精品解析：浙江省桐浦富兴2025-2026学年高二下学期6月学考模拟数学试题

2026年6月学考模拟考试 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分100分，考试时间80分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 向量与共线，则的值为（ ） A. B. 4 C. 9 D. 5. 已知某圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 7. 从1，2，3，4，5这5个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为3的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则． 其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 11. 已知正方体的棱长为2，点为的中点．过，，三点的平面与正方体的表面相交，则其交线围成的几何图形的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知定义在上的函数满足当时，，其中，当时，，若方程有无穷多个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 13. 对于事件，，下列命题正确的是 （ ） A. 如果，互斥，那么与也互斥 B. 如果，对立，那么与也对立 C. 如果，独立，那么与也独立 D. 如果，不独立，那么与也不独立 14. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象 15. 如图，正方形的边长为1，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为．下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 点到面的距离为 D. 四面体的内切球的表面积为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分． 16. 已知函数，则____． 17. 已知正实数，满足，则的最小值为____． 18. 已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，____． 四、解答题：本题共3小题，共37分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 某校为了调查学生的身体素质情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均体育锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计全校学生周平均体育锻炼时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）根据此数据，估计该校全体2000名学生中每周平均体育锻炼超过7小时的人数． 20. 在中，角，，的对边分别为，，，已知且满足． （1）求角； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 21. 已知函数，（）． （1）若，求函数的值域； （2）若方程有两个不同的根，． （i）若，求实数的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年6月学考模拟考试 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分100分，考试时间80分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由虚部的概念即可求解. 【详解】由虚部的概念可知：复数的虚部为1. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合：不等式，解得：，即； 集合： 不等式，解得：，即， 故. 4. 向量与共线，则的值为（ ） A. B. 4 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量与共线， 所以 ，解得. 5. 已知某圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆柱的底面半径，因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为， 则，则，所以该圆柱的侧面积为. 6. 若函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可求参数的值. 【详解】因为为奇函数，故， 所以即，故，故. 若，则，此时函数的定义域为， 该定义域不关于原点对称，故舍去； 若，则，此时函数的定义域为， 该定义域关于原点对称， 所以. 7. 从1，2，3，4，5这5个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为3的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用组合数分别求出从5个数中随机选取3个不同的数和3个数的中位数为3的所有情况，再根据古典概型公式求解即可. 【详解】解：由题可知，从5个数中随机选取3个不同的数，共有种， 因为选取的3个数的中位数为3，所以3必须被选，另外，在1，2和4，5中分别各选1个数， 即可保证选取的3个数中位数均为3，共有种， 所以，这3个数的中位数为3的概率. 8. 在长方体中，，，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法1，利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值；法2，建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角余弦值得到二面角的余弦值. 【详解】法1：长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 法2：在长方体中，以为原点， 分别以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 设侧棱，结合已知，， 得，，，， 而二面角的两个半平面为面和面， 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，得； 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，，即， 该二面角为锐角，设为，则. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，则， 则 . 10. 如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则． 其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【详解】由图可得函数图像过，故即，故. 对于①，浮萍每月的增长率为，故①正确； 对于②，当时，，故②正确； 对于③，， 故当月增长大于上月增长，故③错误； 对于④，由题设有， 故即，故④正确. 11. 已知正方体的棱长为2，点为的中点．过，，三点的平面与正方体的表面相交，则其交线围成的几何图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，证明，即可判断平面为过，，三点与正方体表面相交的平面，求等腰梯形的面积即可. 【详解】解：取中点，连接，， 因为，所以为中位线，则， 又在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 所以，则， 所以平面为过，，三点与正方体表面相交的平面，易知四边形为等腰梯形， 由正方体棱长为2，所以，， 在中，， 过点作，由四边形为等腰梯形，，所以， 所以在中，， 所以等腰梯形的面积， 即过，，三点的平面与正方体的表面相交，交线围成的几何图形的面积为. 12. 已知定义在上的函数满足当时，，其中，当时，，若方程有无穷多个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件分段分析函数的单调性及取值范围，作出函数图象，观察图象可得结论. 【详解】当，时，， 此时，因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，且， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又当时，， 所以函数的大致图象如下： 由图象可得， ， 的斜率分别为， 则 因为方程有无穷多个解， 观察图象可得当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象在轴右侧没有交点，在轴左侧的交点个数为有限的（当时，，在轴左侧总有函数图象中的部分曲线与直线没有交点）； 当时，直线与函数的图象在轴左侧没有交点，在轴右侧的交点个数为有限的； 当时，直线与函数的图象在轴左侧没有交点，在轴右侧的交点个数为无限的， 由函数与函数的图象有无穷多个交点，可得， 故若方程有无穷多个解，则实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 13. 对于事件，，下列命题正确的是 （ ） A. 如果，互斥，那么与也互斥 B. 如果，对立，那么与也对立 C. 如果，独立，那么与也独立 D. 如果，不独立，那么与也不独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.利用互斥事件的定义判断；B.利用对立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用相互独立事件的定义判断. 【详解】A.如果，互斥，由互斥事件的定义得与不一定互斥，故错误； B.如果，对立，由对立事件的定义得与也对立，故正确； C.如果，独立，由相互独立事件的定义得与也独立，故正确； D.如果，不独立，由相互独立事件的定义得与也不独立，故正确； 故答案为：BCD 14. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查正弦函数的性质以及函数图像的平移变换，对于正弦函数，其最小正周期，可求解A；对称中心横坐标满足，，递增区间为，，用整体代换思想即可求解BC；函数图像平移遵循“左加右减”原则，可求解D. 【详解】对于A：的最小正周期为，A错误； 对于B：的对称中心为，解得，，当时，，所以的图象关于对称， B正确； 对于C：由，解得，， 当时，， 由，解得，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D：函数图象向右平移个单位可得到，D正确. 15. 如图，正方形的边长为1，，分别是，的中点，交于，现沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为．下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 点到面的距离为 D. 四面体的内切球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知结合线面垂直的判定定理判断A；计算棱锥的体积公式求内切球半径结合球的表面积判断D；由等体积法求出G点到平面的距离判断C；应用线面角定义结合边长判断B． 【详解】对于A，在原正方形中，有，由折叠可知，在三棱锥中， 有，平面，所以平面，故A正确；    对于D，由已知可得， 则， 又平面，，∴＝， 设四面体的内切球的半径为，，∴， ∴外接球的表面积为：，故D正确； 对于C，∵，， ∴， 设G到平面的距离为d， 则，可得，即G点到面的距离为，故C正确； 在中，平面， 因为平面，所以，因此直线与平面所成角为， 正切值为，B选项错误； 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分． 16. 已知函数，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据自变量范围确定内层函数的解析式算出内层值，再以该值为自变量根据范围确定外层解析式，最终得到结果. 【详解】因为，所以. 17. 已知正实数，满足，则的最小值为____． 【答案】8 【解析】 【分析】巧用“1”的代换，再结合基本不等式求解. 【详解】已知正实数满足，等式两边同时除以得：， 所以， 则，当且仅当即时等号成立， 代入得，即的最小值为. 18. 已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，____． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理分别表示，进而化简整理，再结合不等式求解最值和. 【详解】如图所示： 设（），由得. 已知，则，. 由余弦定理可得： 在中： ， 在中： . 所以， 令， 令（），则，代入得： ， ，等号成立当且仅当，即. 因此，得. 四、解答题：本题共3小题，共37分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 某校为了调查学生的身体素质情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均体育锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计全校学生周平均体育锻炼时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）根据此数据，估计该校全体2000名学生中每周平均体育锻炼超过7小时的人数． 【答案】（1），7.92小时 （2）1200名． 【解析】 【分析】（1）频率分布直方图所有矩形的面积之和为1计算得出，再应用平均数公式计算求解； （2）应用频率计算得出人数. 【小问1详解】 因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1， 所以，解得． 估计全校学生周体育锻炼时间的平均数为： 小时． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知， 每周平均体育锻炼超过7小时的学生占比为， 用频率估计概率可知， 该校全体2000名学生中每周平均体育锻炼超过7小时的学生约为名． 20. 在中，角，，的对边分别为，，，已知且满足． （1）求角； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）条件①：；条件②：三角形不存在，不符合要求；条件③ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得； （2）选条件①，利用正弦定理求边角，再根据三角形面积公式求解；选条件②，判断得矛盾；选条件③，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由正弦定理可知：可转化为． 根据余弦定理，得， 因为，则． 【小问2详解】 条件①：由正弦定理得：． 由条件可知，．则为锐角，即， 所以． ． 条件②：由条件可得，，由于，则， 根据三角函数的有界性可知，三角形不存在，不符合要求． 条件③：，，由余弦定理：， ，解得． ． 21. 已知函数，（）． （1）若，求函数的值域； （2）若方程有两个不同的根，． （i）若，求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i） （ii）记，则， ， 令，，即， 又，则， ，由于，则． 可得①，② ①式中，，即， 化简可得：，即． ②式中，，即， 化简可得：，即． 因此． 【解析】 【分析】（1）利用时与在上均单调递增的性质，直接判断复合函数的单调性，从而确定其值域；结合定义域及端点函数值，得出函数的最小值及变化趋势； （2）（i）将方程代入具体函数形式后取对数，转化为关于的二次方程，利用韦达定理表示出；结合条件及的表达式，转化为关于的不等式进行求解； （ii）通过二次方程的根与系数的关系及二次函数零点分布，得到两根与的大小关系，进而比较与的大小；利用这些不等关系构造关于的两个不等式，结合进行化简，最终证明所需的双边不等式. 【小问1详解】 当时，在上单调递增， 因此值域为． 【小问2详解】 （i）方程有两个不同的根，，即有两个不同的根，． 等式两边取对数，可得， 两边平方整理可得，． 其中， 韦达定理可得：，， 由以上可知， 若，即，因此， 则，解得． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $