精品解析：上海市位育初级中学2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测

初二数学 一、选择题（共6小题） 1. 将向右平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相平分且相等 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 3. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 圆形 4. 已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＜y2＜y3 C. y3＞y1＞y2 D. y3＜y1＜y2 5. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．如图是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） （1）作的垂直平分线交于点O （2）连接，在的延长线上取 （3）连接，，则四边形即为所求 A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 6. 如图（）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间（单位：）的函数关系如图（）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共12小题） 7. ，，，为重心，则________． 8. 若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 9. 已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是______． 10. 在平行四边形中，，则的度数是__________． 11. 已知矩形的两条对角线的夹角为60°，如果一条对角线长为6，那么矩形的面积为___________． 12. 我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线上的“加倍点”坐标是_______． 13. 如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于_______度． 14. 如图，已知中，平分，，若，的周长为__________． 15. 已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 17. 我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 18. 在中，，，，是边上一点，沿直线翻折，点落在点处，如果，那么的长为__________． 三、解答题（共7小题） 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是点，，，与关于x轴对称，其中，，分别是点A，B，C的对应点． （1）画出； （2）已知点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由． 20. 如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的最小值． 21. 如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求的面积． 22. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 23. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 24. 如图1，已知一次函数图象分别与，轴交于点，两点． （1）求该一次函数解析式； （2）点是正比例函数图象与该一次函数图象的交点，轴上有一动点，求的最小值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将一次函数图象沿轴翻折，点对应点为，是轴上一点，点是正比例函数图象上一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 25. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． （1）观察发现：直线的函数表达式为________． （2）探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； （3）拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 一、选择题（共6小题） 1. 将向右平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的平移规律：左右平移改变横坐标，右移加左移减，纵坐标不变，本题按规律计算即可得到结果. 【详解】解：将向右平移3个单位长度后得到点B， ∴ 点的坐标为，即. 2. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 矩形的对角线互相平分且相等 D. 对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了命题与定理的知识，掌握平行四边形的性质、菱形、正方形的判定及矩形的性质是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质，菱形的性质及正方形的性质，矩形的判定定理，结合选项即可得出答案． 【详解】解；A、平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形的判定定理，是真命题，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，根据矩形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，是假命题，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 圆形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、矩形是中心对称图形，也是轴对称图形； B、菱形是中心对称图形，也是轴对称图形； C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； D、圆形是中心对称图形，也是轴对称图形． 4. 已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y1＜y2＜y3 C. y3＞y1＞y2 D. y3＜y1＜y2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线y=-x判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【详解】∵直线y＝﹣x，k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣2＜﹣1＜1， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点睛】此题考查一次函数的增减性，解题关键在于掌握一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小． 5. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．如图是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） （1）作的垂直平分线交于点O （2）连接，在的延长线上取 （3）连接，，则四边形即为所求 A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 6. 如图（）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间（单位：）的函数关系如图（）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据图（）判断出的长度，过点作于点，然后求出梯形的高，再根据时的面积求出的长度，过点作于点，然后求出的长度，利用勾股定理列式求出的长度，然后求出的和，再根据时间路程速度计算即可得解． 【详解】解：由图（）可知，在到秒时，的面积不发生变化， ∴在上运动的时间是秒，在上运动的时间是（秒）， ∵动点的运动速度是， ∴，， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴动点运动的总路程为， ∵动点的运动速度是， ∴点从开始移动到停止移动一共用了(秒)， 故选：． 二、填空题（共12小题） 7. ，，，为重心，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点； 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为. 也考查了直角三角形斜边上的中线性质．根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可. 【详解】解：如图， ∵为的重心， ∴是的中线，， ， ， ， 故答案为：. 8. 若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得到的值. 【详解】解：正比例函数的图象经过点， 将，代入，得， 解得. 9. 已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，根据多边形的内角和的计算公式，以及任意多边形的外角和为360度，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个凸多边形为边形， 由题意，得：， 解得：； 故这个凸多边形为六边形； 故答案为：6． 10. 在平行四边形中，，则的度数是__________． 【答案】115度## 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质，可得，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 11. 已知矩形的两条对角线的夹角为60°，如果一条对角线长为6，那么矩形的面积为___________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先画图，由题意可知四边形ABCD是矩形，AC=6，∠AOB=60°，根据矩形性质可知OA=OB，∠ABC=90°，易证△AOB是等边三角形，即可求出AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，然后再利用矩形的面积公式求解即可． 详解：如图所示，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，AC=6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB =OA=，∠ABC=90°， 又∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=AO=3， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， ， ∴S矩形ABCD=AB×BC=3×3=9. 故答案为9. 点睛：本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的性质及勾股定理.利用矩形的性质及已知条件得出△AOB是等边三角形是解题的关系. 12. 我们把一条直线上满足横坐标是纵坐标2倍的点称为“加倍点”，那么直线上的“加倍点”坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据加倍点的定义设出加倍点的坐标是解题的关键． 根据加倍点的定义，设出加倍点的坐标，代入直线的解析式，即可求解． 【详解】解：设加倍点为：， 代入直线的解析式得：， ∴， ∴加倍点的坐标为：． 故答案为： ． 13. 如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折问题，解决本题的关键是由翻折得到． 由翻折得到，先根据勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，所以，进而求出，再根据为等腰三角形，得到，进而求出． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知中，平分，，若，的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】欲求平行四边形的周长则需求出的值；根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求得，根据等角对等边可得，然后根据直角三角形两锐角互余可得，结合，可得，从而根据等角对等边得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长． 15. 已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系，一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此可得到方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】设出点C的坐标，得到的长度，根据三角形面积计算即可． 【详解】解：点C在轴上，设点， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴，可得， 则有或， 解得或， ∴点或 ． 17. 我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】 8或 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 18. 在中，，，，是边上一点，沿直线翻折，点落在点处，如果，那么的长为__________． 【答案】2-2 【解析】 【分析】先根据题意补全图形，并求出AC，BC的长．再根据折叠的性质可推出△ABF为等腰直角三角形，从而得出BF的长，设CD=x，则BD=-x，再证明△ACD∽△BFD，得出，从而可用含x的式子表示出DF的长，又在Rt△BDF中，根据勾股定理可得出关于x的方程，解出x，从而可得出结果． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=60°，BC=， ∴AC=1，AB=2． 由折叠的性质可得AF⊥BE， 又∠ABF=45°，∴∠BAF=90°-45°=45°， ∴AF=BF，∴BF=AB，∴BF=． 设CD=x，则BD=-x， ∵∠C=∠BFD=90°，∠ADC=∠BDF， ∴△ACD∽△BFD， ∴，即， ∴DF=． 在Rt△BDF中，BD2=DF2+BF2， ∴（-x）2=（）2+（）2， 整理得，x2+2x-1=0， 解得x=2-，或x=-2-（舍去）， 即CD=2-，∴BD=-x=2-2． 故答案为：2-2． 【点睛】此题考查了折叠的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程等知识．注意数形结合思想的应用以及折叠中的对应关系． 三、解答题（共7小题） 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是点，，，与关于x轴对称，其中，，分别是点A，B，C的对应点． （1）画出； （2）已知点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）为直角三角形．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ； 【小问2详解】 解：为直角三角形．理由如下， 理由：由勾股定理得，， ， ， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 20. 如图，在中，，点D为边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作，，分别交、于点E、F，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和判定，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键． （1）首先证明出四边形为平行四边形，然后由即可由证明出四边形是矩形； （2）首先根据矩形的性质得到，然后判断出当时，取得最小值，取得最小值，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接 ∵四边形是矩形 ∴ ∴当最小时，最小 ∴当时，取得最小值 ∵，， ∴ ∴当时， ∴ ∴ ∴的最小值为，即的最小值为． 21. 如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得：， 双曲线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接，设与y轴交于点D， 四边形为平行四边形，点C在x轴上， 轴， 点A和点B分别在双曲线和上， ，， ， ． 22. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1），A点对应的指标值为20 （2）能，见解析 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可． 【小问1详解】 解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； 【小问2详解】 解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 23. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）的长度为1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质推出是的中位线，利用证明，根据全等三角形的性质得到，结合，即可判定四边形是平行四边形； （2）根据矩形的性质得到，，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 若四边形是矩形，则 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，平行四边的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明是解题的关键． 24. 如图1，已知一次函数图象分别与，轴交于点，两点． （1）求该一次函数解析式； （2）点是正比例函数图象与该一次函数图象的交点，轴上有一动点，求的最小值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将一次函数图象沿轴翻折，点对应点为，是轴上一点，点是正比例函数图象上一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，根据两点之间的距离公式求的值，求出直线的函数解析式，进一步即可求出点坐标； （3）设点，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：以，为对角线，以，为对角线，以，为对角线，分别列二元一次方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：设该一次函数解析式为， 将，两点代入得， 解得， 该一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：解方程组， 解得， ， 如图，作点关于轴对称点，连接交轴于点，连接， ， ， 故， 即线段为的最小值， 在中，令，则， ， 则， ， 即的最小值为； 此时由，得到直线解析式为， 当时，， ； 【小问3详解】 解：， 点对应点为， 设点，， ； 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论： 以，为对角线， 可得， 解得， 点坐标为， 以，为对角线， 可得， 解得， 点坐标为， 以，为对角线， 得， 解得， 点坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，利用轴对称性质求最小值，平行四边形的判定等，本题综合性较强，难度较大． 25. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． （1）观察发现：直线的函数表达式为________． （2）探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； （3）拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】（1） （2）四边形是矩形，证明见解析 （3）秒或3秒 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． 【小问3详解】 解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $