专题02 相交线与平行线期末常考知识点中的难点与压轴题（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版七年级下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线难点压轴，8大题型系统覆盖对顶角计算、平行线拐点等核心考点，通过分层典例构建从概念应用到动态探究的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01-08|4-6题/题型|涵盖静态计算、动态探究、实际应用等，突出多结论判断与动态问题|从对顶角、垂直等基础概念，到平行线性质与判定综合，再到折叠、反射等跨情境应用，形成"概念-性质-应用-拓展"递进逻辑|

专题02 相交线与平行线常考点中的难点与压轴题 题型01 对顶角、邻补角及垂直的综合计算 题型02 平行线间的拐点问题 题型03 平行线与折叠问题 题型04 平行线与光线的反射折射 题型05 实际问题中的平行线 题型06 平行线的判定与性质综合 题型07 多个结论的判断 题型08 相交线与平行线间的动态问题（动点与动角） 对顶角、邻补角及垂直的综合计算 1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD． （1）若∠AOF＝45°，求∠BOE的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数 【答案】（1）67.5°； （2）70°． 【解答】解：（1）∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∵∠AOF＝45°， ∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝45°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝135°， ∵O E平分∠BOC， ∴； （2）∵∠BOD：∠BOE＝1：4， 设∠AOC＝∠BOD＝x， ∵O E平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOE＝4x， ∴x+4x+4x＝180°， 解得x＝20°， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣20°＝70°． 2．如图，直线AB和CD交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°． （1）求∠AOC的度数； （2）求∠EOF的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠BOE＝55°，∠COE＝90°，而∠AOC+∠COE+∠BOE＝180°， ∴∠AOC＝180°﹣55°﹣90°＝35°， （2）∵∠DOE＝∠COE＝90°， ∴∠BOD＝90°﹣55°＝35°， 又∵DO平分∠BOF， ∴∠BOD＝∠DOF＝35°， ∴∠EOF＝55°+35°+35° ＝125°． 3．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝70°． （1）求∠DOF的度数； （2）OF是否平分∠AOD？请说明理由． 【答案】（1）55°； （2）OF平分∠AOD，由（1）得∠BOE＝35°，∠EOF＝90°， ∴∠AOF＝180°﹣35°﹣90°＝55°， ∴∠AOF＝∠DOF， ∴OF平分∠AOD． 【解答】解：（1）∵直线AB，CD交于点O，∠AOC＝70°， ∴∠BOD＝70°， ∵OE平分∠BOD， ∴． ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣35°＝55°； （2）由（1）得∠BOE＝35°，∠EOF＝90°， ∴∠AOF＝180°﹣35°﹣90°＝55°， ∴∠AOF＝∠DOF， ∴OF平分∠AOD． 4．直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠EOF＝54°． （1）求∠AOC的度数； （2）在∠AOD的内部作射线OG，使∠BOG＝162°，判断点O是否在直线FG上，并说明理由． 【答案】（1）72°， （2）点O在直线FG上． 【解答】（1）解：∵OE平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠BOE＝2∠DOE， ∵OF⊥CD， ∴∠DOF＝90°＝2∠BOE+∠BOF， 即2∠BOE+∠BOF＝90°， ∵∠EOF＝54°＝∠BOE+∠BOF， ∴（2∠BOE+∠BOF）﹣（∠BOE+∠BOF）＝90°﹣54°， 即∠BOE＝36°， ∴∠AOC＝∠BOD＝2∠BOE＝72°； （2）证明：点O在直线FG上，理由： 由（1）得，∠BOD＝∠AOC＝72°， ∴∠BOF＝∠DOF﹣∠DOB＝90°﹣72°＝18°， 又∵∠BOG＝162°，且OG在∠AOD的内部， ∴∠BOG+∠BOF＝162°+18°＝180°， 即点F、点O、点G三点共线， ∴点O在直线FG上． 5．直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部． （1）如图①，当∠AOD＝120°，∠EOF＝60°时，求∠AOF与∠EOD的度数和； （2）在（1）的条件下，请直接写出图中与∠BOC互补的角； （3）如图②，若射线OM平分∠AOD（OM在∠EOD内部），且满足∠EOD＝2∠FOM，请判断∠AOF与∠EOF的大小关系并说明理由． 【答案】（1）60°； （2）∠BOD、∠AOC，∠EOF； （3）∠AOF＝∠EOF，理由如下见解答： 【解答】解：（1）∵∠AOD＝120°，∠EOF＝60°， ∴∠EOD+∠AOF＝∠AOD﹣∠EOF＝120°﹣60°＝60°； （2）∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠AOC＝∠BOD， ∴∠BOC+∠BOD＝180°， ∵∠EOF＝60°，∠AOD＝∠BOC＝120°， ∴∠EOF+∠BOC＝180°， ∴与∠BOC互补的角有∠BOD、∠AOC，∠EOF（如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角）； （3）∠AOF＝∠EOF，理由如下： ∵OM平分∠AOD（已知）， ∴∠DOM＝∠AOM（角平分线的定义）， ∴∠AOF＝∠AOM﹣∠FOM ＝∠DOM﹣∠FOM ＝∠EOD﹣∠MOE﹣∠FOM ＝2∠FOM﹣∠MOE﹣∠FOM ＝∠FOM﹣∠MOE ＝∠EOF， ∴∠AOF＝∠EOF． 6．阅读理解：从∠α（90°＜α＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“分补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠BOC的“分补线“． （1）若∠AOC＝32°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝　32°　 ； （2）若OE平分∠AOD，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠BOE的平分线，OG是∠AOD的平分线，∠EOF与∠COG的数量关系：　∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG ． 【答案】（1）32°；58°； （2）∠BOD＝60°； （3）∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG． 【解答】解：（1）如图，射线OE是∠BOC 的“分补线”， ∵∠COE+∠BOC＝180°， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠COE＝∠AOC＝32°， 由条件可知∠COD＝90°， ∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝58°， 故答案为：32°； （2）如图， 由新定义可知∠COE+∠BOC＝180°， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠COE＝∠AOC， ∴∠AOE＝2∠COE， 由角平分线可知∠DOE＝∠AOE＝2∠COE， ∵∠COE+∠DOE＝90°， ∴∠COE＝30°， ∴∠AOC＝30°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°； （3）∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG； 理由：①OE在∠COD外部，即当∠BOE+∠BOC＝180°时， 由于∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOE， 由角平分线定义可知：， ， ∵， ∴； ②OE在∠COD内部，即当∠COE+∠BOC＝180°时， 由于∠AOC+∠BOC＝180°， ∴， ∵∠BOE＝180°﹣∠AOE， ∴， ∵∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣∠AOC， ∴此情况，OF、OD重合， ∴， ∴∠EOF＝2∠COG． 综上，∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG． 故答案为：∠EOF+∠COG＝45°或∠EOF＝2∠COG． 题型02 平行线间的拐点问题 7．如图，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于点G、F．若∠E＝30°，∠CFE＝125°，则∠BGE的度数为（　　） A．25° B．55° C．45° D．50° 【答案】B 【解答】解：∵∠CFE＝125°，AB∥CD， ∴∠AGF+∠CFE＝180°，即∠AGF＝180°﹣∠CFE＝180°﹣125°＝55°， ∵∠BGE＝∠AGF， ∴若∠E＝30°，∠CFE＝125°，则∠BGE＝55°． 故选：B． 8．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 【答案】C 【解答】解：作EF∥AB． ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠BAE+∠FEA＝180°，∠C＝∠FEC＝γ， ∴α+（β﹣γ）＝180°， 故选：C． 9．如图，已知AB∥CD，点G在射线BA的上方且满足∠EBG：∠ABG＝2：3，点H在射线BG的反向延长线上，满足∠DCH：∠FCH＝3：2，若∠E＝α，则∠F与∠H的数量关系是（　　） A．∠F＝∠H B．5∠H﹣3∠F＝3α C．3∠F﹣2∠H＝α D．2∠F+3∠H＝360°+α 【答案】B 【解答】解：延长AB交FE于点M，过点F作AB的平行线，交HG于点N，过点H作DC的平行线，交FC于点O． 设∠ABG＝3β，则∠EBG＝2β， 设∠DCH＝3γ，则∠FCH＝2γ． 根据题意AM∥FN∥HO∥CD， ∵∠EMB＝∠ABE﹣∠E＝5β﹣α， ∴∠EFN＝∠EMB＝5β﹣α（两直线平行，同位角相等）． 同理，根据平行线的性质，可得∠CFN＝5γ，∠BHO＝3β，∠CHO＝3γ． ∴∠EFC＝∠EFN+∠CFN＝5（β+γ）﹣α，∠BHC＝∠BHO+∠CHO＝3（β+γ）． ∴3∠EFC＝15（β+γ）﹣3α，5∠BHC＝15（β+γ）． ∴5∠BHC﹣3∠EFC＝3α． ∴5∠H﹣3∠F＝3α． 故选：B． 10．已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，如图，点H是直线AB与CD外一点，连接HE、HF．若∠EHF＝120°，∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ，点P、H、Q在同一直线上，若∠Q﹣∠P＝50°，则n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：过点P作PK∥AB，过点H作HL∥AB，过点Q作QR∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PK∥HL∥QR（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∵∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ 设∠PEH＝α，∠HFQ＝β，则∠BEH＝nα，∠CFH＝nβ， ∵PK∥QR， ∴∠KPQ＝∠RQP（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥PK， ∴∠BEP＝∠KPE＝（n﹣1）α（两直线平行，内错角相等）， ∵QR∥CD， ∴∠CFQ＝∠RQF＝（n﹣1）β（两直线平行，内错角相等）， ∵∠PQF＝∠RQP+∠RQF，∠EPQ＝∠EPK+∠QPK， ∴∠PQF﹣∠EPQ＝∠RQF﹣∠EPK＝（n﹣1）（β﹣α）， ∵AB∥HL∥CD， ∴∠EHL＝∠BEH，∠LHF＝∠HFD， ∵∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝120°， ∴∠BEH+∠HFD＝120°， 即nα+180°﹣nβ＝120°， ∴， ∴，即n（∠Q﹣∠P）＝（n﹣1）60°． ∵∠Q﹣∠P＝50°， ∴50°n＝（n﹣1）60°， 解得n＝6， 故选：D． 11．如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α 【答案】D 【解答】解：由题知， ∵∠ABF＝β，， ∴∠CBFβ． ∵∠BFC＝α， ∴∠BCE＝∠CBF+∠BFC． ∵射线CE平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠BCE＝2α+β． ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD， 则， 整理得，β＝4α． 故选：D． 12．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 【答案】B 【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝α， ∴x+y36°α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 故选：B． 题型03 平行线与折叠问题 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵∠B＝50°，CE∥AB， ∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， 由折叠可知，∠BCD＝∠ECD65°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝25°． 故选：C． 14．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，ED'的延长线交BC于点G，若∠BGE＝α，则∠EFC＝（　　）（用α的代数式表示） A．180°﹣α B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEG＝∠BGE＝α． 由折叠可知， ∠DEF∠DEG． ∵AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝180°． 故选：D． 15．现有一张长方形彩带，将其沿BC折叠成如图所示图形，若∠1＝122°，则∠2的度数为（　　） A．56° B．58° C．64° D．66° 【答案】B 【解答】解：如图所示， 因为长方形的对边平行， 所以∠3+∠1＝180°． 因为∠1＝122°， 所以∠3＝58°． 由折叠可知， ∠2＝∠3＝58°． 故选：B． 16．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠1＝∠AEF， 由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′， ∵∠1＝2∠2， ∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠2， ∵∠AEF+∠FEA′+∠2＝180°， ∴2∠2+2∠2+∠2＝180°， 解得∠2＝36°． ∴∠AEF＝72°． 故选：C． 17．如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，EM与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠AEG的度数为（　　） A．100° B．80° C．90° D．110° 【答案】B 【解答】解：∵长方形ABCD沿EF折叠后，∠EFG＝50°（折叠的性质）， ∴AC∥BD， ∴∠CEF＝∠EFG＝50°（两直线平行，内错角相等）， 由折叠可知，∠GEF＝∠CEF＝50°， ∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠CEF＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 则∠AEG的度数为80°， 故选：B． 题型04 平行线与光线的反射折射 18．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB经反射以后分别沿着与EF所在直线平行的方向射出，若∠CAP＝55°，∠APB＝100°，则∠DBP的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．无法确定 【答案】A 【解答】解：如图所示， 由题意得AC∥EF∥BD， ∴∠3＝∠4，∠1＝∠2， ∴∠2+∠3＝∠1+∠4＝∠APB＝100°， ∴∠4＝∠DBP＝∠APB﹣∠CAP＝100°﹣55°＝45°， 故选：A． 19．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝140°，∠CDF＝160°，则∠BGD的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】A 【解答】解：∵AB∥PQ， ∴∠ABE+∠BGP＝180°， ∵∠ABE＝140°， ∴∠BGP＝180°﹣140°＝40°， ∵CD∥PQ， ∴∠CDF+∠DGP＝180°， ∵∠CDF＝160°， ∴∠DGP＝180°﹣160°＝20°， ∴∠BGD＝∠BGP+∠DGP＝40°+20°＝60°， 故选：A． 20．如图，MN、EF分别表示两个互相平行的镜面．一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线BC经镜面EF反射后，形成光线CD．若∠1＝∠2＝48°，则∠BCD的度数为（　　） A．96° B．94° C．86° D．84° 【答案】D 【解答】解：由题知， ∵MN∥EF，∠2＝48°， ∴∠BCE＝∠2＝48°， ∴∠BCD＝180°﹣2∠BCE＝180°﹣2×48°＝84°． 故选：D． 21．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行，若∠ABM＝α，则∠DCN＝（　　） A．α B．90°﹣α C．2α D．180°﹣2α 【答案】B 【解答】解：由平面镜反射光线的规律和∠ABM＝α，可得∠ABM＝α＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN， ∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠CBO＝180°﹣2α， ∵反射光线CD与AB平行， ∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BCO+∠DCN＝180°﹣∠BCD＝180°﹣2α， ∴， 则∠DCN的度数为90°﹣α， 故选：B． 22．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O′A′水平射出，且OA∥O′A′，已知入射波AO与法线的夹角∠1＝25°，则∠A′O′F的度数为（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【解答】解：如图所示， ∵∠1＝25°， ∴∠AOF＝2∠1＝50°． ∵EG⊥OA， ∴∠OFN＝90°﹣∠AOF＝40°， ∴∠O′FM＝∠OFN＝40°． ∵EG⊥O′A′， ∴∠A′O′F＝90°﹣∠O′FM＝50°． 故选：B． 题型05 实际问题中的平行线 23．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段CD，BE，AB分别为前叉、下管和立管（点E在CD上），BF为后下叉．已知AB∥CD，AC∥BF，∠BED＝53°，∠FBE＝126°，则∠BAC的度数为（　　） A．53° B．54° C．73° D．74° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD，∠BED＝53°， ∴∠BED＝∠ABE＝53°（两直线平行，内错角相等）， ∵AC∥BF， ∴∠CAB＝∠FBA＝∠FBE﹣∠ABE＝126°﹣53°＝73°， 故选：C． 24．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　） A．150° B．155° C．130° D．80° 【答案】C 【解答】解：延长EF与直线AB交于点M， ∵CG∥EF，∠AGC＝80°， ∴∠AFE＝∠AGC＝80°， ∴∠AFM＝180°﹣∠AFE＝100°． ∵∠BAG＝150°， ∴∠AMF＝150°﹣100°＝50°． ∵AB∥CD， ∴∠DEF+∠AMF＝180°， ∴∠DEF＝180°﹣50°＝130°． 故选：C． 25．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF＝130°，∠DCF＝120°，则∠EFC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【解答】解：过点F作AB的平行线，交BE的延长线于点M， ∵AB∥FM，AB∥CD， ∴∠B+∠BMF＝180°，MF∥CD． ∵AB⊥BE， ∴∠B＝90°， ∴∠BMF＝180°﹣90°＝90°． ∵∠BEF＝130°， ∴∠MFE＝130°﹣90°＝40°． ∵MF∥CD， ∴∠MFC+∠DCF＝180°． ∵∠DCF＝120°， ∴∠MFC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠EFC＝∠MFE+∠MFC＝40°+60°＝100°． 故选：A． 26．机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠CDE＝145°，此时∠BED的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【答案】C 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， ∵∠ABE＝125°， ∴∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣125°＝55°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∵∠CDE＝145°， ∴∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣145°＝35°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝55°+35°＝90°． 故选：C． 题型06 平行线的判定与性质综合 27．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）求证：EH∥AD； （2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）34°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B， ∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠BAD+∠3＝180°， ∴EH∥AD； （2）解：∵EH∥AD， ∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2＝∠BAD， ∴∠H＝∠BAD，（等量代换） ∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°， ∵∠H﹣∠4＝10°， ∴2∠4+10°＝58°， ∴∠4＝24°， ∴∠H＝34°． 28．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C． （1）求证：DE∥BC； （2）若BE平分∠ABC，∠1＝110°，∠3＝40°，求∠ADE的度数． 【答案】（1）见解答； （2）60°． 【解答】（1）证明：∵∠2+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠DFE＝∠1， ∴AC∥DF， ∴∠AED＝∠3， ∵∠3＝∠C， ∴∠C＝∠AED， ∴DE∥BC； （2）解：∵∠3＝40°，∠3＝∠C， ∴∠C＝40°， ∵∠1＝110°， ∴∠CBE＝180°﹣∠1﹣∠C＝180°﹣110°﹣40°＝30°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBE＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝60°． 29．如图，点H、G分别在直线AB、EF上，点C、D在AB与EF之间，射线CM交AB于点M，连接CD、DG、GH．已知∠1＝∠C，∠D+∠2＝180°． （1）求证：AB∥EF； （2）若GH∥CM，∠1＝∠2＝55°，求∠DGH的度数． 【答案】（1）见解答； （2）70°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠C， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠D+∠2＝180°， ∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）， ∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线相互平行）； （2）解：∵GH∥CM，∠1＝∠2＝55°， ∴∠MHG＝∠1＝55°（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥EF， ∴∠MHG+∠EGH＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠EGH＝180°﹣55°＝125°， ∴∠DGH＝∠EGH﹣∠2＝70°． 30．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换）， ∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°， ∴∠BDC＝64°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC∠BDC＝32°（角平分线定义）， ∴∠2＝∠ADC＝32°（已证）， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°（垂直定义）， ∵AD∥CE（已证）， ∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°． 31．如图，已知在三角形ABC中，点D、E分别在AB，AC上，DE∥BC，连结DC，点F在DC上，∠DEF＝∠B． （1）求证：EF∥AB； （2）若DE平分∠ADC，∠BDC＝3∠B，求∠EFC的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）∠EFC的度数为72°． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE， ∵∠DEF＝∠B， ∴∠ADE＝∠DEF， ∴AB∥EF； （2）解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADC＝2∠ADE， ∵∠ADE＝∠B， ∴∠ADC＝2∠B， ∵∠BDC＝3∠B，∠ADC+∠BDC＝180°， ∴2∠B+3∠B＝180°， ∴∠B＝36°， ∴∠ADC＝2∠B＝72°， ∵AB∥EF， ∴∠ADC＝∠EFC＝72°， ∴∠EFC的度数为72°． 32．如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥DC； （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）148°． 【解答】（1）证明：∵DH∥AC， ∴∠DCF＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠DCF+∠2＝180°， ∴EF∥DC； （2）解：∵DH∥AC， ∴∠BHD＝∠ACB， ∵∠BHD＝64°， ∴∠ACB＝64°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝32°， ∵EF∥DC， ∴∠ACD+∠2＝180°， ∴∠2＝148°． 题型07 多个结论的判断 33．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③若∠1＝45°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， 故①正确； ∵∠CAD+∠2＝∠1+∠2+∠3+∠2＝90°+90°＝180°， 故②正确； ∵∠1＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴BC∥AD． 故③正确； ∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠E＝60°， ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C， 故④正确． 故选：D． 34．将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中∠CAB＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°，给出下列结论： ①若∠2＝30°，则AC∥DE； ②若BC∥AD，则∠2＝30°； ③∠BAE+∠CAD＝180°； ④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：若∠2＝30°，则∠1＝60°， ∴∠CAD＝60°+90°＝150°， ∵∠D＝30°， ∴∠CAD+∠D＝180°， ∴AC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）；故①正确； 若BC∥AD，则∠3＝∠B＝45°（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2＝∠DAE﹣∠3＝45°，故②错误； ∵∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠1+∠2+∠2+∠3＝180°， 即（∠1+∠2+∠3）+∠2＝180°， ∴∠BAE+∠CAD＝180°，故③正确； 若∠CAD＝150°，由③得∠BAE＝30°， 由①得：AC∥DE， ∴∠4＝∠C（两直线平行，同位角相等），故④正确； 即正确的结论有3个． 故选：C． 35．如图，在四边形ABDC中，AB∥CD，点E在CA的延长线上，连接DE交AB于点F，∠EFA＝55°，点P、Q在CD上，连接FP、FQ，已知∠PFD＝10°，∠FQP＝∠QFP，∠BDE＝∠AEF，下列结论：①∠FEA与∠ECD互为同位角；②CE∥BD；③FQ平分∠AFP；④∠FQD＝50°．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 【答案】A 【解答】解：①∠FEA与∠ECD互为同旁内角，故①错误； ②∵∠BDE＝∠AEF， ∴CE∥BD，故②正确； ③∵AB∥CD， ∴∠FQP＝∠AFQ， ∵∠FQP＝∠QFP， ∴∠AFQ＝∠QFP， ∴FQ平分∠AFP，故③正确； ④∵∠EFA＝55°，∠PFD＝10°， ∴AFP＝180°﹣∠EFA﹣∠PFD＝115°， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有②③， 故选：A． 36．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在直线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB＝110°．则下列结论： ①∠MAB＝∠BAD； ②∠ABM＝∠BAM； ③∠NBC＝∠BDH； ④设∠CBM＝α，则； ⑤∠DBA＝55°． 其中，正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【解答】解：∵AB平分∠DAC， ∴∠MAB＝∠BAD；故①正确； ∵EF∥GH， ∴∠ABM＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ABM＝∠BAM；故②正确； ∵EF∥GH， ∴∠NBF＝∠BDH， ∵BN平分∠FBC， ∴∠NBC＝∠NBF， ∴∠NBC＝∠BDH；故③正确； ∵∠ACB＝110°，∠CBM＝α， ∴∠CMB＝180﹣110°﹣α＝70°﹣α， ∵EF∥GH， ∴∠CAD＝∠CMB＝70°﹣α（两直线平行，同位角相等）， ∵AB平分∠DAC， ∴；故④错误； 设∠CBM＝α，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴∠DBA＝180°﹣∠ABN＝55°；故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤．所以只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 37．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②FD平分∠HFB；③2∠D+∠EHC＝90°；④FH平分∠GFD．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【解答】解：∵FG⊥EH， ∴∠FGE＝90°， 又∵FD∥EH， ∴∠GFD＝180°﹣∠FGE＝90°， ∴FG⊥FD， ∴∠AFG+∠BFD＝180°﹣90°＝90°， ∴2∠D+∠BFD＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠BFD， ∴2∠D+∠D＝90°， 解得∠D＝30°，则结论①正确； ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，则结论③正确； ∵∠D＝30°， ∴∠BFD＝∠D＝30°，∠GFD＝90°， 但∠HFD不一定等于30°，也不一定等于45°， 所以FD平分∠HFB，FH平分∠GFD都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③， 故选：B． 38．如图，AB⊥BC，DE平分∠ADC交BC于点E，AE⊥DE，AB∥CD，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①∠1+∠2＝90°；②∠AEB+∠ADC＝180°；③∠DAE＝∠1；④∠F＝135°．其中结论正确的有（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴∠1+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠C+∠B＝180°， ∴∠C＝90°， ∴∠2+∠DEC＝90°， ∴∠AEB＝∠2， ∴∠1+∠2＝90°， 故①正确； ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠2， ∴∠ADE＝∠2＝∠AEB， ∵AB∥CD， ∵∠BAD+∠ADC＝180°， ∠BAD与AEB推不出相等， 故②错误； ∵∠AED＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∵∠ADE＝∠2， ∴∠DAE+∠2＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠DAE＝∠1， 故③正确； ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠MAF＝∠EAF＝∠1+∠FAD，∠NDF＝∠EDF＝∠2+∠FDA， ∵∠1+∠MAE+∠2+∠NDE＝360°， ∴∠1+2（∠1+∠FAD）+∠2+2（∠2+∠FDA）＝360°， ∴3（∠1+∠2）+2（∠FAD+∠FDA）＝360°， ∴∠FAD+∠FDA＝45°， ∴∠F＝180°﹣45°＝135°， 故④正确； 故选：A． 39．如图，AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点E、F，FM平分∠CFE交直线AB于点M，FN平分∠DFE交直线AB于点N．给出下面四个结论：①∠CFE＝∠BEF；②MF⊥NF；③∠CFM+∠BNF＝180°；④∠CFE+2∠ENF＝180°；上述结论中，正确结论的序号有　①②④　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠CFE＝∠BEF，故①正确； ∵FM平分∠CFE，FN平分∠DFE， ∴∠CFM＝∠MFE∠CFE，∠EFN＝∠DFN∠EFD， ∴∠MFE+∠EFN（∠CFE+∠EFD）90°， 即∠MFN＝90°，故②正确； ∵∠BNF+∠ENF＝180°， 由AB∥CD， ∴∠CFM＝∠EMF， ∵∠EMF不一定等于∠ENF， 故∠CFM+∠BNF＝180°不一定成立，故③错误； ∵AB∥CD， ∴∠ENF＝∠NFD，∠CFE＝∠NEF， 又∵∠EFN＝∠NFD， ∴∠ENF＝∠EFN， ∴∠NEF＝180°﹣2∠ENF， ∴∠CFE+2∠ENF＝180°，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 40．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是　①②④　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴结论①正确； 过点H作HQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥HQ∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠GHQ＝∠HGC（两直线平行，内错角相等），∠EHQ＝∠AEH＝∠NEB， 设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y， ∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠NEB+∠HGC＝x+y， ∴∠FEN+∠FGH＝2（x+y）＝2∠EHG， ∴结论②正确； ∵∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG， ∴∠EFM＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣2y）＝3x+3y﹣180°， ∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°， ∴结论③错误； 3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°， ∴结论④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 题型08 相交线与平行线间的动态问题（动点与动角） 41．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE∠EOC （1）求∠AOE的度数； （2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF． ①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数； ②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠AOE∠EOC，即∠AOE：∠EOC＝2：3． ∴设∠AOE＝2x，则∠EOC＝3x， ∴∠AOC＝5x， ∵∠AOC＝∠BOD＝75°， ∴5x＝75°， 解得：x＝15°， 则2x＝30°， ∴∠AOE＝30°； （2）①∵∠AOE＝30°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°， ∵OF平分∠BOE， ∴∠BOF＝75°， ∵∠BOD＝75°， ∴∠DOF＝75°+75°＝150°； ②分两种情况： 当OF在∠BOC的内部时，如图2， ∵∠AOF＝120°，∠AOE＝30°， ∴α＝∠EOF＝120°﹣30°＝90°， 当OF在∠BOD的内部时，如图3， ∴α＝360°﹣∠AOF﹣∠AOE＝360°﹣120°﹣30°＝210°， 综上所述，α的度数为90°或210°． 42．如图1，直线AB和CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O，OF平分∠AOE． （1）若∠BOD：∠BOC＝2：7． ①求∠BOD的度数； ②求∠COF的度数； （2）如图2，将直线CD绕着点O旋转，OC始终在OA的上方当∠AOC为锐角时，在∠AOC的内部作射线OM，使得射线OM平分∠AOC．判断∠FOM的度数是否发生变化？如果不变，求出∠FOM的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）①40°；②25°； （2）∠FOM的度数不变，∠FOM＝45°． 【解答】解：（1）①∵∠BOD：∠BOC＝2：7，且∠BOD+∠BOC＝180°， ∴； ②∵∠BOD＝40°，EO⊥CD， ∴∠DOE＝∠COE＝90°， ∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝50°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝130°， ∵OF 平分∠AOE， ∴， ∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝90°﹣65°＝25°； （2）∠FOM的度数不变，∠FOM＝45°，理由如下： 设∠AOC＝α（α＜90°）， ∵OM平分∠AOC， ∴， ∵∠COE＝90°， ∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝90°+α， ∵OF 平分∠AOE， ∴， ∴∠FOM＝∠AOF﹣∠AOM＝45°αα＝45°． 43．综合与实践 问题情境：将一副三角尺OAB（∠A＝60°，∠B＝30°，∠AOB＝90°）和OCD（∠C＝∠D＝45°，∠COD＝90°）按如图1所示的方式摆放，使得直角顶点O重合，OC在OB上． 初步感知：（1）如图2，将三角尺OCD绕点O逆时针旋转一定的角度，使得OC∥AB，则∠BOC的度数是　30°　 ． 深入探究：（2）如图3，在（1）的基础上继续旋转三角尺OCD，使得CD∥OB，求∠AOD的度数． 拓展延伸：（3）如图4，在（2）的基础上继续旋转三角尺OCD，使得∠BOC＝75°（OC在OB上方），试判断CD与AB的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）30°； （2）135°； （3）CD∥AB，理由间解答． 【解答】解：（1）∵OC∥AB， ∴∠BOC＝∠B＝30°（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：30°； （2）∵CD∥OB， ∴∠BOC＝∠C＝45°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AOD＝360°﹣∠COD﹣∠BOC﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣45°﹣90°＝135°； （3）CD∥AB，理由如下： 如图，连接BC， 根据题意得，∠OCD+∠OBA＝45°+30°＝75°， ∵∠BOC＝75°， ∴∠BOC＝∠OCD+∠OBA， ∴∠OCD+∠OBA+∠OCB+∠OBC＝∠BOC+∠OCB+∠OBC＝180°， 即∠BCD+∠ABC＝180°， ∴CD∥AB． 44．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝ 　60　 °； （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1， ∴∠BAN＝180°60°， 故答案为：60； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜t＜90时，如图1， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD＝∠BDA， ∵AC∥BD， ∴∠CAM＝∠BDA， ∴∠CAM＝∠PBD ∴2t＝1•（30+t）， 解得 t＝30； ②当90＜t＜150时，如图2， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD+∠BDA＝180°， ∵AC∥BD， ∴∠CAN＝∠BDA ∴∠PBD+∠CAN＝180° ∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180， 解得 t＝110， 综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行； （3）∠BAC和∠BCD关系不会变化． 理由：设灯A射线转动时间为t秒， ∵∠CAN＝180°﹣2t， ∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°， 又∵∠ABC＝120°﹣t， ∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°， ∴∠BAC：∠BCD＝2：1， 即∠BAC＝2∠BCD， ∴∠BAC和∠BCD关系不会变化． 45．【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起，∠1＝70°，∠2＝100° 【实践操作】 （1）木棒a、c固定不动，木棒b沿顺时针方向至少旋转　30　 °，使得b∥a（如图②）； （2）如图③，当木棒a∥b时，将一个三角板ABC放在a与b之间（其中∠A＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°），并使直角顶点C在直线b上，顶点B在直线a上，现测得∠DBA＝8°，请你求出∠ACE的度数； （3）现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒6°和每秒18°，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得a∥b，请你直接写出是在第几秒． 【答案】（1）30； （2）37°； （3）在旋转的过程中，存在某一时刻使得a∥b，t的值为2.5s或17.5s． 【解答】解：（1）如图， ∵∠1＝70°，a∥b， ∴∠3＝∠1＝70°， ∴木棒a、c固定不动，木棒b沿顺时针方向至少旋转100°﹣70°＝30°，使得b∥a， 故答案为：30； （2）如图，过A作AQ∥BD， ∵CE∥BD， ∴BD∥AQ∥CE， ∴∠ABD＝∠BAQ，∠QAC＝∠ACE， ∵∠DBA＝8°，∠BAC＝45°， ∴∠BAQ＝∠DBA＝8°，∠CAQ＝45°﹣8°＝37°， ∴∠ACE＝∠QAC＝37°． （3）如图，∠1＝70°，∠2＝100°， 由题意可得：∠4＝18t﹣180°﹣∠2＝（18t﹣280）°，∠3＝6t°﹣∠1＝（6t﹣70）°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠4， ∴6t﹣70＝18t﹣280， 解得：t＝17.5， 如图，设旋转的时间为ts，则最长旋转时间为， 由题意可得：∠5＝6t°，∠6＝18t°， ∴∠3＝（70﹣6t）°，∠4＝（100﹣18t）°， ∵a∥b， ∴∠3＝∠4， ∴70﹣6t＝100﹣18t， 解得：t＝2.5， 综上：在旋转的过程中，存在某一时刻使得a∥b，t的值为2.5s或17.5s． 46．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为　25°　 ； （2）如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由； （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE＞FA，若三角板ABC绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转的过程中，当三角板的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数． 【答案】（1）25°； （2）DE平分∠MDF．理由见解答； （3）∠DFA的度数为60°或90°或120°或150°． 【解答】解：（1）∵MN∥PQ，∠BAQ＝25°， ∴∠BDN＝∠BAQ＝25°（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：25°； （2）DE平分∠MDF，理由如下： ∵FE平分∠DFP，∠DFE＝60°， ∴∠DFP＝2∠DFE＝120°， ∵MN∥PQ， ∴∠NDF＝∠DFP＝120°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EDF＝30°， ∴∠MDE＝180°﹣∠EDF﹣∠NDF， ∴∠MDE＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴∠MDE＝∠EDF， 即DE平分∠MDF． （3）根据题意，分四种情况： ①如图1，当AB∥DF时， ∠DFA＝180°﹣∠A＝90°； ②如图2，当AB∥DE时， ∠DFA＝180°﹣∠DFE＝120°； ③如图3，当AB∥FE时， ∠DFA＝∠DFE+∠EFA＝150°； ④如图4，当AB∥DE时， ∠DFA＝60°． 综上所述，∠DFA的度数为60°或90°或120°或150°． 47．将2块直角三角板（△ABC和△CDE）按如图1所示的方式摆放，点E在AC上，∠DCE＝45°，∠A＝30°，∠CED＝∠ACB＝90°，∠BCD的平分线交AB所在直线于点F． （1）∠ACF的度数是　22.5　 °； （2）将△CDE绕点C旋转，∠ACE的平分线交AB所在直线于点G． ①如图2，若△CDE绕点C从图1位置逆时针旋转α度（α＜45），当AB∥CD时，求∠FCG的度数； ②如图3，若△CDE绕点C从图1位置顺时针旋转α度（α＜45），在旋转过程中，∠FCG的度数是否发生变化，如果不变，请求出∠FCG的度数，如果发生变化，请说明理由． 【答案】（1）22.5°； （2）①22.5°；②22.5°，不变．理由如下见解答°． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，点E在AC上， ∴∠BCD＝∠ACB+∠DCE＝135°， 由条件可知， ∴∠ACF＝∠DCF﹣∠DCE＝22.5°． ∴∠ACF的度数是22.5°． 故答案为：22.5； （2）①如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°， 当AB∥CD时，∠BCD＝180°﹣∠B＝120°， 由条件可知， ∵∠ACD＝∠A＝30°， ∴∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝15°， 由条件可知， ∴∠DCG＝∠ACD+∠ACG＝37.5°， ∴∠FCG＝∠DCF﹣∠DCG＝22.5°； ②∠FCG＝∠DCF﹣∠DCG＝22.5°．不变．理由： 设∠ACE＝α，则， ∴； ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACE+∠DCE＝135°+α，CF平分∠BCD， ∴， ∴∠FCG＝∠DCF﹣∠DCG＝22.5°． 48．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD，钝角∠AOD的“割补线”记为OE． （1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数； （2）若OE恰好平分∠AOC，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系． 【答案】（1）50°或10°； （2）30°； （3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°． 【解答】解：（1）①如图，当OE在∠COD内部时， ∵射线OE是∠AOD的“割补线”， ∴∠DOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD＝40°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠COE＝90°﹣40°＝50°； ②如图，当OE在∠COD外部时， ∵射线OE是∠AOD的“割补线”， ∴∠AOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOE＝∠BOD＝40°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠COE＝180﹣90°﹣40°40＝10°； 综上，∠COE的度数为50°或10°； （2）若OE恰好平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE＝∠BOD， ∴∠BOD＝×（180°﹣90°）＝30°； （3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°，理由如下： ①如图，∠AOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOE＝∠BOD， ∵OF是∠AOE的平分线， ∴∠EOF∠AOE∠BOD， ∴OG是∠BOC的平分线， ∴∠BOG∠BOC（90°+∠BOD）＝45°∠BOD， ∴∠DOG＝∠BOG﹣∠BOD＝45°∠BOD， ∴∠EOF+∠DOG＝45°； ②如图，∠DOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD， ∴∠DOG∠BOC﹣∠BOD （90°+∠BOD）﹣∠BOD ＝45°∠BOD， ∠EOF＝∠AOE（180°﹣2∠BOD）＝90°﹣∠BOD， ∴∠EOF＝2∠DOG， 综上所述∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°． 49．如图，在直角三角尺EFG中，∠GEF＝30°，∠G＝90°，过点E，F分别作直线AB，CD，使AB∥CD． （1）如图1，若∠DFG＝2∠BEG，求∠DFG的度数； （2）如图2，在∠BEG的平分线EQ上取一点Q，连接FQ，若∠Q＝45°，求证：FQ平分∠GFD； （3）如图3，作∠AEF的平分线交CD于点M，点P是角平分线上位于直线CD下方的动点，点H是射线FC上的动点（不与点M重合），请直接写出∠BEG，∠EPH与∠PHC之间的数量关系． 【答案】（1）∠DFG＝60°； （2）见解答； （3）或． 【解答】（1）解：设∠BEG＝α，则∠DFG＝2α，作GL∥AB， ∴∠BEG＝∠1， ∵AB∥CD， ∴GL∥CD， ∴∠DFG＝∠2， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠BEG+∠DFG＝∠1+∠2＝90°，即α+2α＝90°， 解得α＝30°， ∴∠DFG＝2α＝60°； （2）证明：作QK∥AB， ∵AB∥CD， ∴QK∥CD， ∴∠BEQ＝∠EQK，∠DFQ＝∠FQK， ∵∠EQF＝45°， ∴∠BEQ+∠DFQ＝45°，即∠DFQ＝45°﹣∠BEQ， 由（1）知∠BEG+∠DFG＝90°， ∴∠QEG+∠GFQ＝90°﹣45°＝45°，即∠GFQ＝45°﹣∠QEG， ∵EQ是∠BEG的平分线， ∴∠QEG＝∠BEQ， ∴∠GFQ＝45°﹣∠BEQ， ∴∠GFQ＝∠DFQ， ∴FQ平分∠GFD； （3）解：∵∠GEF＝30°， ∴∠AEF＝180°﹣30°﹣∠BEG＝150°﹣∠BEG， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴， ∵AB∥CD， ∴， 当点H在线段FM上时，作PN∥AC， ∴，∠PHC＝∠HPN， ∴∠MPN＝∠EPH+∠HPN，即， ∴； 当点H在射线MC上时，作PN∥AC， ∴，∠PHC＝∠HPN， ∴∠HPN＝∠EPH+∠MPN，即， ∴； 综上，或． 50．【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P． 探究（1）初步观察与推理． 用量角器测量∠EPF和∠PEF的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算． 若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． 探究（3）动点角度的分析． 点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若测∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 【答案】（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下见解答； （2）72°； （3）65°或20°． 【解答】解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下： ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠PEA＝∠PEF， ∵AB∥CD， ∴∠PEA＝∠EPF， ∴∠EPF＝∠PEF； （2）设∠EPF＝α， ∴∠FHG＝3∠EPF＝3α， 由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α， ∴∠AEF＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠EFD＝∠AEF＝2α， ∵EF∥GH， ∴∠EFH+∠FHG＝180°即2α+3α＝180°， ∴α＝36°． ∴∠EFD＝2α＝72°； （3）设∠EQF＝β，∠PEQ﹣∠EQF＝50°， ∴∠PEQ＝50°+β． ∵点Q为射线GH上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段GH上时，如图1所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH． ∴． ∵EP是∠AEF的平分线， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∴∠1＝∠2， ∴PE∥FQ， ∴∠PEQ+∠EQF＝180°，即50°+β+β＝180°， ∴β＝65°，即∠EQF＝β＝65°； ②当点Q在线段GH的延长线上时， 过点Q作QR∥CD交EF于R， 如图2所示： ∵EF∥GH， ∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH， ∵∠QFH＝∠FQH， ∴∠1＝∠QFH＝∠3， ∴∠RFH＝2∠1＝2∠3， ∵∠RFH＝∠PFE， ∴∠PFE＝2∠3， ∵EP是∠AEF的平分线， ∴∠AEF＝2∠2， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE＝180°， ∴2∠3+2∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝90°， ∵AB∥CD，QR∥CD， ∴AB∥QR， ∴∠AEQ+∠EQR＝180°，即∠2+50°+β+∠3+β＝180°， ∴β＝20°， ∴∠EQF＝β＝20°， 综上所述：∠EQF 的度数为65°或20°． 51．问题情境：如图1，AB∥CD，∠OCD＝110°，∠OBA＝140°，求∠BOC度数． 小彬的思路是：过O作OE∥AB，通过平行线性质来求∠BOC． （1）按小彬的思路，求∠BOC的度数； （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点E在射线OF上运动，记∠ABE＝α，∠CDE＝β，当点E在A，C两点之间运动时，问∠BED与α，β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出∠BED与α，β之间的数量关系． 【答案】（1）110°； （2）∠BED＝α+β，理由如下见解答； （3）∠BED＝β﹣α或∠BED＝α﹣β． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，OE∥AB， ∴OE∥AB∥CD， ∴∠OBA+∠BOE＝180°，∠OCD+∠COE＝180°， ∵∠OCD＝110°，∠OBA＝140°， ∴∠BOE＝40°，∠COE＝70°， ∴∠BOC＝∠COE+∠BOE＝110°； （2）∠BED＝α+β，理由如下： 如图1，过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EM， ∴∠DEM＝∠CDE＝β，∠BEM＝∠ABE＝α， ∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝α+β； （3）如图2所示，当E在CA延长线上时，过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB∥CD， ∴∠DEM＝∠CDE＝β，∠BEM＝∠ABE＝α， ∴∠BED＝∠DEM﹣∠BEM＝β﹣α； 如图3所示，当E在AC延长线上时，过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB∥CD， ∴∠DEM＝∠CDE＝β，∠BEM＝∠ABE＝α， ∴∠BED＝∠BEM﹣∠DEM＝α﹣β； 综上所述，∠BED与α，β之间的数量关系为∠BED＝β﹣α或∠BED＝α﹣β． 52．已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，∠AGE+∠DHE＝180°． （1）如图1，求证：AB∥CD； （2）如图1，射线HP与直线AB相交于点P，∠PHD＝50°，点M为射线HP上的动点，连接MG，当∠BGM＝30°时，求∠GMH的度数； （3）如图2，点O在直线AB、CD之间，且在直线EF的右侧，GK平分∠BGO，HQ平分∠CHO，过点H作HN∥GK，N，Q在直线EF的同侧，试用等式表示∠GOH与∠QHN之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解答； （2）80°或20°； （3）∠GOH＝180°﹣2∠QHN． 【解答】（1）证明：∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGH， ∴∠BGH+∠DHE＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：如图所示，分两种情况：当∠BGM1＝30°时， ∵AB∥CD，∠PHD＝50°， ∴∠GPH＝∠PHD＝50°， ∴∠GM1P＝180°﹣∠PGM1﹣∠GPM1＝100°， ∴∠GM1H＝180°﹣100°＝80°； 当∠BGM2＝30°时， ∴∠GPM2＝180°﹣50°＝130°， ∴∠GM2H＝180°﹣∠BGM2﹣∠GPM2＝20°； ∴∠GMH的度数是80°或20°； （3）解：如图所示，延长GK交直线CD于点J，作OL∥AB， ∴OL∥AB∥CD， ∴∠GOL＝∠BGO，∠COL＝∠OHD， ∴∠GOH＝∠BGO+∠OHD． ∵AB∥CD，NH∥GK， ∴∠BGK＝∠GJH＝∠CHN． ∵GK平分∠BGO，QH平分∠CHO， ∴∠BGO＝2∠BGK＝2∠CHN，∠CHO＝2∠CHQ， ∴∠GOH＝∠BGO+∠OHD＝2∠BGK+（180°﹣∠CHO）＝2∠BGK+180°﹣2∠CHQ＝2∠BGK+180°﹣2（∠CHN+∠QHN）＝2∠BGK+180°﹣2∠CHN﹣2∠QHN＝180°﹣2∠QHN，即∠GOH＝180°﹣2∠QHN． 53．直线MN∥PQ，点A在直线PQ上，点B在直线MN、PQ之间，∠BAP＝45°，点C在直线MN上，记∠MCB＝α（0°＜α＜22.5°）． （1）如图1，求∠ABC的度数；（用含α的代数式表示） （2）过点B作∠ABD交直线PQ于点D（D在A的右侧）使得，点E为平面内一点且满足，直线CE与直线BD交于点F． （i）如图2，若点E在直线MN上方，求∠BFC与∠MCB的数量关系； （ii）如图3，若点E在直线MN下方，G是线段CB延长线的动点，H是线段BD上的动点，且满足∠GFB+∠HCF＝150°，连接GH，试说明三角形BCF，BFG，BGH，BCH中必有某两个三角形的面积相等． 【答案】（1）45°+α； （2）（i）； （ii）见解答． 【解答】解：（1）过点B作BK∥MN， ∵BK∥MN， ∴∠KBC＝∠MCB＝α， ∵MN∥PQ， ∴BK∥PQ， ∴∠KBA＝∠PAB＝45°， ∴∠ABC＝∠KBA+∠KBC＝45°+α； （2）（i）∵∠ABD∠ABC且∠ABC＝45°+α， ∴，， 过点F作FT∥MN，则FT∥PQ， ∵， ∴∠MCF＝∠MCB＝α， ∵FT∥MN， ∴∠TFC＝∠MCF＝α， 过B作BI∥MN，则BI∥EF， ∴∠CBI＝∠MCB＝α， ∴∠DBI＝∠CBD， ∵BI∥FT， ∴， ∴， ∴； （ii）∵，∠MCB＝α， ∴，， ∵， ∴， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°， ∵∠GFB+∠HCF＝150°， ∴∠GFB+∠BFC+∠HCF＝180°，即∠GFC+∠HCF＝180°， ∴FG∥HC， 设三角形BCF的面积为S1，三角形BFG的面积为S2，三角形BGH的面积为S3，三角形BCH的面积为S4， ∵FG∥HC， ∴点C，H到GF的距离相等，则S1+S2＝S2+S3， ∴S1＝S3，即三角形BCF的面积与三角形BGH的面积相等． 54．综合实践 【实践操作】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板． 【操作发现】 （1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数； 【实践应用】 （2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数； 【拓展延伸】 （3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系．（分别从点F在直线CD上方和AB下方讨论） 【答案】（1）108°； （2）45°； （3）∠AGF﹣∠CEF＝90°或∠CEF﹣∠AGF＝90°． 【解答】解：（1）如图1所示： ∵AB∥CD，∠1＝27°， ∴∠1＝∠EGB＝27°， ∵点G在直线AB上， ∴∠2+∠FGE+∠EGB＝180°， 依题意得：∠FGE＝45°， ∴∠2+45°+27°＝180°， 解得：∠2＝108°； （2）过点H作HP∥AB（点P在点H的右侧），如图2所示： ∵AB∥CD， ∴∠CEG+∠AGE＝180°， 即∠CEF+∠FEG+∠FGE+∠AGF＝180°， 依题意得∠FEG+∠FGE＝90°， ∴∠CEF+90°+∠AGF＝180°， ∴∠CEF+∠AGF＝90°， ∵HE平分∠CEF，HG平分∠AGF， ∴∠CEH∠CEF，∠AGH∠AGF， ∴∠CEH+∠AGH（∠CEF+∠AGF）90°＝45°， ∵CD∥AB，HP∥AB， ∴CD∥HP∥AB， ∴∠PHE＝∠CEH，∠PHG＝∠AGH， ∴∠PHE+∠PHG＝∠CEH+∠AGH＝45°， 即∠EHG＝45°； （3）设∠AGF＝α，∠CEF＝β， 依题意得：∠GFD＝90°， 依题意有以下两种情况： ①当点F在直线CD上方时，过点F作MN∥AB，如图3①所示： ∵CD∥AB， ∵MN∥CD∥AB， ∴∠NFE＝∠CEF＝β，∠MFG+∠AGF＝180°， ∴∠MFG＝180°﹣∠AGF＝180°﹣α， ∵∠MFG+∠GFD+∠NFE＝180°， ∴180°﹣α+90°+β＝180°， ∴α﹣β＝90°， 此时∠AGF与∠CEF之间的数量关系是：∠AGF﹣∠CEF＝90°； ②当点F在直线AB下方时，过点F作MN∥AB，如图3②所示： ∵CD∥AB， ∴CD∥AB∥MN， ∴∠NFD＝∠AGF＝α，∠MFE+∠CEF＝180°， ∴∠MFE＝180°﹣∠CEF＝180°﹣β， ∵∠MFE+∠GFD+∠NFD＝180°， ∴180°﹣β+90°+α＝180°， ∴β﹣α＝90°， 此时∠AGF与∠CEF之间的数量关系是：∠CEF﹣∠AGF＝90°， 综上所述：∠AGF与∠CEF之间的数量关系是：∠AGF﹣∠CEF＝90°或∠CEF﹣∠AGF＝90°． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线常考点中的难点与压轴题 题型01 对顶角、邻补角及垂直的综合计算 题型02 平行线间的拐点问题 题型03 平行线与折叠问题 题型04 平行线与光线的反射折射 题型05 实际问题中的平行线 题型06 平行线的判定与性质综合 题型07 多个结论的判断 题型08 相交线与平行线间的动态问题（动点与动角） 对顶角、邻补角及垂直的综合计算 1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD． （1）若∠AOF＝45°，求∠BOE的度数； （2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度数 2．如图，直线AB和CD交于点O，∠COE＝90°，OD平分∠BOF，∠BOE＝55°． （1）求∠AOC的度数； （2）求∠EOF的度数． 3．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD，OE⊥OF，∠AOC＝70°． （1）求∠DOF的度数； （2）OF是否平分∠AOD？请说明理由． 4．直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠EOF＝54°． （1）求∠AOC的度数； （2）在∠AOD的内部作射线OG，使∠BOG＝162°，判断点O是否在直线FG上，并说明理由． 5．直线AB、CD相交于点O，∠EOF在∠AOD的内部． （1）如图①，当∠AOD＝120°，∠EOF＝60°时，求∠AOF与∠EOD的度数和； （2）在（1）的条件下，请直接写出图中与∠BOC互补的角； （3）如图②，若射线OM平分∠AOD（OM在∠EOD内部），且满足∠EOD＝2∠FOM，请判断∠AOF与∠EOF的大小关系并说明理由． 6．阅读理解：从∠α（90°＜α＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“分补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠BOC的“分补线“． （1）若∠AOC＝32°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝　 　 ； （2）若OE平分∠AOD，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠BOE的平分线，OG是∠AOD的平分线，∠EOF与∠COG的数量关系：　 　 ． 题型02 平行线间的拐点问题 7．如图，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于点G、F．若∠E＝30°，∠CFE＝125°，则∠BGE的度数为（　　） A．25° B．55° C．45° D．50° 8．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 9．如图，已知AB∥CD，点G在射线BA的上方且满足∠EBG：∠ABG＝2：3，点H在射线BG的反向延长线上，满足∠DCH：∠FCH＝3：2，若∠E＝α，则∠F与∠H的数量关系是（　　） A．∠F＝∠H B．5∠H﹣3∠F＝3α C．3∠F﹣2∠H＝α D．2∠F+3∠H＝360°+α 10．已知直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，如图，点H是直线AB与CD外一点，连接HE、HF．若∠EHF＝120°，∠BEH＝n∠PEH，∠CFH＝n∠HFQ，点P、H、Q在同一直线上，若∠Q﹣∠P＝50°，则n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，AB∥CD，射线CE平分∠BCD，点F为CE的反向延长线上的一点，连接BF，且满足，若∠BFC＝α，∠ABF＝β，则α与β满足的关系式为（　　） A．α+β＝90° B．α+2β＝180° C． D．β＝4α 12．如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 题型03 平行线与折叠问题 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 14．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，ED'的延长线交BC于点G，若∠BGE＝α，则∠EFC＝（　　）（用α的代数式表示） A．180°﹣α B． C． D． 15．现有一张长方形彩带，将其沿BC折叠成如图所示图形，若∠1＝122°，则∠2的度数为（　　） A．56° B．58° C．64° D．66° 16．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 17．如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，EM与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠AEG的度数为（　　） A．100° B．80° C．90° D．110° 题型04 平行线与光线的反射折射 18．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB经反射以后分别沿着与EF所在直线平行的方向射出，若∠CAP＝55°，∠APB＝100°，则∠DBP的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．无法确定 19．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝140°，∠CDF＝160°，则∠BGD的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 20．如图，MN、EF分别表示两个互相平行的镜面．一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线BC经镜面EF反射后，形成光线CD．若∠1＝∠2＝48°，则∠BCD的度数为（　　） A．96° B．94° C．86° D．84° 21．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行，若∠ABM＝α，则∠DCN＝（　　） A．α B．90°﹣α C．2α D．180°﹣2α 22．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿O′A′水平射出，且OA∥O′A′，已知入射波AO与法线的夹角∠1＝25°，则∠A′O′F的度数为（　　） A．55° B．50° C．60° D．65° 题型05 实际问题中的平行线 23．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图3是某单车车架的示意图，线段CD，BE，AB分别为前叉、下管和立管（点E在CD上），BF为后下叉．已知AB∥CD，AC∥BF，∠BED＝53°，∠FBE＝126°，则∠BAC的度数为（　　） A．53° B．54° C．73° D．74° 24．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　） A．150° B．155° C．130° D．80° 25．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF＝130°，∠DCF＝120°，则∠EFC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 26．机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠CDE＝145°，此时∠BED的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 题型06 平行线的判定与性质综合 27．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）求证：EH∥AD； （2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数． 28．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C． （1）求证：DE∥BC； （2）若BE平分∠ABC，∠1＝110°，∠3＝40°，求∠ADE的度数． 29．如图，点H、G分别在直线AB、EF上，点C、D在AB与EF之间，射线CM交AB于点M，连接CD、DG、GH．已知∠1＝∠C，∠D+∠2＝180°． （1）求证：AB∥EF； （2）若GH∥CM，∠1＝∠2＝55°，求∠DGH的度数． 30．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 31．如图，已知在三角形ABC中，点D、E分别在AB，AC上，DE∥BC，连结DC，点F在DC上，∠DEF＝∠B． （1）求证：EF∥AB； （2）若DE平分∠ADC，∠BDC＝3∠B，求∠EFC的度数． 32．如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）求证：EF∥DC； （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 题型07 多个结论的判断 33．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③若∠1＝45°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C，其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 34．将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中∠CAB＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°，给出下列结论： ①若∠2＝30°，则AC∥DE； ②若BC∥AD，则∠2＝30°； ③∠BAE+∠CAD＝180°； ④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 35．如图，在四边形ABDC中，AB∥CD，点E在CA的延长线上，连接DE交AB于点F，∠EFA＝55°，点P、Q在CD上，连接FP、FQ，已知∠PFD＝10°，∠FQP＝∠QFP，∠BDE＝∠AEF，下列结论：①∠FEA与∠ECD互为同位角；②CE∥BD；③FQ平分∠AFP；④∠FQD＝50°．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①②③ C．①④ D．①②④ 36．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM至点C，AB平分∠DAC，点N在直线DB上，且BN平分∠FBC，若∠ACB＝110°．则下列结论： ①∠MAB＝∠BAD； ②∠ABM＝∠BAM； ③∠NBC＝∠BDH； ④设∠CBM＝α，则； ⑤∠DBA＝55°． 其中，正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 37．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②FD平分∠HFB；③2∠D+∠EHC＝90°；④FH平分∠GFD．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 38．如图，AB⊥BC，DE平分∠ADC交BC于点E，AE⊥DE，AB∥CD，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①∠1+∠2＝90°；②∠AEB+∠ADC＝180°；③∠DAE＝∠1；④∠F＝135°．其中结论正确的有（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 39．如图，AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点E、F，FM平分∠CFE交直线AB于点M，FN平分∠DFE交直线AB于点N．给出下面四个结论：①∠CFE＝∠BEF；②MF⊥NF；③∠CFM+∠BNF＝180°；④∠CFE+2∠ENF＝180°；上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 40．如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH＝2∠EHG；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是　 　 ． 题型08 相交线与平行线间的动态问题（动点与动角） 41．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE∠EOC （1）求∠AOE的度数； （2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF． ①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数； ②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数． 42．如图1，直线AB和CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为点O，OF平分∠AOE． （1）若∠BOD：∠BOC＝2：7． ①求∠BOD的度数； ②求∠COF的度数； （2）如图2，将直线CD绕着点O旋转，OC始终在OA的上方当∠AOC为锐角时，在∠AOC的内部作射线OM，使得射线OM平分∠AOC．判断∠FOM的度数是否发生变化？如果不变，求出∠FOM的度数；如果变化，请说明理由． 43．综合与实践 问题情境：将一副三角尺OAB（∠A＝60°，∠B＝30°，∠AOB＝90°）和OCD（∠C＝∠D＝45°，∠COD＝90°）按如图1所示的方式摆放，使得直角顶点O重合，OC在OB上． 初步感知：（1）如图2，将三角尺OCD绕点O逆时针旋转一定的角度，使得OC∥AB，则∠BOC的度数是　 　 ． 深入探究：（2）如图3，在（1）的基础上继续旋转三角尺OCD，使得CD∥OB，求∠AOD的度数． 拓展延伸：（3）如图4，在（2）的基础上继续旋转三角尺OCD，使得∠BOC＝75°（OC在OB上方），试判断CD与AB的位置关系，并说明理由． 44．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1． （1）填空：∠BAN＝ 　 　 °； （2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 45．【问题背景】 如图①，在同一平面内，a、b、c三根木棒钉在一起，∠1＝70°，∠2＝100° 【实践操作】 （1）木棒a、c固定不动，木棒b沿顺时针方向至少旋转　 　 °，使得b∥a（如图②）； （2）如图③，当木棒a∥b时，将一个三角板ABC放在a与b之间（其中∠A＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°），并使直角顶点C在直线b上，顶点B在直线a上，现测得∠DBA＝8°，请你求出∠ACE的度数； （3）现将图①中的木棒a、b同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒6°和每秒18°，当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动．在旋转的过程中，存在某一时刻使得a∥b，请你直接写出是在第几秒． 46．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． （1）如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ＝25°，则∠BDN的度数为　 　 ； （2）如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若FE平分∠DFP，则DE是否平分∠MDF？请说明理由； （3）小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE＞FA，若三角板ABC绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转的过程中，当三角板的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数． 47．将2块直角三角板（△ABC和△CDE）按如图1所示的方式摆放，点E在AC上，∠DCE＝45°，∠A＝30°，∠CED＝∠ACB＝90°，∠BCD的平分线交AB所在直线于点F． （1）∠ACF的度数是　 　 °； （2）将△CDE绕点C旋转，∠ACE的平分线交AB所在直线于点G． ①如图2，若△CDE绕点C从图1位置逆时针旋转α度（α＜45），当AB∥CD时，求∠FCG的度数； ②如图3，若△CDE绕点C从图1位置顺时针旋转α度（α＜45），在旋转过程中，∠FCG的度数是否发生变化，如果不变，请求出∠FCG的度数，如果发生变化，请说明理由． 48．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD，钝角∠AOD的“割补线”记为OE． （1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数； （2）若OE恰好平分∠AOC，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系． 49．如图，在直角三角尺EFG中，∠GEF＝30°，∠G＝90°，过点E，F分别作直线AB，CD，使AB∥CD． （1）如图1，若∠DFG＝2∠BEG，求∠DFG的度数； （2）如图2，在∠BEG的平分线EQ上取一点Q，连接FQ，若∠Q＝45°，求证：FQ平分∠GFD； （3）如图3，作∠AEF的平分线交CD于点M，点P是角平分线上位于直线CD下方的动点，点H是射线FC上的动点（不与点M重合），请直接写出∠BEG，∠EPH与∠PHC之间的数量关系． 50．【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸． 如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P． 探究（1）初步观察与推理． 用量角器测量∠EPF和∠PEF的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由． 探究（2）角度倍数关系的计算． 若测量得∠FHG＝3∠EPF，请结合平行线的性质，求出∠EFD的度数． 探究（3）动点角度的分析． 点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若测∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数． 51．问题情境：如图1，AB∥CD，∠OCD＝110°，∠OBA＝140°，求∠BOC度数． 小彬的思路是：过O作OE∥AB，通过平行线性质来求∠BOC． （1）按小彬的思路，求∠BOC的度数； （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点E在射线OF上运动，记∠ABE＝α，∠CDE＝β，当点E在A，C两点之间运动时，问∠BED与α，β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出∠BED与α，β之间的数量关系． 52．已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，∠AGE+∠DHE＝180°． （1）如图1，求证：AB∥CD； （2）如图1，射线HP与直线AB相交于点P，∠PHD＝50°，点M为射线HP上的动点，连接MG，当∠BGM＝30°时，求∠GMH的度数； （3）如图2，点O在直线AB、CD之间，且在直线EF的右侧，GK平分∠BGO，HQ平分∠CHO，过点H作HN∥GK，N，Q在直线EF的同侧，试用等式表示∠GOH与∠QHN之间的数量关系，并说明理由． 53．直线MN∥PQ，点A在直线PQ上，点B在直线MN、PQ之间，∠BAP＝45°，点C在直线MN上，记∠MCB＝α（0°＜α＜22.5°）． （1）如图1，求∠ABC的度数；（用含α的代数式表示） （2）过点B作∠ABD交直线PQ于点D（D在A的右侧）使得，点E为平面内一点且满足，直线CE与直线BD交于点F． （i）如图2，若点E在直线MN上方，求∠BFC与∠MCB的数量关系； （ii）如图3，若点E在直线MN下方，G是线段CB延长线的动点，H是线段BD上的动点，且满足∠GFB+∠HCF＝150°，连接GH，试说明三角形BCF，BFG，BGH，BCH中必有某两个三角形的面积相等． 54．综合实践 【实践操作】在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板GEF的顶点G放置在直线AB上，旋转三角板． 【操作发现】 （1）如图1，在GE边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作CD∥AB，若∠1＝27°，求∠2的度数； 【实践应用】 （2）如图2，过点E作CD∥AB，若HE平分∠CEF，HG平分∠AGF，求∠EHG的度数； 【拓展延伸】 （3）将三角板绕顶点G转动，过点E作CD∥AB，并保持点E在直线AB的上方．在旋转过程中，探索∠AGF与∠CEF之间的数量关系．（分别从点F在直线CD上方和AB下方讨论） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $