精品解析：2026年浙江绍兴市嵊州市初中毕业生学业水平调测数学试卷（二模）

嵊州市2026年初中毕业生学业水平调测 数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数，是2026的相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数是． 2. 春晚是中国除夕夜的新民俗，更是连接全球华人的文化纽带．下列四个图标分别是2023年~2026年的春晚图标，其中是中心对称图形的图标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，不符合题意； B、该图不是中心对称图形，不符合题意； C、该图是中心对称图形，符合题意； D、该图不是中心对称图形，不符合题意， 故选：C． 3. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有羽毛球，乒乓球，花样跳绳，踢毽子这4种体育类活动供学生选择，若小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解． 【详解】解：∵总共有种等可能的选择结果，选中“乒乓球”的结果只有种， ∴根据概率公式，选中“乒乓球”的概率为． 4. 如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从几何体正前方看到的形状即可解答． 【详解】解：从该几何体正前方看到的形状是． 5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由图得到，逐项验证选项中的结论即可． 【详解】解：由实数，在数轴上的对应点的位置可知， ，，，， 则四个选项中的结论只有C正确． 6. 如图，以的顶点为圆心，以适当长度为半径作圆弧交的两边于，两点，再分别以点和点为圆心，以长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图过程可知四边形是菱形，即；再利用两直线平行、同旁内角互补即可解答． 【详解】解：由作图过程可知：， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 7. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象分别位于第一、三象限 B. 函数图象经过点 C. 当时，随的增大而减小 D. 若该函数图象有点，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，并结合逐项判断即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得． ∵ ∴A．函数图像位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，因此A选项错误； B．将代入解析式，得，因此图像不经过点，B选项错误； C．当时，随的增大而增大，因此C选项错误； D．把代入得，把代入得， ∵ ∴，故D选项正确，符合题意． 8. 如图，小州参加定向跑比赛，从地沿北偏东方向到地，再从地沿北偏西方向到地．经地后为了与的方向保持一致，则应从地跑的方向是（ ） A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 【答案】B 【解析】 【分析】结合方位角定义，由平行线的判定与性质找准相关角度的关系求解即可． 【详解】解：如图所示： ， 则，， ， ， 则， 经地后为了与的方向保持一致，则， ， 则， 应从地跑的方向是北偏东． 9. 如图，在矩形中，，，是对角线的中点，过点的直线分别与边，交于点，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，设，可得四边形是平行四边形，进而，接着通过论证可得，利用即可求解. 【详解】解：过点作于，设， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴即：， 解得：， 即：.   10. 学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在中，，为上一点（不与点，重合），连接，得到以下三个结论： ①若，则为斜边的中点． ②若，则为斜边的中点． ③若和均为等腰三角形，则为斜边的中点． 其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形性质和直角三角形内角关系以及举反例可说明②错误，再利用分类讨论证明①③正确． 【详解】解：①如图：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即为斜边中点，故①正确． ②．如图：在中，，，，，计算可得线段上存在非中点，满足，因此不一定是斜边中点，故②错误． ③．如图： ∵，在等腰三角形中钝角或直角只能是顶角，和均为等腰三角形， ∴、， 当时，即为斜边中点（①已证明），即③正确． 综上，正确结论为①③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种油菜的长势，数学兴趣小组从两种油菜中各随机抽取10株进行测量，测得两种油菜苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种油菜长势更整齐的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差是反映一组数据波动大小的量，方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性越差，长势越不整齐；方差越小，则数据的离散程度越小，稳定性越好，长势越整齐．据此即可解答． 【详解】解：两种油菜苗高的平均数相同，方差分别为，， ， 这两种油菜长势更整齐的是甲． 13. 已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可． 【详解】解：， 移项，得：， 提取公因式，因式分解得：， 或， 解得，． 14. 已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】由、两点纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，进而求得的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的图像上有两点，，两点纵坐标相等， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， 解得． 15. 如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【解析】 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 16. 已知，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，将沿翻折得到，连结，，记的面积为，的长度为，当时，的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况：点在外部、点在内部，由翻折性质、矩形的判定与性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质得到相关角度与线段关系，再表示出的面积，按题意的一元二次不等式，由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】解：当点在外部时，过点作，过点作，如图所示： 将沿翻折得到， ，，， ， 四边形是矩形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 则， 的面积， 当时，，则， 令，则抛物线开口向上，与轴交点为和， 抛物线在轴下方图象对应的的取值范围是； 当点在内部时，过点作，如图所示： 由前面的求解过程可知，，，，， ， 在中，由勾股定理可知， 的面积， 当时，，则， 令，则抛物线开口向上，与轴交点为和， ，， 抛物线在轴上方图象对应的的取值范围是； 综上所述，当时，的取值范围是或． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值，再由有理数加减运算求解即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得； 检验，当时，， 故原方程的解为：． 19. 某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整） 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为________． （2）扇形统计图中圆心角的度数为________ （3）若九年级有600名学生，估计测试成绩大于34分的学生有多少名？ 【答案】（1）60 （2） （3）名 【解析】 【分析】（1）用A组的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量； （2）先求得B组的人数，再用乘以B组所占的百分比即可解答； （3）用学生数乘以A、B两组所占的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：本次抽样的样本容量为． 【小问2详解】 解：B组学生数为：人． 所以扇形统计图中圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计测试成绩大于34分的学生有420名． 20. 小嵊和小州去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午，小嵊乘电动汽车从古刹出发，沿风景区公路（如图1）去飞瀑，同时，小州从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑．两人离开古刹的路程与行驶的时间的图像如图2所示． （1）当小嵊追上小州时，求他们与草甸相距多少千米． （2）求小州到达飞瀑时的时刻． 【答案】（1）当小嵊追上小州时，他们与草甸相距5千米 （2）小州到达飞瀑时的时刻为10时45分 【解析】 【分析】（1）先求得小嵊乘电动汽车的速度，当小嵊追上小州时，小嵊乘电动汽车的路程，进而完成解答； （2）先求得小州离开古刹的路程与行驶的时间的解析式为，将求得，再结合出发时间即可解答． 【小问1详解】 解：小嵊乘电动汽车的速度为， 当小嵊追上小州时，小嵊乘电动汽车的路程为：， 当小嵊追上小州时，他们与草甸相距． 答：当小嵊追上小州时，他们与草甸相距5千米． 【小问2详解】 解：设小州离开古刹的路程与行驶的时间的解析式为：， 把，代入得： ，所以， ∴ 当时，， ∴． 答：小州到达飞瀑时的时刻为10时45分． 21. 已知：如图，点，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先说明，再利用等边对等角以及三角形内角和公式可得，解直角三角形可得，利用勾股定理可得，最后根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 22. 【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方． 【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． （1）请完成“”中小嵊未显示的推理过程． （2）利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）当时，有最小值，求的值． （3）若，在该函数图像上，当，时，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用二次函数的性质求解即可； （2）由二次函数的性质可得当在的范围内，有最小值，然后分、两种情况求解即可； （3）分、两种情况，分别根据二次函数的性质列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（为常数且）， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：∵对称轴是直线， ∴当在的范围内，有最小值， 当时，当时，有最小值，即图象经过，代入得： ，解得：． 当时，当时，有最小值，即图象经过， 与图象经过矛盾，不存在． 综上，． 【小问3详解】 解：∵二次函数（为常数且）， ∴对称轴为直线． ①当时，抛物线开口方向向上，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵总成立，点的横坐标关于直线的对称点的横坐标是， ∴，即． ②当时，抛物线开口向下， ∵， ∴,解得：； 综上，或． 24. 如图，在中，，以为直径作交于点，是上一点，连接交于点，连接，，． （1）若，求的长． （2）若，． ①求证：． ②记和的面积分别为和，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，利用直角三角形两锐角互余可得，再利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差即可解答； （2）①设，则，，利用角的和差可得，进而得到，即；再利用等角对等边即可证明结论；②如图：连接并延长交于点．先说明是的中位线可得，．设，利用勾股定理列方程可得．证明可得，即，即；再证明可得，即；最后代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴，， ∴． 【小问2详解】 ①证明：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：如图：连接并延长交于点． ∵， ∴，． ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，． 设，则有，解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嵊州市2026年初中毕业生学业水平调测 数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3．本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数，是2026的相反数的是（ ） A. B. C. D. 2. 春晚是中国除夕夜的新民俗，更是连接全球华人的文化纽带．下列四个图标分别是2023年~2026年的春晚图标，其中是中心对称图形的图标是（ ） A. B. C. D. 3. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有羽毛球，乒乓球，花样跳绳，踢毽子这4种体育类活动供学生选择，若小嵊在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）． A. B. C. D. 5. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以的顶点为圆心，以适当长度为半径作圆弧交的两边于，两点，再分别以点和点为圆心，以长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象分别位于第一、三象限 B. 函数图象经过点 C. 当时，随的增大而减小 D. 若该函数图象有点，，则 8. 如图，小州参加定向跑比赛，从地沿北偏东方向到地，再从地沿北偏西方向到地．经地后为了与的方向保持一致，则应从地跑的方向是（ ） A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 9. 如图，在矩形中，，，是对角线的中点，过点的直线分别与边，交于点，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 学习了直角三角形中的性质定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后，小越进行了思考：在中，，为上一点（不与点，重合），连接，得到以下三个结论： ①若，则为斜边的中点． ②若，则为斜边的中点． ③若和均为等腰三角形，则为斜边的中点． 其中一定正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种油菜的长势，数学兴趣小组从两种油菜中各随机抽取10株进行测量，测得两种油菜苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种油菜长势更整齐的是________（填“甲”或“乙”）． 13. 已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 14. 已知二次函数（为常数），若其图像上有两点，，则的值是________． 15. 如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 16. 已知，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，将沿翻折得到，连结，，记的面积为，的长度为，当时，的取值范围是________． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整） 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为________． （2）扇形统计图中圆心角的度数为________ （3）若九年级有600名学生，估计测试成绩大于34分的学生有多少名？ 20. 小嵊和小州去某风景区游览，约好在飞瀑见面．上午，小嵊乘电动汽车从古刹出发，沿风景区公路（如图1）去飞瀑，同时，小州从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑．两人离开古刹的路程与行驶的时间的图像如图2所示． （1）当小嵊追上小州时，求他们与草甸相距多少千米． （2）求小州到达飞瀑时的时刻． 21. 已知：如图，点，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的值． 22. 【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方． 【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． （1）请完成“”中小嵊未显示的推理过程． （2）利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）当时，有最小值，求的值． （3）若，在该函数图像上，当，时，总有，求的取值范围． 24. 如图，在中，，以为直径作交于点，是上一点，连接交于点，连接，，． （1）若，求的长． （2）若，． ①求证：． ②记和的面积分别为和，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $