专题01三角函数（期末复习讲义，12大重难题型）高一数学下学期北师大版

专题01 三角函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 任意角和弧度制 题型二 扇形的弧长和面积 题型三 三角函数的定义 题型四 诱导公式 题型五 简单的正弦、余弦函数的性质 题型六 函数的图像和性质 题型七 正切函数 题型八 三角函数的平移伸缩变换 题型九 三角函数的图像求解析式 题型十 三角函数型值域 题型十一 三角函数的简单实际应用 题型十二 三角函数的范围 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 扇形的弧长和面积 公式的使用，基本不等式 基础必考点，常出现在小题，重点考查对应的扇形的弧长和面积公式. 三角函数的定义 公式的使用 基础必考点，常出现在小题中，重点考查对应的公式，注重正负号. 诱导公式 公式和凑角的应用 基础必考点，常出现在小题中，重点考查对应的公式和转化关系. 三角函数的图像和性质 图像和性质关系 基础必考点，常出现在小题中，重点考查三角函数的值域，单调性，奇偶性，周期，对称性等. 三角函数的平移伸缩变换 平移伸缩变换中的转化关系 基础必考点，常出现在小题中，重点考查左加右减（只在纯x上变化），上加下减，伸缩变换. 三角函数的图像求解析式 五点作图法 基础必考点，常出现在小题中，重点考查对应的五点作图法求解析式 三角函数的范围 换元法 基础必考点，常出现在小题中，重点考查换元法求解不等式 知识点01 角的概念，任意角和弧度制，三角函数的定义 1、角的概念：①逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为0角；②象限角和轴线角；③终边相同的夹角：. 2、角度制与弧度制的互化：. 3、扇形的弧长：；扇形的面积：. 4、三角函数的定义：角的终边上有一点，则. 易错点：扇形的弧长和面积的公式使用错误，三角函数定义中的值的正负值判断不清. 知识点02 诱导公式 1、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥. 易错点：出现象限判断错误，且正负值判断不清楚. 知识点03 三角函数的图像和性质 在上 的图像 定义域 值域（有界性） 最小正周期 奇偶性(对称性) 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 单调减区间 无 对称轴方程 无 对称中心坐标 最大值及对应自变量值 时 时 无 最小值及对应自变量值 时 时 无 1、正弦型函数，定义域：；值域：；单调递增区间：，求；单调递减区间：，求；周期性：；对称轴：，求；对称中心：，求. 2、余弦型函数，定义域：；值域：；单调递增区间：，求；单调递减区间：，求；周期性：；对称轴：，求；对称中心：，求. 3、正切型函数，定义域：；值域：；单调递增区间：，求；；周期性：；对称中心：，求. 易错点：三角函数图像中，把两个函数的图像和性质弄混淆. 知识点04 三角函数的平移伸缩变换 1、平移伸缩变换：左加右减（左右平移，只在纯上变化），上加下减； 先平移后伸缩：先向左平移个单位，再横坐标压缩为原来的即可 先伸缩后平移：先横坐标压缩为原来的，在向左平移个单位即可 2、五点作图法 用“五点法”画在一个周期内的简图时,要找五个特征点 0 0 0 0 3、已知图象求解析式解题三步骤：①求，即; ②求，即通过图象观察周期，再通过计算;③求，即通过带图象特殊点求解. 易错点：三角函数的平移伸缩变换中，注意先平移还是先伸缩. 题型一 任意角和弧度制 解｜题｜技｜巧 解题先定角所在象限，判断三角函数符号；利用终边相同角公式化简，大角化小角、负角转正角。熟记定义、同角关系及诱导公式，奇变偶不变、符号看象限。求值先找终边坐标，再套比值计算。 易｜错｜点｜拨 混淆象限角与锐角范围；诱导公式记错函数名与符号；忽略三角函数正负；终边相同角漏写周期；角度弧度混用；平方关系开方忘分类讨论，做题优先判符号再运算。 【典例1】．在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（ ） A． B． C． D． 【典例2】．下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．下列与角的终边一定相同的角是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（多选）下列说法中正确的是（ ） A．与的终边相同 B．终边在直线上角的集合是 C．若角的终边落在第二象限，则角是钝角 D．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 题型二 扇形的弧长和面积 解｜题｜技｜巧 先统一单位，角度必转弧度再计算。熟记公式：弧长()，面积()。已知两角半径灵活代换，求圆心角、半径直接变形求解。 易｜错｜点｜拨 角度弧度混用直接代公式；忘记圆心角必须取弧度；混淆两个面积公式；计算时忽略圆心角取值范围；求最值忽略半径与角度正数限制；换算弧度时分式化简出错，审题看清所求量避免代错公式. 【典例1】．（多选）以下说法正确的有（ ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 【典例2】．（多选）晋祠博物馆的折扇馆藏是其重要的艺术珍品，以清代至民国时期的扇面为主，融合了绘画、书法、诗文等传统元素，体现了中国扇子艺术的精髓，已知某折扇展开后其示意图如图所示，若的长为，则（ ） A． B． C．扇形的面积为 D．扇形的面积为 【变式1】．（多选）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【变式2】．（多选）小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ） A． B．弧的长为 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【变式3】．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为________． 题型三 三角函数的定义 解｜题｜技｜巧 已知角终边上一点坐标，先求点到原点距离r，再依定义求正弦、余弦、正切。分清横纵坐标对应函数，牢记。判断象限确定符号，灵活代入求值化简。 易｜错｜点｜拨 混淆坐标对应函数；算错值；忽略象限弄错符号；终边在坐标轴上易漏特殊情况；求正切忘记；坐标正负判断失误，随意调换分子分母致结果出错。 【典例1】．角的终边经过点且，则实数的值为（ ） A．4 B． C． D．3 【典例2】．（多选）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与圆的交点．则当与重合时，的坐标可以为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．若角的终边上有一点，且，则（ ） A．4 B． C． D． 【变式2】．已知一电子狗从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则电子狗在点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 题型四 诱导公式 解｜题｜技｜巧 解题牢记口诀奇变偶不变，符号看象限。先判断角化为形式，奇数变函数名，偶数不变。把当作锐角，判断原角所在象限确定正负号，再化简求值。可将负角、大角逐步转化为锐角计算。 易｜错｜点｜拨 记错奇偶变换规则；符号判断颠倒出错；混淆正负角转化；特殊角函数值记混；化简时遗漏负号；不会拆分角度；混用角度与弧度，忽略定义域限制导致解题失误。 【典例1】．（多选）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】．（多选）在中，下列等式一定成立的有（ ） A． B． C． D． 【典例3】．已知，则_____. 【变式1】．若，则________. 【变式2】．已知． (1)若，求； (2)若，求的值． 【变式3】．已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，则，求的值. 题型五 简单的正弦、余弦函数的性质 解｜题｜技｜巧 熟记正余弦图像，掌握定义域、值域、奇偶性、周期、单调区间与最值。用五点法画图，求周期套用 T=2π，求单调区间结合图像判断。求最值锁定自变量范围，找准取最值时对应角度。 易｜错｜点｜拨 混淆两者单调区间；忽略自变量取值范围乱求最值；奇偶性判断出错；平移方向搞反；记错对称轴与对称中心；忽略区间限制直接套用整体性质，易出现取值范围判断失误。 【典例1】．下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【典例2】．已知函数是偶函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】．函数的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．已知函数，则（ ） A．直线是函数图象的对称轴 B．直线是函数图象的对称轴 C．点是函数图象的对称中心 D．点是函数图象的对称中心 题型六 函数的图像和性质 解｜题｜技｜巧 整体换元，令，转化为基础正弦函数求解。先求周期，确定振幅、相位与初相。求单调区间、最值、对称轴均整体代换计算，平移变换遵循左加右减、上加下减。识图题抓五点坐标快速求解析式。 易｜错｜点｜拨 忽视正负影响单调性；平移易直接对加减出错；弄错相位变换顺序；求范围忘结合定义域；混淆奇偶判断条件；最值忽略A正负，五点法定点取值出错。 【典例1】．已知函数，则（ ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为偶函数 D．的最小正周期为 【典例2】．（多选）已知函数，则（ ） A．的周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点 【变式1】．（多选）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【变式2】．关于函数，下面结论成立的是（ ） A．在区间上的最大值为 B．在区间上单调递增 C． D．的图象关于点对称 题型七 正切函数 解｜题｜技｜巧 牢记正切定义域，周期，奇函数，单调区间逐段递增。解题多用整体换元，把当作整体，求解定义域、周期、单调区间与取值范围。利用图像直观判断取值与大小关系。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域致解题出错；记错周期与正余弦混淆；误判单调区间为全体区间；平移伸缩变换规则乱用；忽视角度范围；比较大小时不看同一单调区间，直接比数值出错。 【典例1】．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期为π B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 【典例2】．（多选）设函数，则（ ） A．的最小正周期为 B． C．图像的对称中心为 D．不等式的解集为 【变式1】．（多选）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的图象关于点中心对称 D．不等式的解集为 【变式2】．（多选）已知函数，最小正周期是，则下列说法正确的是（ ） A． B．图象的对称中心的坐标为 C．不等式的解集为， D．在区间上单调递增 【变式3】．当时，曲线与的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 题型八 三角函数的平移伸缩变换 解｜题｜技｜巧 变换遵循先平移后伸缩或先伸缩后平移，统一针对操作。平移用左加右减，上下平移直接变函数值；横向伸缩改系数，纵向伸缩乘整体振幅。优先整理成最简形式，整体代换运算。 易｜错｜点｜拨 平移伸缩混淆顺序；平移时直接对加减出错；左右平移单位算错；分不清横纵变换；正负方向搞反；忽视ω大小影响平移距离；混淆伸缩倍数，易颠倒扩大与缩小。 【典例1】．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【典例2】．（多选）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（ ） A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 【变式1】．为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 【变式2】．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ） A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 题型九 三角函数的图像求解析式 解｜题｜技｜巧 先由最值求，看周期求，利用五点法确定，最后写。先定上下平移量，再算周期推，优先用零点、最值点代入求初相，结合图像增减判断符号。 易｜错｜点｜拨 忽略正负影响相位；五点取点选错顺序致出错；忘记限定范围；混淆平移伸缩先后顺序；看错对称轴、对称中心位置，正负号写反。 【典例1】．（多选）已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（ ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．该图象对应的函数解析式为 【典例2】．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．， B． C．的其中一条对称轴为 D．函数在上的值域为 【变式1】．（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【变式2】．（多选）已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 题型十 三角函数型值域 解｜题｜技｜巧 先化简解析式，化为形式；确定自变量范围，求出整体角取值区间；结合正余弦函数单调性与图像，确定最值；换元法将三角式转为二次函数、一次函数求解，再回代求值域。 易｜错｜点｜拨 忽略自变量定义域范围；换元后忘限定新元取值；混淆正余弦最值区间；配方求二次型值域出错；忽略三角函数有界性，直接盲目代值计算。 【典例1】．已知函数的最小正周期为，则在的最小值为 （ ） A． B． C．0 D． 【典例2】．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ） A． B． C．0 D． 【变式2】．函数的最小值为（ ） A．2 B．0 C． D．6 题型十一 三角函数的简单实际应用 解｜题｜技｜巧 梳理实际情境，建立角度与时间、距离等量的关系，构造三角函数模型；确定自变量取值范围，列出正弦、余弦类解析式；结合图像与单调性求最值、周期，解决最值、时长、位置等问题，最后回归实际作答。 易｜错｜点｜拨 角度范围判断失误；建模时相位、初相设定错误；忽略实际定义域限制；混淆周期与运动时长；算出数值后未结合题意取舍结果，单位换算出错。 【典例1】．（多选）某港口某天的水深（单位：m）与时间（单位：h，）近似满足函数．该港口这一天水位最高时和最低时的时间间隔最少为，且中午点的水深为．为保证安全，当水深不少于时，港口才允许船只出入，则下列说法正确的是（ ） A． B．水位最高时的水深为 C．该港口这一天上午8点时允许船只出入 D．这一天内港口允许船只出入的时长为 【典例2】．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米(图3)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时(图3中点)开始计时，点距离水面的高度可以用函数表示.下列结论正确的有（ ） A．点所满足的函数表达式为 B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时10秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【变式1】．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（ ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 【变式2】．（多选）在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（ ） A． B．该音叉每秒钟往复振动880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 D．该音叉在时的位移为 题型十二 三角函数的范围 解｜题｜技｜巧 先确定已知角范围，通过四则运算推出整体角区间；结合正余弦、正切函数图像与单调性，划定函数值范围；利用奇偶性、诱导公式转化角度；遇复合角先换元，对照函数增减区间确定最值，严谨推导边界数值。 易｜错｜点｜拨 区间加减缩放出错；忽略正切间断区间；混淆函数增减区间；边界开闭判断失误；角度转化符号出错；忽略特殊角函数值，遗漏临界取值。 【典例1】．，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A． B． C．1 D．0 【典例2】．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【变式1】．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．角的终边经过点且，则实数的值为（ ） A．4 B． C． D．3 2．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（ ）. A． B． C． D． 3．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ） A．12h B．14h C．16h D．18h 4．已知函数，，则函数的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 二、多选题 5．以下四种变换方式，能将函数的图象变换为的图象的是（ ） A．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 B．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 C．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 D．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 6．已知函数，则（ ） A．在区间上单调递减 B．直线是曲线的对称轴 C．若将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则是奇函数 D．若函数在区间上有两个不同的零点，则 三、填空题 7．函数的最小正周期为，则的定义域是___________. 8．已知函数的一个中心坐标是，则的值等于____________． 四、解答题 9．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 2．设，则（ ） A． B． C． D．1 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 4．如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B． C．若，，则 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 三、填空题 7．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则______________． 8．如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则___________. 四、解答题 9．已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，则，求的值. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．当时，曲线与的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（ ） A． B． C．2 D．1 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．设函数，若实数，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．以下四种变换方式，能将函数的图象变换为的图象的是（ ） A．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 B．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 C．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 D．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 6．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如.已知函数，函数，则（ ） A．函数的值域是 B．函数是偶函数 C．函数的图象关于对称 D．方程只有一个实数根 三、填空题 7．函数，的值域为_____________. 8．若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为____________. 四、解答题 9．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围. 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 任意角和弧度制 题型二 扇形的弧长和面积 题型三 三角函数的定义 题型四 诱导公式 题型五 简单的正弦、余弦函数的性质 题型六 函数的图像和性质 题型七 正切函数 题型八 三角函数的平移伸缩变换 题型九 三角函数的图像求解析式 题型十 三角函数型值域 题型十一 三角函数的简单实际应用 题型十二 三角函数的范围 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 扇形的弧长和面积 公式的使用，基本不等式 基础必考点，常出现在小题，重点考查对应的扇形的弧长和面积公式. 三角函数的定义 公式的使用 基础必考点，常出现在小题中，重点考查对应的公式，注重正负号. 诱导公式 公式和凑角的应用 基础必考点，常出现在小题中，重点考查对应的公式和转化关系. 三角函数的图像和性质 图像和性质关系 基础必考点，常出现在小题中，重点考查三角函数的值域，单调性，奇偶性，周期，对称性等. 三角函数的平移伸缩变换 平移伸缩变换中的转化关系 基础必考点，常出现在小题中，重点考查左加右减（只在纯x上变化），上加下减，伸缩变换. 三角函数的图像求解析式 五点作图法 基础必考点，常出现在小题中，重点考查对应的五点作图法求解析式 三角函数的范围 换元法 基础必考点，常出现在小题中，重点考查换元法求解不等式 知识点01 角的概念，任意角和弧度制，三角函数的定义 1、角的概念：①逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为0角；②象限角和轴线角；③终边相同的夹角：. 2、角度制与弧度制的互化：. 3、扇形的弧长：；扇形的面积：. 4、三角函数的定义：角的终边上有一点，则. 易错点：扇形的弧长和面积的公式使用错误，三角函数定义中的值的正负值判断不清. 知识点02 诱导公式 1、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥. 易错点：出现象限判断错误，且正负值判断不清楚. 知识点03 三角函数的图像和性质 在上 的图像 定义域 值域（有界性） 最小正周期 奇偶性(对称性) 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 单调减区间 无 对称轴方程 无 对称中心坐标 最大值及对应自变量值 时 时 无 最小值及对应自变量值 时 时 无 1、正弦型函数，定义域：；值域：；单调递增区间：，求；单调递减区间：，求；周期性：；对称轴：，求；对称中心：，求. 2、余弦型函数，定义域：；值域：；单调递增区间：，求；单调递减区间：，求；周期性：；对称轴：，求；对称中心：，求. 3、正切型函数，定义域：；值域：；单调递增区间：，求；；周期性：；对称中心：，求. 易错点：三角函数图像中，把两个函数的图像和性质弄混淆. 知识点04 三角函数的平移伸缩变换 1、平移伸缩变换：左加右减（左右平移，只在纯上变化），上加下减； 先平移后伸缩：先向左平移个单位，再横坐标压缩为原来的即可 先伸缩后平移：先横坐标压缩为原来的，在向左平移个单位即可 2、五点作图法 用“五点法”画在一个周期内的简图时,要找五个特征点 0 0 0 0 3、已知图象求解析式解题三步骤：①求，即; ②求，即通过图象观察周期，再通过计算;③求，即通过带图象特殊点求解. 易错点：三角函数的平移伸缩变换中，注意先平移还是先伸缩. 题型一 任意角和弧度制 解｜题｜技｜巧 解题先定角所在象限，判断三角函数符号；利用终边相同角公式化简，大角化小角、负角转正角。熟记定义、同角关系及诱导公式，奇变偶不变、符号看象限。求值先找终边坐标，再套比值计算。 易｜错｜点｜拨 混淆象限角与锐角范围；诱导公式记错函数名与符号；忽略三角函数正负；终边相同角漏写周期；角度弧度混用；平方关系开方忘分类讨论，做题优先判符号再运算。 【典例1】．在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的定义即可求解. 【详解】因为角的终边在直线上， 所以角的终边在一、三象限的角平分线上， 故终边在直线上的所有角组成的集合为 . 故选：C 【典例2】．下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可. 【详解】对于①：钝角是大于小于的角，显然钝角是第二象限角.故①正确； 对于②：锐角是大于小于的角，小于的角也可能是负角.故②错误； 对于③：显然是第一象限角.故③错误； 对于④：是第二象限角，是第一象限角，但是.故④错误； 对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误； 对于⑥：因为，所以，是第四象限角.故⑥正确. 综上，①⑥正确. 故选：B. 【变式1】．下列与角的终边一定相同的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表示终边相同角，即可判断． 【详解】对于选项C：与角的终边相同的角为，C满足. 对于选项B：当时，成立； 当时，不成立. 对于选项D：不成立. 故选:C 【变式2】．（多选）下列说法中正确的是（ ） A．与的终边相同 B．终边在直线上角的集合是 C．若角的终边落在第二象限，则角是钝角 D．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 【答案】ABD 【分析】利用终边相同的角的概念可判断A；写出终边落在直线上角的集合，即可判断B；写出终边落在第二象限角的集合，举出反例即可判断C；写出终边落在第一象限角的集合，再求出即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以与的终边相同，故A正确； 对于B，终边落在直线上角的集合是， 终边落在直线上角的集合是， 所以终边在直线上角的集合是，B正确； 对于C，终边落在第二象限的角的集合为， 所以角不一定为钝角，例如，所以C错误； 对于D，因为角是第一象限的角，所以， 由此可得：， 当时，，位于第一象限； 当时，，位于第二象限； 当时，，位于第三象限； 所以为第一、二、三象限的角，D正确； 题型二 扇形的弧长和面积 解｜题｜技｜巧 先统一单位，角度必转弧度再计算。熟记公式：弧长()，面积()。已知两角半径灵活代换，求圆心角、半径直接变形求解。 易｜错｜点｜拨 角度弧度混用直接代公式；忘记圆心角必须取弧度；混淆两个面积公式；计算时忽略圆心角取值范围；求最值忽略半径与角度正数限制；换算弧度时分式化简出错，审题看清所求量避免代错公式. 【典例1】．（多选）以下说法正确的有（ ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 【答案】AD 【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用弧度的定义可判断C选项；利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是，C错； 对于D选项，在半径为的圆中，圆心角为的弧长为，D对. 故选：AD. 【典例2】．（多选）晋祠博物馆的折扇馆藏是其重要的艺术珍品，以清代至民国时期的扇面为主，融合了绘画、书法、诗文等传统元素，体现了中国扇子艺术的精髓，已知某折扇展开后其示意图如图所示，若的长为，则（ ） A． B． C．扇形的面积为 D．扇形的面积为 【答案】AC 【分析】利用扇形的弧长公式、面积公式求解即可. 【详解】设该扇形的半径为，弧长为， 所以扇形的面积． 结合选项可知BD错误，AC正确． 故选：AC． 【变式1】．（多选）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【答案】ABD 【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D． 【详解】对于A，对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确； 对于B，对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确； 对于C，对应的弧度为，故C错误； 对于D，，，所以这两个角的终边相同，故D正确； 故选：ABD． 【变式2】．（多选）小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ） A． B．弧的长为 C．扇形的周长为 D．扇形的面积为 【答案】BD 【分析】根据角度制与弧度制的互相转化、扇形的弧长与面积公式易得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，弧长，故B正确； v对于C，，扇形的周长为，故C错误； 对于D，扇形的面积，故D正确． 故选：BD． 【变式3】．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为________． 【答案】42 【分析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有， ， 此时，，． 故答案为：； 题型三 三角函数的定义 解｜题｜技｜巧 已知角终边上一点坐标，先求点到原点距离r，再依定义求正弦、余弦、正切。分清横纵坐标对应函数，牢记。判断象限确定符号，灵活代入求值化简。 易｜错｜点｜拨 混淆坐标对应函数；算错值；忽略象限弄错符号；终边在坐标轴上易漏特殊情况；求正切忘记；坐标正负判断失误，随意调换分子分母致结果出错。 【典例1】．角的终边经过点且，则实数的值为（ ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由三角函数的定义得， 平方化简得，解得（正根舍去）. 【典例2】．（多选）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与圆的交点．则当与重合时，的坐标可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性逐一代入判断即可. 【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 根据周期性可知，其余重合点与上述点重合，故A和D正确，B和C错误. 故选：AD 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式，通过设两质点重合时，所用时间为，得到重合点坐标为，结合角度差得到，根据三角函数周期性以及诱导公式判断选项即可.本题考查转化与化归能力，属于中档题. 【变式1】．若角的终边上有一点，且，则（ ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】由任意角的三角函数定义即可求解. 【详解】由题意得， 即，解得或（舍去）， 故选：C. 【变式2】．已知一电子狗从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则电子狗在点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：如图， 电子狗从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q， 因为，所以点是终边与单位圆的交点，过点作垂直于轴，垂足为点， 则． 又，所以，， 又点Q在第三象限的单位圆上，故． 方法二：电子狗从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q， 因为，所以点是终边与单位圆的交点， 所以点的坐标为. 因为，， 所以. 题型四 诱导公式 解｜题｜技｜巧 解题牢记口诀奇变偶不变，符号看象限。先判断角化为形式，奇数变函数名，偶数不变。把当作锐角，判断原角所在象限确定正负号，再化简求值。可将负角、大角逐步转化为锐角计算。 易｜错｜点｜拨 记错奇偶变换规则；符号判断颠倒出错；混淆正负角转化；特殊角函数值记混；化简时遗漏负号；不会拆分角度；混用角度与弧度，忽略定义域限制导致解题失误。 【典例1】．（多选）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据三角函数定义求得，然后利用诱导公式求值，即可判断各项. 【详解】由题意得，故A错误. ，故B正确. ，故C正确. ，故D正确. 故选：BCD 【典例2】．（多选）在中，下列等式一定成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用诱导公式，结合三角形内角和为，逐项判断即可. 【详解】由，得. 因为，所以A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D正确. 故选：BCD. 【典例3】．已知，则_____. 【答案】 【分析】借助两角和与差的正弦、余弦公式及诱导公式计算即可得. 【详解】因为， 则 . 故答案为：. 【变式1】．若，则________. 【答案】2 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】由， 得，即，故. 故答案为： 【变式2】．已知． (1)若，求； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2)2 【分析】（1）由诱导公式化简得到，即可求解； （2）由，通过弦化切即可求解. 【详解】（1）． 因为，所以． （2）， 所以． 【变式3】．已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，则，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义和三角函数的基本关系式求解. （2）利用三角函数的诱导公式及正余弦齐次式法求解. （3）由已知求出锐角，由点B的横坐标可得，再利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）由锐角的终边与单位圆相交于点，得， 所以. （2）由（1）得，所以 . （3）由为锐角，且，得，依题意，， 所以 . 题型五 简单的正弦、余弦函数的性质 解｜题｜技｜巧 熟记正余弦图像，掌握定义域、值域、奇偶性、周期、单调区间与最值。用五点法画图，求周期套用 T=2π，求单调区间结合图像判断。求最值锁定自变量范围，找准取最值时对应角度。 易｜错｜点｜拨 混淆两者单调区间；忽略自变量取值范围乱求最值；奇偶性判断出错；平移方向搞反；记错对称轴与对称中心；忽略区间限制直接套用整体性质，易出现取值范围判断失误。 【典例1】．下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据周期为，排除D；再由根据函数的单调性排除A、C即可. 【详解】函数，周期为，排除D； ，在上为增函数，排除A； ，在上为减函数，故B可选； ，在上为减函数，在上为增函数，排除C. 故选：B 【典例2】．已知函数是偶函数，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为函数是偶函数，则， 所以，又因为，故， 故选：D. 【变式1】．函数的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的对称中心求出函数的对称中心，再逐一检验各选项即得. 【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 故选：B. 【变式2】．已知函数，则（ ） A．直线是函数图象的对称轴 B．直线是函数图象的对称轴 C．点是函数图象的对称中心 D．点是函数图象的对称中心 【答案】A 【分析】运用将数值代入的方法，结合正弦函数的性质逐一验证即可. 【详解】对于A：将代入，得， 因此直线是函数图象的对称轴，故A正确； 对于B：将代入，得， 故直线不是函数图象的对称轴，故B错误； 对于C：将代入，得， 故点不是函数图象的对称中心，故C错误； 对于D：将代入，得，故D错误. 故选：A. 题型六 函数的图像和性质 解｜题｜技｜巧 整体换元，令，转化为基础正弦函数求解。先求周期，确定振幅、相位与初相。求单调区间、最值、对称轴均整体代换计算，平移变换遵循左加右减、上加下减。识图题抓五点坐标快速求解析式。 易｜错｜点｜拨 忽视正负影响单调性；平移易直接对加减出错；弄错相位变换顺序；求范围忘结合定义域；混淆奇偶判断条件；最值忽略A正负，五点法定点取值出错。 【典例1】．已知函数，则（ ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．为偶函数 D．的最小正周期为 【答案】C 【分析】根据题意，由余弦型函数的性质，即对称性，周期性，奇偶性即可得到结果. 【详解】，的图象关于点不对称，故A选项不正确. ，的图象关于直线不对称，故B选项不正确. 因为， 又，即，故为偶函数，故C选项正确. 的最小正周期为，故D选项不正确. 故选：C. 【典例2】．（多选）已知函数，则（ ） A．的周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点 【答案】AC 【分析】利用辅助角公式把已知函数化为正弦型函数，再利用正弦函数的性质分析函数的周期性、单调性、对称性及零点，从而得出正确选项． 【详解】， 的周期为，故A正确； 当时，， 在单调递减，在单调递增， 在该区间非单调递增，故B错误； 正弦函数的对称轴为，，解得， 当时，，满足条件，故C正确； 令，即，解得， 在内，时，；时，，有2个零点，故D错误． 故选：AC． 【变式1】．（多选）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 【答案】AB 【分析】根据余弦函数的性质，依次讨论最小正周期，对称轴，对称中心，单调递增区间即可判断. 【详解】对于A，的最小正周期为，故正确； 对于B，令，解得， 即的对称轴为，当时，为，故正确； 对于C，令，解得， 即的对称中心为，不存在使得，故错误； 对于D，令，解得（）， 即的单调递增区间为（）， 当时，递增区间为，由于， 故在上单调递增，在上单调递减，故错误. 故选：AB 【变式2】．关于函数，下面结论成立的是（ ） A．在区间上的最大值为 B．在区间上单调递增 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据的范围计算的整体范围，求出函数的最大值，从而判断A；将变换为，根据所给范围以及复合函数单调性可判断B；化简可判断C选项；根据正弦函数的对称性求出函数的对称中心可判断D. 【详解】解：A选项：因为，所以，则， 即在区间上的最大值为.故A不正确； B选项：因为，则，所以在上单调递增， ，所以在上单调递减，故B不正确； C选项：，故C不正确； D选项：当时，，所以为的图象的对称中心，故D正确. 故选：D 题型七 正切函数 解｜题｜技｜巧 牢记正切定义域，周期，奇函数，单调区间逐段递增。解题多用整体换元，把当作整体，求解定义域、周期、单调区间与取值范围。利用图像直观判断取值与大小关系。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域致解题出错；记错周期与正余弦混淆；误判单调区间为全体区间；平移伸缩变换规则乱用；忽视角度范围；比较大小时不看同一单调区间，直接比数值出错。 【典例1】．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数的最小正周期为π B．函数的值域为 C．点是函数的图象的一个对称中心 D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的最小正周期为，故A错误； 对于B：因为，所以函数的值域为，故B错误； 对于C：令，解得， 所以的对称中心为， 当时其一个对称中心为，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，故D错误. 故选：C 【典例2】．（多选）设函数，则（ ） A．的最小正周期为 B． C．图像的对称中心为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据正切函数周期性可判断A的正误；直接代入计算可判断B的正误；根据正切函数的对称性，整体代入求解，可判断C的正误；利用正切函数单调性解不等式，可判断D的正误. 【详解】选项A：最小正周期为，A错误. 选项B：，B正确. 选项C：正切函数的对称中心为. 令，，解得，. 所以的对称中心为， 又图像可由向上平移1个单位长度得到， 所以图像的对称中心为，C正确. 选项D：，，所以. 结合正切函数的性质可得，，. 解得，， 所以不等式的解集为，D正确 【变式1】．（多选）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．的图象关于点中心对称 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】对A，由求解判断；对B，由求解判断；对C，由求解判断；对D，由求解判断. 【详解】对于A：的最小正周期为，A正确； 对于B：由，解得，所以的定义域为，B错误． 对于C：令，解得，所以图象的对称中心为， 当时对称中心为，C正确； 对于D：令，得，解得，所以不等式的解集为，D正确． 故选：ACD. 【变式2】．（多选）已知函数，最小正周期是，则下列说法正确的是（ ） A． B．图象的对称中心的坐标为 C．不等式的解集为， D．在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】由正切函数的周期可求出可判断A；令求出图象的对称中心的坐标可判断B；解正切函数的不等式可判断C；由的范围，求出的范围，结合正切函数的单调性可判断D. 【详解】函数， 对于A，由题意可得，则，A正确； 对于B，，令，得， 故图象的对称中心的坐标为，B正确； 对于C，由，得，∴， 解得， ∴不等式的解集为，C错误； 对于D，，则， 所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 【变式3】．当时，曲线与的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 题型八 三角函数的平移伸缩变换 解｜题｜技｜巧 变换遵循先平移后伸缩或先伸缩后平移，统一针对操作。平移用左加右减，上下平移直接变函数值；横向伸缩改系数，纵向伸缩乘整体振幅。优先整理成最简形式，整体代换运算。 易｜错｜点｜拨 平移伸缩混淆顺序；平移时直接对加减出错；左右平移单位算错；分不清横纵变换；正负方向搞反；忽视ω大小影响平移距离；混淆伸缩倍数，易颠倒扩大与缩小。 【典例1】．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】将函数变形为，利用图象平移变换将函数平移即可． 【详解】因为， 所以只需要将函数的图象操作如下， 向左平移个单位长度就可以得到的图象． 【典例2】．（多选）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（ ） A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】BC 【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，故B正确，A错误； 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象，再将图象上所有点向右平移个单位得到的图象，故C正确，D错误； 故选：BC. 【变式1】．为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 【答案】C 【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则依次判断各个选项即可. 【详解】记，变换后所得函数为， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 【变式2】．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ） A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】先从伸缩变换排除AB选项，再从左右平移排除D选项，C选项满足题意. 【详解】，将横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），得到；而将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，AB选项排除； C选项：再向左平移个单位长度，得到符合要求； D选项：再向右平移个单位长度，得到，不满足要求，故D选项错误. 故选：C 题型九 三角函数的图像求解析式 解｜题｜技｜巧 先由最值求，看周期求，利用五点法确定，最后写。先定上下平移量，再算周期推，优先用零点、最值点代入求初相，结合图像增减判断符号。 易｜错｜点｜拨 忽略正负影响相位；五点取点选错顺序致出错；忘记限定范围；混淆平移伸缩先后顺序；看错对称轴、对称中心位置，正负号写反。 【典例1】．（多选）已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（ ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．该图象对应的函数解析式为 【答案】BCD 【分析】先由函数的图象依次求出，即得函数的解析式，再根据正弦函数的图象对称性与单调性逐一代入计算判断即得. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，则， 图象经过点，则得，因，则， 故函数的解析式为，故D正确； 对于A，当时，，因函数在上先减后增，故A错误； 对于B，因为函数的最小值，故B正确； 对于C，因，故C正确； 故选：BCD. 【典例2】．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．， B． C．的其中一条对称轴为 D．函数在上的值域为 【答案】BCD 【分析】根据图象可求出周期，利用周期求判断A，根据图象过点，代入解析式求出，代入验证，判断B、C，根据正弦函数的性质求值域判断D. 【详解】对于选项A，由图易得，，解得，故A错误； 对于选项B，因为函数的图象经过点，所以， 即．因为，所以，解得，所以，故B正确； 对于选项C，当时，，所以的其中一条对称轴为，故C正确； 对于选项D，当时，，故D正确， 故选：BCD． 【变式1】．（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据图象求得，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解. 【详解】由题图可得，，故，所以， 又，即， 所以，，解得，， 又，所以，所以． 对于A：因为， 所以的图象不关于点对称，故A错误； 对于B：， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：将函数的图象向左平移个单位长度得到函数 的图象，故C错误； 对于D：当时，， 则当，即时，单调递减， 又，，此时； 当，即时，单调递增， 又，，此时； 所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D正确． 故选：BD 【变式2】．（多选）已知函数的部分图像如图所示，则（ ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】对A，由相邻两渐近线的距离求解周期得到；对B，由图中渐近线求得，得到函数；对C，将代入所求求解；对D，利用的对称性整体代换求解. 【详解】对于A：由图，，所以，A正确； 对于B：因为，则由图可得，解得， 又，所以，所以，B错误； 对于C：因为，所以， 即的图象与轴的交点坐标为，C正确； 对于D：由得，当时，， 所以函数的图象关于点对称，D正确； 故选：ACD. 题型十 三角函数型值域 解｜题｜技｜巧 先化简解析式，化为形式；确定自变量范围，求出整体角取值区间；结合正余弦函数单调性与图像，确定最值；换元法将三角式转为二次函数、一次函数求解，再回代求值域。 易｜错｜点｜拨 忽略自变量定义域范围；换元后忘限定新元取值；混淆正余弦最值区间；配方求二次型值域出错；忽略三角函数有界性，直接盲目代值计算。 【典例1】．已知函数的最小正周期为，则在的最小值为 （ ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用三角函数的图像与性质，求得，得到，再由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的最小正周期为，可得， 解得，所以， 因为，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为. 故选：B 【典例2】．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方关系将函数写成关于的一元二次函数形式，再利用换元法求二次函数的值域即可. 【详解】由可得 令，则， 易知，二次函数关于对称，且开口向上， 所以函数在为单调递增， 所以， 所以，其值域为. 故选：D. 【变式1】．已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 【变式2】．函数的最小值为（ ） A．2 B．0 C． D．6 【答案】B 【分析】设，则，结合二次函数性质求其最小值即可. 【详解】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0， 故选：B. 题型十一 三角函数的简单实际应用 解｜题｜技｜巧 梳理实际情境，建立角度与时间、距离等量的关系，构造三角函数模型；确定自变量取值范围，列出正弦、余弦类解析式；结合图像与单调性求最值、周期，解决最值、时长、位置等问题，最后回归实际作答。 易｜错｜点｜拨 角度范围判断失误；建模时相位、初相设定错误；忽略实际定义域限制；混淆周期与运动时长；算出数值后未结合题意取舍结果，单位换算出错。 【典例1】．（多选）某港口某天的水深（单位：m）与时间（单位：h，）近似满足函数．该港口这一天水位最高时和最低时的时间间隔最少为，且中午点的水深为．为保证安全，当水深不少于时，港口才允许船只出入，则下列说法正确的是（ ） A． B．水位最高时的水深为 C．该港口这一天上午8点时允许船只出入 D．这一天内港口允许船只出入的时长为 【答案】ABD 【分析】根据周期求出，即可判断A，再由中午点的水深为求出，即可判断B，令求出的范围，即可判断C、D. 【详解】对于A，依题意，所以，故A正确； 对于B，当时，，解得， 所以，则， 所以水位最高时的水深为，故B正确； 对于C、D，因为， 令，即，所以， 因为，所以， 所以或 解得或， 所以该港口这一天上午点时不允许船只出入，一天内开放出入时长为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【典例2】．（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米(图3)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时(图3中点)开始计时，点距离水面的高度可以用函数表示.下列结论正确的有（ ） A．点所满足的函数表达式为 B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时10秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】BC 【分析】由题意可知，，，利用最小正周期公式得到的值，且当时，，从而得到，结合的范围得到的值，从而得到函数表达式；将代入函数表达式，通过计算得到的值，从而得到的最小值；点再次接触水面需要用时，通过计算得解；将代入函数表达式得到的值，从而得到点距离水面的高度. 【详解】中的，，， 则，解得， 当时，，解得， ，，，故选项A错误； 设，则，即， 则，解得， 则的最小值为，即点第一次到达最高点需要用时秒，故选项B正确； 点再次接触水面需要用时（秒），故选项C正确； 当时，，点距离水面的高度为米，故选项D错误. 【变式1】．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型： 记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（ ） A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的 B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C．第94天时，情绪值小于15 D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期 【答案】AD 【分析】根据图像及正弦曲线的性质即可得出结论. 【详解】由图象，智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的，故A正确； 由图像，体力曲线的最小正周期为天，，所以在出生起180天内，体力共有8次达高峰值，故B错误； 由图像，情绪曲线的最小正周期为天，所以第天情绪值为，第91天情绪值为20，而，所以第天情绪值大于，故C错误； 由图像，智力曲线的最小正周期为天，而，所以第天，智力曲线处于上升期，，所以第天，情绪曲线处于上升期，故D正确. 故选：AD 【变式2】．（多选）在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（ ） A． B．该音叉每秒钟往复振动880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 D．该音叉在时的位移为 【答案】ACD 【分析】利用已知求得可判断A；求得最小正周期，可求频率，进而可判断B，求得离开平平衡位置的最大距离判断C；求得可判断D. 【详解】因为该音叉在时的位移为，所以， 所以，所以，因为，所以，故A正确； 所以，所以最小正周期为， 所以频率为，所以该音叉每秒钟往复振动440次，故B错误； 当时，，所以该音叉离开平衡位置的最大距离为，故C正确； 当时，， 该音叉在时的位移为，故D正确. 故选：ACD. 题型十二 三角函数的范围 解｜题｜技｜巧 先确定已知角范围，通过四则运算推出整体角区间；结合正余弦、正切函数图像与单调性，划定函数值范围；利用奇偶性、诱导公式转化角度；遇复合角先换元，对照函数增减区间确定最值，严谨推导边界数值。 易｜错｜点｜拨 区间加减缩放出错；忽略正切间断区间；混淆函数增减区间；边界开闭判断失误；角度转化符号出错；忽略特殊角函数值，遗漏临界取值。 【典例1】．，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 【典例2】．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】对A，由复合函数单调性即可判断；对B，由题可得，由此即可判断；对C，由题意得，，结合的范围即可判断；对D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】对于A，当时，，，则， 由正弦函数单调性可知在上单调递增，故A正确； 对于B，由可知，一个为函数的最大值，一个为函数的最小值. 又因为，则当且仅当，即，所以函数的最小正周期为π，故B错误； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式为， 其图象关于轴对称，则，，所以，， 又因为，则的最小值为4，故C错误； 对于D，，，则， 若在上恰有4个零点，则当且仅当，得，故D正确. 【变式1】．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 【变式2】．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解：因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．角的终边经过点且，则实数的值为（ ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由三角函数的定义得， 平方化简得，解得（正根舍去）. 2．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用扇形的面积公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为 又因为，， 所以，该扇环形砖雕的面积为. 故选：C 3．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【详解】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C 4．已知函数，，则函数的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由， 因为，则， 设，则在上单调递减， 所以当时，. 二、多选题 5．以下四种变换方式，能将函数的图象变换为的图象的是（ ） A．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 B．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 C．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 D．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 【答案】AD 【分析】根据相位变换与周期变换的先后分别判断即可. 【详解】先相位变换时：因为的解析式中对应于的值为，值为， 所以将函数的图象先向左平移个单位长度得到的图象， 再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍得到的图象； 先周期变换时：因为， 所以先将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度. 6．已知函数，则（ ） A．在区间上单调递减 B．直线是曲线的对称轴 C．若将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则是奇函数 D．若函数在区间上有两个不同的零点，则 【答案】ACD 【详解】对于A：当时，.因为在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B：令，，解得，，故B错误； 对于C：是奇函数，故C正确； 对于D：由函数在上有两个不同的零点， 则函数与函数的图象在上有两个不同的交点. 因为，所以. 又因为在上单调递增，在上单调递减， 且，，，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．函数的最小正周期为，则的定义域是___________. 【答案】 【分析】先根据最小正周期求出，整体法进行求解，得到函数定义域. 【详解】由题意得，解得，故， 令，解得， 故的定义域为. 故答案为： 8．已知函数的一个中心坐标是，则的值等于____________． 【答案】/ 【分析】由对称中心代入求得，再结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意， 即，解得， 又，则得 所以. 四、解答题 9．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）由图象得到，由，解得，由以及，得到即可求解； （2）由正弦函数的图像与性质直接求解即可. 【详解】（1）因为，所以． 由图可得，则． 因为，所以． 由， 结合图象可得，即． 因为，所以． 故． （2）令，解得． 令，解得． 故的单调递减区间为， 单调递增区间为 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示： 则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 2．设，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ） A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】A 【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论． 【详解】， 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到， 故选：. 4．如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出观览车的角速度，再求出对应的角，根据三角函数的定义可的坐标，从而可求. 【详解】观览车的角速度为， 设，其中， 则，故，故， 故点的纵坐标为， 所以. 故选：A. 二、多选题 5．已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由条件等式两边平方，结合平方关系可得判断A；结合可得判断B；求得的值，可求判断C；解方程求得，进而利用商数关系计算可判断D. 【详解】对于A，由，得， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，结合中,所以，所以，故B正确； 对于C，， 又因为，，所以， 所以，故C错误； 由，可得，所以，故D错误. 故选：AB. 6．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B． C．若，，则 D．将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象 【答案】ABD 【分析】根据周期性求出，再由求出，最后由求出，即可得到函数解析式，从而结合正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由图可知，解得， 又，所以，解得， 又，所以，则，又，解得， 所以； 对于A：因为， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：令，即， 所以或， 解得或， 因为，， 所以，故C错误； 对于D：将函数的图象向左平移个单位长度可得到 ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 7．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则______________． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知， ，所以，解得， 故答案为：． 8．如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则___________. 【答案】/ 【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解. 【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为， 在中， 则的面积为， 由题意得 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 9．已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点B的横坐标为，则，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义和三角函数的基本关系式求解. （2）利用三角函数的诱导公式及正余弦齐次式法求解. （3）由已知求出锐角，由点B的横坐标可得，再利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）由锐角的终边与单位圆相交于点，得， 所以. （2）由（1）得，所以 . （3）由为锐角，且，得，依题意，， 所以 . 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．当时，曲线与的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个. 故选：B. 2．已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】设扇形的半径为，弧长为，依题意有，利用扇形面积公式，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则． ， 当且仅当时取等号， 故最大值为25，此时，． 故扇形圆心角的弧度数． 所以扇形面积最大值为，此时圆心角弧度数为2. 故选：C 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，利用诱导公式即可求解. 【详解】， 又， 所以. 故选：A. 4．设函数，若实数，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据、分别是的最大值与最小值，得到，，取得. 【详解】根据题意，函数的最大值为5，最小值为， 若实数、满足，则、分别是的最大值与最小值， 所以，，取得. 故选：B. 二、多选题 5．以下四种变换方式，能将函数的图象变换为的图象的是（ ） A．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 B．先向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍 C．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 D．先将每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度 【答案】AD 【分析】根据相位变换与周期变换的先后分别判断即可. 【详解】先相位变换时：因为的解析式中对应于的值为，值为， 所以将函数的图象先向左平移个单位长度得到的图象， 再将每个点的横坐标扩大为原来的2倍得到的图象； 先周期变换时：因为， 所以先将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度. 6．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如.已知函数，函数，则（ ） A．函数的值域是 B．函数是偶函数 C．函数的图象关于对称 D．方程只有一个实数根 【答案】ABD 【分析】确定时的图象，根据的奇偶性确定部分的函数图象，根据的图象确定的图象即可求解. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知，在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为，所以为偶函数，则函数的图象如下图所示 故选项A和B正确，C错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．函数，的值域为_____________. 【答案】 【分析】由题知，，再结合二次函数性质求解即可. 【详解】， 因为，， 所以当时，取得最大值； 当或时，取得最小值； 所以函数，的值域为. 故答案为： 8．若函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】先由函数在区间内恰有两个零点，得，再整体判断的范围，从而确定零点为和，进而可得的范围. 【详解】，在该区间内恰好有两个零点的一个必要条件是，解得. 因为，所以， 所以原问题等价于函数在区间内恰有两个零点， 注意到，, 所以函数在区间内两个零点为和， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 9．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）根据图象，结合正弦型函数的最小正周期公式、代入法进行求解即可； （2）根据正弦型函数图象变换性质得到，再令，再求出边界值即可得到答案. 【详解】（1）由图示得：， 又函数的周期有：，所以，所以， 所以． 又因为过点，所以，即， 所以，，解得，， 又，所以，所以； 令，解得，则其对称中心为. （2）图象上所有的点向右平移个单位长度， 得到， 将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 ， 当时，，令， 则，则，解得， 则，取，则，取，则， 则. 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $