精品解析：上海市世外中学2025-2026学年八年级下学期5月阶段测试数学试卷

2025学年第二学期八年级数学 （时间：100分钟 满分：100分） 注意：答题时，务必按答题要求在答题纸规定位置作答，在本试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 1. 下列命题中，假命题是（ ） A. 凡有内角为30°的直角三角形都相似 B. 凡有内角为45°的等腰三角形都相似 C. 凡有内角为60°的直角三角形都相似 D. 凡有内角为90°的等腰三角形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各小题分析判断即可判断． 【详解】A、凡有内角为30°的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题； B、凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题； C、凡有内角为60°的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题； D、凡有内角为90°的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题． 故选：B． 【点睛】题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 2. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 3. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出合适的辅助线，再证明和的关系，即可建立y与x的函数关系，从而确定函数图像． 【详解】解：由题意可得：，， ，，，点C的纵坐标是y， 作轴，作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x轴的距离， ∴， 结合选项可得，A符合题意． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 4. 如图，在梯形中，，，，点是边上一点，，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，从而证得，根据平行线的性质得出，证得，因为，证得，得出， 证得，得到从而得到，在以为直径的圆上，根据圆周角定理得到，，进一步得到，根据，得到即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ，故错误； ，， ，， ， ， ， ， ， ，在以为直径的圆上， ，，故正确； ， ，故正确； ， ， ，故正确， 故选：． 【点睛】本题考查了梯形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角定理等，熟练掌握这些性质定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 5. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 【答案】5 【解析】 【详解】∵多边形的每个外角都等于72°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5. 故答案为5. 6. 已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意代入数据，分两种情况即可得出AP的长． 【详解】解：当AP＞BP时， ， 当AP＜BP时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段与全线段的比等于较短线段与较长线段的比，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；熟记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的是解题关键．注意有两种情况． 7. 将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象的平移问题，先根据平移方式求出平移后解析式，求出时对应的x的值即可． 【详解】解：将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数的解析式为：， 令， 解得， 所得函数图像与x轴的交点坐标是， 故答案为：． 8. 已知矩形中，，，连接、交于点O，过A作，垂足为H，则的长为____． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再用勾股定理求出对角线的长，通过等面积法求得的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∵， ∴在中，由勾股定理得． 9. 如图，在中，的平分线分别交于，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，点D在边AB上，AC2＝AD•AB，那么CD＝_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据AC2＝AD•AB可以得到△ACD∽△ABC，利用相似三角形对应边的比等于相似比和已知边的长求未知边即可． 【详解】解：∵AC2＝AD•AB，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴ ∵AB＝6，BC＝4，AC＝5， ∴ 解得：CD＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，解题的关键是利用已知条件证得两个三角形相似，然后利用相似三角形的对应边成比例求得结论． 11. 如图，5个同样大小的正方形拼成一个长方形，则________. 【答案】90° 【解析】 【分析】利用勾股定理分别计算出△ACD和△ADB的各个边长，根据有三边比值相等的两三角形相似可判定△ACD和△ADB相定理即可求出似，再根据相似三角形的性质：对应角相等和三角形外角和定理即可求出∠ABC＋∠ADC＋∠ACB的度数． 【详解】设每个小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AC＝，AD＝，AB＝， 又∵DC＝1，BD＝5， ∴，，， ∴， ∴△ADC∽△BDA， ∴∠DAC＝∠ABD， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ACB＝∠DAC＋∠ADB＝45°， ∴∠ABC＋∠ADC＋∠ACB＝90°； 故答案为90°． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质、勾股定理的运用和三角形的外角性质；证明三角形相似是解决问题的突破口． 12. 如图，在中，于，正方形内接于，点、分别在边、上，点、在边上．如果，正方形的面积为，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解． 【详解】解：由正方形DEFG得：DEGF，即DE∥BC． ∵AH⊥BC，∴AP⊥DE． ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AH=． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 13. 如图，在中，，，垂足为，，，那么的长是____． 【答案】2.4 【解析】 【分析】先设参数表示、，利用得到线段比例关系，求出表达式，再由列方程求解参数，最后算出长度． 【详解】解：已知，设， ，， ，，， ， ， 由相似三角形对应边成比例： ， 代入，： ， 化简得， 解得， 又， 代入表达式：， ， ， ， ， ，把代入 ． 14. 如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，进而求出和的度数；利用已知等式及推出对应边成比例，结合夹角相等证明；根据相似三角形的性质得到，最后利用外角的性质及角的和差关系求解即可． 【详解】解：，，  ， ，  ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ，  ． 15. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果是矩形的一个“直角点”，且，那么的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明∆BEC~∆EAD，可得：，设EC=x，则AB=CD=3x，ED=2x，结合AD=BC，可得：，进而可得到答案. 【详解】∵是矩形的一个“直角点”， ∴∠AEB=90°， ∴∠AED+∠BEC=90°， ∵∠EAD+∠AED=90°， ∴∠BEC=∠EAD， ∵∠D=∠C， ∴∆BEC~∆EAD， ∴， ∵， 设EC=x，则AB=CD=3x，ED=2x， ∴， ∵AD=BC， ∴，即：， ∴=：3x=. 故答案是：. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，设EC=x，用代数式表示线段长，是解题的关键. 16. 在矩形中，，，E为射线上一点，将沿翻折，得到（点A的对应点为）．联结、，当为以为腰的等腰三角形时，长是____． 【答案】 或 【解析】 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设，利用翻折性质得到，；分2种情况讨论是以为腰的等腰三角形的条件，分别求解的长度即可． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系，则，，，设， ∵沿翻折得到， ∴，， 如图，当，设， ， ， 解得 ， ， ， ， 解得， 如图，当 ，， ， ， 解得， ， ， ， 解得， 综上，的长度为或． 三、解答题（第17、18题各6分，19题8分，20、21题各10分，22题12分，共52分） 17. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义． （1）利用矩形的性质即可作出的中点； （2）根据的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． 【小问1详解】 解：如图，点即为所作； ； 【小问2详解】 解：如图，点即为所作； ． 18. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 19. 如图，已知点D、E分别是边、上的两点，，，，和相交于点O，且，求与的面积． 【答案】， 【解析】 【分析】先通过相似三角形的判定和性质得出，则，即可求出的面积；进一步求出的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∴． 20. 已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作的垂线交边于点，与的延长线交于点，且． 求证：（1）四边形是矩形； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由可得，又∠CAB=∠EAM，从而推出△ABC∽△AEM，继而推出∠ABC=∠AEM=90°，从而可得出结论； （2）先证明△EFB∽△EBM，从而推出，得出，又DE=BE，从而可得出结果． 【详解】证明：（1）∵，∴， 又∠CAB=∠EAM， ∴△ABC∽△AEM， ∴∠ABC=∠AEM=90°， 又四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形； （2）∵四边形ABCD为矩形，∴AE=BE=DE=CE， ∴∠EAB=∠EBA，又∠EAB+∠M=90°，∠EBA+∠EBF=90° ∴∠M=∠EBF， 又∠FEB=∠BEM， ∴△EFB∽△EBM， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，综合运用基本性质进行推理是解题的关键． 21. 综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． （1）【知识运用】请根据上述过程，连接，观察图1中，试猜想这三个角的大小关系是__________； （2）【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点为边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点、分别落在、上，得到折痕，点、的对应点分别为、，展平纸片，连接、．求证：是的一条三等分线； （3）【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片对折，得到折痕，（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可推出，，则可证明是等边三角形，得到，由三线合一定理得到，再由矩形的性质和角的和差关系可得，则； （2）由折叠的性质可得，，则可证明，得到；证明，得到，可证明，则是的一条三等分线； （3）连接，可证明，得到；设，则，；由勾股定理得，可求出，即，则． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，连接， 由折叠可知：是的垂直平分线， ∴，； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线； 【小问3详解】 证明：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∵点E为的中点， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 22. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级数学 （时间：100分钟 满分：100分） 注意：答题时，务必按答题要求在答题纸规定位置作答，在本试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 1. 下列命题中，假命题是（ ） A. 凡有内角为30°的直角三角形都相似 B. 凡有内角为45°的等腰三角形都相似 C. 凡有内角为60°的直角三角形都相似 D. 凡有内角为90°的等腰三角形都相似 2. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 3. 如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在梯形中，，，，点是边上一点，，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 5. 已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是_________． 6. 已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为_____． 7. 将反比例函数的图像向上平移2个单位，所得函数图像与x轴的交点坐标是______． 8. 已知矩形中，，，连接、交于点O，过A作，垂足为H，则的长为____． 9. 如图，在中，的平分线分别交于，那么______． 10. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5，点D在边AB上，AC2＝AD•AB，那么CD＝_________________． 11. 如图，5个同样大小的正方形拼成一个长方形，则________. 12. 如图，在中，于，正方形内接于，点、分别在边、上，点、在边上．如果，正方形的面积为，那么的长是________． 13. 如图，在中，，，垂足为，，，那么的长是____． 14. 如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____． 15. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果是矩形的一个“直角点”，且，那么的值是__________. 16. 在矩形中，，，E为射线上一点，将沿翻折，得到（点A的对应点为）．联结、，当为以为腰的等腰三角形时，长是____． 三、解答题（第17、18题各6分，19题8分，20、21题各10分，22题12分，共52分） 17. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心． 18. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求A，B两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 19. 如图，已知点D、E分别是边、上的两点，，，，和相交于点O，且，求与的面积． 20. 已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点作的垂线交边于点，与的延长线交于点，且． 求证：（1）四边形是矩形； （2）． 21. 综合与实践 【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的《折纸与数学》，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平． （1）【知识运用】请根据上述过程，连接，观察图1中，试猜想这三个角的大小关系是__________； （2）【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图2，点为边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点、分别落在、上，得到折痕，点、的对应点分别为、，展平纸片，连接、．求证：是的一条三等分线； （3）【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图3，将正方形纸片对折，得到折痕，（其中，点、分别是边、的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：． 22. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $