专题01 相交线与平行线（期末6大知识点汇编）人教版七年级数学下册

**基本信息** 七年级数学相交线与平行线单元复习讲义，涵盖对顶角与邻补角、垂直等6大知识点系统梳理，精选江苏、海南等地期末真题，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|约20题|对顶角性质、三线八角识别等|结合光线折射、跳远成绩等生活情境| |填空题|约15题|垂直性质、平移距离计算等|设置角平分线与旋转综合问题| |解答题|约15题|平行线判定与性质、新定义探究|包含“两余优角”等创新题型，注重逻辑推理|

七年级数学期末总复习讲义 第1课 相交线与平行线 知识点梳理 考点01对顶角与邻补角 考点02垂直 考点03三线八角 考点04平行的性质与判定 考点05定义、命题、定理 考点06平移 知识点01 对顶角与邻补角 1.邻补角的定义与性质 观察图形中∠1 和∠2：它们有一条公共边，且另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做邻补角。 几何语言： ∠1+∠2=180o ( 邻补角定义 ) 2.对顶角的定义与性质 观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。 对顶角性质 对顶角相等 几何语言： ∠1=∠3 （ 对顶角相等 ） 真题汇编 一、单选题 1．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等代入计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级下·海南海口·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，邻补角．根据角平分线的定义求出，再由与互补即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，角的和差. 由题意可得，即得，得到，再根据角平分线的定义求出即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：C． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，，然后根据角的和差关系及邻补角可进行求解． 【详解】解：∵， ∴，③正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴与互余，①正确； ∵， ∴， ∴与互补，②正确； ∵， ∴；④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共4个； 故选D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和是是解题的关键． 设，根据邻补角的概念用表示出，根据角平分线的定义求出，根据题意列式求出，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：设，则， ∴， ． 平分， ． ， ，即， 解得，则， ． 8．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，用量角器测得的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由对顶角相等可得， 故选：B． 二、填空题 9．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，点O在直线上，．则______°______′______″． 【答案】 126 42 32 【分析】根据与为邻补角，之和为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 10．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，直线、相交于点O，已知，把分成两部分，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质及方程思想，根据对顶角相等得到，根据，设，，列方程即可得出答案． 【详解】解：∵直线、相交于点O， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则______ 【答案】 【分析】本题考查角度换算，角平分线的定义，对顶角的性质．先根据角平分线的定义计算出，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·黑龙江·期末）如图，A、O、B在一条直线上，、分别是、的角平分线，则的度数是________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据角平分线的性质可得，，再结合，即可解答． 【详解】解：、分别是、的角平分线， ， 、O、B在一条直线上， 故答案为． 三、解答题 13．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，直线，交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用角平分线性质得出，进而求出，再结合得到，最后根据平角关系算出． （2）先由求出，再依据与的比例关系算出，利用对顶角相等得到，最后根据角平分线性质求出． 【详解】（1）解：由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由条件可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 14．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键． （1）由对顶角的概念可知； （2）由邻补角及角分线的性质可得，再根据计算即可． 【详解】（1）由题可知，（对顶角相等）； 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ． 15．（25-26七年级下·福建厦门·期末）若，我们则称是的“两余优角”．例如：，，则是的“两余优角”．（请注意：此时不是的“两余优角”）已知，在平面内存在一条射线，使得是的“两余优角”． (1)若射线在内部，求的度数； (2)若平面内还存在射线（在直线的上方），使与互补，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了新定义下的角的关系，补角的定义，角的和差，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据新定义以及角的和差进行求解即可； （2）根据互为补角的定义以及角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图1， ∵是的“两余优角”， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，当在的内部时， 由（1）可知， ∵与互补，即，而， ∴， ∴； 如图3，当在的外部时， ∵是的“两余优角”， ∴， 解得， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 综上所述，或． 知识点02 垂线 1.垂直的定义 如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为. 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 真题汇编 1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段． 【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离； 选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 3．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 4．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，根据，可得，根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的定义可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 二、填空题 6．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平角的定义得到，根据垂直的定义得到，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 【答案】3或39 【分析】分两种情况：当转动时，，一共转动，． 【详解】解：当转动时，，如图： ∴， 当再转动时，，如图： ∴一共转动， ∴， 综上所述，t为3或39时，． 8．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【答案】25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 9．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂线以及角平分线定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键． 根据，得，由角平分线定义得出，因为，所以，即可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·重庆合川·期末）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，平分，可求出，再根据角度的和差关系即可求解； （2）设，再结合角平分线和角度的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)，两点之间线段最短． 【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据射线的画法作图即可； （2）根据线段的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可； （4）根据垂线的长度求解即可； （5）根据线段的性质求解即可． 【详解】（1）解：射线如图1所示， （2）解：连接，交于点，如图2所示， （3）解：过点作于点，如图3所示， （4）解：点到的距离是线段的长度； 故答案为：； （5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，，平分，过点作，平分． (1)求的度数． (2)若是内任意一条射线，其余条件不变，则与的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）首先由角平分线得到，然后求出，然后利用角平分线求解即可； （2）首先由得到，然后结合角平分线求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴． 16．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，知识点03 三线八角 我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁 具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F”。如：∠1与∠6 （2）在两条被截直线之间，第三条截线的两侧 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“N”。如：∠4与∠5 （3）在两条被截直线之间，第三条截线的同旁 具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字符“匚”。如：∠1与∠5 真题汇编 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同位角的识别，关键是掌握同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，位于截线的同旁，且在两条被截直线的同一侧的角称为同位角，需逐一判断每个选项中和的位置是否符合该定义． 【详解】解：选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 故选：C． 2．（25-26七年级下·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键．根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成” “形作答． 【详解】解：的内错角是 故选：D． 4．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，与的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：与的位置关系是同位角． 故选：D 5．（24-25七年级下·全国·期末）下列四个图形中，与互为内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内错角，能根据内错角的概念正确判断是解题关键． 根据内错角的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．与不是内错角，故此选项不符合题意； B．与不是内错角，故此选项不符合题意； C．与是内错角，故此选项符合题意； D．与不是内错角，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，与______是同位角． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与是同位角． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有_______组同旁内角． 【答案】6 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中同旁内角有和，和，和，和，和，和，共有6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）图中与构成同旁内角的角有___________ 个． 【答案】3 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同旁内角的定义是解题的关键．根据同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：与构成同旁内角的角有，，，共3个， 故答案为：3． 9．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，与 是直线a和直线b被直线c所截的__________角． 【答案】同旁内角 【分析】根据两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的两侧，被截线的内部的两个角是内错角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形解答. 【详解】解：∵直线a和直线b被直线c所截， ∴与 是同旁内角， 故答案为：同旁内角. 10．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了内错角、同位角及同旁内角的判断，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据内错角、同位角及同旁内角的性质逐一判断即可． 【详解】解：与是内错角，①正确； 与是同位角，②正确； 与是同旁内角，③正确； 故答案为：①②③． 三、解答题 11．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和 (2)内错角：和，和；同旁内角：和，和； (3)内错角：和，和；同旁内角：和，和． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义； （1）根据图，由同位角和内错角的定义，即可求解； （2）根据图，由内错角和同旁内角的定义，即可求解； （3）根据图，由内错角和同旁内角的定义，即可求解． 理解同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ，被所截形成的同位角：和；内错角：和； （2）解：由题意得 ，被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和； （3）解：由题意得 ，被所截形成的内错角：和，和；同旁内角：和，和． 13．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对顶角相等和角平分线的定义即可求解； （2）根据同位角的定义即可求解； （3） 的同旁内角是， 的内错角有，，根据对顶角相等，角平分线的定义，以及角的和差计算即可求解． 【详解】（1）解：因为 ， 所以 ， 因为 平分 ， 所以 ； （2）解：与互为同位角的角是； （3）解： 的同旁内角是， 的内错角有，， 因为， 所以， 因为平分 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的所有内错角，同旁内角的度数之和为． 知识点04 平行线的性质与判定 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 若直线 AB 与直线 CD 平行，记作AB//CD，读作直线AB平行于直线CD。 基本事实：经过直线外一点，有且只有1条直线与这条直线平行。 传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 （4）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性） （5）垂直于同一条直线的两直线平行 （6） 平行线间距离处处相等 平行线的判定 判定方法1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 真题汇编 ·江苏盐城·二模）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可． 【详解】解：A．∵， ∴，不能得到，不符合题意； B．由不能得到，不符合题意； C．如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； D．由不能得到，不符合题意． 3．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（    ） A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．如果，，那么 【答案】A 【详解】解：A、平行公理的内容是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原说法错误，故选项符合题意； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的性质，原说法正确，故选项不符合题意； C、两点之间的所有连线中，线段最短，是线段的基本性质，原说法正确，故选项不符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若，，那么，原说法正确，故选项不符合题意； 4．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，C，D能证得，只有选项B能证得．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A．∵，本选项不能判断，故A错误； B．∵，∴，故B正确； C．∵，∴．本选项不能判断，故C错误； D．∵，∴．故本选项不能判断，故D错误． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，已知，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若还知道，则能得到 D．若连接，则一定平行于 【答案】D 【分析】根据垂线的定义可得，则可证明得到，据此可判断A、B；若，则可推出，得到，根据现有条件无法得到平行于，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故A说法正确，不符合题意； ∴，故B说法正确，不符合题意； 若，则， ∴， ∴，故C说法正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到平行于，故D说法错误，符合题意． 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，直线、被直线所截，若，，，则_____． 【答案】/64度 【分析】根据对顶角相等，可知的大小，进而根据平行线的性质，可知的大小． 【详解】解：∵直线、被直线所截，，， ， ， ， ， ． 7．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线被所截，且，平分，若，则______°． 【答案】58 【分析】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，根据平行线的性质及角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：58． 9．（25-26七年级下·海南海口·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与点分别落在点和点的位置上，与的交点为，若，则为 ______ 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可得，所以，又，所以，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则的度数为， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 根据题意得到，进而得到，，再根据得到，进而计算即可． 【详解】解：∵从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即 ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析; (2)70°． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 12．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明； （2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解； （3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ，； ， ； （2）解：由（1）知：，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，过点作， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作， ， ， ，， ； 过点作， ， ， ，， ； 平分，平分， ， ； ． 13．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1)； (2)平分，理由见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可得；根据平角定义求得，最后根据平行线的性质求得即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴； （2）解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时，, ∵， ∴； ②如图2，当时， ∵，， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵ ∴； ③如图3，当时， ， ， ∵， ∴； ④如图4，当时，则， 又， ∴点在上， ∴． 综上所述，的度数为或或或． 14．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知，． (1)试说明：．（完成下面推理过程） 证明：∵ ∴ （ ） ∵ ∴ （ ） ∴ （ ） (2)若，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行； (2)． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可得出结论； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（等量代换）， ∴ （同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点G、K，直线上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线和直线之间，连接和，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴　　　　　　　　　　　　　　， ∴　　　　　　　（　　　　　　　）， ∵（已知）， ∴　　　　　　　， ∴（　　　　　　　）． 【答案】；；；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行； 【分析】根据平行线的性质和判定定理解题即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 知识点05 定义、命题、定理 1：认识 “定义” 我们在学习新的数学对象时，对新的事物含义或特征进行了清晰、明确的描述，这种描述称为数学对象的“定义”. 2：认识 “命题” 命题必须是 “可以判断一件事情为正确或错误的陈述语句”。疑问句、祈使句（画图、指令类）都不是命题。 3：“定理”与证明 定理是 “经过推理证实的真命题”，是数学中被广泛认可、可作为推理依据。 真题汇编 一、单选题 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查命题的概念，熟练掌握相关知识是关键． 判断一件事情的语句叫做命题，命题需是可判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解： A、是可判断真假的陈述句，属于命题； B、是作图操作指令，不是判断事情的语句，无法判断真假，不属于命题； C、是可判断真假的陈述句，属于命题； D、是可判断真假的陈述句，属于命题． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【详解】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 3．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假．选项A中点到直线的距离定义错误，应为垂线段的长度，而非任意线段的长度；其他选项均为真命题，符合平行线的性质与公理． 【详解】解：点到直线的距离是指从点向直线作垂线，垂线段的长度才叫点到直线的距离，而选项A中未指定垂线段，故A为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故B为真命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C为真命题； 若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，故D为真命题； 故选：A． 4．（24-25七年级下·云南保山·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，对顶角的性质，余角的性质，分别对每一项进行判断即可． 此题主要考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【详解】解：A、同角的余角相等，是真命题，故本选项符合题意； B、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，故本选项不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故本选项不符合题意； D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，故本选项不符合题意； 故选：A 二、填空题 5．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 6．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_____________，它是____命题． 【答案】 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 真 【分析】本题考查了命题的改写，判断真假命题． 将命题改写成“如果……那么……”的形式，需明确条件和结论，并基于对顶角性质判断命题真假． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； 对顶角相等，故该命题是真命题； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；真． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是____命题（真/假）． 【答案】真 【分析】本题主要考查了命题，掌握相反数的性质是解题的关键． 根据判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题是真命题进行分析即可． 【详解】解：命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”的条件是两个数互为相反数，结论是这两个数绝对值相等，这是一个真命题． 故答案为：真． 8．（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式：_______． 【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是_____． 【答案】0 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的大小比较、实数的平方、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，，而， 说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 10．（15-16七年级下·山东聊城·期末）命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【分析】本题主要考查对命题真假的判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题， 举出一个符合条件，而不符合结论的例子即可． 【详解】解：命题“若则”是假命题，举例如下： ， ， 但， 满足，但是不满足， 命题“若则”是假命题． 故答案为：假命题． 三、解答题 11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可； （2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） （2）证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 12．（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ． 知识点06 平移 平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 要素分析：（1）平移方向（2）平移距离 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东广州·月考）如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 2．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， 故选：C． 4．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 6．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得． 【详解】解：， ， 即平移的距离为2， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，将沿方向平移得到，若，则长为______． 【答案】 【分析】根据平移的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：， 则 ． 8．（25-26七年级下·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 【答案】 【分析】平移的距离是平移前后对应点之间的线段长度，点的对应点是点，因此平移的距离即为线段的长度，结合已知和的长度，通过线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】解：∵三角形平移到三角形的位置，点的对应点是点， ∴平移的距离为的长度． ∵，， ∴． 即平移的距离为． 三、解答题 9．（25-26七年级下·上海奉贤·期末）南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 10．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为点，，，平移三角形得到三角形，使得点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出三角形，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了根据平移前后点的位置判断平移方式，画平移图形． 根据点的对应点的坐标为求出平移方式，进而画出平移图形，最后写出点的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴三角形先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到三角形， 如图，三角形即为所求，可知点的坐标为． 11．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，图中“小鱼”的各个顶点都在格点上． (1)把“小鱼”先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，请画出两次平移后的图形； (2)分别写出点A，B，C平移后的对应点，，的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，，． 【分析】本题考查平移作图，写出坐标系中点的坐标，解答本题的关键是掌握平移的性质，注意按要求作图． （1）将关键点先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，顺次连接即可； （2）结合坐标系，可得到点，，的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，轴右侧的阴影部分即为所求． （2）解：结合坐标系可得，，． 12．（24-25七年级下·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知线段两端点的坐标分别为，点M的坐标为，将线段沿方向平移，平移的距离为的长度． (1)画出平移后的线段，直接写出点B的对应点N的坐标； (2)连接已知平分，求证：； (3)若点P为线段上一动点（不含端点），连接，试猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的平移，平移的性质，平行线的性质，角平分线定义. （1）将线段沿着的方向移动的长度得到，再确定点的坐标； （2）根据平移的性质可得，再结合角平分线定义可得答案； （3）作，再根据“两直线平行内错角相等”得出答案. 【详解】（1）解：所作线段如图所示； 点N的坐标为； （2）解：根据平移的性质可知：， ∴. ∵平分, ∴, ∴； （3）解：猜想：. 理由：过点P作交于点H， ∵, ∴, ∴， ∴. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $ 七年级数学期末总复习讲义 第1课 相交线与平行线 知识点梳理 考点01对顶角与邻补角 考点02垂直 考点03三线八角 考点04平行的性质与判定 考点05定义、命题、定理 考点06平移 知识点01 对顶角与邻补角 1.邻补角的定义与性质 观察图形中∠1 和∠2：它们有一条公共边，且另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做邻补角。几何语言： ∠1+∠2=180o ( 邻补角定义 ) 2.对顶角的定义与性质 观察图形中∠1 和∠3：它们有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。 对顶角性质 对顶角相等 几何语言： ∠1=∠3 （ 对顶角相等 ） 真题汇编 一、单选题 1．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·海南海口·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得，，若P，D，B三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，用量角器测得的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如图，点O在直线上，．则______°______′______″． 10．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，直线、相交于点O，已知，把分成两部分，且，则_____． 11．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则______ 12．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，A、O、B在一条直线上，、分别是、的角平分线，则的度数是________度． 三、解答题 13．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，直线，交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 14．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 15．（25-26七年级下·福建厦门·期末）若，我们则称是的“两余优角”．例如：，，则是的“两余优角”．（请注意：此时不是的“两余优角”）已知，在平面内存在一条射线，使得是的“两余优角”． (1)若射线在内部，求的度数； (2)若平面内还存在射线（在直线的上方），使与互补，求的度数． 知识点02 垂线 1.垂直的定义 如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为. 2.垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 真题汇编 1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，若，则的度数为______． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 8．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，，交于点，于点．若，则_____°． 9．（25-26七年级下·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为___________． 10．（25-26七年级下·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为________． 11．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 三、解答题 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 13．（24-25七年级下·重庆合川·期末）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 14．（25-26七年级下·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，，平分，过点作，平分． (1)求的度数． (2)若是内任意一条射线，其余条件不变，则与的数量关系为___________． 16．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 两条直线被第三条直线所截，在两个交点处共有8个角，知识点03 三线八角 我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。 （1）在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁 具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 同位角形如字母“F”。如：∠1与∠6 （2）在两条被截直线之间，第三条截线的两侧 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. 内错角形如字母“N”。如：∠4与∠5 （3）在两条被截直线之间，第三条截线的同旁 具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 同旁内角形如字符“匚”。如：∠1与∠5 真题汇编 一、单选题 1．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，的内错角是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，与的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角 5．（24-25七年级下·全国·期末）下列四个图形中，与互为内错角的是（    ） A．B．C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，与______是同位角． 7．（24-25七年级下·上海宝山·期末）凸六边形共有_______组同旁内角． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）图中与构成同旁内角的角有___________ 个． 9．（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，与 是直线a和直线b被直线c所截的__________角． 10．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有________（只填序号）． 三、解答题 11．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 12．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，与相交于点A，与相交于点B，与相交于点C． (1)指出，被所截形成的同位角、内错角； (2)指出，被所截形成的内错角、同旁内角； (3)指出，被所截形成的内错角、同旁内角． 13．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，已知直线与交于点，与交于点，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出一个与 互为同位角的角； (3)直接写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 知识点04 平行线的性质与判定 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 若直线 AB 与直线 CD 平行，记作AB//CD，读作直线AB平行于直线CD。 基本事实：经过直线外一点，有且只有1条直线与这条直线平行。 传递性：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 平行线的性质 （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 （4）平行于同一条直线的两直线平行（平行的传递性） （5）垂直于同一条直线的两直线平行 （6） 平行线间距离处处相等 平行线的判定 判定方法1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 真题汇编 ·江苏盐城·二模）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（    ） A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．如果，，那么 4．（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，已知，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若还知道，则能得到 D．若连接，则一定平行于 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，直线、被直线所截，若，，，则_____． 7．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线被所截，且，平分，若，则______°． 9．（25-26七年级下·海南海口·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，点与点分别落在点和点的位置上，与的交点为，若，则为 ______ 度． 10．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______． 三、解答题 11．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． (1)试说明； (2)若，求的度数． 12．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 13．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点，分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点与点重合，且，若三角板绕着点顺时针方向旋转，直至三角板上的点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 14．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知，． (1)试说明：．（完成下面推理过程） 证明：∵ ∴ （ ） ∵ ∴ （ ） ∴ （ ） (2)若，求的度数． 15．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点G、K，直线上有一点H，点H、F、K三点共线，点E在直线和直线之间，连接和，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴　　　　　　　　　　　　　　， ∴　　　　　　　（　　　　　　　）， ∵（已知）， ∴　　　　　　　， ∴（　　　　　　　）． 知识点05 定义、命题、定理 1：认识 “定义” 我们在学习新的数学对象时，对新的事物含义或特征进行了清晰、明确的描述，这种描述称为数学对象的“定义”. 2：认识 “命题” 命题必须是 “可以判断一件事情为正确或错误的陈述语句”。疑问句、祈使句（画图、指令类）都不是命题。 3：“定理”与证明 定理是 “经过推理证实的真命题”，是数学中被广泛认可、可作为推理依据。 真题汇编 一、单选题 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 2．（24-25七年级下·广东·期末）下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 3．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 4．（24-25七年级下·云南保山·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同角的余角相等 B．相等的两个角是对顶角 C．同旁内角互补 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 二、填空题 5．（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 6．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：_____________，它是____命题． 7．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是____命题（真/假）． 8．（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式：_______． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是_____． 10．（15-16七年级下·山东聊城·期末）命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 三、解答题 11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 12．（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 知识点06 平移 平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 要素分析：（1）平移方向（2）平移距离 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东广州·月考）如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 6．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 7．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，将沿方向平移得到，若，则长为______． 8．（25-26七年级下·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 三、解答题 9．（25-26七年级下·上海奉贤·期末）南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 10．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为点，，，平移三角形得到三角形，使得点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出三角形，并写出点的坐标． 11．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，图中“小鱼”的各个顶点都在格点上． (1)把“小鱼”先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，请画出两次平移后的图形； (2)分别写出点A，B，C平移后的对应点，，的坐标． 12．（24-25七年级下·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知线段两端点的坐标分别为，点M的坐标为，将线段沿方向平移，平移的距离为的长度． (1)画出平移后的线段，直接写出点B的对应点N的坐标； (2)连接已知平分，求证：； (3)若点P为线段上一动点（不含端点），连接，试猜想和之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 A B D C $