专题11 数据的分析期末常考知识点题型基础练及新增知识点期末预测题（高效培优期末专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 覆盖数据的分析核心题型与新增预测点，聚焦集中趋势、离散程度及统计图表的综合应用，培养数据意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算术平均数与加权平均数|9题（含AI产品评分等实际应用）|考查基本计算及数据变换对平均数的影响|从基础计算到加权应用，体现数据表征的层次性| |中位数与众数|4题（含频数分布直方图情境）|结合实际情境辨析数据集中趋势|与平均数形成集中趋势分析的完整体系| |方差及应用|5题（含决策问题）|考查方差计算及稳定性判断|从离散程度量化到实际决策，体现数据分析的实用性| |新增知识点（组中值、离差平方和等）|16题（含分组优化等探究题）|聚焦统计量拓展及图表信息处理|从传统统计量到新增内容，构建完整数据分析框架|

专题11 数据的分析期末知识常考题型及新增知识点期末预测题 题型01 求算术平均数与加权平均数 题型02 利用组中值求平均数（新增知识点预测题） 题型03 求中位数与众数 题型04 根据平均数、中位数及众数求值 题型05 求数据的离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和及其分组（新增知识点预测题） 题型06 求数据的方差 题型07 根据数据的方差作决策 题型08 求数据的四分位数（新增知识点预测题） 题型09 箱线图的信息处理及其作图（新增知识点预测题） 题型01 求算术平均数与加权平均数 1．样本数据3，4，3，6的平均数是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．6 2．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．设甲种糖果的单价为每千克m元，乙种糖果的单价为每千克18元，则3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（　　）元． A． B． C． D． 4．x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7…，x20的平均数为n，则 x1，x2，…，x20的平均数为（　　） A．m+n B． C． D． 5．若样本x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为10，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，⋯，xn﹣3，平均数为　 　 ． 6．若一组数据x1，x2，⋯，x100的平均数为6，则数据2x1+3，2x2+3，⋯，2x100+3的平均数为　 　 ． 7．某学校为了引入一款适合学生使用的“AI智能学习助手”，决定从五个维度对候选产品进行测试评分．这五个维度及其在总评分中的权重（比例）如表所示： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重 30% 30% 20% 10% 10% 候选产品A在这五项指标上的实测得分依次为：90分、80分、85分、90分、90分，则该产品A的最终加权平均得分是（　　） A．85.5分 B．86分 C．88分 D．87分 8．小明参加基础知识、建模能力、思维能力三项测试，其成绩（百分制）依次为85分、90分、92分，对基础知识、建模能力、思维能力分别赋权2，3，5，计算小明的平均成绩，所得结果为（　　） A．85 B．89 C．90 D．92 9．双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习成绩、体育成绩和艺术成绩三部分，分别按5：3：2计入综合评价．若小马同学的学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为（　　） A．87 B．86 C．85 D．84 题型02 利用组中值求平均数（新增知识点预测题） 10．某校八年级学生参加每分钟跳绳的测试，并随机抽取部分学生的成绩制成了频数分布直方图（如图），若取每组的组中值作为本小组的均值，则抽取的部分学生每分钟跳绳次数的平均数（结果取整数）为（　　） A．87次 B．110次 C．112次 D．120次 11．在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数为1～5个的有5句，字数为6～10个的有27句，字数为11～15个的有32句，字数为16～20个的有21句，字数为21～25个的有9句，字数为26～30个的有6句．利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为（　　） A．11个 B．12个 C．13个 D．14个 12．某个样本的频数分布直方图中一共有4组，从左到右的组中值依次为5，8，11，14，频数依次为5，4，6，5，则频率为0.2的一组为（　　） A．6.5﹣9.5 B．9.5﹣12.5 C．8﹣11 D．5﹣8 13．李老师为了了解本班学生一天零花钱（单位：元）的花费情况，对本班学生展开调查，将他们一天花费的零花钱以2元为组距，绘制了频数分布直方图（如图），已知从左到右各组的频数之比为2：3：4：2：1．若每组的平均花费额按组中值计算，则该班学生这天平均花费额是　 　 元． 14．某市中小学举行了一场课本剧表演比赛，组委会规定：任何一个参赛选手的成绩x满足：60≤x＜100，赛后统计整理了150个选手的成绩，成绩如表： 分数段 频数 60≤x＜70 30 70≤x＜80 m 80≤x＜90 60 90≤x＜100 20 根据表提供的信息得到m＝　 　 ，利用组中值估计这些选手的平均成绩大约是 　 　 ．（结果精确到0.1） 题型03 求中位数与众数 15．为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现其8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（　　） A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5 16．某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如表：则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（　　） 尺码/鹤 40 41 42 43 44 购买数量/双 2 4 2 2 1 A．40，41 B．41，42 C．42，43 D．41，41 17．某校九年级10个班级向某贫困地区捐献图书的册数如表： 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 9班 10班 册数 84 65 98 84 90 76 84 90 103 86 这10个班所捐图书册数的中位数和众数分别是（　　） A．84册，90册 B．84册，84册 C．85册，84册 D．85册，103册 18．为了了解汽车司机遵守交通法规的意识，小明的学习小组成员协助交通警察在某路口统计的某个时段来往汽车的车速（单位：km/h）情况如图所示．根据统计图分析，这组车速数据的众数和中位数分别是（　　） A．60km/h，60km/h B．58km/h，60km/h C．60km/h，58km/h D．58km/h，58km/h 题型04 根据平均数、中位数及众数求值 19．若一组数据4，5，x，6，7的平均数是6，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D． 20．已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么x＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 21．一组数据1，3，5，8，x的中位数是5，则下列x的取值中，满足条件的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 22．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 23．已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则x的值可以是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 24．若两组数据3，a，2b，10与a，6，4b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组新数据：3，a，2b，10，a，6，4b，则这组新数据的众数为　 　 ． 题型05 求数据的离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和及其分组（新增知识点预测题） 26．一组数据3，a，4，6，7的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（　　） A．10 B． C．2 D． 27．一组数据按从小到大的顺序排列为1、1、3、x、4、6．若这组数据的中位数为3，则这组数据的离差平方和是　 　 ． 28．将数据1，4，6，7，10，12，13分成前3个一组，后4个一组，则这两组数据的组内离差平方和为（　　） A． B．21 C． D． 29．将数据1，3，5，7，9分为{1，3}和{5，7，9}两组，则组内离差平方和为　 　 ． 30．某小组的五名同学的身高（单位：cm）分别为160，170，167，165，178．把这5个数据从小到大排列后进行了分组，前3个数据分成一组，后2个数据分成另一组，可求得组内离差平方和为　 　 ，组间离差平方和为　 　 ． 31．把数据9，3，4，12，10按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（　　） A．{3}，{4，9，10，12} B．{3，4}，{9，10，12} C．{3，4，9}，{10，12} D．{3，4，9，10}，{12} 32．某班级10名学生的数学成绩（单位：分）如下：65，72，58，80，75，68，85，90，62，78．将这些数据按从小到大的顺序排列后，按组内离差平方和最小的分法为（　　） A．{58，62，65，68}和{72，75，78，80，85，90} B．{58，62，65，68，72}和{75，78，80，85，90} C．{58，62，65，68，72，75}和{78，80，85，90} D．{58，62，65，68，72，75，78}和{80，85，90} 33．在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一．虽然有多种方法可以对数据进行分组，但是使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是最合理的．下表是把1，2，3，4，5这5个数据从小到大排列后进行了分组． 分组情况 组内离差平方和 组间离差平方和 离差平方和 第一组数据 第二组数据 1 2，3，4，5 5 5 10 1，2 3，4，5 a b 10 1，2，3 4，5 c d 10 1，2，3，4 5 5 5 10 （1）求a，b的值． （2）直接写出c，d的值． （3）根据分组的情况，说明如何分组会比较合理． 题型06 求数据的方差 34．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：s2[（8）2+（6）2+（9）2+（6）2+（11）2]，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　） A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6 35．已知一组数据：4，4，4，6，7，则它的方差为　 　 ． 36．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中平均年龄和方差分别为（　　） A．13岁，4 B．15岁，3 C．15岁，4 D．13岁，3 37．已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数为a，方差为b，则数据2x1+3、2x2+3、2x3+3、2x4+3、2x5+3的平均数和方差分别为（　　） A．4a、2b+3 B．2a+3、2b C．2a+3、4b D．4a、4b+3 题型07 根据数据的方差作决策 38．某篮球队准备从甲、乙、丙、丁4名队员中选取1名成绩优异且发挥稳定的队员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 7.5 7.5 6.3 6.1 方差 0.1 0.2 0.5 0.3 则应选择的队员是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 39．甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 40．“无体育，不南开”．南开中学历来重视体育，并积极选派学生参加各类赛事．已知甲、乙、丙、丁四位同学在为期一周的封闭训练之后，进行了五次跳远测试．他们跳远成绩的平均分相同，方差分别是，，，7.2．学校想选择一名发挥稳定的学生参加某个比赛，你认为最合适的人选是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 41．近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差s2（单位：千克）如表： 甲 乙 丙 丁 25 25 24 22 s2 2.1 a 2 1.9 已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则a的值可能是（　　） A．0 B．2 C．2.2 D．1.6 题型08 求数据的四分位数（新增知识点预测题） 42．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数为（　　） A．290 B．295 C．300 D．330 43．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为：40，40，20，18，16，15，14，13，这组数据的下四分位数为（　　） A．15.5 B．15 C．14.5 D．14 44．已知某学校八年级（3）班第一小组10名同学的身高（单位：cm）如下：163，158，161，168，170，175，163，167，169，170．求这组数据的四分位数m25，m50，m75． 45．已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）分别为98，110，m，120，且上四分位数为118，则m的值为（　　） A．115 B．116 C．117 D．118 题型09 箱线图的信息处理及其作图（新增知识点预测题） 46．小伟参加如弈围棋学生社团2025年度校园挑战赛，共进行了12场比赛．积分统计小组根据小伟这12场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（　　） A．比赛最高得分是50分 B．比赛得分的中位数是50分 C．比赛得分数据集中在44.25～50分之间 D．比赛得分的上四分位数是44.25分 （多选）47．有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示，下列说法正确的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据中，一个数是3，一个数是18 48．甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数． （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 49．某银行有A和B两个理财经营团队．2025年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下： A：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40，3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．如表为他统计的两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：%）． 团队 m25 m50 m75 A 3.195 3.915 440 B a 3.890 b 请根据以上信息完成下列问题： （1）表中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示，获得了A团队数据的直观表示．请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从经营效益和稳健度方面作出评价． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 数据的分析期末知识常考题型及新增知识点期末预测题 题型01 求算术平均数与加权平均数 题型02 利用组中值求平均数（新增知识点预测题） 题型03 求中位数与众数 题型04 根据平均数、中位数及众数求值 题型05 求数据的离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和及其分组（新增知识点预测题） 题型06 求数据的方差 题型07 根据数据的方差作决策 题型08 求数据的四分位数（新增知识点预测题） 题型09 箱线图的信息处理及其作图（新增知识点预测题） 题型01 求算术平均数与加权平均数 1．样本数据3，4，3，6的平均数是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．6 【答案】C 【解答】解：平均数是． 故选：C． 2．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：平均数：（2+3+4+5+6）÷5＝4， 故选：B． 3．设甲种糖果的单价为每千克m元，乙种糖果的单价为每千克18元，则3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（　　）元． A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：3千克甲种糖果和n千克乙种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克元， 故选：D． 4．x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7…，x20的平均数为n，则 x1，x2，…，x20的平均数为（　　） A．m+n B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数为m；x6，x7…，x20的平均数为n， ∴x1，x2，…，x5的和为5m；x6，x7…，x20的和为15n， ∴x1，x2，…，x20的平均数为． 故选：D． 5．若样本x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为10，则对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，⋯，xn﹣3，平均数为　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：由题意可得：根据平均数的定义可得：，则x1+x2+x3+⋯+xn＝10n， 对于样本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，⋯，xn﹣3，其平均数为： ＝7． 6．若一组数据x1，x2，⋯，x100的平均数为6，则数据2x1+3，2x2+3，⋯，2x100+3的平均数为　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：∵一组数据x1，x2，⋯，x100的平均数为6， ∴数据2x1+3，2x2+3，⋯，2x100+3的平均数为：2×6+3＝15． 故答案为：15． 7．某学校为了引入一款适合学生使用的“AI智能学习助手”，决定从五个维度对候选产品进行测试评分．这五个维度及其在总评分中的权重（比例）如表所示： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重 30% 30% 20% 10% 10% 候选产品A在这五项指标上的实测得分依次为：90分、80分、85分、90分、90分，则该产品A的最终加权平均得分是（　　） A．85.5分 B．86分 C．88分 D．87分 【答案】B 【解答】解：∵加权平均得分＝90×30%+80×30%+85×20%+90×10%+90×10%＝86（分）， ∴该产品A的最终加权平均得分是86分， 故选：B． 8．小明参加基础知识、建模能力、思维能力三项测试，其成绩（百分制）依次为85分、90分、92分，对基础知识、建模能力、思维能力分别赋权2，3，5，计算小明的平均成绩，所得结果为（　　） A．85 B．89 C．90 D．92 【答案】C 【解答】解：小明的平均成绩为：90（分）， 故选：C． 9．双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习成绩、体育成绩和艺术成绩三部分，分别按5：3：2计入综合评价．若小马同学的学习成绩为90分，体育成绩为80分，艺术成绩为85分，则他的综合评价得分为（　　） A．87 B．86 C．85 D．84 【答案】B 【解答】解：他的综合评价得分为：86（分）． 故选：B． 题型02 利用组中值求平均数（新增知识点预测题） 10．某校八年级学生参加每分钟跳绳的测试，并随机抽取部分学生的成绩制成了频数分布直方图（如图），若取每组的组中值作为本小组的均值，则抽取的部分学生每分钟跳绳次数的平均数（结果取整数）为（　　） A．87次 B．110次 C．112次 D．120次 【答案】B 【解答】解：110次， 故选：B． 11．在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数为1～5个的有5句，字数为6～10个的有27句，字数为11～15个的有32句，字数为16～20个的有21句，字数为21～25个的有9句，字数为26～30个的有6句．利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为（　　） A．11个 B．12个 C．13个 D．14个 【答案】D 【解答】解： 该书中平均每个句子所包含的字数为14（个）， 故选：D． 12．某个样本的频数分布直方图中一共有4组，从左到右的组中值依次为5，8，11，14，频数依次为5，4，6，5，则频率为0.2的一组为（　　） A．6.5﹣9.5 B．9.5﹣12.5 C．8﹣11 D．5﹣8 【答案】A 【解答】解：各组的频数是5，4，6，5则第一组的频率是：0.25，则第四组的频率也是0.25， 第二组的频率是：0.2， 则频率为0.2的一组为第二组； 组距是8﹣5＝3，第二组的组中值是8，则第二组的范围是：6.5﹣9.5． 故选：A． 13．李老师为了了解本班学生一天零花钱（单位：元）的花费情况，对本班学生展开调查，将他们一天花费的零花钱以2元为组距，绘制了频数分布直方图（如图），已知从左到右各组的频数之比为2：3：4：2：1．若每组的平均花费额按组中值计算，则该班学生这天平均花费额是　6.5　 元． 【答案】6.5． 【解答】解：该班学生这天平均花费额为（元）； 故答案为：6.5． 14．某市中小学举行了一场课本剧表演比赛，组委会规定：任何一个参赛选手的成绩x满足：60≤x＜100，赛后统计整理了150个选手的成绩，成绩如表： 分数段 频数 60≤x＜70 30 70≤x＜80 m 80≤x＜90 60 90≤x＜100 20 根据表提供的信息得到m＝　40　 ，利用组中值估计这些选手的平均成绩大约是 　79.7　 ．（结果精确到0.1） 【答案】40，79.7； 【解答】解：m＝150﹣30﹣60﹣20＝40． 79.7， 故答案为：40，79.7； 题型03 求中位数与众数 15．为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现其8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（　　） A．5和5 B．7和5 C．5和7 D．6和5 【答案】A 【解答】解：将数据重新排列为3，4，5，5，5，6，6，7， 故中位数为，出现次数最多的数是5，故这组数据的众数为5， 故选：A． 16．某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如表：则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（　　） 尺码/鹤 40 41 42 43 44 购买数量/双 2 4 2 2 1 A．40，41 B．41，42 C．42，43 D．41，41 【答案】D 【解答】解：由表可知41出现次数最多，所以众数为41， 因为共有2+4+2+2+1＝11个数据， 所以中位数为第6个数据，即中位数为41， 故选：D． 17．某校九年级10个班级向某贫困地区捐献图书的册数如表： 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 9班 10班 册数 84 65 98 84 90 76 84 90 103 86 这10个班所捐图书册数的中位数和众数分别是（　　） A．84册，90册 B．84册，84册 C．85册，84册 D．85册，103册 【答案】C 【解答】解：从小到大排列此数据为：65，76，84，84，84，86，90，90，98，103， 第5，6个数分别为84，86，所以中位数为（84+86）÷2＝85（册）； ∵84出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是84册； 故选：C． 18．为了了解汽车司机遵守交通法规的意识，小明的学习小组成员协助交通警察在某路口统计的某个时段来往汽车的车速（单位：km/h）情况如图所示．根据统计图分析，这组车速数据的众数和中位数分别是（　　） A．60km/h，60km/h B．58km/h，60km/h C．60km/h，58km/h D．58km/h，58km/h 【答案】C 【解答】解：由条形统计图可知，车速为52、55、58、60、62、65千米/小时的车数分别是3、8、9、10、4、2， 因为数据60出现了10次，次数最多，所以众数是60（km/h）， 因为数据总数为36，中位数是位于第18和19位置两数的平均数，所以中位数是（58+58）÷2＝58（km/h）． 故选：C． 题型04 根据平均数、中位数及众数求值 19．若一组数据4，5，x，6，7的平均数是6，则x的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【解答】解：根据平均数的定义，可得5个数相加为总和为6×5＝30， ∴x＝30﹣4﹣5﹣6﹣7＝8． 故选：C． 20．已知下面的一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5，那么x＝（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解答】解：∵一组数据：7，10，x，4，0，3，它们的平均数为5， ∴5， 解得x＝6． 故选：A． 21．一组数据1，3，5，8，x的中位数是5，则下列x的取值中，满足条件的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解答】解：方法一、A、若x＝2，则数列为1，2，3，5，8，中位数为3，此选项错误； B、若x＝3，则数列为1，3，3，5，8，中位数为3，此选项错误； C、若x＝4，则数列为1，3，4，5，8，中位数为4，此选项错误； D、若x＝6，则数列为1，3，5，6，8，中位数为5，此选项正确； 方法二、∵一组数据1，3，5，8，x共5个数， ∴中位数是最中间的一个即：第三个数， ∵比5小的数有两个1和3， ∴不小于5的是5，8，x，即x≥5． 故选：D． 22．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：∵一组数据a，2，4，8，6的中位数是6， ∴a≥6， ∴a可以是6． 故选：D． 23．已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则x的值可以是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解答】解：∵一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等， ∴x＝9， 故选：C． 24．若两组数据3，a，2b，10与a，6，4b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组新数据：3，a，2b，10，a，6，4b，则这组新数据的众数为　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：第一组数据3，a，2b，10的平均数为6，则3+a+2b+10＝4×6，即a+2b＝11； 第二组数据a，6，4b的平均数为6，则a+6+4b＝3×6，即a+4b＝12； 可得：， 解得， 则第二组数据为10，6，2，第一组数据为3，10，1，10， 其中10出现3次，其他数均出现1次， 则这组新数据的众数为10． 故答案为：10． 题型05 求数据的离差平方和、组内离差平方和、组间离差平方和及其分组（新增知识点预测题） 25．学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间（单位：h）分别为4、5、5、6、10．这组数据的平均数、离差平方和分别是（　　） A．6、22 B．5、30 C．6、21 D．6、25 【答案】A 【解答】解：平均数：（4+5+5+6+10）÷5＝30÷5＝6． 这组数据的离差平方和是[（4﹣6）2+2×（5﹣6）2+（6﹣6）2+（10﹣6）2]＝22． 故选：A． 26．一组数据3，a，4，6，7的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（　　） A．10 B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：根据平均数的公式计算可得： ， 解得a＝5， ∴（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2＝10， 故选：A． 27．一组数据按从小到大的顺序排列为1、1、3、x、4、6．若这组数据的中位数为3，则这组数据的离差平方和是　18　 ． 【答案】18． 【解答】解：∵按从小到大的顺序排列为1，1，3，x，4，6，第3个数是3，第4个数为x， ∵这组数据的中位数为3， ∴3， 解得x＝3， ∴这组数据的平均数是：（1+1+3+3+4+6）÷6＝3， ∴这组数据的离差平方和：（1﹣3）2+（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣6）2+（6﹣3）2＝4+4+0+0+1+9＝18， 故答案为：18． 28．将数据1，4，6，7，10，12，13分成前3个一组，后4个一组，则这两组数据的组内离差平方和为（　　） A． B．21 C． D． 【答案】B 【解答】解：将一组数据1，4，6，7，10，12，13分成前3个一组，后4个一组，则： 由题意得，前3个数据为第一组：1，4，6，后4个数据为第二组：7，10，12，13， 计算第一组的平均数：， 第一组的组内离差平方和：（1）2+（4）2+（6）2； 计算第二组的平均数：， 第二组的组内离差平方和：（7）2+（10）2+（12）2+（13）2＝21； 总的组内离差平方和为． 故选：B． 29．将数据1，3，5，7，9分为{1，3}和{5，7，9}两组，则组内离差平方和为　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：计算每组数据的均值，然后求每组数据与均值的离差平方和可知： 对于组{1，3}，平均值， 离差平方和：S1＝（1﹣2）2+（3﹣2）2＝1+1＝2； 对于组{5，7，9}，平均值， 离差平方和：S2＝（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2＝4+0+4＝8； 总组内离差平方和S＝S1+S2＝2+8＝10． 故答案为：10． 30．某小组的五名同学的身高（单位：cm）分别为160，170，167，165，178．把这5个数据从小到大排列后进行了分组，前3个数据分成一组，后2个数据分成另一组，可求得组内离差平方和为　58　 ，组间离差平方和为　120　 ． 【答案】58，120． 【解答】解：把这5个数据从小到大排为160，165，167，170，178，第一组数据的平均数为：（160+165+167）÷3＝164， 第二组数据的平均数为：（170+178）÷2＝174， 所以组内离差平方和为：（160﹣164）2+（165﹣164）2+（167﹣164）2+（170﹣174）2+（178﹣174）2＝58，分组前平均数为：（160+165+167+170+1781）＝168， 所以组间离差平方和：3×（164﹣168）2+×（174﹣168）2＝120． 所以组间离差平方和为：58，120． 31．把数据9，3，4，12，10按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（　　） A．{3}，{4，9，10，12} B．{3，4}，{9，10，12} C．{3，4，9}，{10，12} D．{3，4，9，10}，{12} 【答案】B 【解答】解：A、第一组：（3﹣3）2＝0， 第二组：平均值8.75， 离差平方和：（4﹣8.75）2+（9﹣8.75）2+（10﹣8.75）2+（12﹣8.75）2＝34.75， 组内离差平方和：0+34.75＝34.75； B、第一组：平均值3.5， 离差平方和：（3﹣3.5）2+（4﹣3.5）2＝0.25+0.25＝0.5； 第二组：平均值， 离差平方和：（9）2+（10）2+（12）24.667； 组内离差平方和：0.5+4.667≈5.1667； C、第一组：平均值， 离差平方和：（3）2+（4）2+（9）210； 第二组：平均值11， 离差平方和：（10﹣11）2+（12﹣11）2＝1+1＝2， 组内离差平方和：10+2＝12； D、第一组：平均值6.5， 离差平方和：（3﹣6.5）2+（4﹣6.5）2+（9﹣6.5）2+（10﹣6.5）2＝12.25+6.25+6.25+12.25＝37； 第二组只有1个数据，离差平方和为0， 组内离差平方和：37+0＝37， 故选：B． 32．某班级10名学生的数学成绩（单位：分）如下：65，72，58，80，75，68，85，90，62，78．将这些数据按从小到大的顺序排列后，按组内离差平方和最小的分法为（　　） A．{58，62，65，68}和{72，75，78，80，85，90} B．{58，62，65，68，72}和{75，78，80，85，90} C．{58，62，65，68，72，75}和{78，80，85，90} D．{58，62，65，68，72，75，78}和{80，85，90} 【答案】B 【解答】解：A、对于{58，62，65，68}，平均数为63.25，离差平方和为54.75；对于{72，75，78，80，85，90}，平均数为80，离差平方和为218， ∴组内离差平方和为54.75+218＝272.75； B、对于{58，62，65，68，72}，平均数为65，离差平方和为116；对于{75，78，80，85，90}，平均数为81.6，离差平方和为141.2， ∴组内离差平方和为116+141.2＝257.2； C、对于{58，62，65，68，72，75}，平均数为66.67，离差平方和为199.3；对于{78，80，85，90}，平均数为83.25，离差平方和为86.75， ∴组内离差平方和为199.3+86.75＝286.08； D、对于{58，62，65，68，72，75，78}，平均数为68.29，离差平方和为309.42；对于{80，85，90}，平均数为85，离差平方和为50， ∴组内离差平方和为309.42+50＝359.42． 综上可得，按组内离差平方和最小的分法为{58，62，65，68，72}和{75，78，80，85，90}． 故选：B． 33．在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一．虽然有多种方法可以对数据进行分组，但是使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是最合理的．下表是把1，2，3，4，5这5个数据从小到大排列后进行了分组． 分组情况 组内离差平方和 组间离差平方和 离差平方和 第一组数据 第二组数据 1 2，3，4，5 5 5 10 1，2 3，4，5 a b 10 1，2，3 4，5 c d 10 1，2，3，4 5 5 5 10 （1）求a，b的值． （2）直接写出c，d的值． （3）根据分组的情况，说明如何分组会比较合理． 【答案】（1）a＝2.5，b＝7.5； （2）（2）c＝2.5，d＝7.5； （3）分成{1，2}和{3，4，5}或{1，2，3}和{4，5}，能使“组内离差平方和最小”，这样的分组比较合理． 【解答】解：（1）∵1.5，4， ∴，2， ∴a＝0.5+2＝2.5， ∵3， ∴b＝2×（1.5﹣3）2+3×（4﹣3）2＝7.5； （2）c＝2.5，d＝7.5； （3）由分组情况可知，把5个数分成{1，2}和{3，4，5}或{1，2，3}和{4，5}，能使“组内离差平方和最小”，这样的分组比较合理． 题型06 求数据的方差 34．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：s2[（8）2+（6）2+（9）2+（6）2+（11）2]，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　） A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6 【答案】C 【解答】解：由方差的计算公式知，这组数据为6、6、8、9、11， 所以这组数据的平均数为8，众数为6，中位数为8， 方差为s2[（8﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（11﹣8）2]＝3.6， 故选：C． 35．已知一组数据：4，4，4，6，7，则它的方差为　1.6　 ． 【答案】1.6． 【解答】解：这组数据的平均数为：（4+4+4+6+7）÷5＝5， 它的方差为：[3×（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝1.6． 故答案为：1.6． 36．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中平均年龄和方差分别为（　　） A．13岁，4 B．15岁，3 C．15岁，4 D．13岁，3 【答案】B 【解答】解：学生没有变动，则今年升为七（1）班的每名学生年龄均增加2岁，而所有学生的年龄变化幅度没有变化， 所以今年升为七（1）班的学生年龄中平均年龄的平均数增加2岁，方差不变， 即今年升为七（1）班的学生年龄中平均年龄为15岁，方差不变，即方差为3， 故选：B． 37．已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数为a，方差为b，则数据2x1+3、2x2+3、2x3+3、2x4+3、2x5+3的平均数和方差分别为（　　） A．4a、2b+3 B．2a+3、2b C．2a+3、4b D．4a、4b+3 【答案】C 【解答】解：∵一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是a，方差是b， ∴，b[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+（x4﹣a）2+（x5﹣a）2]， ∴数据2x1+3、2x2+3、2x3+3、2x4+3、2x5+3的平均数为： ＝2a+3； 数据2x1+3、2x2+3、2x3+3、2x4+3、2x5+3的方差为： [（2x1+3﹣2a﹣3）2+（2x2+3﹣2a﹣3）2+（2x3+3﹣2a﹣3）2+（2x4+3﹣2a﹣3）2+（2x5+3﹣2a﹣3）2] [4（x1﹣a）2+4（x2﹣a）2+4（x3﹣a）2+4（x4﹣a）2+4（x5﹣a）2]， ＝4[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+（x3﹣a）2+（x4﹣a）2+（x5﹣a）2]， ＝4b． 故选：C． 题型07 根据数据的方差作决策 38．某篮球队准备从甲、乙、丙、丁4名队员中选取1名成绩优异且发挥稳定的队员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 7.5 7.5 6.3 6.1 方差 0.1 0.2 0.5 0.3 则应选择的队员是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：∵甲和乙的平均数均为7.5，高于丙的6.3和丁的6.1， ∴应选择甲或乙． ∵乙的方差为0.2，甲的方差为0.1， ∴甲更稳定， 故应选择的队员是甲； 故选：A． 39．甲、乙、丙、丁四位同学进行了10次计算比赛，甲丙两人10次的平均成绩都是95，乙丁两人10次的平均成绩都为93，但是方差分别是，，，，这10次比赛中成绩又高又稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：∵95＞93， ∴甲丙两人10次的平均成绩更高； ∵，， ∴， ∴甲丙当中，甲同学的成绩更稳定， ∴这10次比赛中成绩又高又稳定的是甲， 故选：A． 40．“无体育，不南开”．南开中学历来重视体育，并积极选派学生参加各类赛事．已知甲、乙、丙、丁四位同学在为期一周的封闭训练之后，进行了五次跳远测试．他们跳远成绩的平均分相同，方差分别是，，，7.2．学校想选择一名发挥稳定的学生参加某个比赛，你认为最合适的人选是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：∵3.5＜4.3＜6.8＜7.2， ∴跳远成绩最稳定的是甲． 故选：A． 41．近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差s2（单位：千克）如表： 甲 乙 丙 丁 25 25 24 22 s2 2.1 a 2 1.9 已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则a的值可能是（　　） A．0 B．2 C．2.2 D．1.6 【答案】D 【解答】解：∵乙的10棵果树产量不都一样， ∴a＞0； ∵乙品种产量最稳定， ∴方差a最小； 其他品种方差：甲为2.1，丙为2，丁为1.9，最小方差为1.9； ∴a＜1.9 ∴a的值可能是1.6． 故选：D． 题型08 求数据的四分位数（新增知识点预测题） 42．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的上四分位数为（　　） A．290 B．295 C．300 D．330 【答案】B 【解答】解：这8个数按从小到大的顺序排列为：188，240，260，284，288，290，300，360， 则这组数据中“上四分位数”是6个与第7个数的平均数，即295． 故选：B． 43．2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为：40，40，20，18，16，15，14，13，这组数据的下四分位数为（　　） A．15.5 B．15 C．14.5 D．14 【答案】C 【解答】解：前8名的金牌数依次为：40，40，20，18，16，15，14，13， 则这组数据的下四分位数为14.5． 故选：C． 44．已知某学校八年级（3）班第一小组10名同学的身高（单位：cm）如下：163，158，161，168，170，175，163，167，169，170．求这组数据的四分位数m25，m50，m75． 【答案】m25＝163，m50＝167.5，m75＝170． 【解答】解：把10名同学的身高（单位：cm）从小到大排列为：158，161，163，163，167，168，169，170，175，170， 故m25＝163，m50167.5，m75＝170． 45．已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）分别为98，110，m，120，且上四分位数为118，则m的值为（　　） A．115 B．116 C．117 D．118 【答案】B 【解答】解：∵数据98，110，m，120的上四分位数为118， ∴118， 解得m＝116． 故选：B． 题型09 箱线图的信息处理及其作图（新增知识点预测题） 46．小伟参加如弈围棋学生社团2025年度校园挑战赛，共进行了12场比赛．积分统计小组根据小伟这12场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（　　） A．比赛最高得分是50分 B．比赛得分的中位数是50分 C．比赛得分数据集中在44.25～50分之间 D．比赛得分的上四分位数是44.25分 【答案】C 【解答】解：由箱线图可知， 比赛最高得分是55分，故选项A说法错误，不符合题意； 比赛得分的中位数是45分，故选项B说法错误，不符合题意； 比赛得分数据集中在44.25～45分之间，说法正确，故选项C符合题意； 比赛得分的下四分位数是44.25分，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． （多选）47．有一组被墨水污染的数据：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图所示，下列说法正确的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据中，一个数是3，一个数是18 【答案】ACD 【解答】解：根据箱线图的定义逐项分析判断如下： A．这组数据的下四分位数是4，说法正确，符合题意； B．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为10.5，不符合题意； C．这组数据的上四分位数是15，说法正确，符合题意； D．箱线图下边缘是3，上边缘是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，符合题意； 故选：ACD． 48．甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组成绩的四分位数． （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【答案】（1）m25＝70，m50＝90，m75＝96； （2） （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 【解答】解：（1）将甲组的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，所以m25＝70，，m75＝96； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图如下： （3）根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同，但甲组成绩明显比乙组的波动大． 49．某银行有A和B两个理财经营团队．2025年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下： A：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40，3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某同学想要利用四分位数分析A，B两个团队的经营水平．如表为他统计的两个团队理财产品收益率数据的四分位数（单位：%）． 团队 m25 m50 m75 A 3.195 3.915 440 B a 3.890 b 请根据以上信息完成下列问题： （1）表中a＝　3.635　 ，b＝　4.125　 ； （2）该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示，获得了A团队数据的直观表示．请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从经营效益和稳健度方面作出评价． 【答案】（1）3.635，4.125； （2）通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明细比团队B的收益率的波动性大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 【解答】解：（1）将B团队负责经营的12项理财产品的收益率（单位：%）按从小到大排列为：3.18.3.40.3.60.3.67.3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数， ∴a3.635，b4.125． 故答案为：3.635，4.125； （2）补全B团队的箱线图，如图所示； 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明细比团队B的收益率的波动性大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 1 学科网（北京）股份有限公司 $