专题04复数（期末复习讲义）高一数学下学期北师大版

专题04 复数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 复数的概念 题型二 复数的几何意义 题型三 复数的加减乘除运算和共轭复数 题型四 复数的模长和共轭复数 题型五 一元二次方程的复数解 题型六 复数乘法的几何意义初探 题型七 复数的三角表示式 题型八 复数的乘除运算的几何意义 题型九 复数的最值 题型十 复数的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 能准确判断复数的概念，实部，虚部，复数的几何意义，复数的模，共轭复数的概念和公式. 基础必考点，常出现在小题，考查对应的复数的概念，模长和共轭复数等. 复数的计算 能准确进行复数的计算，实数化进行求解 基础必考点，常出现在小题中，考查对应的复数的相关计算. 一元二次方程的复数根 能准确计算一元二次方程的复数根，且满足韦达定理及对应的关系. 基础必考题，常出现在小题中，考查对应的根的计算. 复数的三角表示 能进行复数的三角表示 选考题，常出现在小题中，考查复数的三角表示及三角函数的运算 复平面的表示及范围 能准确进行复平面的表示及圆的范围求解 基础必考点，常出现在小题中，考查复数模的范围及圆的范围表示. 知识点01 复数的概念和分类 1、复数的概念及表示：形如（)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、复数的分类：对于复数，当时，它是实数；当时，叫做虚数，当时，叫做纯虚数. 3、复数相等：与相等的充要条件是且. 4、复数的几何意义：复数对应复平面的点为，对应向量为. 5、复数的模：. 6、共轭复数：复数的共轭复数：. ·易错点：纯虚数中的遗忘，共轭复数，复数的模与平方的关系欢笑 知识点02 复数的相关运算 1、复数的加减运算：. 2、复数的乘法运算：. 3、复数的除法运算：. ·易错点：除法计算中分母实数化上理解不足 知识点03 一元二次方程的根与复数范围 1、一元二次方程的根：求解方程的根，当时，. 2、复数范围：，则，即表示为. ·易错点：复数范围转化为圆内或圆外范围中表示不清晰 题型一 复数的概念 解｜题｜技｜巧 分清实部、虚部，利用复数代数形式运算；复数相等则实部、虚部分别相等；模长套用公式，乘除运算先化简分母实数化。 易｜错｜点｜拨 误将当作虚部，虚部仅指；忽略时复数为实数、且时为纯虚数的条件；运算混淆实数运算法则，分母实数化漏乘项，求模时记错公式。 【典例1】．若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【典例2】．若复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知i为虚数单位，若，则实数的值为（ ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【变式2】．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】．设为虚数单位，，则“”是“复数是纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 复数的几何意义 解｜题｜技｜巧 复数对应平面点与向量，模长即为向量模、点到原点距离。两点距离套用复数差的模求解，旋转问题结合向量旋转规律分析。 易｜错｜点｜拨 混淆实轴、虚轴对应坐标，虚轴上点除原点外对应纯虚数；误把向量终点坐标当作复数本身；求距离时分不清复数加减与向量运算关系，旋转方向、角度判断出错。 【典例1】．已知i为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】．已知复数．若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．若复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【变式3】．已知，复数在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型三 复数的加减乘除运算和共轭复数 解｜题｜技｜巧 加减运算实部、虚部分别合并；乘法按多项式展开计算；除法利用共轭复数分母实数化。共轭复数，满足，可简化运算。 易｜错｜点｜拨 计算时符号出错；除法漏乘分子；混淆与形式；误用实数运算律；忽略纯虚数、实数对应的共轭复数特征，化简后未整理成标准形式。 【典例1】．（ ） A． B．1 C． D． 【典例2】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 题型四 复数的模长和共轭复数 解｜题｜技｜巧 设，模，共轭复数。熟记性质：结合几何意义求解，模满足。 易｜错｜点｜拨 求模时漏开根号；混淆共轭复数符号；误将等同于；套用性质时忽略运算顺序，利用共轭复数化简时出现符号、计算失误。 【典例1】．若复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A．10 B． C．5 D． 【典例2】．已知复数在复平面内对应的点为，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】．若复数满足，则（ ） A． B．2 C． D．3 题型五 一元二次方程的复数解 解｜题｜技｜巧 对实系数方程，先算判别式。时，利用求根公式写出共轭虚根，牢记实系数方程虚根成对共轭。可结合韦达定理，由根反求参数、代数式求值。 易｜错｜点｜拨 仍套用实数根结论；忽略虚根互为共轭的性质；使用韦达定理时符号出错；化简虚根计算失误，混淆实数根与复数根的判定条件。 【典例1】．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A．10 B． C．6 D． 【典例2】．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（ ） A． B． C． D．1 【变式1】．若虚数是关于x的一元二次方程的一个根，则（ ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 题型六 复数乘法的几何意义初探 解｜题｜技｜巧 复数一一对应复平面内点和向量，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。复数加减对应向量加减，模代表向量长度、点到原点距离，借助数形结合解题。 易｜错｜点｜拨 误将虚轴正半轴当作虚部；混淆复数、点、向量三者对应关系；计算模长记错公式；忽略原点既在实轴也在虚轴，判断纯虚数对应点时出现失误。 【典例1】．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】．（ ） A．1 B． C． D． 【变式1】．若复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知复数，则（ ） A．0 B．1 C． D．2 题型七 复数的三角表示式 解｜题｜技｜巧 将化为，先求模、辐角。乘除运算用三角形式，模相乘除、辐角相加减；乘方开方套用棣莫弗公式。 易｜错｜点｜拨 混淆辐角与辐角主值范围；转化时三角函数符号出错；运算弄错辐角加减规则；忽略三角形式的标准书写格式，开方时漏写全部根。 【典例1】．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】．欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ） A．=0 B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【变式1】．棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【变式3】．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 题型八 复数的乘除运算的几何意义 解｜题｜技｜巧 复数相乘，对应向量模相乘、辐角相加；相除则模相除、辐角相减，结合旋转与伸缩分析图形变化。借助三角形式运算，利用几何关系求点、轨迹与角度问题。 易｜错｜点｜拨 旋转方向判断颠倒；混淆乘除对应的辐角运算；忽略模的缩放变化；误用辐角主值范围；无法结合图形转化代数条件，解题思路脱节。 【典例1】．已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A． B． C． D． 【典例2】．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知复数，则（ ）． A． B． C． D． 【变式2】．设有复数，，令，则复数（ ） A． B． C． D． 题型九 复数的最值 解｜题｜技｜巧 利用复数几何意义，将模的最值转化为复平面内距离、轨迹问题；也可设代数形式结合函数、不等式求解。常见轨迹有圆、线段等，借助数形结合找极值点。 易｜错｜点｜拨 混淆复数模的几何含义；忽略轨迹范围导致最值出错；代数换元后忽视自变量取值限制；套用不等式时未验证等号成立条件，计算距离时出现偏差。 【典例1】．满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【典例2】．若复数z满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A．若，则或 B．若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆 C．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 D．若，则点Z的集合中有且只有两个元素 【变式2】．已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 题型十 复数的综合应用 解｜题｜技｜巧 综合运用复数代数、三角形式及几何意义，结合方程、不等式、轨迹等知识解题。灵活使用共轭复数、模的性质简化运算，遇几何问题优先数形结合，复杂计算分步化简。 易｜错｜点｜拨 各类形式转换时符号出错；混用实数运算性质；忽略虚根成对、纯虚数限定条件；几何转化失误，遗漏变量取值范围，多条件叠加时逻辑梳理混乱。 【典例1】．（多选）已知，是复数，则下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【典例2】．（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【典例3】．（多选）在代数发展史上的很长一段时间内，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.我们发现：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积，进而一元次多项式方程有个复数根（重根按重数记），我们发现这些根与系数之间存在一些确定的关系.比如，实系数一元二次方程在复数集内的根为，，容易得到，.根据以上信息，下列关于方程的结论，正确的有（ ） A．是该方程唯一的有理数解 B．方程存在两个虚数根，且它们为共轭复数 C．若方程在复数集内的根为，，，，则 D．若方程在复数集内的根为，，，，则 【变式1】．（多选）设为复数，其中，则下列正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式2】．（多选）下列关于非零复数、的结论正确的有（ ） A．若，则、互为共轭复数 B． C．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D．若，则 【变式3】．（多选）设复数z满足，则（ ） A． B． C．关于z的方程有解 D．若复数w满足，则 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知复数是纯虚数，则实数（ ） A． B． C． D． 3．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 4．已知复数，则的虚部为（ ） A．1 B． C． D． 5．已知是关于x的方程的一个根，则（ ） A．2 B．0 C． D． 6．若复数，其中为虚数单位，则下列结论错误的是（ ） A．在复平面内对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．为纯虚数 二、多选题 7．已知复数，则下列结论正确的有（ ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 8．已知复数，且，则（ ） A．是纯虚数 B． C．若，则 D．若，则是实数 三、填空题 9．设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 10．已知（，，i为虚数单位），则_________. 四、解答题 11．已知复数. (1)求z的共轭复数； (2)求的实部和虚部； (3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．设a为实数，复数，，若为纯虚数，则（ ） A． B． C． D．3 4．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 5．已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（ ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 6．设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知为虚数单位，以下命题正确的是（ ） A．若复数满足，则 B．若复数满足，则为纯虚数 C．若复数，满足，则 D．若，则对应的点在复平面内的第一象限 8．下列关于复数的四个命题，真命题的为（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则 三、填空题 9．计算：______． 故答案为：1000． 10．已知，，，则的值为__________． 四、解答题 11．已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足． (1)求的取值范围； (2)若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值； (3)在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知，则（ ） A． B． C．1 D．2 2．已知，且为虚数单位，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 3．任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 4．已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ） A． B．3 C． D．1 5．（多选）已知，是复数，则下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 6．（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A．若，则 B． C．若，则 D． 7．已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 8．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 复数的概念 题型二 复数的几何意义 题型三 复数的加减乘除运算和共轭复数 题型四 复数的模长和共轭复数 题型五 一元二次方程的复数解 题型六 复数乘法的几何意义初探 题型七 复数的三角表示式 题型八 复数的乘除运算的几何意义 题型九 复数的最值 题型十 复数的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 能准确判断复数的概念，实部，虚部，复数的几何意义，复数的模，共轭复数的概念和公式. 基础必考点，常出现在小题，考查对应的复数的概念，模长和共轭复数等. 复数的计算 能准确进行复数的计算，实数化进行求解 基础必考点，常出现在小题中，考查对应的复数的相关计算. 一元二次方程的复数根 能准确计算一元二次方程的复数根，且满足韦达定理及对应的关系. 基础必考题，常出现在小题中，考查对应的根的计算. 复数的三角表示 能进行复数的三角表示 选考题，常出现在小题中，考查复数的三角表示及三角函数的运算 复平面的表示及范围 能准确进行复平面的表示及圆的范围求解 基础必考点，常出现在小题中，考查复数模的范围及圆的范围表示. 知识点01 复数的概念和分类 1、复数的概念及表示：形如（)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，实部是，虚部是. 2、复数的分类：对于复数，当时，它是实数；当时，叫做虚数，当时，叫做纯虚数. 3、复数相等：与相等的充要条件是且. 4、复数的几何意义：复数对应复平面的点为，对应向量为. 5、复数的模：. 6、共轭复数：复数的共轭复数：. ·易错点：纯虚数中的遗忘，共轭复数，复数的模与平方的关系欢笑 知识点02 复数的相关运算 1、复数的加减运算：. 2、复数的乘法运算：. 3、复数的除法运算：. ·易错点：除法计算中分母实数化上理解不足 知识点03 一元二次方程的根与复数范围 1、一元二次方程的根：求解方程的根，当时，. 2、复数范围：，则，即表示为. ·易错点：复数范围转化为圆内或圆外范围中表示不清晰 题型一 复数的概念 解｜题｜技｜巧 分清实部、虚部，利用复数代数形式运算；复数相等则实部、虚部分别相等；模长套用公式，乘除运算先化简分母实数化。 易｜错｜点｜拨 误将当作虚部，虚部仅指；忽略时复数为实数、且时为纯虚数的条件；运算混淆实数运算法则，分母实数化漏乘项，求模时记错公式。 【典例1】．若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】复数， 因为复数的实部与虚部互为相反数， 所以. 【典例2】．若复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的模以及除法法则化复数为代数形式，即得结果. 【详解】，则， 即， 故的虚部为. 故选：D 【变式1】．已知i为虚数单位，若，则实数的值为（ ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 【变式2】．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设复数，再根据复数模的公式，以及复数相等，即可求解. 【详解】设，， 所以，所以， 解得：， 所以. 故选：C 【变式3】．设为虚数单位，，则“”是“复数是纯虚数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简复数，根据复数是纯虚数求出，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】. 因为复数是纯虚数，所以，解得. 所以“”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件. 故选：A. 题型二 复数的几何意义 解｜题｜技｜巧 复数对应平面点与向量，模长即为向量模、点到原点距离。两点距离套用复数差的模求解，旋转问题结合向量旋转规律分析。 易｜错｜点｜拨 混淆实轴、虚轴对应坐标，虚轴上点除原点外对应纯虚数；误把向量终点坐标当作复数本身；求距离时分不清复数加减与向量运算关系，旋转方向、角度判断出错。 【典例1】．已知i为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由题知，再根据复数的除法运算得，再得到点，判断象限即可． 【详解】， 在复平面对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 【典例2】．已知复数．若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数表示的点在第四象限，且，且，解得. 【变式1】．若复数在复平面内对应的点在直线上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得，进而得出复数，最后利用复数乘法运算即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为 又点在直线上， 所以，解得， 所以复数， ， 故选：D. 【变式2】．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法法则得到，再将对应复数相减，最后按复数减法运算法则计算得出结果. 【详解】根据向量运算关系可得：， 所以所对应的复数为：. 【变式3】．已知，复数在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【详解】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 题型三 复数的加减乘除运算和共轭复数 解｜题｜技｜巧 加减运算实部、虚部分别合并；乘法按多项式展开计算；除法利用共轭复数分母实数化。共轭复数，满足，可简化运算。 易｜错｜点｜拨 计算时符号出错；除法漏乘分子；混淆与形式；误用实数运算律；忽略纯虚数、实数对应的共轭复数特征，化简后未整理成标准形式。 【典例1】．（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】 故选：C. 【典例2】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 【变式1】．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数除法运算法则，求出，再由模长公式，即可得出结论. 【详解】， 所以. 故选：A. 【变式2】．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则求出，再根据共轭复数和虚部的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 得到，故的虚部为. 故选：A 题型四 复数的模长和共轭复数 解｜题｜技｜巧 设，模，共轭复数。熟记性质：结合几何意义求解，模满足。 易｜错｜点｜拨 求模时漏开根号；混淆共轭复数符号；误将等同于；套用性质时忽略运算顺序，利用共轭复数化简时出现符号、计算失误。 【典例1】．若复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A．10 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】由，得 因此，所以. 【典例2】．已知复数在复平面内对应的点为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义可得，再利用模长公式即可得. 【详解】由题意得，所以，则. 故选：B. 【变式1】．已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由，得，所以. 【变式2】．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设复数，结合复数的模长运算和几何意义可得. 【详解】设复数，则， 所以， 所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆， 故选：D． 【变式3】．若复数满足，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可. 【详解】设，则， 所以， 因为，所以 ，即， 则 . 题型五 一元二次方程的复数解 解｜题｜技｜巧 对实系数方程，先算判别式。时，利用求根公式写出共轭虚根，牢记实系数方程虚根成对共轭。可结合韦达定理，由根反求参数、代数式求值。 易｜错｜点｜拨 仍套用实数根结论；忽略虚根互为共轭的性质；使用韦达定理时符号出错；化简虚根计算失误，混淆实数根与复数根的判定条件。 【典例1】．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由韦达定理即可求解. 【详解】已知是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的另一个根， 所以由韦达定理有. 故选：A. 【典例2】．已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 【变式1】．若虚数是关于x的一元二次方程的一个根，则（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】二次方程有虚数根时，则也有其共轭复数作为另一个根，结合韦达定理求解. 【详解】由题意有虚根，则是方程的另一个根， 根据韦达定理，，解得. 故选：D 【变式2】．已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【答案】C 【分析】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 题型六 复数乘法的几何意义初探 解｜题｜技｜巧 复数一一对应复平面内点和向量，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。复数加减对应向量加减，模代表向量长度、点到原点距离，借助数形结合解题。 易｜错｜点｜拨 误将虚轴正半轴当作虚部；混淆复数、点、向量三者对应关系；计算模长记错公式；忽略原点既在实轴也在虚轴，判断纯虚数对应点时出现失误。 【典例1】．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可判断. 【详解】，其对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 【典例2】．（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】 【变式1】．若复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据虚数单位的性质和模长可得，结合复数的除法运算求解即可. 【详解】因为，， 可得，所以. 故选：C. 【变式2】．已知复数，则（ ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出，再利用复数乘方及复数模的意义求得答案. 【详解】依题意，复数， 所以. 故选：C 题型七 复数的三角表示式 解｜题｜技｜巧 将化为，先求模、辐角。乘除运算用三角形式，模相乘除、辐角相加减；乘方开方套用棣莫弗公式。 易｜错｜点｜拨 混淆辐角与辐角主值范围；转化时三角函数符号出错；运算弄错辐角加减规则；忽略三角形式的标准书写格式，开方时漏写全部根。 【典例1】．若复数（，），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的三角形式的定义直接判断. 【详解】复数的模为1，辐角为， 所以复数的三角形式为. 故选：A 【典例2】．欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ） A．=0 B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【答案】C 【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，所以为纯虚数，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则复数在复平面内对应的点为， 因为，所以，，所以点位于第二象限， 即复数对应的点位于第二象限，故D错误； 故选：C 【变式1】．棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 【变式2】．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转后对应的复数为. 【详解】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得， 即所得的向量对应的复数为. 故选：A. 【变式3】．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 题型八 复数的乘除运算的几何意义 解｜题｜技｜巧 复数相乘，对应向量模相乘、辐角相加；相除则模相除、辐角相减，结合旋转与伸缩分析图形变化。借助三角形式运算，利用几何关系求点、轨迹与角度问题。 易｜错｜点｜拨 旋转方向判断颠倒；混淆乘除对应的辐角运算；忽略模的缩放变化；误用辐角主值范围；无法结合图形转化代数条件，解题思路脱节。 【典例1】．已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘方运算，以及复数加法法则计算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 【典例2】．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，然后由棣莫弗定理得，即可求解其虚部. 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 【变式1】．已知复数，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果. 【详解】由已知，复数， 故选：A． 【变式2】．设有复数，，令，则复数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 题型九 复数的最值 解｜题｜技｜巧 利用复数几何意义，将模的最值转化为复平面内距离、轨迹问题；也可设代数形式结合函数、不等式求解。常见轨迹有圆、线段等，借助数形结合找极值点。 易｜错｜点｜拨 混淆复数模的几何含义；忽略轨迹范围导致最值出错；代数换元后忽视自变量取值限制；套用不等式时未验证等号成立条件，计算距离时出现偏差。 【典例1】．满足的复数在复平面上对应的点构成的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义可得构成图形为圆环，即可求出面积. 【详解】满足的复数在复平面上对应的点构成的图形为以原点为圆心，半径分别为1和3构成的圆环，所以面积为. 故选：C. 【典例2】．若复数z满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得到，再将的最大值转化为圆上的点到的距离的最大值，由圆心到的距离加半径求出最大值即可. 【详解】设，则． 因为表示以为圆心，以2为半径的圆，所以可理解为 圆上的点到的距离，最大值为圆心到的距离加半径，即， 故的最大值为． 故选：B. 【变式1】．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A．若，则或 B．若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆 C．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 D．若，则点Z的集合中有且只有两个元素 【答案】C 【分析】根据的几何意义可知Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，由此可判断A;由得几何意义是表示以为圆心，1为半径的圆，可判断B;由的几何意义是表示以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环,求出圆环的面积，可判断C；由的几何意义是表示以点，为端点的线段的垂直平分线，可判断D. 【详解】若，则点Z的集合为以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个圆上的点与复数z对应，故A错误； 若，则点Z的集合为以为圆心，1为半径的圆，故B错误； 若，则点Z的集合为以原点为圆心，分别以1和为半径的两圆所夹的圆环，所以点Z的集合所构成的图形的面积为，故C正确; 若，则点Z的集合是以点，为端点的线段的垂直平分线，集合中有无数个元素，故D错误, 故选:C． 【变式2】．已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】设出复数的代数形式，结合条件得到复数在复平面内所对应的点的轨迹是一个圆，从而将问题转化为点与圆的位置关系求解. 【详解】设，在复平面内对应的点的坐标为， 由，得，即， 因此点在圆上运动，圆心的坐标为，半径， 又， 于是可以看成是点到点的距离，显然此点在圆外， 所以. 故选：D 题型十 复数的综合应用 解｜题｜技｜巧 综合运用复数代数、三角形式及几何意义，结合方程、不等式、轨迹等知识解题。灵活使用共轭复数、模的性质简化运算，遇几何问题优先数形结合，复杂计算分步化简。 易｜错｜点｜拨 各类形式转换时符号出错；混用实数运算性质；忽略虚根成对、纯虚数限定条件；几何转化失误，遗漏变量取值范围，多条件叠加时逻辑梳理混乱。 【典例1】．（多选）已知，是复数，则下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项：设，∵，∴. ∴. 又∵，∴，故A正确. 对于B选项：取，，此时，但，故B错误. 对于C选项：∵设，，且，∴， ∴虚部，即，∴，故C正确. 对于D选项：由复数模的运算性质可知，对任意两个复数，均满足，故D正确. 【典例2】．（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：设，，根据复数的运算和几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 【典例3】．（多选）在代数发展史上的很长一段时间内，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.我们发现：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积，进而一元次多项式方程有个复数根（重根按重数记），我们发现这些根与系数之间存在一些确定的关系.比如，实系数一元二次方程在复数集内的根为，，容易得到，.根据以上信息，下列关于方程的结论，正确的有（ ） A．是该方程唯一的有理数解 B．方程存在两个虚数根，且它们为共轭复数 C．若方程在复数集内的根为，，，，则 D．若方程在复数集内的根为，，，，则 【答案】BD 【分析】依题意可将方程进行因式分解得出该方程的4个复数根，对选项逐一分析判断可得结果. 【详解】根据题意可将方程分解为4个一次因式的乘积， 易知， 由方程可得，解得； 所以方程的4个复数根分别为； 对于A，和均是该方程的有理数解，即A错误； 对于B，显然互为共轭复数，即B正确； 对于C，易知4个复数根之和为，所以C错误； 对于D，4个复数根之积为，即D正确. 故选：BD 【变式1】．（多选）设为复数，其中，则下列正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错误. 【详解】选项A，计算得：，， 因为，所以的虚部，不可能等于实数，故A错误； 选项B，是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确； 选项C，设，则， 若，则虚部，得，故，故C正确； 选项D，，故，由两边约去得，不一定有， 例如满足条件，但，故D错误. 【变式2】．（多选）下列关于非零复数、的结论正确的有（ ） A．若，则、互为共轭复数 B． C．在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用共轭复数的定义和复数的运算可判断B选项；利用复数模的几何意义可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，则，但、不互为共轭复数，A错； 对于B选项，取，， 所以， ，B对； 对于C选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为的圆及其外部， 所以点所在的区域如下图所示： 故点所在的区域的面积为，C对； 对于D选项，不妨取，，则， 但，，即，D错. 【变式3】．（多选）设复数z满足，则（ ） A． B． C．关于z的方程有解 D．若复数w满足，则 【答案】ABD 【分析】设，根据可得，故在双曲线上，由双曲线的性质可判断ABC的正误，根据三角形不等式可判断D的正误. 【详解】设，则， 整理得， 故即， 故在双曲线上，焦点坐标为实半轴长为， 故表示到两个焦点的距离差的绝对值， 故，故A正确； 即为到原点的距离，故大于等于实半轴长，故，故B成立， 对于C，由可得，而， 故，而，故矛盾，故C错误； 对于D，因为即为到原点的距离，由B的分析可得， 而，故D正确； 故选：ABD. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由已知可得， ，在复平面内对应点为，位于第四象限． 2．已知复数是纯虚数，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 因为该复数为纯虚数，因此且，解得. 3．已知复数满足，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故， 故复数的虚部为. 4．已知复数，则的虚部为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以的虚部为. 5．已知是关于x的方程的一个根，则（ ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【详解】因为是方程的根， 所以，化简得：， 整理得：， 所以，解得， 因此. 6．若复数，其中为虚数单位，则下列结论错误的是（ ） A．在复平面内对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．为纯虚数 【答案】C 【分析】先对复数进行除法运算，再结合复数的几何意义、模长、共轭复数、乘方运算逐一判断各选项可得. 【详解】首先利用复数除法运算法则化简：, 对选项A：复数在复平面内对应点为，点位于第四象限，A结论正确； 对选项B：复数模长公式得，所以B结论正确； 对选项C：由共轭复数定义得：复数z的共轭复数为，所以C结论错误； 对选项D：计算得为纯虚数，D结论正确. 二、多选题 7．已知复数，则下列结论正确的有（ ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 【答案】BD 【详解】， 的虚部是1，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误； ，故D正确． 8．已知复数，且，则（ ） A．是纯虚数 B． C．若，则 D．若，则是实数 【答案】AD 【分析】根据共轭复数、复数模、复数方程几何意义对各选项进行判断. 【详解】在A选项中，的共轭复数为， 则：， 已知，该复数实部为0、虚部不为0，符合纯虚数定义，A正确， 在B选项中，算得：， ，若二者相等，需要满足且， 即推出，与题设矛盾，B错误， 在C选项中，即， 整理得，满足该方程的有无数组， 对应有无数种可能，不只有，C错误， 在D选项中，若，则， 因此，则：，， 因此结果为实数，D正确. 三、填空题 9．设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 【答案】3 【详解】因为，且实部与虚部相等， 故，解得. 10．已知（，，i为虚数单位），则_________. 【答案】0 【详解】依题意， 则，解得，所以. 四、解答题 11．已知复数. (1)求z的共轭复数； (2)求的实部和虚部； (3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1)；(2)实部为，虚部为；(3) 【分析】（1）先根据虚数单位的幂次规律化简，再根据共轭复数的定义求出； （2）先求出，再根据复数实部和虚部的定义确定其实部和虚部； （3）先求出的表达式，再根据复数在复平面内的坐标表示以及第四象限内点的坐标特征列出不等式组，求解的取值范围. 【详解】（1）因为 ， 所以. 所以. （2）由（1）知，则， 所以的实部为，虚部为. （3）已知，则， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 因为该点位于第四象限，则， 所以不等式组的解集为，即的取值范围是. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法法则得到，再将对应复数相减，最后按复数减法运算法则计算得出结果. 【详解】根据向量运算关系可得：， 所以所对应的复数为：. 2．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设复数，根据模长公式，共轭复数的概念以及复数相等的条件即可求解. 【详解】设复数，则， 根据复数相等的条件可得，解得，所以. 3．设a为实数，复数，，若为纯虚数，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】通过复数的加法运算得到的代数形式，根据纯虚数的定义实部为0，虚部不为0列方程可得到a，进而根据复数的乘法运算可求得. 【详解】因为复数，， 所以， 又为纯虚数，所以，解得， 所以，，则. 4．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，代入方程，根据复数相等的条件，列出方程组，求解，再根据复数模长的计算，即可求解. 法二：由复数方程的求根公式，求出，再根据复数模长的计算，即可求解. 【详解】法一：设， 因为复数满足，即， 化简得，所以， 解方程组得或， 所以. 法二：由求根公式可得， 所以. 5．已知复数满足，则“为实数”是“为纯虚数”的（ ） A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据复数的加法及模长运算结合充分条件及必要条件定义判断即可. 【详解】设复数，且满足， 则，化简即得， 又“为实数”等价于，“为纯虚数”等价于不为0， 若“为实数”可得，不能推出， 若“为纯虚数”则，且不为0，即得， 则“为实数”是“为纯虚数”的必要不充分条件. 6．设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可. 【详解】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为， 故选：C. 二、多选题 7．已知为虚数单位，以下命题正确的是（ ） A．若复数满足，则 B．若复数满足，则为纯虚数 C．若复数，满足，则 D．若，则对应的点在复平面内的第一象限 【答案】ABD 【分析】A由题设即可判断正误，B应用复数的除法求即可判断正误，C令、有，即可知正误，D由已知可得，即可判断正误. 【详解】A：，即，解得，正确； B：，则，故为纯虚数，正确； C：若、，则，而，错误； D：，则，故对应的点在复平面内的第一象限，正确. 故选：ABD 8．下列关于复数的四个命题，真命题的为（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用复数的运算可判断AB选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C选项的正误，解方程，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，设，则， ，，则，从而， A选项正确； 对于B选项，取，则，但，B选项错误； 对于C选项，由复数模的三角不等式可得，C选项正确； 对于D选项，由，可得或， 由，则，解得或，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题 9．计算：______． 【答案】1000 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 10．已知，，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先证明，由条件，根据模的性质可得，，，令，可得，解方程可得结论. 【详解】设，则， 所以， 由题意，，， ， 所以，令，则，即， 所以，即． 故答案为：． 四、解答题 11．已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足． (1)求的取值范围； (2)若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值； (3)在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围． 【答案】(1)；(2)或；(3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合一次函数的单调性，即可求解； （2）根据实系数的一元二次方程的虚根化为共轭复数对，得到，将其代入，结合，求得或，利用韦达定理，即可求解； （3）由向量在方向上的投影数量的公式，根据题意，得到的轨迹，得到投影取值范围为，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由的取值范围为，， 因为，可得该函数为单调递增的一次函数， 当时，可得；当时，可得； 所以的取值范围为. （2）解：由实系数的一元二次方程的虚根成共轭复数对， 可得，将其代入，可得， 因为，可得， 整理得，解得或， 当时，，此时，可得， 由韦达定理得，所以； 当时，，此时，可得， 由韦达定理得，所以， 综上可得，的值为或. （3）解：因为向量在方向上的数量投影的公式为：投影， 由，可得的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 所以对于固定的，向量在向量方向上的投影取值范围为， 将代入，可得 令，可得， 则， 所以在上单调递增，且，即， 所以向量在方向上的数量投影的取值范围为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设复数，通过对已知等式变形，结合复数的运算、复数相等或模的运算性质求解即可. 【详解】由有意义，可知. 设复数，， 则， ，所以，解得或. 当时，则为实数，此时方程，即，无实根. 故，因此，解得或（舍去），即. 2．已知，且为虚数单位，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值. 【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 表示圆C上的点到的距离， 的最大值是， 故选B 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题. 3．任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 4．已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 5．（多选）已知，是复数，则下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项：设，∵，∴. ∴. 又∵，∴，故A正确. 对于B选项：取，，此时，但，故B错误. 对于C选项：∵设，，且，∴， ∴虚部，即，∴，故C正确. 对于D选项：由复数模的运算性质可知，对任意两个复数，均满足，故D正确. 6．（多选）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（ ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：设，，根据复数的运算和几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 7．已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 【答案】/ 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求最大值． 【详解】， 设，则，整理得， 所以复数对应的点在复平面上是以为圆心，半径的圆及内部， 的最大值为， 所以的最大值为． 8．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值． 【答案】(1)10；； (2)①证明见解析，当且仅当等号成立；②证明见解析； (3) 【分析】（1）代入“复向量”和模的新定义，即可求解两个向量的模； （2）①首先设实向量，，再分别计算和，再结合公式，即可证明； ②首先设复向量，，根据复数的三角不等式，以及实系数向量不等式，即可证明； （3）根据等号成立的条件，再结合复数的三角不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为10； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，，，而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，，所以， 由复数的三角不等式， ，由， 得，所以， 所以， 综上所知，． （3）②中考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有，则， 又，则，解得， 所以，所以． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $