第02讲 全等三角形（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学新教材苏科版

第02讲 全等三角形（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 全等三角形 在几何的世界里，我们常常会遇到一些“双胞胎”图形.比如两块完全一样的三角板，或者用同一张底片冲洗出来的照片.如果把它们叠在一起，你会发现它们能够完全重合.在数学上，我们把这种能够完全重合的两个图形叫做“全等形”，如果是三角形，就叫“全等三角形”.既然它们能严丝合缝地叠在一起，那它们身上的边和角之间，一定藏着某种神奇的相等关系！ 接下来，就让我们通过几张图，直观地感受全等三角形的“重合”与“对应”吧！ 【知识点1 全等三角形】 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 【知识点2 全等三角形的性质】 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【知识点3 三角形全等变换】 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、轴对称或旋转变换前后的三角形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【题型1 全等三角形及其对应元素】 【例1】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【变式1-1】如果和关于点成中心对称，那么和的关系是________． 【变式1-2】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【题型2 判断与全等三角形的性质有关的正误】 【例2】如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【变式2-2】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，点在线段上，，，下列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：是等腰直角三角形； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：连接，阴影部分的面积为． A．结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B．只有结论Ⅰ和Ⅱ对 C．只有结论Ⅱ和Ⅲ对 D．只有结论Ⅰ和Ⅲ对 【题型3 利用全等三角形的性质求线段长度】 【例3】（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，，，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】如图，已知和是对应角，和是对应边，，则的长度为（    ）. A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【题型4 利用全等三角形的性质求角的度数】 【例4】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， ，点D 在边上，若，则的度数为__________． 【变式4-1】已知图中的两个三角形全等，则度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，则的度数是_______ 【题型5 利用全等三角形的性质求周长】 【例5】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，，则的周长为_____． 【变式5-1】（24-25八年级上·河北邢台·期中）若，且的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-2】（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 【变式5-3】如图，，点D在边上，与交于点P，已知，． （1）的度数为 _____； （2）与的周长和为 _____． 【题型6 利用全等三角形的性质求面积】 【例6】如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是________． 【变式6-1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，过点作，垂足为 的面积是11，，则的长是_________． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【变式6-3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________． 【题型7 利用全等三角形的性质解决平移问题】 【例7】（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 【变式7-1】（24-25七年级下·四川德阳·期末）将沿方向平移得到，点，，分别对应点，，，若，，则________． 【变式7-2】如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是______________．    【变式7-3】如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【题型8 利用全等三角形的性质解决轴对称问题】 【例8】和关于直线L对称，若的周长为，，．则________． 【变式8-1】如图，沿边所在的直线翻折得到，，，则的周长是_____． 【变式8-2】如图，在△ABC中，，点D在边AB上，连结CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，使，CE交AB于点F．若，则的大小是__________（用含的代数式表示）． 【变式8-3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ，EF，DF为折痕．若A，B，C恰好都落在同一点P上，AE＝1，则ED＝___． 【题型9 利用全等三角形的性质解决旋转问题】 【例9】如图，在中，，，将绕点O沿逆时针方向旋转得到，则线段的长是_____；的度数是_____．    【变式9-1】如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是_________． 【变式9-2】在如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点C顺时针旋转得到，且，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，点C的对应点E恰好落在边BC的延长线上，AD与BE相交于点F，若，则________． 【题型10 利用全等三角形的性质判断两条线段之间的关系】 【例10】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，，．试判断与的关系，并说明理由． 【变式10-1】如图所示，已知于点，．    (1)若，，求的长． (2)试判断和的关系，并说明理由 【变式10-2】如图所示，已知，点B，D，E，C在同一条直线上．    (1)与有何关系？请说明理由． (2)与相等吗？请说明理由． 【变式10-3】如图，在正方形中，为上一点，为边延长线上一点，使绕点顺时针旋转至．试猜想与之间有怎样的关系？请说明理由． 模块三 课后作业 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，是沿边所在的直线翻折得到的，已知，，则_____度． 7．（25-26七年级下·上海·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是______ 8．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    9．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，，其中点在一条直线上，若，则的度数为___________．    10．全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点_____，的对应角是_____； (2)已知，，求的长． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 13．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 14．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 15．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 全等三角形（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+10个题型+课后作业】 模块二 全等三角形 在几何的世界里，我们常常会遇到一些“双胞胎”图形.比如两块完全一样的三角板，或者用同一张底片冲洗出来的照片.如果把它们叠在一起，你会发现它们能够完全重合.在数学上，我们把这种能够完全重合的两个图形叫做“全等形”，如果是三角形，就叫“全等三角形”.既然它们能严丝合缝地叠在一起，那它们身上的边和角之间，一定藏着某种神奇的相等关系！ 接下来，就让我们通过几张图，直观地感受全等三角形的“重合”与“对应”吧！ 【知识点1 全等三角形】 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 【知识点2 全等三角形的性质】 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【知识点3 三角形全等变换】 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、轴对称或旋转变换前后的三角形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【题型1 全等三角形及其对应元素】 【例1】（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 【变式1-1】如果和关于点成中心对称，那么和的关系是________． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称的性质，直接利用中心对称的性质可得答案． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为： 【变式1-2】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解： ， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【题型2 判断与全等三角形的性质有关的正误】 【例2】如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案． 【详解】解：A、沿直角边所在的直线向右平移得到，则 成立，故正确，不符合题意； B、为直角三角形，则成立，故正确，不符合题意； C、不能成立，故错误，符合题意； D、为对应角，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【变式2-1】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ， 而不一定成立， 观察四个选项，C选项符合题意， 故选：C． 【变式2-3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，点在线段上，，，下列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：是等腰直角三角形； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：连接，阴影部分的面积为． A．结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B．只有结论Ⅰ和Ⅱ对 C．只有结论Ⅱ和Ⅲ对 D．只有结论Ⅰ和Ⅲ对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形．根据全等三角形的性质可得，，，从而可得是等腰直角三角形；然后利用对顶角相等可得，再利用三角形的内角和定理可得，最后根据三角形的面积公式可得的面积，再根据图形的面积和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： ， ，，， ， 是等腰直角三角形； ，，， ， ； 的面积， 阴影部分的面积的面积的面积的面积 的面积 ； 上列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是Ⅰ和Ⅱ， 故选：B． 【题型3 利用全等三角形的性质求线段长度】 【例3】（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，，，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由，得，然后通过线段的和与差得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-1】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 故选：D． 【变式3-2】如图，已知和是对应角，和是对应边，，则的长度为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等成为解题的关键． 由全等三角形的性质可得，然后再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选B． 【变式3-3】（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知，的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则的周长是______． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下： 情况1：列方程组 解得， 此时的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 【题型4 利用全等三角形的性质求角的度数】 【例4】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， ，点D 在边上，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形判定及性质，三角形内角和定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据题意可知，利用等腰三角形性质可知，通过即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】已知图中的两个三角形全等，则度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，在第一个三角形中，为，两边的夹角度数， 在第二个三角形中，为，两边的夹角， ∴． 故选：A． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理应用，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的对应角相等，得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，则的度数是_______ 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质、平行线的性质，通过角的和差运算得出是解题关键． 通过三角形全等得出，进而得出，再根据和求得，进而求得． 【详解】解： ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【题型5 利用全等三角形的性质求周长】 【例5】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，，，则的周长为_____． 【答案】16 【分析】根据全等三角形的性质得到，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴的周长为． 【变式5-1】（24-25八年级上·河北邢台·期中）若，且的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质即可直接得出答案． 【详解】解：∵，且的周长为6， ∴的周长也为6， 故选：D． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 【变式5-3】如图，，点D在边上，与交于点P，已知，． （1）的度数为 _____； （2）与的周长和为 _____． 【答案】 /66度 【分析】（1）根据求得，再结合全等三角形的性质求解即可； （2）根据可得，进而即可求解； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴与的周长和 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【题型6 利用全等三角形的性质求面积】 【例6】如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是________． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的性质可得，即可求出EG=2，根据全等三角形的性质得，则都减去的面积得，梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴都减去的面积得，梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积， 即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握都减去的面积得梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积． 【变式6-1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，，过点作，垂足为 的面积是11，，则的长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据的面积是11，，求得边上的高，进而根据得出的长，即可求解． 【详解】解：∵的面积是11，，设边上的高为， ∴， ∵， ∴，边上的高与边上的高相等， ∴ 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，则的面积是__________． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质；由题意得，，则全等三角形的面积相等；由三角形中位线定理得；根据的面积等于长方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴；，， ∴的中点分别为D，E， ∵， ∴； ∵ ． 故答案为：48． 【变式6-3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 【题型7 利用全等三角形的性质解决平移问题】 【例7】（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 【答案】12 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 【变式7-1】（24-25七年级下·四川德阳·期末）将沿方向平移得到，点，，分别对应点，，，若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的性质，根据平移的性质可得，进而可得，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式7-2】如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是______________．    【答案】15 【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到即，，可求出，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式7-3】如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明及是解题的关键． 由平移得，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：由平移得， ， ， ∵四边形为长方形，， ， ， 故答案为：． 【题型8 利用全等三角形的性质解决轴对称问题】 【例8】和关于直线L对称，若的周长为，，．则________． 【答案】12 【分析】根据和关于直线L对称可知，故的周长为，据此得出结论． 本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解题的关键． 【详解】∵和关于直线L对称，的周长为， ∴， ∴的周长为， ·∵． 故答案为：12． 【变式8-1】如图，沿边所在的直线翻折得到，，，则的周长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，折叠的性质，根据折叠性质得，根据全的三角形的性质，的周长就等于的周长，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：根据题意得，， ∴的周长就等于的周长， ∵， ∴的周长为：， ∴的周长为， 故答案为：． 【变式8-2】如图，在△ABC中，，点D在边AB上，连结CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，使，CE交AB于点F．若，则的大小是__________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据折叠的性质、全等三角形的性质、平行线的性质、角的和差、三角形的外角定理进行推导即可得解． 【详解】解：∵沿翻折得到 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换、全等三角形的性质、平行线的性质、角的和差以及三角形的外角定理，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 【变式8-3】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点．将∠A，∠B，∠C按如图所示的方式向内翻折，EQ，EF，DF为折痕．若A，B，C恰好都落在同一点P上，AE＝1，则ED＝___． 【答案】 【分析】连接，根据折叠的性质得出三角形全等，根据三角形全等的性质得出对应边相等，由，利用等量代换分别求出． 【详解】解：连接如下图所示： 根据A，B，C恰好都落在同一点P上及折叠的性质， 有， ， ， 根据正方形的性质得：， ， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形全等的性质，解题的关键是添加辅助线，通过等量代换的思想进行解答． 【题型9 利用全等三角形的性质解决旋转问题】 【例9】如图，在中，，，将绕点O沿逆时针方向旋转得到，则线段的长是_____；的度数是_____．    【答案】 6 /135度 【分析】根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵将绕点O沿逆时针方向旋转得到， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：6；． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，图形旋转前后的两个图形全等，正确确定旋转角是解题关键． 【变式9-1】如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是_________． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质可得，可求得 ，由三角形的内角和可求得 ，从而得解． 【详解】解：∵绕点C旋转得到， ∴ ， ∴， ∴ ， 即 ∵， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，旋转的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 【变式9-2】在如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点C顺时针旋转得到，且，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，，由旋转的性质推出，求出，即可得到答案； 【详解】解：四边形是正方形， ，， 由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数是， 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 【变式9-3】如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，点C的对应点E恰好落在边BC的延长线上，AD与BE相交于点F，若，则________． 【答案】/2∶7 【分析】由旋转的性质得到△ABC≌△ADE，得到，由得到，进一步求得，进一步即可求得． 【详解】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转，点C的对应点E恰好落在边BC的延长线上 ∴△ABC≌△ADE ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 作AH⊥BE于点H， 则 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、三角形的面积等知识，推导出是解答此题的关键． 【题型10 利用全等三角形的性质判断两条线段之间的关系】 【例10】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，，．试判断与的关系，并说明理由． 【答案】，；理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等，是解题的关键．根据全等三角形的性质，得出，，证明，即可得出答案． 【详解】解：，；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-1】如图所示，已知于点，．    (1)若，，求的长． (2)试判断和的关系，并说明理由 【答案】(1)3 (2)，，理由见解析 【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解； （2）根据全等的性质得出，，然后由即可得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； （2）∵ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴，且． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 【变式10-2】如图所示，已知，点B，D，E，C在同一条直线上．    (1)与有何关系？请说明理由． (2)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，结合，，从而可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，结合，，从而可得结论； 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵，， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，角的和差运算，线段的和差运算，熟记全等三角形的性质是解本题的关键． 【变式10-3】如图，在正方形中，为上一点，为边延长线上一点，使绕点顺时针旋转至．试猜想与之间有怎样的关系？请说明理由． 【答案】垂直且相等 【分析】延长BE，与DF交于点G，由旋转得到△BCE≌△DCF，从而得到BE=DF，∠CBE=∠CDF，再证明∠CBE+∠F=90°，即可得到∠BGF=90°，可得结论． 【详解】解：延长BE，与DF交于点G， 由于旋转可得： △BCE≌△DCF， ∴∠CBE=∠CDF，BE=DF， ∵∠CDF+∠F=90°， ∴∠CBE+∠F=90°， ∴∠BGF=90°， 即BE⊥DF， 故BE和DF之间的关系是：垂直且相等． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，解题的关键是根据旋转得到三角形全等． 模块三 课后作业 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 2．（2026·山东济南·二模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 4．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．如图，点，，分别在的边，，上（不与顶点重合），设，．若，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠C，∠BED=∠EFC，再利用三角形内角和定理可得出等量关系，化简即可． 【详解】解： ∵， ∴∠B=∠C，∠BED=∠EFC， ∵，，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴，, ∴， ∵在△EFC中，， ∴,即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和全等三角形的性质．熟练掌握定理，能结合图形完成角度之间的转化是解题关键． 6．如图所示，是沿边所在的直线翻折得到的，已知，，则_____度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理，折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠性质可知，再运用三角形内角和求出，再运用全等三角形的性质求出，最后根据角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是沿边所在的直线翻折得到的， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·上海·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是______ 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．利用三角形内角和定理求得边与边的夹角，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：在左侧三角形中，边与边的夹角为 两个三角形全等， 对应角相等． 由图可知，是边与边的夹角， 的度数是． 8．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 9．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，，其中点在一条直线上，若，则的度数为___________．    【答案】/度 【分析】先由三角形外角定理求出，再结合全等三角形、平行线的性质得到，进而利用三角形内角和求． 【详解】解：，是的外角 ， ， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 又， ． 10．全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点_____，的对应角是_____； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)E， (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据与关于直线对称确定对称点，从而确定对称角； （2）利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13．（25-26八年级上·山东·课后作业）如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：， ，． ． 的周长． 答：的周长为． 14．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的性质可知，进而得到，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 15．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 第 1 页 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