专题02 函数与导数（期末真题汇编，浙江专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 函数与导数专题期末试题汇编，涵盖7个高频考点，精选浙江多地名校期末真题，注重基础巩固与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约30题|函数概念、性质、导数几何意义等|结合生物学J型增长、正方形面积等实际情境| |填空|约10题|函数值域、零点个数、新定义函数等|设置新定义二元函数、抽象函数性质探究| |解答题|约15题|导数与单调性、恒成立问题、综合证明等|分层设计，如导数综合题包含切线方程、极值求解及不等式证明|

专题02 函数与导数 高频考点概览 考点01函数的概念及其表示 考点02函数基本性质 考点03导数的运算及几何意义 考点04 导数与函数的单调性及极值 考点05 导数与恒（能）成立问题 考点06 函数零点问题 考点07 导数应用综合 ( 考点01 函数的概念及其表示 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是______. 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知，且，则（    ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 4．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（    ）（参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 5．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)已知实数，正方形满足轴，且分别在，，的图象上，若正方形的面积为36，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)定义：平面点集中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数．若点的横、纵坐标均为整数，则称点为“整数点”．已知，则方程的“整数点”为_______． ( 考点02 函数基本性质 ) 1．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_____. 2．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·浙江舟山·期末)（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A．函数的解析式为 B．函数图象的对称轴为直线 C．函数的单调递增区间为 D．函数在上的最大值为 6．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知函数的值域是，则m的值为（   ） A．2 B． C． D． 7．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)定义在上的函数满足且是一个增函数，请写出满足条件的一个函数______.（写出一个即可） 8．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)设是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为偶函数，则为偶函数 B．若为奇函数，则为奇函数 C．若为单调函数且为周期函数，则为周期函数 D．若为单调函数且为单调函数，则为单调函数 9．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知函数的定义域为，且对任意实数x，y都有，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的周期是4 C．是偶函数 D． 10．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知函数的定义域为，满足．当时，，则的最大值是（   ） A．6 B．3 C．5 D．8 11．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)（多选）定义在上的非常数函数满足，且，则（   ） A． B．是的一条对称轴 C． D． ( 考点0 3 导数的运算及几何意义 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)（多选）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)若是曲线的切线，则__________. 3．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． ( 考点0 4 导数与函数的单调性及极值 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知函数，则（   ） A．当时，在上单调递减 B．当时，在处取到极小值 C．当时，在上单调递增 D．当时，在处取到极小值 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附·期末)若函数在处取得极小值，则___ __． 4．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知函数，若0是极小值点，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)（多选）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．若，则函数为奇函数 B．若有极小值0，则 C．若有极大值2，则 D．可能在处有极大值 7．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（   ）   A．   B．  C．   D．   8．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)若，，其中是自然对数的底数，则（附：） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求的值； (2)求函数的单调区间和极值． ( 考点0 5 导数与恒（能）成立问题 ) 1．(24-25高二下·浙江舟山·期末)命题“，为假命题”，则实数的取值范围为_____. 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 3．(24-25高二下·浙江宁波·期末)若对，不等式恒成立，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．(24-25高二下·浙江台州·期末)若函数（为自然对数的底数，）的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 6．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知函数. (1)判断的单调性，并求出单调区间； (2)当时，若恒成立.试求出的取值范围； (3)若，，且，证明：. 7．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知函数. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，不等式对恒成立，求的最大值； (3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围. ( 考点0 6 函数零点问题 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为______. 2．(24-25高二下·浙江舟山·期末)记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知定义在上的偶函数满足，记，.当时，.记关于的方程在上有两个不相等的实数根，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知函数，若存在实数，使得在区间上有三个零点，则实数的取值范围为______． 5．(24-25高二下·浙江宁波·期末)设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为_____. 6．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)（多选）若函数与的图象有且只有一个公共点，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时，可取任意实数 D．当时，的最大值为e 7．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知函数． (1)若，求的取值范围． (2)记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． ( 考点0 7 导数应用综合 ) 1．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)（多选）已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（   ） A． B．有且只有一个极小值，且极小值等于 C．的值域是 D．若，则恒成立 2．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)（多选）设且，已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不是中心对称图形 B．的图象是轴对称图形 C．是周期函数，且最小正周期为 D．存在最大值与最小值 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)（多选）设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 4．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)判断方程的解的个数． 5．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知函数，，． (1)若函数存在2个零点，求的取值范围； (2)记， ①当时，求的最小值； ②若的最小值为2，求的取值范围． 6．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围； (3)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 7．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知曲线在点处的切线方程为． (1)求a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且，证明：对任意的，． 8．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 9．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)已知函数，其中. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)试比较2.8与的大小并证明. 10．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)设是两个非空数集，函数的定义域为，若对任意，当时，，则称为函数． (1)设是函数，求实数的取值范围； (2)设是函数，当时，，求在上的值域； (3)设是函数，证明：是函数． 11．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 函数与导数 高频考点概览 考点01函数的概念及其表示 考点02函数基本性质 考点03导数的运算及几何意义 考点04 导数与函数的单调性及极值 考点05 导数与恒（能）成立问题 考点06 函数零点问题 考点07 导数应用综合 ( 考点01 函数的概念及其表示 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误； 对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确； 对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误； 对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 2．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是______. 【答案】 【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象，因此函数的值域为， 则函数的值域是.故答案为：. 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知，且，则（    ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 【答案】C 【详解】因为，，令， 所以，解得或（不符合题意舍去），所以，解得.故选：C 4．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为，其中为初始个体数，为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（    ）（参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】由题意可得，，所以，即，所以，当，时，，即，所以，由给定数据.故选：B 5．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)已知实数，正方形满足轴，且分别在，，的图象上，若正方形的面积为36，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为轴，点分别在上，所以，化简得.而，因为正方形的边长相等，所以，即， 化简得.因为正方形的面积为36，所以边长为6，所以，解得，所以，又，所以.故选：A. 6．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)定义：平面点集中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数．若点的横、纵坐标均为整数，则称点为“整数点”．已知，则方程的“整数点”为_______． 【答案】 【详解】由函数 ，由，即，可得，解得，即方程的“整数点”为.故答案为：. ( 考点02 函数基本性质 ) 1．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_____. 【答案】1 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，当时，，则.故答案为：1. 2．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，，，所以，故选：C 3．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知函数，所以为偶函数，当时，，又与在上单调递减，所以在也单调递减，，即，所以解得或，所以的取值范围为.故选：D. 4．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即，，令 ，由二次函数的图像可作函数的大致图像为： ∵，，，，由题意可知不等式解集中有且仅有2个整数解为，∴，故选：C. 5．(24-25高二下·浙江舟山·期末)（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A．函数的解析式为 B．函数图象的对称轴为直线 C．函数的单调递增区间为 D．函数在上的最大值为 【答案】AC 【详解】对于A选项，令，其中，则，由可得，故，A对；对于B选项，因为，，即，所以，函数的图象不关于直线对称，B错； 对于C选项，因为，令，，内层函数为增函数，外层函数的增区间为，减区间为，由可得，由复合函数的单调性法则可知，函数的增区间为，C对；对于D选项，当时，，所以，由于，故，从而有，故当时，，即的最大值为，D错.故选：AC. 6．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知函数的值域是，则m的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】，在单调递减，则值域为，当时，，则函数的值域为，又函数的值域是，所以， 当时代入上面值域，，不符合题意；当时代入上面值域，，符合题意；综上，.故选：B. 7．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)定义在上的函数满足且是一个增函数，请写出满足条件的一个函数______.（写出一个即可） 【答案】（只需符合即可）. 【详解】因为定义在上的函数满足，则， 令，可得，令可得，由题意可得，令，则，则函数为奇函数，函数为增函数，则函数为增函数，可取，则，满足要求，故满足题意.故答案为：（只需符合即可）. 8．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)设是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为偶函数，则为偶函数 B．若为奇函数，则为奇函数 C．若为单调函数且为周期函数，则为周期函数 D．若为单调函数且为单调函数，则为单调函数 【答案】C 【详解】A选项，不妨设，当时，，且， ，故为偶函数，但不是偶函数，A错误；B选项，令，当时，，，，所以恒等于，单调递增且为奇函数，当不是单调函数，也不是奇函数，B错误； C选项，为一个周期为的函数，则，又为单调函数，所以，则为一个周期为的周期函数，C正确；D选项，若的值域不是R，则无法判断该值域以外的部分是否单调，例如，单调递增，且单调递增，但不是单调函数，D错误.故选：C 9．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知函数的定义域为，且对任意实数x，y都有，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的周期是4 C．是偶函数 D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，， 对任意实数x恒成立，所以，解得，故A错误；对于B，时，，，，即的周期不可能为4，故B错误；对于C，时，，即，，故C错误；对于D，由， 得，令，则，又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列，，，故D正确；故选：D. 10．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知函数的定义域为，满足．当时，，则的最大值是（   ） A．6 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以的图象关于对称，又，则的图象关于中心对称，因为，所以，所以，即．所以，即，所以， 所以的周期为8，由，得，当时，，为了求的最大值，由周期性不妨求在上的最大值即可，因为在单调递增，结合的图象关于中心对称，所以在单调递增，即在单调递增，则在上的最大值为，又的图象关于对称且周期为8，所以的图象关于对称， 所以在单调递减，所以在上的最大值为，根据周期函数的性质可知的最大值是6.故选：A 11．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)（多选）定义在上的非常数函数满足，且，则（   ） A． B．是的一条对称轴 C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，由，，令，得，因为不为常数函数，则不恒为0，故，故A错误；B选项，令，得，所以是的一条对称轴，故B正确；C选项，令，得，则， 当且仅当时等号成立，故C正确；D选项，令，得，因为，所以，则，即，则，故，所以函数是一个周期为4的周期函数，由，，，则，，，则，则，故D正确.故选：BCD. ( 考点0 3 导数的运算及几何意义 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)（多选）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由对数函数的求导法则可得，故选项A正确；令，则，，，由复合函数的求导法则可得，故选项B错误；由基本初等函数的法则可知，故选项C正确；令，则，，，由复合函数的求导法则可得，故选项D正确.故选：ACD. 2．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)若是曲线的切线，则__________. 【答案】/0.25 【详解】设直线与曲线相切的切点为，由，求导得，则，解得，由切点在直线上，得，所以.故答案为： 3．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以，设直线与曲线的切点为，所以， 所以，且，令函数，，因为， 所以函数在单调递减，在单调递增，又因为， 所以，所以.故选：C. 4．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于，设此时，，，则此时点处的切线斜率，因为，所以，解得，，，综上，当点坐标为时，点到直线的距离最小，最小距离为.故选：B. ( 考点0 4 导数与函数的单调性及极值 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】即，即，令， 则，依题意，，即， 因此，可得在上单调递减，又因为，所以等价于，由单调性可得，即.故答案为：B. 2．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知函数，则（   ） A．当时，在上单调递减 B．当时，在处取到极小值 C．当时，在上单调递增 D．当时，在处取到极小值 【答案】D 【详解】当时，，，因为，令，，因为，所以在单调递增，又因为，，所以，使，所以，使，所以在单调递减，单调递增，对于A，在单调递减，单调递增，故A错误；对于B，，所以不是的极值点，故B错误；当时，，，因为，令，，因为，所以在单调递增， 因为，，所以存在，使，对于C，当时，，而时，，时，，所以时，，时，，所以在单调递增，单调递减，故C错误；对于D，因为，当时，，，所以，当时，，，所以，所以在处取得极小值，故D正确；故选：D. 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附·期末)若函数在处取得极小值，则___ __． 【答案】/ 【详解】的定义域为，,令，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点，所以，故答案为：. 4．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，令，可得或， 当，即时，令，得或；令，得；所以在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，满足题意； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，没有极值点，不满足题意；当，即时，令，得或；令，得；所以在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，不满足题意；综上，，即的取值范围为.故选：A. 5．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知函数，若0是极小值点，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，令，则，因为0是的极小值点，所以在的左侧，，在的右侧，，所以，解得，即取值范围是.故选：C. 6．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)（多选）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．若，则函数为奇函数 B．若有极小值0，则 C．若有极大值2，则 D．可能在处有极大值 【答案】AC 【详解】当时，，则，则，所以是奇函数，A正确.由题意得，令，解得或， 当，即时，在上，在上单调递增，在上，在上单调递减，在上，在上单调递增，可知在处取得极小值，极小值，所以B错误.由B可知，当，即时，在处取得极大值，极大值，不符合题意，当，即时，在上，在上单调递增，在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增，可知在处取得极大值，极大值，当时，，所以C正确.由B、C可知，当或都不在处取极大值，当时，，易知在R上单调递增，无极大值，所以D错误.故选：AC. 7．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)如图，圆C和的两条边相切，射线OP绕点O从OA开始逆时针方向旋转至OB，设，在旋转过程中，OP扫过的圆内阴影部分的面积为S，则S关于θ的图象可能是（   ）   A．   B．  C．   D．   【答案】B 【详解】设圆C的半径为，由题意得，则圆内阴影部分的面积为．记，，则；，故函数的单调递增区间为，记，则，故函数在上单调递增，所以函数在上的图象增加的越来越快，即S在上的图象增加的越来越快，这4个图中只有B选项具有上述特点.故选：B 8．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)若，，其中是自然对数的底数，则（附：） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，设且单调递增，且，所以，令单调递增，， 所以，A选项错误；因为且在R单调递增，，所以， 所以，且，所以，且，设则在单调递增，所以，所以，所以，B选项错误；因为，所以，所以， 设，因为单调递增，所以，C选项正确；因为单调递减，且，所以，D选项错误；故选：C. 9．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【详解】（1）由题意，函数的定义域为，则， 因为函数在处的切线与轴平行，所以， 解得． （2）函数的定义域为且， 当时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 所以当时，函数取到极大值， 当时，函数取到极小值． ( 考点0 5 导数与恒（能）成立问题 ) 1．(24-25高二下·浙江舟山·期末)命题“，为假命题”，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】因为“，”为假命题，所以命题“，”为真命题. 即，成立.令,因为，所以是单调递增函数，，所以，即.故答案为：. 2．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 当时，，由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为，所以不一定恒成立，故不成立， 当时，由，，由，， 所以要使得恒成立，则即，所以， 设，则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以有最小值，所以的最小值是，故选：A. 3．(24-25高二下·浙江宁波·期末)若对，不等式恒成立，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】，所以，，所以当，即时，，当，即时，，所以当时，，当时，，设， 则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，所以，所以，即，又，故.所以.故选：. 4．(24-25高二下·浙江台州·期末)若函数（为自然对数的底数，）的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】假设函数（为自然对数的底数，）的图象上存在关于原点对称的点和，所以，，上述两个等式相加得，可得，令，其中，， 函数为偶函数，当时，，故函数在上单调递增， 由偶函数的性质可知函数在上单调递减，故，所以函数的值域为，故，解得，因此，实数的取值范围是.故选：A. 5．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 【详解】（1）对于任意的，总存在，使得，即， 其中，，当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. （2）时，可得，，即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 6．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知函数. (1)判断的单调性，并求出单调区间； (2)当时，若恒成立.试求出的取值范围； (3)若，，且，证明：. 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，可得，解得：， 令，可得，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知，有最小值，， 所以恒成立，化简可得， 令，易知在上单调递增，且，. （3）时，，，由， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又，所以， 因， 故 ， 由，及在上单调递增，可知，， 则 ， ，，， 所以. 7．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知函数. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，不等式对恒成立，求的最大值； (3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围. 【详解】（1）当时， 其中开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 所以的单调递增区间为. （2）由题知，，即， ，， 对任意恒成立. 若，则.若，则，所以， 因为，所以，所以， 当时，，所以，当时，， 故只需对任意恒成立，即，所以，解得. 若，则，所以， 因为，则，所以，只需，所以， 综上，，故的最大值为5. （3）因为，当，时，， 故，对称轴为. 当，即时，在单调递增，故在上单调递增，所以 令，即， 所以，是方程在上的两个不等实根，则解得. 当，即时，在单调递减，单调递增，所以 所以，是方程在上的两个不等实根， 则，解得. 综上，. ( 考点0 6 函数零点问题 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为______. 【答案】9 【详解】由，可得的图象关于点对称，又是奇函数，所以，则的周期为3，所以，，而，则. 故在上的零点个数的最小值为9.故答案为：9. 2．(24-25高二下·浙江舟山·期末)记函数.已知函数，，，若有且只有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，其中，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，故当时，，此时；当时，，此时，所以.当时，令，可得； 当时，令，可得.令，则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：，由图可知，要使得直线与函数的图象有三个交点，只需，解得，因此，实数的取值范围是.故选：D. 3．(24-25高二下·浙江宁波·期末)已知定义在上的偶函数满足，记，.当时，.记关于的方程在上有两个不相等的实数根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为定义在上的偶函数，所以，又因为，将替换则有，即，所以为周期为的周期函数，根据题意，即时， ，，当时，，即，因为函数为周期为的周期函数，所以，，根据已知条件，，在上有两解，令，则，方程变为，，令，，根据题意两函数在有两个交点，，，为对称轴为，值域为的抛物线，，，为对数函数，，，当时，函数在上单调递减，两个函数没有交点，不合题意；当，，， 此时，两函数在上恰有两个交点，符合题意；当时，单调递增，根据，两图像最多有一个交点，不合题意；当时，单调递增，根据， 两图像有两个交点，符合题意；综上所述，的取值范围为，所以.故选：D 4．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知函数，若存在实数，使得在区间上有三个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意得，使与在有三个交点，则，令，则.当时，在和上单调递增，在上单调递减， 与在内不可能有三个交点.当时，恒成立，在上单调递增， 与在内不可能有三个交点.当时，在和上单调递增，在上单调递减，，与在内要有三个交点，则设与相切时，切点，其中，，即，.综上所述，的取值范围为.故答案为： 5．(24-25高二下·浙江宁波·期末)设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由题意可以变形为，展开得：，所以， ， 三次方程 的根 ，所以，，，由 ，代入得：因此：因为方程有三个不等实根，令， 令，得.， ，单调递增， ， ，单调递减，， ，单调递增，所以的极大值为，的极小值为，要有三个不等实根，则且，即.又是最小根则，且.所以.令，， ， 因此， 的取值范围为 ，即的取值范围为.故答案为： 6．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)（多选）若函数与的图象有且只有一个公共点，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时，可取任意实数 D．当时，的最大值为e 【答案】ACD 【详解】在同一平面直角坐标系下画出函数与的图象. 由图易知选项AC正确；当时，易知在处的切线方程为，此时函数与的图象有且只有一个公共点，且，故选项B错误；对于D选项，当时，与相切，设切点为，则，则，则，则. 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为e.另解：，即与相切时，已知求的最大值，由图象可知，与相切于点时，最大，即的最大值为e. 故选：ACD. 7．(24-25高二下·浙江温州新力量·期末)已知函数． (1)若，求的取值范围． (2)记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 【详解】（1）由题意得函数的定义域为． 当时，不等式等价于，显然满足条件； 当时，不等式等价于，即，解得． 综上，的解集为，即当的取值范围为时，成立． （2）（ⅰ）令 原题可转化为的实根个数问题（二重根为一个零点）． 当时，即为，所以至多一个实根①； 当时，即为，所以至多两个实根②． 由①知，，所以，此时①有一解； 由②知，所以即求的交点个数， 即，为椭圆的一部分，过椭圆的上顶点， 当过点时，；当过点时，； 所以当若或或时，②有一个根或两个相等的根； 若或时，②有两个根； 综上所述，当时，的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）得当时，，且三个零点分别为， 显然，所以． 易得函数在上单调递减，所以， 所以． ( 考点0 7 导数应用综合 ) 1．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)（多选）已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（   ） A． B．有且只有一个极小值，且极小值等于 C．的值域是 D．若，则恒成立 【答案】ABD 【详解】由，则，则，即，故A正确；此时，，令，得或；令，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，则时，取得极小值，故B正确；又，，所以的值域不是，故C错误；因为，则时，，而，则恒成立，故D正确.故选：ABD. 2．(24-25高二下·浙江宁波九校·期末)（多选）设且，已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不是中心对称图形 B．的图象是轴对称图形 C．是周期函数，且最小正周期为 D．存在最大值与最小值 【答案】ABD 【详解】因为，对于B选项，，故函数的图象关于直线对称，B对；对于C选项，因为， 故函数是周期函数，且为函数的一个周期，C错；对于D选项，令，，则，故函数为偶函数，故只需考虑函数在上的最大值和最小值即可.当时，，当时，，，则，所以，函数在上的最大值为，最小值为， 此时函数既有最小值，又有最大值；当时，同理可知，函数既有最小值，又有最大值. 综上所述，函数既有最小值，又有最大值，D对；对于A选项，因为，，所以，故函数的图象也关于直线对称，由B选项可知，函数的图象也关于直线对称， 当时，，，则函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，此时函数在上单调递增， 由对称性，周期性可得若曲线有对称中心，则点为其一个对称中心，但 ，故函数不是中心对称图形；当时，同理可知函数不是中心对称图形.综上所述，函数不是中心对称图形，A正确.故选：ABD. 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)（多选）设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，则，令，得到或，当或时，，当，，所以是的极大值点，是的极小值点，故A正确， 对于B，令，得到，显然不满足方程，所以，令，，则，令，得到，由，得以，且，由，得或，即的增区间为，减区间为，又，当时，， 当（从左侧）时，，当（从右侧）时，， 当时，，图象如图，，由图知，当或时，与有三个交点，即有三个零点，所以B正确， 对于C，因为，由题知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，易知在区间上单调递减，所以，即，故C错误， 对于D，因为，所以，整理得到，所以，解得，故D正确， 故选：ABD. 4．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)判断方程的解的个数． 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程. （2）解：由（1）知， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值. （3）解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值， 又由时，；时，，函数的图象如图所示， 又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数， 由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解； 当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解； 当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．   5．(24-25高二下·浙江台州·期末)已知函数，，． (1)若函数存在2个零点，求的取值范围； (2)记， ①当时，求的最小值； ②若的最小值为2，求的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，令，则， 设，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，，当时，，所以． （2）①当时，， 设，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，取到最小值2． ②， 由①知，，当且仅当取到等号， 所以，所以． 6．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围； (3)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【详解】（1）此时，从而         所以当时，当时                因此的增区间是，的减区间是 （2）得                   则在上单增                      唯一，得 当时，单减, 当时，单增， 又 得 因为关于递减，而且当时 所以，进而 （3）得             在上单增，则得恒成立 得 当时，单增；当时，单减，                    因为，则   7．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知曲线在点处的切线方程为． (1)求a，b的值； (2)求的单调区间； (3)已知，且，证明：对任意的，． 【详解】（1），则． 因为，所以，解得，． （2）． 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立，即恒成立， 故在上单调递增，无单调递减区间． （3）证明：由，可得．又，所以． 因为，，所以只需证明，，即证明，． 先证明，即，令， 则，所以在上单调递增． 只需证，，即，． 令，，则， 所以，故． 再证明，即．同理，只需证明，即． 令，，则． 令，，则，所以在上单调递增． 又因为，，则存在，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，，所以，故． 综上，对任意的，． 8．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 【详解】（1）解：因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立，所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减，所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）解：令，则， 所以在上是下凸函数，又因为， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）解：因为正实数满足，所以， 令，则， 因为，所以，所以，即 所以在上是下凸函数，所以， 即， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 9．(24-25高二下·浙江金华十校·期末)已知函数，其中. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)试比较2.8与的大小并证明. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 求导得， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）依题意，，， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，由恒成立，得恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围是. （3）由（2）知，当时，，即， 令，有，而， ， 则，两边取对数得，所以. 10．(24-25高二下·浙江嘉兴·期末)设是两个非空数集，函数的定义域为，若对任意，当时，，则称为函数． (1)设是函数，求实数的取值范围； (2)设是函数，当时，，求在上的值域； (3)设是函数，证明：是函数． 【详解】（1）依题意，若，则， 即恒成立， ，． （2）依题意，，则， 是周期为1的函数， 在上的值域等价于在上的值域． 令， 当时，， 由得，故在上单调递减. 令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减， ，在上的值域为． （3）证法1：是函数，其中， 当时，，即， 又，，即． 如果，则， 由于，故，矛盾！ ， 从而，是函数． 证法2：是函数，其中， 当时，，即， 由得， 又，，当且仅当时成立， ，是函数． 11．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 【详解】（1）由题意得，， ∴，即恒成立，∴. （2）①当时，函数与函数均在上单调递增， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在唯一零点. 当时，，，∴， 当时，，，∴， ∴当时，无零点， 综上，有且只有一个零点，且该零点. ②由①可知，且，故， ∴， 令，则. 当时，，∴在上单调递增， ∴，即得证. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $