专题05 空间向量与立体几何（期末真题汇编，浙江专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 浙江多地高二期末立体几何试题汇编，聚焦空间位置关系、面积体积、球与动点四大考点，综合考查空间想象与逻辑推理，如翻折问题二面角求解、正方体动点轨迹分析。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约15题|空间位置关系（四棱锥线面角比较）、球问题（正三棱柱内切外接球）|基础题（圆锥表面积计算）与创新题（正四面体动点距离比）结合| |解答题|约10题|体积最值（四棱锥体积最大时二面角）、翻折问题（四边形翻折后线线垂直证明）|分层设计，贴合浙江期末真题对空间论证与计算的考查|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05空间向量与立体几何 ☆高频考点概览 考点01空间点线面的位置关系 考点02空间几何体的面积及体积问题 考点03球体及其内切外接问题 考点04空间几何体动点问题 考点01 空点面的位置关系 1.425高=下浙江温州新力量期)（多选）已知，是两条不同的直线，“，B 12 是两个不同的平面， 则下列命题正确的是() A.若4a月ap1g 且 ,则 B.若mca,n/a,m,"共面，则mn C.若不垂直于“，且ca,则必不垂直于 D.若1a月ap.1B 1且 ,则 2.(2425高二下浙江宁波期末)已知四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥平面ABCD,若直线SC与平 面ABCD,平面SAB和平面SAD所成的角分别为a,P,Y,则() A.cosa+cosB+cosy=2 B.cos'a+co2B+cos=1 C.sina+sinB+siny= D.sin'a+sin'B+sin'y=1 3.(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)（多选）用平面截如图放置的正四面体ABCD,下列说法正 确的是() B 1/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.当截面为平行四边形时，正四面体有两条棱所在的直线平行平面 B.截面可能是直角梯形 C.若平面a分别与枝B,AC,AD交于点，只，G,4EB,4F4C,4G-44D,则平面 31 4 5 a与平面BCD夹角的余弦值为6 D.设点F在棱AC上，点G在棱AD上（均包含端点），且AF=AC,AG=IAD,其中元+=1 [1533 如果平面a经过B,F,G三点，那么平面a与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为3'33 4.(24-25高二下·浙江浙南名校联盟期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， 为CD的中点，二面角 为直二面角 C PC⊥PD,PC=PD,O A-CD-P (I)求证：PB⊥PD: (2)求直线PC与平面AB所成角的正弦值： 5.(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD是 正三角形，侧面 底面 是 的中点. PAD⊥ ABCD M PD (I)求证：PB/平面AMC: (2)求二面角M-AC-D的余弦值. 6.(24-25高二下·浙江杭州第四中学期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD是 2/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 正三角形，侧面 底面 是 的中点. PAD⊥ ABCD M PD (1)求证：PB/1平面AMC: (2)求二面角M-AC-D的余弦值. 7.(24-25高二下·浙江台州期末)在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段 上的点，满足 ,四面体 的体积为、西 D AC 0 PD=DA PB=BA P-ABC 6 (1)证明：BD⊥AP; (2)求直线PB与平面ABC所成角的正弦值. ABCD-ABCD 8.(24-25高二下浙江温州新力量期末)已知平行六面体 如图所示， D A B D￥ 3AB=3AA=6AD=V6AB∠ABC=∠ADD=120 (L求证：BDL平面 ADDA 2若DE=DC,求二面角A-AB-E的余弦值. 3 9.(24-25高二下浙江宁波九校·期末)如图所示，已知四棱锥P-ABCD中， 3/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD=PA=PB=PC=PD=2 (I)求证：BDL平面PAC: (②)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求二面角P-BC-A的大小. 10.(2425高二下·浙江宁波期末)如图，AB是⊙0的直径，PA垂直于⊙0所在的平面，C是圆周上不同 : 于，的任意一点 C A B (I)证明：平面PAC⊥平面PBC; (2)若LPBA=45°，∠ABC=30°，求二面角A-PB-C的余弦值： 11.(24-25高二下浙江舟山期末)如图，己知四棱台 MCD-ABCA,点C在底面4BCD上的射影2花 在线段1C上（不含端点），底面 BCD 为直角梯形， AD//BC AB L AD AB=22 BC=2AD=4 A B B C (I)求证：BDL平面 ACCA 4/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若二面角B-BC-A的大小为3； CC (i)求直线与平面 ABCD 所成的角： （ⅱ)若四边形4CC4为等腰梯形， CG=5,求平面24A与平面1BCD夹角的正切位， 12.(2425高二下·浙江金华十校期末)如图1所示，四边形BCDE满足BC∥DE,过点B作BA⊥DE,点 A在线段DE上，且满足 C=V5AB=31D=3,将△MBE沿直线4B翻折到APHB的位置（图2）， PB⊥AC. D D B (图1) (图2) (I)求证：AB⊥PD: (2)若PD=2,求平面PBC与平面ABCD夹角的余弦值. 13.(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)如图，在直三棱柱 注8C-48C中，B=8C=2,M=3, F C A 点，分别在棱，上， ,为 的中点 D B ! DE AA CC AD=2DA CE=2EC F BC 平面DEF AB (1)求证： (2)当三棱柱 BC-4BG的体积最大时，求平面DEF与平面1BC夹角的余弦值 5/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点02 空间几何体的面积及体积问题 1.(24-25高二下·浙江温州十校联合体期末)已知圆锥高为2，母线与底面所成角为45°，则该圆锥的表面 积为() A.4元 B.4V2π C.(4W2+4m D.82n 2.(24-25高二下·浙江浙南名校联盟期末)在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PBC均是边长为2的等边三角 形，若PB⊥AB,则三棱锥P-ABC的体积为() 5 2W5 √2 2W2 A.3 B.3 C.3 D.3 5√2π 3.(24-25高二下浙江杭州第四中学·期末)已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为 ，则该 圆台的体积等于() A.In B2l元 C63π D.21Viz 4.(24-25高二下~浙江金华十校期末)如图，等腰梯形ABCD为某圆台的轴截面，满足AB=2BC=2CD=4, 则该圆台的体积为() 14 16 7w5 8v3 A.3π B.3π C3π D.3 5.(24-25高二下~浙江金华十校期末)如图，等腰梯形ABCD为某圆台的轴截面，满足AB=2BC=2CD=4, 则该圆台的体积为() 14 A3π 75 C.3π 85 D.3π 点03 球体及其内切外接问题 1.(24-25高二下·浙江嘉兴期末)棱长为2的正方体 BCD-ABCD中，球O与楼4服1D,4 均相切，且 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BCC B 与侧面 也相切，则球的半径为 2W3 2.(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球 的表面积为. 3.(24-25高二下浙江杭州第四中学·期末)校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计 思路是将侧棱长为6的正三棱锥P-ABC PAB,PBC,PAC 的三个侧面沿AB,BC,AC展开得到面 ,使得 PAB,PBC,PAC 平面 均与平面4C柔直，再将珠°放到上面使得，B,B三个点在球°的表面上，若奖杯 .0 0 的总高度为，且 ,则球的表面积为() 62 AB=4 140元 100元 98π 32π A B 3 9 C. 9 D. 3 4.(24-25高二下浙江浙南名校联盟期末)在三棱锥A-BCD中，己知AB=10,AC=6,BC=8, coS∠BDC= √2 ，当三棱锥A-BCD的外接球体积取得最小值时，记AB与平面BCD所成的角为a'则 sina= 5.(24-25高二下浙江杭州上城区等5地期末)在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,∠DAB=60°，E为 △ADE AC 1B中点，将△1DE沿直线DE翻折至△4D.设M是线段4C的中点， CE⊥AE 7/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)证明： CE上平面 DE A-DEC (2)求三棱锥 的体积： DC (3)求直线BM与平面 所成角的正弦值 6.(24-25高二下浙江嘉兴期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是平 行四边形，AD=2AB=2,∠BCD=60°，AB⊥AP,点E满足PE=2EA,点F是线段AD的中点. D-- (I)证明：BD⊥平面PCD: (2)若二面角E-BF-C的大小为135°时，求四棱锥P-ABCD的体积. 7.(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是平 行四边形，AD=2AB=2,∠BCD=60°，AB⊥AP,点E满足PE=2EA,点F是线段AD的中点. (I)证明：BD⊥平面PCD; (2)若二面角E-BF-C的大小为135°时，求四棱锥P-ABCD的体积. 点04 空间几何体动点问题 1.(2425高二下浙江宁波九校期末)如图，P是正方体 ABCD-ABCD 体对角线 G(合端点)上的动 8/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A B M 点，为棱 (含端点)上的动点，则下列说法正确的是() D M DD A 元 A.异面直线BP与AD所成角的最小值为4 B.异面直线BP与AD所成角的最大值为2 AM⊥BP C.对于任意给定的P,存在点M,使得 D.对于任意给定的M,存在点P,使得 B,P⊥AM ABCD-ABC D AB 2.(24-25高二下·浙江宁波期末)（多选）棱长为1的正方体 中，点P是线段°上的动 点（包括端点），则() D-PCD A.三棱锥 的体积为定值 ,1 B.点P到平面ABCD的距离与点P到点D的距离之和的最小值为T2 PBC D C.当点P与点重合时，四面体 的外接球的表面积为4红 D,∠APD的正切值的取值范围是[L,v] 3.(24-25高二下浙江温州新力量期末)（多选）己知在正方体 BCD-ABCD中M=2,点M为 AD 的中点，点P为正方形AB,C0内一点（包合边界），下列说法正确的是() A若点P是4B中点，则M、P、B、D四点共面 B.存在点P,使得直线BP与所成角为60 AA C.若直线BP平面8，则三枝锥 AMB P-AMB 的体积为定值 9/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 D.若B=√6，那么P点的轨迹长度为4 BB 4.(24-25高二下·浙江金华十校期末)在正方体 BCD-4BCD中，AB=2,点E,R,G分别为 DD CC D C的中点，点'在线段EF上运动（不包括端点），过G,卫，D的平面截正方体所得的截面周长 的取值范围是 5.(24-25高二下浙江杭州第四中学·期末)（多选）如图，棱长为2的正方体 ABCD-ABC D 中，E为棱 DD CCDD 的中点，F为正方形 0内一个动点（包括效哭），月BF”平面485.则下列版法正确的有 A D E D A,动点厂轨迹的长度为2 B BF与4B不可能垂直 4 C.直线BF与平面ABE所成角正弦值的最小值为9 D.当三枝锥B-DDF的体积最大时，其外接球的表面积为空。 ABCD-ABC D 7.(24-25高二下浙江舟山期末)（多选）已知正方体 的棱长为3，以下说法正确的是 () A.若点p为正方形BCC,B内部及边界上的动点，且满足D,P=√O,则动点p的轨迹长度是2 B.若点P为正方形48，GD内部及边界上任意一点，则存在点P使得点8，D到平面P1C的距离之 10/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 和等于2BD 6 C.若点P在正方体的内切球表面上运动，且BP∥面ACD,则BP的最小值为3 D.若点p满足PA+PC2=PB2+PD2,则动点p构成的平面截三棱锥C-ABD所得截面的面积为2 8.(24-25高二下·浙江台州期末)（多选）已知正四面体A-BCD的棱长为4，四面体内部一点P(包含边 界)到三个侧面ABC,ABD,ACD的距离之比为1：I:2,则下列说法正确的是() √6 A.正四面体A-BCD内切球的半径为3 B.点P可以为△BCD的重心 8V22 C.CD⊥BP D.△PCD面积的最小值为11 ABCD-ABC D ABCD 9.(24-25高二下·浙江温州十校联合体期末)已知正方体 棱长为1，点E为正方形 D C E· 内（含边界）一动点. D B ①活CE-CA,证明：面4BD1面CCE: ABD⊥CCE (2)若面 面 ,求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值. 11/11 专题05 空间向量与立体几何 高频考点概览 考点01空间点线面的位置关系 考点02空间几何体的面积及体积问题 考点03球体及其内切外接问题 考点04 空间几何体动点问题 ( 考点0 1 空间点线面的位置关系 ) 1．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)（多选）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，，，共面，则 C．若不垂直于，且，则必不垂直于 D．若且，则 【答案】BD 【详解】如图：在正方体中  因为平面，平面平面，结果平面，而非平面，故A错误；因为与平面不垂直，平面，且，故C错误；对B：因为，，所以无公共点，又，共面，所以，故B正确；对D：因为垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故D正确.故选：BD 2．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，设，，，因为平面，因为平面，所以，为直角三角形，所以直线与平面所成角为，即，因为为矩形，所以为直角三角形，所以，在中，，所以，，因为为矩形，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，为直角三角形，所以直线与平面所成角为，即，因为平面，平面，所以，在中，，所以，，因为为矩形，所以，因为平面，平面，所以，又因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以为直角三角形，所以直线与平面所成角为，即，因为平面，平面，所以，在中，，所以，， 对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误； 对于D，，D正确.故选：D. 3．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)（多选）用平面截如图放置的正四面体ABCD，下列说法正确的是（   ） A．当截面为平行四边形时，正四面体有两条棱所在的直线平行平面 B．截面可能是直角梯形 C．若平面分别与棱AB，AC，AD交于点E，F，G，，，，则平面与平面BCD夹角的余弦值为 D．设点F在棱AC上，点G在棱AD上（均包含端点），且，，其中．如果平面经过B，F，G三点，那么平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为 【答案】AD 【详解】A.当截面为四边形，说明平面截正四面体的四个面，如图，平面为平面，因为，平面，平面，所以平面， 平面，平面平面，所以，平面，平面，所以， 同理，其他棱所在直线都与平面相交，故A正确；B.若，且，由A可知，，因为是正四面体，则，所以，则梯形为等腰梯形，不可能是直角梯形，故B错误；C. 如图，建立空间直角坐标系，设棱长为12，则，，，，则，，，，，设平面的一个法向量，，令，则，则，平面的法向量为，所以，所以平面与平面BCD夹角的余弦值为，故C错误；D.由，则平面与平面的夹角的取值范围，只需考虑两个临界值，一个是点分别是的中点时，另一个是点在处，点在处（或点在处，点在处，这两种情况两个平面的夹角一样） 设棱长为2，则第一个临界情况，当点分别是的中点时，， ， 设平面的一个法向量为，则，令，则，， 所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量， ，第二个临界情况不妨设点在处，点在处，这时平面与平面的夹角为平面和平面的夹角，如图，取的中点，连结，则，，所以为平面与平面的夹角，，，， 所以平面与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为，故D正确. 故选：AD 4．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为CD的中点，二面角为直二面角． (1)求证：； (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； 【详解】（1）因为，O为CD的中点，所以． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，所以平面ABCD． 因为，，，所以．取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，．，， 因为，所以． （2）设平面PAB的一个法向量为，则，即， 解得，令，则，则． 设直线PC与平面PAB所成的角为，又， 则， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为． 5．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【详解】（1）连结交于点，连， ∵底面是正方形，，∴是的中点， ∵是的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）法一：作交于，作交于，连， ∵平面平面，平面平面，∴平面 ∵平面，∴ 又∵，，∴平面，∴， ∴为二面角的平面角， 不妨设，则,，， ，， ∴，∴二面角的余弦值为 法二：取的中点为，的中点为，连接，， ∵是等边三角形，∴， ∵侧面底面，侧面底面，∴底面， ∵底面，∴，， ∴，，两两垂直，则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则由已知得，，， 在平面中，，， 设为平面的一个法向量，则， 令，则为平面的一个法向量． 又∵平面的一个法向量 设二面角平面角为，则， 所以二面角的余弦值为． 6．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)如图，在四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【详解】（1）连结交于点，连， ∵底面是正方形，，∴是的中点， ∵是的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）法一：作交于，作交于，连， ∵平面平面，平面平面， ∴平面 ∵平面，∴ 又∵，，∴平面，∴， ∴为二面角的平面角， 不妨设，则,，， ，， ∴，∴二面角的余弦值为 法二：取的中点为，的中点为，连接，， ∵是等边三角形，∴， ∵侧面底面，侧面底面，∴底面， ∵底面，∴，， ∴，，两两垂直，则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设， 则由已知得，，， 在平面中，，， 设为平面的一个法向量，则， 令，则为平面的一个法向量． 又∵平面的一个法向量 设二面角平面角为，则， 所以二面角的余弦值为． 7．(24-25高二下·浙江台州·期末)在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，四面体的体积为． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）取中点，连接， 由，，得，， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则四面体的体积为， 由题意有，得， 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 8．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知平行六面体如图所示，，． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的余弦值． 【详解】（1）在平行六面体中， 因为，设，则，， 因为，所以，所以，， 在中，，，所以， 又因为平面，所以平面； （2）由（1）已得，且平面，故平面， 故可以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，则，令，则， 因为，，则，则，所以，又， 设平面的法向量为，则，则， 令，则，因， 设二面角的平面角为，由图知为钝角，则， 即二面角的余弦值是. 9．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)如图所示，已知四棱锥中，. (1)求证：平面； (2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小. 【详解】（1）因为，所以， 所以，设，连接，则，点为的中点， 又，所以，又，且， 所以，又，平面，平面， 所以平面； （2）由（1）可知，平面，平面，所以平面平面， 取的中点为O，连接，则，平面平面， 平面，所以平面，过点作，垂足为H，连接， 则，所以为二面角的平面角， 因为四棱锥的体积为 ， 当且仅当即体积最大， 此时， 在中，，所以， 所以二面角的大小为. 10．(24-25高二下·浙江宁波·期末)如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）过点分别作于点，于点，连结. 由平面平面，平面平面，得平面，所以， 又因为，，平面，所以平面，故， 所以二面角的平面角为.不妨设， 因为，，所以，，，. 在中，，在中，， 所以，所以. 11．(24-25高二下·浙江舟山·期末)如图，已知四棱台，点在底面上的射影落在线段上（不含端点），底面为直角梯形，，，，.    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为； （ⅰ）求直线与平面所成的角； （ⅱ）若四边形为等腰梯形，，求平面与平面夹角的正切值. 【详解】（1）连接交于点，，，， ，， 在直角梯形中，，，，， 由勾股定理可得，，    在中，，， ∴，∴，即， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面. （2）（i）过点在平面内作，交于点，连接，   ∵平面，平面，∴， ∵，，、平面，∴平面， ∵平面，∴， 则为二面角的平面角，即，且为直线与平面所成的角， ∵，即， ∵，而在中，，     ∴，因为，即. ∴直线与平面所成角为. （ii）在等腰梯形中，∵，，， 则，即， 过点作，则，过点在平面内作，垂足为点， 在平面内，∵，，∴， ∵平面，∴平面，     过点在平面内作，交于点，连接， ∵平面，平面，∴， ∵，，、平面，∴平面， ∵平面，∴，则为平面与平面所成夹角的平面角， ∵四边形为等腰梯形，∴，，， ∴，，， ∴， 在平面内，∵，，∴，∴，即， 在平面内，∵，，∴，∴， 故，在中，. 故平面与平面夹角的正切值为. 12．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)如图1所示，四边形满足，过点作，点在线段上，且满足，将沿直线翻折到的位置（图2），. (1)求证：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：由翻折的性质，可得，且 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）解：方法一：连接AC，BD交于点， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以 由（1）知：，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 作，连接，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 在直角中，可得，所以. 法二：以点为原点，以所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，， 由（1）知平面，所以平面的法向量为， 设，则，即，解得，即， 设平面的法向量为，且， 则，即，取，可得，所以， 设平面与平面所处二面角的平面角为，则. 13．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)如图，在直三棱柱中，，，点，分别在棱，上，，，为的中点.   (1)求证：平面； (2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为，，所以，且， 则，，所以， 所以，又点是的中点，所以， 平面，平面，所以平面； （2）由已知，， 当时，的面积最大，此时三棱柱的体积最大， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为，则，即，令，则， 即平面的法向量为， 平面的法向量为,， 所以平面与平面夹角的余弦值为. ( 考点0 2 空间几何体的面积及体积问题 ) 1．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知圆锥高为2，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为圆锥的高为2，母线与底面成角为45°，所以母线长为.圆锥底面半径为2. 所以圆锥的表面积为.故选：C. 2．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)在三棱锥中，和均是边长为2的等边三角形，若，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，取的中点，连接.  因为为等边三角形，是的中点，所以.因为分别为的中点，所以.因为，所以.又平面，所以平面.又平面，所以.因为，是的中点，所以.又平面，所以平面. 在中，根据勾股定理得.在中，根据勾股定理得. 所以三棱锥的体积为.故选：D. 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆台的侧面展开图是个扇环，设圆台的母线为，则，所以， 所以圆台的高，则圆台的体积等于，故选：B. 4．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)如图，等腰梯形为某圆台的轴截面，满足，则该圆台的体积为（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知上底面圆的半径，下底面圆的半径， 设圆台的高为h，则， 所以该圆台的体积.故选：C 5．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)如图，等腰梯形为某圆台的轴截面，满足，则该圆台的体积为（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知上底面圆的半径，下底面圆的半径，设圆台的高为h，则，所以该圆台的体积.故选C ( 考点0 3 球体及其内切外接问题 ) 1．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)棱长为2的正方体中，球与棱均相切，且与侧面也相切，则球的半径为______． 【答案】 【详解】由对称性可知，球心在立方体对角线上．过作，可知平面，   故球与平面相切于点，所以为球的半径；过作，故球与相切于点，所以为圆的半径．因为中，，易知，所以，即，解得．故答案为：. 2．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知一底面边长为的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为_____. 【答案】 【详解】在正三棱柱中，分别取三条侧棱的中点、、，如图所示：易知是边长为的等边三角形，则该三棱柱内切球球心为的中心，连接、、， 设球的半径为，则，即，解得， 由正棱柱的几何性质可知，易知该正三棱柱的外接球球心也为，设正三角形的中心为，连接、、，  则平面，，， 故，即该三棱柱外接球半径为，因此，该三棱柱外接球表面积为.故答案为：. 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：连接、、，取、、中点、、，连接、、，由已知侧棱长为的正三棱锥，即，又因为，所以，因为平面，，均与平面垂直，设，，三点所在的圆为圆，底面的中心为，则，又因为奖杯总高度为，设球半径为，球心到圆面的距离为，则，即，如图，易知≌， 因为，所以是边长为的等边三角形，设的外接圆半径为， 则，则在直角中，，即，解得， 所以．故选：C． 4．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)在三棱锥中，已知，，，，当三棱锥的外接球体积取得最小值时，记与平面所成的角为，则______. 【答案】 【详解】设外接圆圆心为，半径为，中点为，连接，因为，，，，所以，，是直角三角形，则为外接圆圆心，半径，所以三棱锥的外接球体积取得最小值时，球心在外心处，外接球半径为，根据球的性质，截面圆心与球心的连线垂直于截面，即平面，，则，又，所以，设点到平面的距离为，所以，所以.故答案为：. 5．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)在平行四边形中，为中点，将沿直线翻折至．设是线段的中点，．   (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为为中点， 所以，，即为等边三角形，所以， 在中，，所以， 因为，所以， 又，，平面，所以平面； （2）由（1）可知，为三棱锥的高，， 所以； （3）由（1）可知，，故以为原点，为轴，为，垂直平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，,,，,， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 设直线与平面所成角为，故， 所以直线与平面所成角的正弦值为．   6．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【详解】（1）连结，在中，，，， 由余弦定理，即， 此时，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面． （2）解法1：如图建系， 以为原点，，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴， 设，则， ，由得，即， 由，得，， 设是平面的法向量，， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得，， ． 解法2：过点作，交的延长线于，连接， 平面平面，平面平面， 平面，平面， ，，，平面，平面，又， 平面，平面，， 如图所示，以方向为轴，垂直于平面方向为轴建系， 设，则，， ，，得，， 由，得， 设是平面的法向量，， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为，则， 解得，，． 解法3：过点作，交的延长线于，连接， ，，，平面，平面，又， 平面，平面，， 由平面平面，平面平面，平面， 平面， 因为，所以为线段上靠近点的三等分点， 设线段上靠近点的三等分点为，连，， 则，平面，平面，所以， 在中，，，，四边形是矩形，， 在中，，，， 因为，即， 解得：，所以，所以， 平面，平面，，平面，平面，， 是二面角的平面角的补角，即， 为等腰直角三角形 ，，从而， ，． 7．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【详解】（1）连结，在中，，，， 由余弦定理，即，此时，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面． （2）解法1：如图建系， 以为原点，，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴， 设，则， ，由得，即， 由，得，， 设是平面的法向量，， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得，， ． 解法2：过点作，交的延长线于，连接， 平面平面，平面平面， 平面，平面， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 如图所示，以方向为轴，垂直于平面方向为轴建系， 设， 则，， ，，得，， 由，得， 设是平面的法向量，， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为，则， 解得，，． 解法3：过点作，交的延长线于，连接， ，，，平面，平面，又， 平面，平面，， 由平面平面，平面平面，平面，平面， 因为，所以为线段上靠近点的三等分点， 设线段上靠近点的三等分点为，连，， 则，平面，平面，所以， 在中，，，，四边形是矩形，， 在中，，，， 因为，即， 解得：，所以，所以， 平面，平面，， 平面，平面，， 是二面角的平面角的补角，即， 为等腰直角三角形 ，，从而， ，． ( 考点0 4 空间几何体动点问题 )1．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ）   A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得 D．对于任意给定的，存在点，使得 【答案】D 【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则，设，，则，设异面直线与所成的角为，则，因，由于，则时，，又，，于是，则， 又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误；对于C.设，，则，由上述分析，，，当时，无解，故C错误；对于D.，令，得，即对于任意的M，存在点P使得，故D正确.故选：D.   2．(24-25高二下·浙江宁波·期末)（多选）棱长为1的正方体中，点是线段上的动点（包括端点），则（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．点到平面的距离与点到点的距离之和的最小值为 C．当点与点重合时，四面体的外接球的表面积为 D．的正切值的取值范围是 【答案】ABD 【详解】过作交与，     对于A，在正方体中，，又平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，过作交与，则平面，平面，平面， 把平面沿展开，所以当时，距离之和取得最小值，   又，，，，故B正确；对于C，点与点重合时，四面体的外接球即为正方体的外接球，所以此时外接球直角为体对角线，则表面积为；对于D，在正方体中，平面，又平面，所以，所以，又当时，取得最小值，当与点或点重合时，取得最大值，，故D正确；故选：ABD. 3．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)（多选）已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），下列说法正确的是（   ） A．若点是中点，则、、、四点共面 B．存在点，使得直线与所成角为 C．若直线平面，则三棱锥的体积为定值 D．若，那么点的轨迹长度为 【答案】AC 【详解】对于A选项，连接、、、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以，在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，故，所以，因此，当点是中点，则、、、四点共面，A对；对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、，不妨设点，所以，，，因为，，则，所以，，故，即， 故，因此，不存在点，使得直线与所成角为，B错； 对于C选项，若平面，则点、到平面的距离相等，故为定值，C对；对于D选项，，可得，故点的轨迹是在平面内以点为圆心，半径为的圆，故点的轨迹长度为，D错.故选：AC. 4．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)在正方体中，，点E，F，G分别为，，的中点，点在线段上运动（不包括端点），过G，P，的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是__________. 【答案】 【详解】  如图所示，当点为线段中点时，截面为,其中为中点，周长为；当点为线段内部时，截面为,其中平行且相等，平行且相等，,,周长取值范围是，当截面为（其中平行，且分别在棱上）时，周长大于且可以任意接近于四边形的周长， 但小于等于四边形的周长.当截面为（其中平行，分别在线段上，在线段上，交于延长线上的一点）时，   方法一：如图所示，利用初中几何知识可证路径长度在路径和路径之间， ∴截面的周长介于四边形的周长与截面的周长之间, 综上，过G，P，的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是. 方法二：设,,,,,, ,,,, ,,,, ,, 截面周长为, , 求导， ∴函数单调递增，所以截面的周长介于四边形的周长与截面的周之间, 所以，过G，P，的平面截正方体所得的截面周长的取值范围是.故答案为:. 5．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)（多选）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（    ） A．动点轨迹的长度为 B．与不可能垂直 C．直线与平面所成角正弦值的最小值为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】对A，如图，取中点为，中点为，连接，又正方体中，为棱的中点，可得，又平面，平面，平面；又中点为，中点为，，又平面，平面，平面； 又，且平面，平面平面，又平面，且平面，平面，又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，，即的轨迹为线段.由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；对B，由可知三角形为等腰三角形， 当为线段中点时，由可得，又中点为，中点为，，而，，故选项B不正确；对C，由选项B 知，，又面，面，面，则上的点到平面的距离为定值，设到平面的距离为， 直线与平面所成角为，则，而为定值，当最大时，最小；此时点位于点时，最大，最小.分别以为建立空间直角坐标系，则由题意得，，，，可得，，设平面的法向量， 则有，不妨令可得，平面的一个法向量，又，则，故选项C正确；对D，由侧棱底面，所以三棱锥体积为，所以最大时，体积最大，∵， 可得当在处时，三棱锥的体积最大，由已知得此时， 所以在底面的射影为底面外心，，，，由勾股定理易知底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为，由，，可得外接球半径，外接球的表面积为，故选项D正确．故选：ACD 7．(24-25高二下·浙江舟山·期末)（多选）已知正方体的棱长为3，以下说法正确的是（    ） A．若点为正方形内部及边界上的动点，且满足，则动点的轨迹长度是 B．若点为正方形内部及边界上任意一点，则存在点使得点，到平面的距离之和等于 C．若点在正方体的内切球表面上运动，且面，则的最小值为 D．若点满足，则动点构成的平面截三棱锥所得截面的面积为 【答案】ABD 【详解】  对于A选项，由题意建立如图所示的空间直角坐标系，则，,点为正方形内部及边界上的动点，设，，，化简得，即点的运动轨迹以为圆心，半径为1的圆，动点的轨迹是四分之一圆的周长，其长度是，正确. 对于B选项，点为正方形内部及边界，设，，， 平面的法向量为，点到平面的距离：，点到平面的距离：，距离之和为， 令，则方程变为，又为正方体的空间对角线，，即， ，化简得，解得，由于，在范围内，存在点，正确.对于C选项，点在正方体的内切球上,正方体的内切球半径为，球心为，，，平面的法向量为， 面等价于与平面法向量垂直，即，设，则，即，在平面上. 到平面的距离：， 在平面上，球心为到平面的距离：，平面与内切球的交线是一个圆，设圆心为，则圆的半径为，的最小值是到圆的距离，圆心在平面上且是到平面的垂线，的最小值就是圆的半径，错误.对于D选项，设，由可得，化简得，，平面是平行于底面，动点构成的平面截三棱锥所得截面是正方体四个侧面的中心的连线，截面形状为边长为的正方形，则截面的面积为，正确.故选：ABD. 8．(24-25高二下·浙江台州·期末)（多选）已知正四面体的棱长为4，四面体内部一点（包含边界）到三个侧面，，的距离之比为，则下列说法正确的是（    ） A．正四面体内切球的半径为 B．点可以为的重心 C． D．面积的最小值为 【答案】ACD 【详解】设为中点，为的中心，则面,点到侧面，的距离之比为，在面内，又正四面体的棱长为4，. 对于选项A，设内切圆的半径为，， 正确.对于选项B，若点可以为的重心，则重合，则点到三个侧面的距离之比为，错误. 对于选项C，为正四面体，为中点，,为的中心,面,面，又面且， 面，面，正确.对于选项D，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图   设，则，设面的法向量为，则，令，则，设面的法向量为，则，令,则，到面的距离；到面的距离,，，，，当时，，, 正确.故选：ACD. 9．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．   (1)若，证明：面面； (2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 【详解】（1）因为，所以三点共线， 所以，又因为，所以．    因为面ABCD，面ABCD，所以．              因为面面，所以面．        又因为面，所以面面． （2）方法一：由 可知．从而． 又因为，所以E在线段上．                       过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE 则即为直线EB与平面ABCD所成角               ．取最短时，取最大， 在中，，为中点时，，此时最短， ．             方法二：以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 那么，设．  由， 可得面的一个法向量为，  由， 可得面的一个法向量为．于是由可得．                  所以．面ABCD的一个法向量为．           设直线EB与平面ABCD所成角为，那么．                                 因此当时取到最大值．   1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $