第01讲 三角形中的线段和角（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学新教材苏科版

第01讲 三角形中的线段和角（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 三角形的边和角 同学们，上课前我们先来看一个大家非常熟悉的生活场景.这是小明同学每天上学的路线图.从他的家到学校，一共有三条路可以走： 第一条路是直直的马路； 第二条路需要先拐个弯，绕过公园； 第三条路则要绕得更远，穿过菜市场. 如果你是小明，为了上学不迟到，你会选择走哪一条路？为什么呢？ 没错，大家都会不约而同地选择中间这条直直的路.因为在数学上有一个我们早已熟知的公理——“两点之间，线段最短”. 现在，老师想把这幅路线图变个魔术.如果我们把小明家、拐弯的路口和学校这三个点连起来，大家看，这条最短的直路和另外两条弯路，是不是正好围成了一个什么图形？（引导学生回答：三角形）. 如果我们把最短的这条直路叫做边c，另外两条弯路看作边a和边b，那么根据“走直路最近”的生活常识，a和b加起来的路程一定比c要长.也就是说，a + b > c. 通过刚才的路线图，我们发现三角形的两条边加起来似乎总比第三条边要长.那么，是不是任意长度的三条线段，都能像这样围成一个三角形呢？ 【知识点1 三角形的三边关系】 1. 三角形两边的和大于第三边．如图，△ABC中，，，． 2. 两边的差小于第三边． 【知识点2 三角形边和角的关系】 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大． 【题型1 构成三角形的条件】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 【变式1-1】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川达州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 【题型2 确定第三边的取值范围】 【例2】（25-26七年级下·上海·期中）在三角形中，，，第三边的取值范围是______． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知三角形的三边长分别为3，6，a，则的值可以为__________．（填一个即可） 【变式2-2】（25-26八年级上·广西玉林·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）三根底端对齐的小棒被挡板遮住了一部分，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 三角形三边关系的实际生活应用】 【例3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是______． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离为米，在某次训练挑战中他不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度．由于米尺长度有限，小刚测得米，米．根据小刚的测量，他______完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【变式3-3】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，经测量：，为了固定木架再钉一根木条，木条两端点恰好在点A和点C，则的长度可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【题型4 应用三角形三边关系解决线段的和差比较问题】 【例4】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，平分．连接和，则____（用不等号表示大小关系） 【变式4-1】如图，将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【变式4-3】如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 【题型5 三角形的边和角之间的关系】 【例5】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在，已知，，那么___________．(填“”“”或“”) 【变式5-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 模块三 三角形的中线、角平分线、高 在三角形这个奇妙的几何世界里，有三位非常重要的“内部向导”.它们都从三角形的一个顶点出发，奔向对边，但各自的“使命”却截然不同：第一位是寻找对边中点的“中线”，第二位是负责平分内角的“角平分线”，第三位则是与对边垂直相交的“高”.它们共同构成了三角形内部最核心的骨架. 接下来，就让我们通过一张图，直观地看看这三位“向导”在三角形里长什么样子吧！ 【知识点3 三角形的三条重要的线段】 名称 图形 定义 几何语言 三角形 的中线 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 因为，所以为的中线 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线 因为，所以是的角平分线 三角形 的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 因为于点，所以是的高 【题型6 根据三角形中线求长度】 【例6】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【变式6-1】（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，是边的中线，若，，则的长为______． 【变式6-3】如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【题型7 根据三角形中线求面积】 【例7】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，则_______． 【变式7-2】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，是边上的中线，点在上，连接，．若的面积为，则阴影部分的面积为_____． 【变式7-3】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为__________． 【题型8 根据三角形角平分线的定义求角的度数】 【例8】在中，，，是的角平分线，则的度数为____________ 【变式8-1】如图，为的高，为的角平分线，若，则______． 【变式8-2】如图，平分，，，则______    【变式8-3】如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 【题型9 画三角形的高】 【例9】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【变式9-2】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（是点C的对应点），其中线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【题型10 与三角形的高有关的计算问题】 【例10】如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为______． 【变式10-2】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 【变式10-3】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，直线与直线，直线分别相交于点，，若于点，交直线于点． (1)若与互余，试判断直线，直线的位置关系，并说明理由； (2)若，，，则点到直线的距离是________． 【题型11 等积法的应用】 【例11】（24-25七年级下·全国·课后作业）（项目式学习）【探究学习】用不同方式表示同一图形的面积可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为“面积法”．请利用“面积法”自主探究三角形高线之间的数量关系． 【问题情境】如图，在中，，点为边所在直线上任意一点，连接．已知分别是、的高． (1)利用三角板在图、图中分别作中边上的高； (2)图中之间的数量关系为______________； (3)如图，当点在延长线上时，判断之间的数量关系，并说明理由． 【变式11-1】（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 【变式11-2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【变式11-3】（25-26八年级上·山东·期中）综合与实践 【问题提出】探究图形中线的之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系 【特例研究】 （1）如图1，在中，，点是边的中点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作干点F，连接，由分割法可得图形面积 ，则 【推广探索】 （2）如图2，在中，，点是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，是等边三角形，点P是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．设点P到三边，，的距离分别为，，，的高为．求证： 【题型12 分类讨论思想在高线问题中的应用】 【例12】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【变式12-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知在中，，是边上的高，若，则________． 【变式12-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为边上的高，若，则的度数为________． 【变式12-3】（25-26八年级上·河南周口·期中）已知、分别是的高和中线，若，则等于_____． 模块四 课后作业 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（    ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．1，2，4 D．1，1，2 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 4．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 5．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 8．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是( )平方厘米。 10．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知a、b、c是的三条边长，化简的结果为______． 11．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分，平分，，交于点，连接．若，，则_____________． 13．如图，三角形中，，，点A到边的距离为3． (1)点C到边的距离应该是哪条线段的长？请作出这条线段； (2)求点C到边的距离． 14．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知等腰的两边x，y满足，求的周长． 15．如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．连接AD，试说明与的大小关系． 16．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在中，平分，于点．的平分线所在直线与射线相交于点，若，且，求的度数． 17．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是30，则的面积为___________． 18．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 19．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． 若是的中线，请判断与的大小关系，并说明理由． 若，则：______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．直接写出，与之间的等量关系；_______． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 三角形中的线段和角（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 三角形的边和角 同学们，上课前我们先来看一个大家非常熟悉的生活场景.这是小明同学每天上学的路线图.从他的家到学校，一共有三条路可以走： 第一条路是直直的马路； 第二条路需要先拐个弯，绕过公园； 第三条路则要绕得更远，穿过菜市场. 如果你是小明，为了上学不迟到，你会选择走哪一条路？为什么呢？ 没错，大家都会不约而同地选择中间这条直直的路.因为在数学上有一个我们早已熟知的公理——“两点之间，线段最短”. 现在，老师想把这幅路线图变个魔术.如果我们把小明家、拐弯的路口和学校这三个点连起来，大家看，这条最短的直路和另外两条弯路，是不是正好围成了一个什么图形？（引导学生回答：三角形）. 如果我们把最短的这条直路叫做边c，另外两条弯路看作边a和边b，那么根据“走直路最近”的生活常识，a和b加起来的路程一定比c要长.也就是说，a + b > c. 通过刚才的路线图，我们发现三角形的两条边加起来似乎总比第三条边要长.那么，是不是任意长度的三条线段，都能像这样围成一个三角形呢？ 【知识点1 三角形的三边关系】 1. 三角形两边的和大于第三边．如图，△ABC中，，，． 2. 两边的差小于第三边． 【知识点2 三角形边和角的关系】 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大． 【题型1 构成三角形的条件】 【例1】（25-26七年级下·福建泉州·期中）在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 【答案】A 【详解】解：∵对于选项A，较小两边为3和6，最大边为8，，∴能围成三角形，符合题意． ∵对于选项B，较小两边为2和3，最大边为5，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项C，较小两边为1和1，最大边为2，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项D，较小两边为3和4，最大边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川达州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【答案】11或13 【分析】本题考查非负性，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质求出，的值，再分类讨论腰长的不同情况，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，周长是11或13． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是______（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即， ∴， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙 ． 【题型2 确定第三边的取值范围】 【例2】（25-26七年级下·上海·期中）在三角形中，，，第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可知，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ，即， 第三边的取值范围是． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）已知三角形的三边长分别为3，6，a，则的值可以为__________．（填一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的取值范围，再任取一个范围内的值即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得 即 ∴的值可以为4（答案不唯一）． 【变式2-2】（25-26八年级上·广西玉林·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长． 【详解】解：设第三边长为x， 则，即， 又∵x为整数， ∴x最大为6， ∴三角形的周长最大值为， 故选：A． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江金华·期末）三根底端对齐的小棒被挡板遮住了一部分，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4 故选：D． 【题型3 三角形三边关系的实际生活应用】 【例3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系得出，根据的取值范围判断即可． 【详解】解： 根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴A、B的距离在和之间， ∴A、B之间的距离可能是． 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的实际应用．由题意知，结合构成三角形的三边关系即可得到，代值求解即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两点可以重合， 可以为， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小刚平时跳跃泥潭障碍训练中助跑跳跃距离为米，在某次训练挑战中他不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度．由于米尺长度有限，小刚测得米，米．根据小刚的测量，他______完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用．根据，可得答案. 【详解】解：由题意可知，， ∴小刚能完成这项训练挑战． 故答案为：能． 【变式3-3】（24-25八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，经测量：，为了固定木架再钉一根木条，木条两端点恰好在点A和点C，则的长度可能是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形三边关系，根据三角形两边长确定第三边的范围即可做出判断． 【详解】解：由题意得：在中，， ，即， 在中，， ，即， ， 故选：C． 【题型4 应用三角形三边关系解决线段的和差比较问题】 【例4】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，平分．连接和，则____（用不等号表示大小关系） 【答案】> 【分析】本题主要考查了利用构造全等三角形和三角形三边关系来比较线段大小关系，关键在于巧妙构造全等三角形进行线段的转化．通过在上截取，构造全等三角形，将转化为，再利用三角形三边关系来比较与的大小． 【详解】解：在上截取，连接，如图： 平分， ， 又 ，， ， ， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边， 可得， ， ，即． 故答案为：>． 【变式4-1】如图，将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是利用三角形的三边关系进行解题．根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，进而可判断与的大小关系． 【详解】解：如下图， 根据题意，， ， ∵在中，， ∴ ， ∴． 故选：A． 【变式4-2】如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 【变式4-3】如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可． 【详解】（1）解：，理由为： ， ∴ 即： （2），理由为： 在中，， 在中，， 两式相加得：+ 即： （3），理由为： 如图，延长交的延长线于G，交于点F， 在中，，① 在中，，② 中，，③ 得： 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键． 【题型5 三角形的边和角之间的关系】 【例5】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在，已知，，那么___________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形中大边对大角即可得到结果． 【详解】解：在中，对的是，对的是， ，， ， ． 故答案为： ． 【变式5-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 模块三 三角形的中线、角平分线、高 在三角形这个奇妙的几何世界里，有三位非常重要的“内部向导”.它们都从三角形的一个顶点出发，奔向对边，但各自的“使命”却截然不同：第一位是寻找对边中点的“中线”，第二位是负责平分内角的“角平分线”，第三位则是与对边垂直相交的“高”.它们共同构成了三角形内部最核心的骨架. 接下来，就让我们通过一张图，直观地看看这三位“向导”在三角形里长什么样子吧！ 【知识点3 三角形的三条重要的线段】 名称 图形 定义 几何语言 三角形 的中线 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 因为，所以为的中线 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线 因为，所以是的角平分线 三角形 的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高 因为于点，所以是的高 【题型6 根据三角形中线求长度】 【例6】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【详解】解：∵是的一条中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 【变式6-1】（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，是边的中线，若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的中线的定义，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形的中线的定义得到，得到，解二元一次方程组计算即可． 【详解】解：是边的中线， ， ，， ∴ 联立， 解得 ∴， 故答案为：2． 【变式6-3】如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长 的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【题型7 根据三角形中线求面积】 【例7】（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，则_______． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形求解即可． 【详解】解：是的中线，， ， 故答案为：3． 【变式7-2】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，是边上的中线，点在上，连接，．若的面积为，则阴影部分的面积为_____． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴是的中线， ∴， ∴； 故答案为：10． 【变式7-3】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为__________． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故答案为：12． 【题型8 根据三角形角平分线的定义求角的度数】 【例8】在中，，，是的角平分线，则的度数为____________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出的度数，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 是的角平分线， ， 故答案为： 【变式8-1】如图，为的高，为的角平分线，若，则______． 【答案】/80度 【分析】根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是利用外角表示出． 【变式8-2】如图，平分，，，则______    【答案】 【分析】根据三角形的外角性质可得，求得，根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：在中，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的定义是解题的关键． 【变式8-3】如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，…，的平分线与的平分线交于点，得，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及角平分线找到规律：后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可． 【详解】解；∵平分，平分， ∴，， ∵由三角形外角的性质可得，， ∴， 以此类推， ， …… ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键． 【题型9 画三角形的高】 【例9】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段， ∴中边上的高应过顶点且垂直于所在直线， 观察图形可知，，垂足为， ∴边上的高线为． 【变式9-1】（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 【变式9-2】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，则中边上的高是过C点作的垂线，据此判断即可． 【详解】解：A、不是边上的高，故A不符合题意； B、不是边上的高，故B不符合题意； C、为边上的高，故C不符合题意； D、为边上的高，故D符合题意． 【变式9-3】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（是点C的对应点），其中线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高，熟知折叠的性质及中线的定义是解题的关键． 根据折叠的性质结合高线的定义对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由所给折叠方式可知， A选项中折痕与垂直且平分， 所以折出的是中边上的中线． 故A选项不符合题意； B选项中的， 所以折出的是中的平分线． 故B选项不符合题意； C选项中折痕与垂直且平分， 所以折出的折痕是边的垂直平分线， 所以， 不能得出， 故C选项不符合题意； D选项中的与垂直， 所以折出的是中边上的高线． 故D选项符合题意； 故选：D． 【题型10 与三角形的高有关的计算问题】 【例10】如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 【变式10-1】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为______． 【答案】 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴的面积， 故答案为： 【变式10-2】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图，，为垂足，，为垂足，，，，那么点到的距离是_______，点到的距离是_____． 【答案】 6 【分析】根据点到直线的距离定义，找到点到的垂线段，直接利用已知的长度得到结果； 先通过直角三角形的两条直角边计算三角形面积，再以为底、为高，结合面积相等的关系列等式求解的长度． 【详解】解：∵，垂足为， ∴点到的垂线段为， 又∵， ∴点到的距离是． ∵在中，，，， ∴． ∵，垂足为， ∴点到的距离是的长度， 此时，已知， ∴，解得， ∴点到的距离是． 【变式10-3】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，直线与直线，直线分别相交于点，，若于点，交直线于点． (1)若与互余，试判断直线，直线的位置关系，并说明理由； (2)若，，，则点到直线的距离是________． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、垂直的定义、三角形的面积公式，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，得出，根据互余的性质得出，推出，再利用内错角相等，两直线平行即可得出结论． （2）过点作于点，利用等面积法求出的长，即可得到点到直线的距离． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， 与互余， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点， 三角形的面积， ， 点到直线的距离是． 故答案为：． 【题型11 等积法的应用】 【例11】（24-25七年级下·全国·课后作业）（项目式学习）【探究学习】用不同方式表示同一图形的面积可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为“面积法”．请利用“面积法”自主探究三角形高线之间的数量关系． 【问题情境】如图，在中，，点为边所在直线上任意一点，连接．已知分别是、的高． (1)利用三角板在图、图中分别作中边上的高； (2)图中之间的数量关系为______________； (3)如图，当点在延长线上时，判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解； (2)； (3)，理由见详解． 【分析】本题主要考查了画三角形的高，用高线表示三角形的“面积法”，等腰三角形的性质，解题的关键是找准面积之间的数量关系． （1）在图、图中分别过点作，如图，图所示； （2）根据和，即可求解； （3）根据和，即可求解． 【详解】（1）解：在图、图中分别过点作，如图，图所示； ； （2）解： ， ， ， ； 故答案为：； （3）解：之间的数量关系为：，理由如下： ， ， ， ， ． 之间的数量关系为：． 【变式11-1】（25-26八年级下·陕西延安·阶段检测）如图，，的面积等于5，，，则的面积是___________． 【答案】20 【分析】过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可求解． 【详解】解：过作于点，过作于点， ∵， ∴， ∴， ∵的面积等于5，，， ∴， ∴． 【变式11-2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 【变式11-3】（25-26八年级上·山东·期中）综合与实践 【问题提出】探究图形中线的之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系 【特例研究】 （1）如图1，在中，，点是边的中点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作干点F，连接，由分割法可得图形面积 ，则 【推广探索】 （2）如图2，在中，，点是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，是等边三角形，点P是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．设点P到三边，，的距离分别为，，，的高为．求证： 【答案】（1），，；（2）证明见解析（3）证明见解析 【分析】本题考查了三角形的高与面积、等边三角形的性质，熟练掌握分割法是解题关键． （1）根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据可得，由此即可得； （2）连接，先根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据可得，由此即可得证； （3）连接，先根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据等边三角形的性质可得，则可得，然后根据，，，即可得证． 【详解】（1）解：由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，． （2）证明：如图，连接， 由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：如图，连接， 由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点到三边，，的距离分别为，，，的高为， ∴，，，， ∴． 【题型12 分类讨论思想在高线问题中的应用】 【例12】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【变式12-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知在中，，是边上的高，若，则________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的高，三角形内角和定理；根据是边上的高，得到，在中，利用三角形内角和定理求出，再在中，利用三角形内角和定理求出，有锐角和钝角两种情况，需分类讨论. 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 又∵， 当为锐角时，如图所示， ∴在中，， 即， 在中，， ∴， 当为钝角时，如图所示， ∴在中，， ∴即， 在中，， ∴. 故答案为：或. 【变式12-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为边上的高，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和，正确画出图形是解题的关键． 分高在内部和外部两种情况讨论；利用三角形内角和定理及高的性质计算． 【详解】解：当高在内部时，如图， ，在中，； 当高在外部时（点D在延长线上）， ，则， 在中，， 故答案为：或． 【变式12-3】（25-26八年级上·河南周口·期中）已知、分别是的高和中线，若，则等于_____． 【答案】4或2 【分析】本题考查的是三角形的中线和高，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．分为锐角三角形、钝角三角形两种情况，根据三角形的中线和高的概念解答即可． 【详解】解：如图1，，， ， 是的中线， ， 如图2，，， ， 是的中线， ， 故答案为：或． 模块四 课后作业 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（    ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．1，2，4 D．1，1，2 【答案】A 【详解】解：选项A中，两条较短边为和，最长边为，，满足三边关系，符合题意； 选项B中，两条较短边为和，最长边为，，不满足三边关系，不符合题意； 选项C中，两条较短边为和，最长边为，，不满足三边关系，不符合题意； 选项D中，两条较短边为和，最长边为，，不满足三边关系，不符合题意． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个，选B． 3．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线 C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 4．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 5．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 6．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是( )平方厘米。 【答案】 【分析】本题考查了网格求三角形的面积；有理数的混合运算的应用，根据题意将阴影部分分为三角形与长方形，再相加即可求解． 【详解】解：如图所示， 阴影部分面积为： 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知a、b、c是的三条边长，化简的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的化简，合并同类项，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据三角形三边关系定理确定代数式的正负，然后根据绝对值的性质进行化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a、b、c是的三条边长， ∴， ∴， ， ， ． 11．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有_____种选法． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分，平分，，交于点，连接．若，，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，熟练掌握三角形的三条角平分线交于一点是解题的关键．利用三角形的三条角平分线交于一点得出平分，再利用三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，三角形中，，，点A到边的距离为3． (1)点C到边的距离应该是哪条线段的长？请作出这条线段； (2)求点C到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点C到边的距离为4． 【分析】（1）过C点作交延长线于F点，然后根据点到直线的距离的定义求解； （2）过A点作于E点，如图，则，然后利用面积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，点C到边的距离为线段的长； ； （2）解：过A点作于E点，如图，则， ∵， ∴， 即点C到边的距离为4． 14．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知等腰的两边x，y满足，求的周长． 【答案】13或14 【分析】本题考查非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据非负性求出的值，再分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， 且， ，，                 当x是腰，y是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 当y是腰，x是底边时，，能组成三角形， 此时的周长， 综上，的周长为13或14． 15．如图，在中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．连接AD，试说明与的大小关系． 【答案】 【分析】由三角形的三边关系得：，，，则，即可得出结论． 【详解】解：， 理由：在中，． 在中，． 在中，． ． ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 16．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在中，平分，于点．的平分线所在直线与射线相交于点，若，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，设，，则，结合三角形外角性质进行列式计算，，则，又因为进行建立方程，再解方程，即可作答． 【详解】解：如图，平分，平分， ，， 设，， 则， ∵， ∴， 由外角的性质得：，， 则， ∵， ， 解得：， ∴， ． 17．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是30，则的面积为___________． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由为的高，可得，再由可得，再由平分，可以求出，最后由是三角形的外角便可求出； （2）由中线的性质可得，再根据可得，进一步可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：是的高， ， ， ， 平分， ， 是外角， ． （2）解：是的中线， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系：________； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点落在上的点，折痕交于点，连接．发现：由于，……，根据发现，请证明（1）中所猜想的结论； 【应用结论】（3）在中，已知，那么、、有怎样的大小关系？________（用“”表示出来） 【类比探究】（4）如图3，在中，．小洛同学运用类似的操作进行探究：折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接．请证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质等知识点，灵活运用这些性质是解决此题的关键． （1）由图形可猜想； （2）利用三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）由（2）知，长边对大角即可得解； （4）先由折叠得出,再利用三角形三边关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：由图观察猜想得：, 故答案为：； （2）证明：由折叠可得, , , ； （3）解：由（2）知，长边对大角， 又∵， ∴， 故答案为：； （4）证明：由折叠知，, 在中，, , ． 19．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． 若是的中线，请判断与的大小关系，并说明理由． 若，则：______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．直接写出，与之间的等量关系；_______． 【答案】(1)①，理由见解析；② (2) 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果；②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴点为的中点，， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $