函数的值域的包含关系分类讨论后可得取值范围. 【详解】当时，函数的最小正周期小于等于，的值域为，的值域也为，符合题意； 当时，，且，故的值域为， 故的值域为，而， 则或， 所以或,结合可得或； 故此时对任意的，都存在，使得成立， 当时，此时且，故， 此时的值域为， 同理的值域为，其中， 由题设有或， 故或，故或. 故（舍）或（舍）或. 当时，且，故， 此时的值域为， 同理的值域为，其中， 故，故当时，不存在，使得成立， 故不合题意； 综上，或或. 四、解答题 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系和商数关系，结合角所在象限确定符号求解； （2）利用两角和的余弦公式代入已知值计算即可 【小问1详解】 由，则 结合，解得， 则 【小问2详解】 由（1）结合，， 得：    16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间上有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，确定极值点后代入计算极值. （2）计算区间端点函数值，结合函数单调性与极值，根据三次函数零点个数的判定条件列不等式组求解参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为. ∵ ， ∴ . 令，解得或. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. 当时，，故，单调递增. ∴ 为的极大值点，极大值为. 为的极小值点，极小值为. 【小问2详解】 计算在区间端点的函数值： ， . ∵ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上有3个不同的零点，需满足： 解得，即的取值范围为. 【点睛】方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围. 17. 某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： （1）求小李第2天选择书法社的概率． （2）求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社. 由题意，两两互斥且构成完备事件组，且 由全概率公式： ∴小李第2天选择书法社的概率为. 【小问2详解】 ∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为. 18. 《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4． （1）请将上述列联表补充完整； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由； （3）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》．现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 喜欢 不喜欢 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60 40 100 （2）依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢《最强大脑》与性别有关； （3） 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件填写表格即可. （2）根据（1）问完成的列联表计算的值，然后依据临界值表判断即可. （3）先求出的取值，然后确定的分布列，最后计算数学期望. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 零假设喜欢《最强大脑》与性别无关. . 故有充分的证据认为不成立，即依据小概率值的独立性检验，可以认为喜欢《最强大脑》与性别有关. 【小问3详解】 由题意，可取. , , ， 的分布列如下： 0 1 2 . 19. 已知函数 （1）求的值． （2）讨论的单调性． （3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 【答案】（1）0 （2）时，在单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据解析式直接计算得解； （2）求出函数导数，分类讨论求单调性即可； （3）利用极值点的概念转化为证明，再由函数的零点的定义得出，转化为证明，构造函数证明即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 定义域为，． 令， 1°时,，即，则在单调递增； 2°时，当，即时，，在单调递增； 当，即时，由可解得， 所以或时， 在，上单调递增， 时，，在上单调递减． 综上，时，在单调递增； 时，在上单调递减， 在，上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知若存在两个极值点，则，且和为的两根， 不妨令，，，且． 在上单调递增，上单调递减，上单调递增，且， 在上存在零点，上存在零点，上存在零点， 则有， 要证， 只要证， ，，， 又， 也是的零点，即， 下证 ，． 只要证， 只要证：， 令，， 在上单调递增，． 即，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高二6月阶段性测试  数学学科 试题卷 一、单选题 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 记，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，我校开展劳动节文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，若三个唱歌节目必须相邻，则有多少种不同排法（ ） A. 24 B. 36 C. 96 D. 144 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为的导函数，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（ ） A. 增大，增大 B. 增大，减小 C. 减小，增大 D. 减小，减小 8. 已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知随机变量，且，，则给出的下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有一组成对样本数据，先计算相关系数为，再根据最小二乘法计算回归直线方程为，最后计算出残差．下列说法正确的是（ ） A. 回归直线经过点． B. 由这组数据得到新成对样本数据，再根据最小二乘法计算回归直线方程，则两条回归直线的斜率相同． C. 相关系数越大，两个变量之间的线性相关性越强． D. 残差和越小，回归直线方程为拟合效果越好． 11. 对于函数，下列说法正确的有（    ） A. 在 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若 在上恒成立，则 三、填空题 12. 已知角终边经过点，则_______ 13. 甲、乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 14. 已知，若对任意的，都存在，使得成立，则正实数的取值范围是_____． 四、解答题 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）求的极值； （2）若在区间上有三个零点，求的取值范围． 17. 某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： （1）求小李第2天选择书法社的概率． （2）求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 18. 《最强大脑》是江苏卫视借鉴德国节目《SuperBrain》推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 10 女生 20 合计 已知在这100人中随机抽取1个不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4． （1）请将上述列联表补充完整； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明你的理由； （3）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》．现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数 （1）求的值． （2）讨论的单调性． （3）若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $