第01讲 探索勾股定理（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学新教材北师大版

第01讲 探索勾股定理（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 探索勾股定理 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 【知识点1 勾股定理】 文字语言 符号语言 图示 变式 应用 直角三角形两直角边的和等于的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. ； ； ； 【题型1 由勾股定理求线段长度】 【例1】如图，在中，，于，，，则为___． 【答案】6 【分析】根据勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）． 故答案为：6． 【变式1-1】中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可． 【详解】解：在中，，， 为斜边，由勾股定理得， ，， ， 边长为正数， ． 故选：A． 【变式1-2】如图，在四边形中，，，，，求的长． 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵在中，，， ∴． 【变式1-3】已知直角三角形的两条边长分别是4和5，那么这个三角形的第三条边的长为（   ） A．4 B．3 C．3或 D．4或 【答案】C 【分析】本题未说明已知的两条边是否均为直角边，需分情况讨论，利用勾股定理计算第三边长度． 【详解】解：∵直角三角形已知两条边长为4和5，未明确哪条边是斜边， ∴分两种情况计算： ①当5为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得，第三边长为； ②当5为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长为； 因此，第三边长为3或． 故选：C． 【题型2 由勾股定理求面积】 【例2】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 【答案】A 【分析】连接对角线。因为和，所以和都是直角三角形，且它们共用斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。利用这个定理，我们可以找到与四边形各边平方的关系，进而求出。 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意，，，， 在中，，根据勾股定理有： ∴ 在中，，根据勾股定理有： ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【变式2-1】如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（    ） A．17 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 故选：A． 【变式2-2】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ） A．4 B．16 C．22 D．55 【答案】B 【分析】本题考查了“一线三直角”模型，勾股定理解三角形，解题关键是通过已知条件证明三角形全等，从而得到b的面积=a的面积+c的面积． 【详解】如图，标出点，得到， 则由正方形性质得， ， ， 同理， 由 ， ， ， 由已知得， 正方形b的面积． 故选：B． 【变式2-3】已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理可知，根据等腰直角三角形的性质可知，，，根据三角形的面积公式可知，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，， ， ， 、、均为等腰直角三角形， ，，， ，，， ． 故选：D． 【题型3 利用勾股定理求线段的平方和（差）】 【例3】如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【变式3-1】如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【变式3-2】如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 【变式3-3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 【题型4 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例4】如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 故选：C． 【变式4-1】如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 【变式4-2】设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理和直角三角形等面积法推导a，b，h的数量关系，即可得到正确答案． 【详解】解：设该直角三角形的斜边长为， 根据勾股定理可得 ， ∵直角三角形的面积可表示为，也可表示为， ∴ ，即， ∴ ， 两边同时平方得， 等式两边同时除以得，即． 故选：C． 【变式4-3】有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． （1）写出上述说理过程； （2）试说明：． 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用． （1）根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，进而代入计算即可； （2）由（1）可知，，根据完全平方公式得到，，可知，即可证明． 【详解】（1）解：在中，，，，，，， 所以，， 所以， 所以． （2）解：由（1）可知，， 所以． 因为都是正数， 所以， 所以． 【题型5 勾股定理的证明】 【例5】图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 【分析】大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，由此列式即可． 【详解】证明：选择图1： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴． 选择图2： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴， ∴． 【变式5-1】中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简后判断即可． 【详解】解：A、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； B、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，展示了完全平方公式的几何意义，故符合题意； C、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； D、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意． 故选：B． 【变式5-2】阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． （3）这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）解：由题意可知，， ， ∵， ∴，即． （3）解：如图所示：可解释的代数恒等式为． 【变式5-3】动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 （1）【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． （2）【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． （3）【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． （4）【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3） ， ， ，， ； （4）证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 【题型6 以弦图为背景的计算】 【例6】我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与赵爽弦图的应用，核心是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的边长关系，逐一验证三个推断的正确性． 【详解】解： 由勾股定理可知，①正确； ， ，②正确； ，， ，③正确． 故选：D． 【变式6-1】如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A．36 B．30 C．76 D．60 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意得， 根据勾股定理得， ∴风车的外围周长是． 故选：C． 【变式6-2】第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 【答案】9 【分析】先由勾股定理得，再由完全平方公式得，进而得，再由三角形的面积为，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积为． 故答案为：9． 【变式6-3】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 故选：C． 【题型7 利用勾股定理构造图形解决问题】 【例7】《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【答案】 【分析】取的中点，过点作的垂线，设寸，根据题意，可得寸，寸，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，过点作的垂线，垂足为， 设寸， 由题可知，，尺寸，寸， 寸，寸， 寸， 在中，， ， 解得， 寸尺， 则门宽是尺． 故答案为：． 【变式7-1】数形结合是解决数学问题非常好用的一种方法，根据形的直观性可知代数式的最小值是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把加法算式中的两部分转化成线段是解题的关键． 如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ．易得当A、E、C三点共线，则的值最小为，然后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作线段，在上截取，过D作且，则．过B作且，过E作于F，则，， ． ∴， ∴当A、E、C三点共线，则的值最小为， 如图：在中，，， ∴． 故选D． 【变式7-2】如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． （1）第一小组的方法是将旗绳的底端从点滑动到点，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗杆的高度； （2）第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离（的长度）． 【分析】（1）设旗杆的长为，则旗绳的长为，根据勾股定理建立方程，即可求解； （2）由题意可知：，，，过点作，垂足为，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：设旗杆的长为，则旗绳的长为． ， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度为； （2）解：由题意可知：，，， 过点作，垂足为， 则，， ， ， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 【变式7-3】如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 【分析】（1）过作垂直于墙面，垂足为点，则，勾股定理即可求解． （2）延长交墙面于点，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则， 由题意可知，， 由勾股定理得：， 答：小凳子顶点与墙面的距离为； （2）如图②，延长交墙面于点，则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，      ， 答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为． 【题型8 勾股定理与网格问题】 【例8】如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于D，根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出中边上的高即可． 【详解】解：过点A作于D，如图所示： ∵小正方形的边长为1， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选C． 【变式8-1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 【答案】2 【分析】点在线段上运动，当时，线段有最小值，利用网格计算的面积，再由，计算出的最小值． 【详解】解：点在线段上运动，当时，线段有最小值， 而， ， 得． 故答案为：． 【变式8-2】如图，每个小方格的边长都是1，求： （1）求的周长； （2）画出边上的高，并求的面积； （3）画出边上的高，并求出边上的高． 【分析】（1）根据勾股定理可求出、，再根据三角形周长定义求解即可； （2）先画出边上的高，再根据面积计算公式计算即可； （3）先画出边上的高，再根据三角形的面积求出高即可； 【详解】（1）， ，， 故的周长为； （2）如图所示，是边上的高， 的面积； （3）如图所示，是边上的高， ． 【变式8-3】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为； （3）如图，点是小正方形的顶点，求的度数． 【分析】（1）以格点为顶点画边长为的正方形即可； （2）根据勾股定理确定三角形的顶点，顺次连接即可； （3）连接，点所在的竖格线与点所在的横格线交于点，由勾股定理可得，证明，可得，，，即可得的度数． 【详解】（1）解：如图，正方形为所求， 正方形的边长是，面积是． （2）解：如图，为所求， ，，． （3）解：连接，点所在的竖格线与点所在的横格线交于点， ∵，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模块三 课后作业 1．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 2．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】利用勾股定理分别计算各线段的长即可得解． 【详解】解：由图可知，， ， ， ， 长度为的是线段． 故选：A． 3．将三个正方形按如图放置，其中，DE经过点A，三个正方形的面积分别记为，若，则_________． 【答案】 【分析】连接，由可得，，，从而得，，从而可得． 【详解】解：连接，则是直角三角形， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4． 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，根据题意得到，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 5．在中，，若，，求的周长． 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再将三边长度相加得到三角形的周长． 【详解】解：，，， ， 的周长为． 6．在中，是高．若，求的长． 【分析】先理解题意，根据是高，运用勾股定理列式计算得，，然后进行分类讨论且结合作图，最后列式运算，得出的长，即可作答． 【详解】解：是的高， ． 由勾股定理，得， 当在的内部时，如图1所示： 则 当在的外部时，如图2， 综上所述，的长为或． 7．在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； （1）求线段的长； （2）当为直角三角形时，求t的值． 【分析】（1）根据勾股定理构建方程求解即可； （2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即； （2）解：由题意知． ①当时，如图1，点P与点C重合，， ∴． ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或． 8．如图，实心球（视为小黑点）从一个高为的高台处，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为、高为的矮台．求实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度． 【分析】利用辅助线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明，将AC、BD、CD转化到同一个直角三角形中，最后利用勾股定理求出绳索长度，结合旗杆高度求出最低点即可． 【详解】解：作于，于，则， ， ， 在和中， ， ， ，， （米）， （米）． 又（米），且， ，即， （米）， （米）， （米）， 在中，由勾股定理得： ， （米）， 米（绳索长度不变）， （米）， 答：实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度为2米． 9．按要求解答下列各题： （1）问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 （2）类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 10．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． （1）如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． （2）如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 探索勾股定理（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 探索勾股定理 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 【知识点1 勾股定理】 文字语言 符号语言 图示 变式 应用 直角三角形两直角边的和等于的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. ； ； ； 【题型1 由勾股定理求线段长度】 【例1】如图，在中，，于，，，则为___． 【变式1-1】中，，，，则（      ） A．10 B．14 C．12 D．5 【变式1-2】如图，在四边形中，，，，，求的长． 【变式1-3】已知直角三角形的两条边长分别是4和5，那么这个三角形的第三条边的长为（   ） A．4 B．3 C．3或 D．4或 【题型2 由勾股定理求面积】 【例2】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（ ） A．18 B．19 C．26 D．34 【变式2-1】如图五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列．三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积．问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．17 B．14 C．15 D．16 【变式2-2】如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ） A．4 B．16 C．22 D．55 【变式2-3】已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用勾股定理求线段的平方和（差）】 【例3】如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【变式3-1】如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【变式3-2】如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【变式3-3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【题型4 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例4】如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a、b及h，那么a、b、h的数量关系是（       ） A． B． C． D． 【变式4-3】有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． （1）写出上述说理过程； （2）试说明：． 【题型5 勾股定理的证明】 【例5】图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 【变式5-1】中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： （1）下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． （2）请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． （3）这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【变式5-3】动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 （1）【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． （2）【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． （3）【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． （4）【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【题型6 以弦图为背景的计算】 【例6】我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式6-1】如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A．36 B．30 C．76 D．60 【变式6-2】第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为________． 【变式6-3】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【题型7 利用勾股定理构造图形解决问题】 【例7】《九章算术》是古代东方数学代表作，这是国际学术界已公认的史实．其第九章《勾股》有一题的大意是：如图，假设推开双门（和），门边缘点，距门槛为1尺，且双门间隙为2寸，则门宽是____尺．（1尺10寸） 【变式7-1】数形结合是解决数学问题非常好用的一种方法，根据形的直观性可知代数式的最小值是（   ） A．4 B． C． D．5 【变式7-2】如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． （1）第一小组的方法是将旗绳的底端从点滑动到点，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗杆的高度； （2）第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离（的长度）． 【变式7-3】如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 【题型8 勾股定理与网格问题】 【例8】如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 【变式8-1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 【变式8-2】如图，每个小方格的边长都是1，求： （1）求的周长； （2）画出边上的高，并求的面积； （3）画出边上的高，并求出边上的高． 【变式8-3】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为； （3）如图，点是小正方形的顶点，求的度数． 模块三 课后作业 1．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 2．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是）中，标记格点（网格线的交点），，，，则下列线段中，长度为的是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．将三个正方形按如图放置，其中，DE经过点A，三个正方形的面积分别记为，若，则_________． 4． 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ．    5．在中，，若，，求的周长． 6．在中，是高．若，求的长． 7．在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； （1）求线段的长； （2）当为直角三角形时，求t的值． 8．如图，实心球（视为小黑点）从一个高为的高台处，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为、高为的矮台．求实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度． 9．按要求解答下列各题： （1）问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 （2）类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 10．阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． （1）如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． （2）如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $