第01讲 一元二次方程的概念（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学新教材人教版

第01讲 一元二次方程的的概念（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 一元二次方程的概念 如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m.若扩大后的绿地的面积为936 m2，求长、宽各增加的长度． 【知识点1 一元二次方程的定义】 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ①整式方程． ②方程中只含有一个未知数． ③化简后方程中未知数的最高次数是2． ④二次项的系数不为0 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时，得(). 【知识点3 一元二次方程的根】 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程. 【题型1 一元二次方程的定义判断】 【例1】下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2+xy+2＝0 B． C．x2+x+1＝0 D．ax2+bx+c＝0 【变式1-2】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2＝0 B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝（x+1）（x﹣1） 【变式1-3】方程：①x2+y＝2；②x（x﹣5）＝0；③；④ax2﹣3＝0（a为实数）；⑤x2＝﹣1；⑥x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1），其中是一元二次方程的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 【例2】若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 【变式2-1】若方程kx2+x＝3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是 　 ． 【变式2-2】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 【变式2-3】若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣2+（k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k＝　 　 ． 【题型3 一元二次方程化为一般形式】 【例3】填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x2﹣4x﹣3＝0 　 　 　 　 　 　 　 2x2＝0 　 　 　 　 　 　 　 x2 　 　　 　 　 　 　 （2y﹣3）2＝y（y+2） 　 　 　 　 　 　 　 【变式3-1】方程（x﹣1）2+5＝（3x+2）（2x﹣3）化为一般形式是　 　 ，其中二次项是　 ，二次项系数是　 　 ，一次项是　 ，一次项系数是　 　 ，常数项是　 　 ． 【变式3-2】已知关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k的值为　 　 ． 【变式3-3】若关于x的一元二次方程（x+2）2＝m（2x+1）中不含x的一次项，则m的值是　 　 ． 【题型4 由一元二次方程的根求待定字母的值】 【例4】已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+m＝0的一个根，则m的值是　 　 ． 【变式4-1】若x＝0是一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0的一个根，则m＝　 　 ． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣3x+a2﹣4＝0有一个根为x＝0，则a＝　 　 ． 【变式4-3】在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则此方程必有一根为 　 ． 【题型5 由一元二次方程的根求代数式的值】 【例5】若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣3m2+9m+2026的值为　 　 ． 【变式5-1】已知m是方程2x2﹣x﹣13＝0的一个根，则代数式2026﹣6m2+3m的值为　 　 ． 【变式5-2】若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2026＝0（a≠0）的一个解，则1﹣2a﹣b的值为　 　 ． 【变式5-3】若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是　 　 ． 【题型6 根据等量关系列一元二次方程解决实际问题】 【例6】根据题意列方程并化为一般形式： （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来的2倍，设正方形的边长x，则所列方程为 　 ； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方，等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长x，则所列方程为 　 ． 【变式6-1】一张面积是100cm2的矩形彩纸，长比宽多6cm，若设它的宽为xcm，可列出一元二次方程 为 　 （化为一般式）． 【变式6-2】学校的劳动实践基地是一块长30米、宽16米的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到400平方米，若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程，并将方程化为一般式是 　 ． 【变式6-3】根据下列问题，列出关于x的一元二次方程，并将其化为一般形式． （1）某轨道公司一段线路上共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路上站点数量为x： 　 ． （2）有一块矩形铁皮如图所示，长为20m，宽为15m，现打算从该铁皮上裁出两个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为2xm，宽为xm，使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为156m2，求宽： 　 ． 模块三 课后作业 1．下列关于x的方程：①；②；③x2﹣2+x3＝0；④x2﹣23+x＝0；⑤2x2﹣x﹣3＝0；⑥ax2+bx+c＝0中，一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 　 　 ． 3．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣m2+1＝0的常数项为0，则m值等于 　 　 ． 4．一元二次方程3x2+x＝2的二次项系数是　 　 ；一次项系数是　 　 ；常数项是　 　 ． 5．关于x一元二次方程x2﹣2026x+m＝0有一个根是x＝1，则m的值是　 　 ． 6．已知m是方程2x2﹣x﹣1＝0的根，则代数式2025﹣6m2+3m的值为　 　 ． 7．《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　 ． 8．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　 　 ． 9．将一个容积为750cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．写出关于x的方程．该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一般形式． 10．根据下列提示列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式． （1）已知两个数的和为7，积为6，求这两个数； （2）如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米．所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 一元二次方程的的概念（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 一元二次方程的概念 如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m.若扩大后的绿地的面积为936 m2，求长、宽各增加的长度． 【知识点1 一元二次方程的定义】 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ①整式方程． ②方程中只含有一个未知数． ③化简后方程中未知数的最高次数是2． ④二次项的系数不为0 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时，得(). 【知识点3 一元二次方程的根】 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程. 【题型1 一元二次方程的定义判断】 【例1】下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：①2x2﹣1＝0是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ②ax2+bx+c＝0中当a＝0时，它不是一元二次方程， ③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3整理得﹣x﹣6＝﹣3，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个， 故选：B． 【变式1-1】下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2+xy+2＝0 B． C．x2+x+1＝0 D．ax2+bx+c＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．x2+xy+2＝0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．x2+x+1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意； D．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2＝0 B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝（x+1）（x﹣1） 【分析】根据一元二次方程定义逐项分析判断即可． 【解答】解：根据一元二次方程定义逐项分析判断如下： 选项A：x2＝0，满足所有条件，是关于x的一元二次方程，符合题意； 选项B：是分式方程，不是整式方程，不符合定义，不符合题意； 选项C：ax2+bx+c＝0中，未说明a≠0，当a＝0时不是二次方程，不符合题意； 选项D：x2+2x＝（x+1）（x﹣1） 化简，得x2+2x＝x2﹣1， 整理得2x+1＝0，是一元一次方程，不符合定义，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】方程：①x2+y＝2；②x（x﹣5）＝0；③；④ax2﹣3＝0（a为实数）；⑤x2＝﹣1；⑥x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1），其中是一元二次方程的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析给出的六个方程，即可得出结论． 【解答】解：①∵方程x2+y＝2含有两个未知数， ∴方程x2+y＝2不是一元二次方程； ②原方程转化为一般形式得x2﹣5x＝0， ∵方程x2﹣5x＝0是一元二次方程， ∴方程x（x﹣5）＝0是一元二次方程； ③∵方程x22不是整式方程， ∴方程x22不是一元二次方程； ④∵当a＝0时方程ax2﹣3＝0不是一元二次方程， ∴方程ax2﹣3＝0（a为实数）不一定是一元二次方程； ⑤方程x2＝﹣1是一元二次方程； ⑥原方程转化为一般形式得5x﹣5＝0， ∵方程5x﹣5＝0， ∴方程x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1）不是一元二次方程． 综上所述，是一元二次方程的有2个． 故选：B． 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 【例2】若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【解答】解：由题意得， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式2-1】若方程kx2+x＝3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是 　 ． 【分析】方程kx2+x＝3x2+1化为一般形式是（k﹣3）x2+x﹣1＝0，再根据是一元二次方程的条件：二次项系数不为0，即可确定k的取值范围． 【解答】解：化为一般形式是（k﹣3）x2+x﹣1＝0，根据题意得：k﹣3≠0， 解得k≠3． 【变式2-2】关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　 　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义即可进行求解． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 因此m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【变式2-3】若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣2+（k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k＝　 　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零即可求解． 【解答】解：∵关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣2+（k﹣3）x+4＝0是一元二次方程， ∴|k|﹣2＝2且k﹣2≠0， 解得k＝4或k＝﹣4． 故答案为：4或﹣4． 【题型3 一元二次方程化为一般形式】 【例3】填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x2﹣4x﹣3＝0 　 　 　 　 　 　 　 2x2＝0 　 　 　 　 　 　 　 x2 　 　　 　 　 　 　 （2y﹣3）2＝y（y+2） 　 　 　 　 　 　 　 【分析】一元二次方程的一般形式为：y＝ax2+bx+c＝0（a≠0），a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此可解． 【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0和2x2＝0为一元二次方程的一般式，直接按定义得答案即可； 将x2右边的数化简并移到左边，得：x2﹣3＝0，则可得答案； 由（2y﹣3）2＝y（y+2）得：4y2﹣12y+9＝y2+2y， 整理得：3y2﹣14y+9＝0，则可得答案． 将表格依次填好． 故答案为：x2﹣4x﹣3＝0，1，﹣4，﹣3；2x2＝0，2，0，0；x2﹣3＝0，，0，﹣3；3y2﹣14y+9＝0，3，﹣14，9． 【变式3-1】方程（x﹣1）2+5＝（3x+2）（2x﹣3）化为一般形式是　 　 ，其中二次项是　 ，二次项系数是　 　 ，一次项是　 ，一次项系数是　 　 ，常数项是　 　 ． 【分析】先按照完全平方公式和整式乘法公式将原方程的左右两边分别展开，再整理，即可得出答案． 【解答】解：对原方程变形，得 x2﹣2x+6＝6x2﹣5x﹣6 整理得：5x2﹣3x﹣12＝0 故答案为：5x2﹣3x﹣12＝0；5x2；5；﹣3x；﹣3；﹣12． 【变式3-2】已知关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k的值为　 　 ． 【分析】由二次项系数非零及常数项为零，可列出关于k的不等式及方程，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣9＝0的常数项为0， ∴， 解得：k＝﹣3， ∴k的值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【变式3-3】若关于x的一元二次方程（x+2）2＝m（2x+1）中不含x的一次项，则m的值是　 　 ． 【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式x2+（4﹣2m）x+4﹣m＝0，再根据题意可得4﹣2m＝0，进而可得答案． 【解答】解：（x+2）2＝m（2x+1）， x2+4x+4＝2mx+m， 整理得，x2+（4﹣2m）x+4﹣m＝0， 根据题意知，4﹣2m＝0， 解得m＝2． 故答案为：2． 【题型4 由一元二次方程的根求待定字母的值】 【例4】已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+m＝0的一个根，则m的值是　 　 ． 【分析】将x＝1代入方程，求解m的值即可． 【解答】解：由题意可得：代入得：12﹣2m+m＝0， ∴﹣m+1＝0， ∴m＝1； 故答案为：1． 【变式4-1】若x＝0是一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0的一个根，则m＝　 　 ． 【分析】将已知根x＝0代入一元二次方程，得到关于m的方程，求解即可． 【解答】解：由条件可得m2﹣1＝0， 解得m＝±1， 故答案为：±1． 【变式4-2】已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣3x+a2﹣4＝0有一个根为x＝0，则a＝　 　 ． 【分析】根据一元二次方程的概念得到a﹣2≠0，再把x＝0代入计算，由此得到a的值． 【解答】解：由条件可知a﹣2≠0，a2﹣4＝0， ∴a1＝﹣2，a2＝2且a≠2， ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【变式4-3】在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则此方程必有一根为 　 ． 【分析】将x＝2代入方程ax2+bx+c＝0，再根据在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，即可得到该方程的一个根． 【解答】解：∵在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0， ∴当x＝﹣2时，方程ax2+bx+c＝0可变为4a﹣2b+c＝0， ∴此方程必有一根为x＝﹣2， 故答案为：x＝﹣2． 【题型5 由一元二次方程的根求代数式的值】 【例5】若m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣3m2+9m+2026的值为　 　 ． 【分析】由m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，可得m2﹣3m＝1，再进一步代入求解即可． 【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴m2﹣3m﹣1＝0， ∴﹣3m2+9m+2026 ＝﹣3m2+9m+3+2023 ＝﹣3（m2﹣3m﹣1）+2023 ＝﹣0+2023 ＝2023． 故答案为：2023． 【变式5-1】已知m是方程2x2﹣x﹣13＝0的一个根，则代数式2026﹣6m2+3m的值为　 　 ． 【分析】利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于m的等式，再对代数式进行变形求值． 【解答】解：由条件可知2m2﹣m﹣13＝0， ∴2m2﹣m＝13． ∴原式＝2026﹣3（2m2﹣m） ＝2026﹣3×13 ＝1987， 故答案为：1987． 【变式5-2】若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2026＝0（a≠0）的一个解，则1﹣2a﹣b的值为　 　 ． 【分析】可先将方程的解代入一元二次方程，求出含a、b的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【解答】解：由条件可知4a+2b﹣2026＝0， ∴2a+b＝1013， ∴1﹣2a﹣b＝1﹣（2a+b）＝1﹣1013＝﹣1012． 故答案为：﹣1012． 【变式5-3】若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是　 　 ． 【分析】根据一元二次方程的根的概念，可得a2+a﹣1＝0，变形可得，再整体代入求值即可． 【解答】解：由题意可得：a2+a﹣1＝0， 当a＝0时，﹣1＝0不成立， ∴a≠0， ∴，即， ∴． 故答案为：2026． 【题型6 根据等量关系列一元二次方程解决实际问题】 【例6】根据题意列方程并化为一般形式： （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来的2倍，设正方形的边长x，则所列方程为 　 ； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方，等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长x，则所列方程为 　 ． 【分析】（1）设正方形的边长x，根据正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来的2倍可列方程，再化为一般式可求解； （2）设较长一段的长x，根据长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方，等于较短一段与全长的乘积可列方程，再化为一般式即可求解． 【解答】解：（1）设正方形的边长x， 由题意得：（x+6）（x+2）＝2x2， 整理得：x2﹣8x﹣12＝0， 故答案为：x2﹣8x﹣12＝0； （2）设较长一段的长x， 由题意得：x2＝2（2﹣x）， 整理得：x2+2x﹣4＝0， 故答案为：x2+2x﹣4＝0． 【变式6-1】一张面积是100cm2的矩形彩纸，长比宽多6cm，若设它的宽为xcm，可列出一元二次方程 为 　 （化为一般式）． 【分析】根据矩形的宽表示出矩形的长，利用矩形的面积计算方法列出方程即可． 【解答】解：设长方形纸片的宽为xcm，则长为（x+6）cm， 根据题意得：x（x+6）＝100， 即x2+6x﹣100＝0， 故答案为：x2+6x﹣100＝0． 【变式6-2】学校的劳动实践基地是一块长30米、宽16米的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到400平方米，若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程，并将方程化为一般式是 　 ． 【分析】设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（16﹣x）米的矩形，根据种植面积为400平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长为（30﹣2x）米，宽为（16﹣x）米的矩形， 根据题意得：（30﹣2x）（16﹣x）＝400， 化为一般式是：x2﹣31x+40＝0， 故答案为：x2﹣31x+40＝0． 【变式6-3】根据下列问题，列出关于x的一元二次方程，并将其化为一般形式． （1）某轨道公司一段线路上共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路上站点数量为x： 　 ． （2）有一块矩形铁皮如图所示，长为20m，宽为15m，现打算从该铁皮上裁出两个完全相同的小矩形，每个小矩形的长为2xm，宽为xm，使得裁完后剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为156m2，求宽： 　 ． 【分析】（1）根据某轨道公司一段线路上共设计了132种往返车票，列出一元二次方程，再化为一般形式即可； （2）根据大矩形的面积﹣2个小矩形的面积＝剩余铁皮（图中阴影部分）的面积为156m2，列出一元二次方程，再化为一般形式即可． 【解答】解：（1）由题意得：x（x﹣1）＝132， 整理得：x2﹣x﹣132＝0， 故答案为：x2﹣x﹣132＝0； （2）由题意得：20×15﹣2×2x•x＝156， 整理得：x2﹣36＝0， 故答案为：x2﹣36＝0． 模块四 课后作业 1．下列关于x的方程：①；②；③x2﹣2+x3＝0；④x2﹣23+x＝0；⑤2x2﹣x﹣3＝0；⑥ax2+bx+c＝0中，一元二次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此逐项判定即可． 【解答】解：①，是分式方程，不是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③x2﹣2+x3＝0，含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程； ④x2﹣23+x＝0，是一元二次方程； ⑤2x2﹣x﹣3＝0，是一元二次方程； ⑥ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程； 所以一元二次方程的个数是3． 故选：B． 2．方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 　 　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出a的值． 【解答】解：∵方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程， ∴|a|+1＝2，且a﹣1≠0， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 3．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣m2+1＝0的常数项为0，则m值等于 　 　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可确定出m的值． 【解答】解：根据题意得：m2﹣1＝0， 解得：m＝1或m＝﹣1， 当m＝1时，方程为2x＝0，不合题意， 则m的值为﹣1， 故答案为：﹣1 4．一元二次方程3x2+x＝2的二次项系数是　 　 ；一次项系数是　 　 ；常数项是　 　 ． 【分析】首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可． 【解答】解：∵3x2+x＝2， ∴3x2+x﹣2＝0 ∴二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为﹣2， 故答案为：3；1；﹣2． 5．关于x一元二次方程x2﹣2026x+m＝0有一个根是x＝1，则m的值是　 　 ． 【分析】将已知根x＝1代入一元二次方程x2﹣2026x+m＝0，通过解方程求出m的值． 【解答】解：由条件可得：12﹣2026×1+m＝0， 计算得：1﹣2026+m＝0，即﹣2025+m＝0， 解得：m＝2025． 故答案为：2025． 6．已知m是方程2x2﹣x﹣1＝0的根，则代数式2025﹣6m2+3m的值为　 　 ． 【分析】利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于m的等式，再对代数式进行变形求值． 【解答】解：由条件可得：2m2﹣m﹣1＝0， ∴2m2﹣m＝1． ∴原式＝2025﹣3（2m2﹣m） ＝2025﹣3×1 ＝2022， 故答案为：2022． 7．《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　 ． 【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为（x+12）步． 依题意，得：x（x+12）＝864． 故答案为：x（x+12）＝864． 8．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　 　 ． 【分析】先理解题意，则把x＝a代入x2﹣2026x+1＝0，得a2﹣2026a+1＝0，整理得a2＝2026a﹣1，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2026a+1＝0， ∴a2＝2026a﹣1， 则 ＝2025， 故答案为：2025． 9．将一个容积为750cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．写出关于x的方程．该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化为一元二次方程的一般形式． 【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可． 【解答】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为：（30﹣2x）÷2＝15﹣x， 则根据题意，列出关于x的方程为：15（15﹣x）•x＝750． 整理，得x2﹣15x+50＝0． 该方程属于关于x的一元二次方程． 10．根据下列提示列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式． （1）已知两个数的和为7，积为6，求这两个数； （2）如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米．所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？ 【分析】（1）根据题意设出未知数，即可列出相应的方程，然后将其化为一元二次方程的一般形式即可解答本题； （2）根据题意设出未知数，即可列出相应的方程，然后将其化为一元二次方程的一般形式即可解答本题． 【解答】解：（1）设其中一个数为x，则另一个数为（7﹣x）， x（7﹣x）＝6 x2﹣7x+6＝0； （2）设正方形纸板的边长为x厘米， （x﹣2×2）2×2＝32 x2﹣8x＝0． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $