北京市押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 2026年北京中考数学押题卷，含选择（8）、填空（8）、解答（12）题，以人工智能超算、端午香囊制作等真实情境为载体，融合几何推理、函数应用等核心知识，注重数学思维与实践能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|8|图形性质、实数运算、概率等|结合甲骨文文化考查概率（第4题）| |填空题|8|分式意义、因式分解、统计估计等|以垃圾分类调查考查统计应用（第12题）| |解答题|12|几何证明、函数综合、新定义等|绿植吸收有害气体实验分析（第25题），“锐切点”新定义探究（第28题）|

北京市押题卷-2026年北京市初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共8小题） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．c＞a B．b+c＞0 C．|a﹣b|＝b﹣a D．a+b﹣c＞0 3．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 4．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个实数根，则k的值可以是（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 6．2026年，某人工智能超算中心正式投入运营，该中心平均每天处理的超高清视频数据量约为4.5×104TB，那么连续运行30天累计处理的超高清视频数据量约为（　　） A．1.35×104TB B．1.35×105TB C．1.35×106TB D．0.135×108TB 7．如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，连接AE；②分别以点B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线AF，交BC于点G．若AB＝10，AD＝6，则BG的长为（　　） A． B． C．2 D． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B，C是x轴上方的两个动点，四边形OABC是菱形，函数的图象与对角线OB交于点P（点P，B不重合），过点P作PD⊥x轴于点D，连接AP，CP．给出下面四个结论：①△OPD的面积一定为2；②△OAP和△BCP的面积一定不相等；③△ABP一定为锐角三角形；④△ABP可能为等腰三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二．填空题（共8小题） 9．若使分式有意义，则x的取值范围是　 　 ． 10．分解因式：2x2+4xy+2y2＝　 　 ． 11．方程的解为　 　 ． 12．北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是　 　 户． 13．命题“如果x＝y，那么x3＝y3”的逆命题是　 　 命题（填“真”或“假”）． 14．当把一个篮球放入静止的水中时，篮球静止后会漂浮在水面上，且有一部分在水面之下．如图，可以将篮球的竖直横截面看作半径为12cm的⊙O，水面与篮球接触面形成的弦长为AB，测得篮球露出水面的高度CD为16cm，CD经过圆心O，且垂直于AB，则弦长AB为　 　 cm． 15．如图，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一点，AF⊥DE交BC于点F，F是CE的中点．若AD＝6，BF＝2，则AF的长为　 　 ． 16．某工厂生产一种新产品，计划分配给甲、乙、丙三条生产线生产．每条生产线生产n（n为正整数）批产品后产生的材料费（单位：万元）与n的对应关系如下： n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 … 甲 15 35 60 90 125 … 乙 16 37 63 94 130 … 丙 17 39 66 93 120 … （1）如果工厂生产4批产品，且每条生产线至少生产1批产品，那么为使材料费最小，应向生产线　 　 分配2批产品（填“甲”“乙”或“丙”）； （2）如果工厂将5批产品分配给这三条生产线中的一条或多条生产，那么5批产品都完成生产后，材料费的最小值为　 　 万元． 三．解答题（共12小题） 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知a﹣b﹣4＝0（a+b≠0），求代数式的值． 20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在AB上，且AE＝CD，对角线AC平分∠DAB，连接CE． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）如果E是AB的中点，且，求BC的长． 21．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（﹣1，2）． （1）求k，b的值； （2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx+2（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，且大于函数y＝﹣x+3m的值，直接写出m的取值范围． 22．端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为16：7，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多2.1cm，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 23．某汽车测评机构为了了解X与Y两款热门新能源汽车的用户体验，随机抽取了20名汽车测评体验官，分别对X与Y两款汽车的“续航稳定性”和“智能驾驶体验”两项指标的评分（满分均为10分），并进行了整理、描述和分析如下： a．续航稳定性得分统计： X款汽车的20个评分数据为：7，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10． Y款汽车得分的频数分布为： 分数 6 7 8 9 10 人数 1 2 6 8 3 b．智能驾驶体验得分对比情况： 测评机构分析这20名汽车测评体验官的智能驾驶体验得分，将同一个人对两款机车的智能驾驶体验得分对比，发现X款汽车的智能驾驶体验得分高于Y款汽车的有14人，两款车得分相同的有2人，Y款汽车得分高于X款的有4人． c．两项指标得分统计表： 续航稳定性得分 智能驾驶体验得分 汽车型号 平均数 中位数 众数 平均数 X 8.15 a 8 8.8 Y 8.5 9 b 7.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）在本次测评中，如果某位汽车测评体验官对其中一款车的“智能驾驶体验”评分高于另一款，则视为体验官对该款车“更青睐”．请据此估计，在1500名试驾用户中，更青睐X款汽车的人数约有多少人？ （3）测评机构在复核数据时发现，Y款汽车的样本中有3名汽车测评体验官因初次接触智能驾驶系统，操作不当导致体验极差，给出了0分的极端评价．为了更真实地反映该系统在常规使用下的表现，机构决定剔除这3个异常数据．剔除后，剩余17名汽车测评体验官评分的平均数与原平均数相比将　 　 ，方差与原方差相比将　 　 ．（填“增大”、“减小”或“不变”） 24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O一点，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．连接AC，OC，过点A作OC的垂线，交OC，BC于点G，E，交⊙O于另一点F． （1）求证：AE＝AD； （2）若，，求AD的长． 25．室内装修常会产生多种有害气体，某研究小组探究A，B两种常见观叶绿植对装修产生的有害气体吸收情况，部分内容如下： 测量得到某刚装修完的房间内有害气体含量为18毫克，将A，B两种绿植放置在房间内，记绿植吸收有害气体的时间为x（单位：天），绿植A吸收有害气体的量为y1（单位：毫克），绿植B吸收有害气体的量为y2（单位：毫克）．记录的部分实验数据如下： x 0.0 1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 y1 0.00 1.50 4.00 7.45 8.75 9.30 9.75 y2 0.00 2.74 4.17 4.49 4.50 4.50 4.50 （1）可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，如图在同一平面直角坐标系xOy中，请分别描出绿植A和绿植B吸收有害气体量与时间对应的点，并绘制出它们的大致函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当绿植吸收有害气体的时间约为 　 　 天时，A，B两种绿植吸收有害气体的量相同，当有害气体吸收量首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为 　 　 天（结果保留小数点后一位）； ②经测算可得，该房屋有害气体总含量要低于2.4毫克才可用于居住，若装修完的第12天为房屋验收日，则验收日当天，房屋能否成功通过验收：　 　 （填“是”或“否”）． 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点O（0，0）和点A（1，a﹣a2）． （1）用含a的式子表示b； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax﹣2a（a﹣1）于点N． ①若a＝2，t＝4，求MN的长； ②已知当a≤t≤a+3时，线段MN的长随t的增大而增大，求a的取值范围． 27．已知，∠AOB＝60°，点C在边OB上，P是边OA上一动点，且OP＞OC，连接CP，点E在线段CP上（不与端点重合），连接OE并延长，将射线OE绕点O逆时针旋转60°得到射线OE′，并取射线OE′上一点为F，连接FC交边OA于点D． （1）依题意补全题图1； （2）若∠OFC＝∠POE，判断△OCD的形状，并证明； （3）在（2）的条件下，若点E为线段CP的中点，探究DF，DP与OC的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O的弦AB和点C，给出如下定义：若△ABC为锐角三角形，且直线CA，CB中有一条是⊙O的切线，则称点C是⊙O的弦AB的“锐切点”． （1）如图，⊙O的半径为1． ①点A（0，1），B（1，0），在点，中，点　 　 是⊙O的弦AB的“锐切点”； ②若OC＝2，点C是⊙O的弦AB的“锐切点”，则弦AB的长的取值范围是　 　 ； （2）已知点T（t，0）（t＞0），⊙O经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是⊙O的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 北京市押题卷-2026年北京市初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2．【解答】解：观察数轴的信息，得出c＜b＜0＜a，且|b|＜|a|＜|c|， ∴b+c＜0，|a﹣b|＝a﹣b，a+b＞0＞c ∴a+b﹣c＞0 ∴A选项中的c＞a是错误的，不符合题意； ∴B选项中的b+c＞0是错误的，不符合题意； ∴C选项中的|a﹣b|＝b﹣a是错误的，不符合题意； ∴D选项中的a+b﹣c＞0是正确的，符合题意， 故选：D． 3．【解答】解：设这个多边形的边数为n， 180（n﹣2）＝720， 解得：n＝6， 360°÷6＝60°． 故选：B． 4．【解答】解：随机抽取两张共有：文明，文自，文由，明自，明由，自由，共6种等可能的结果，其中这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的结果只有1种， ∴P． 故选：C． 5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个实数根， ∴， ∴， ∴对照四个选项，k的值可以是，其余不合题意． 故选：D． 6．【解答】解：运行30天的数据量为：4.5×30×104＝135×104＝1.35×106（TB）． 故选：C． 7．【解答】解：如图，连接AE，EG． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6， ∵AD＝6，AB＝AE＝10， ∴DE8， ∴EC＝CD﹣DE＝10﹣8＝2， ∵∠GAE＝∠GAB，AB＝AE，AG＝AG， ∴△GAE≌△GAB（SAS）， ∴GB＝GE， 设GB＝GE＝x，则有x2＝22+（6﹣x）2， 解得x， ∴BG． 故选：B． 8．【解答】解：设点P的坐标为（xP，yP）， ∴OD＝xP，PD＝yP， ∵点P在函数的图象上， ∴xP•yP＝4， ∴，故①正确； 当点A、C、P三点共线时，△OAP和△BCP的面积相等，故②错误； 举反例，当点P位于OB的中点时， ∵四边形OABC是菱形， ∴AP⊥OB，即∠APB＝90°， ∴此时△ABP为直角三角形，故③错误； 当点P运动到使得PA＝AB或PA＝PB或AB＝PB的位置时，△ABP为等腰三角形， 由于点P是动点，则△ABP 可能为等腰三角形，故④正确； 综上所述，正确的有①④． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．【解答】解：由题意得：2x+4≠0， 解得：x≠﹣2， 故答案为：x≠﹣2． 10．【解答】解：2x2+4xy+2y2＝2（x2+2xy+y2）＝2（x+y）2． 故答案为：2（x+y）2． 11．【解答】解：∵， 5x+（x﹣4）＝0， 6x＝4， 解得：， 检验：当时，5x（x﹣4）≠0， ∴原分式方程的解是． 故答案为：． 12．【解答】解：社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查， 由题意得，样本中“非常了解”的频率为：， 估计该社区1200户居民中“非常了解”的户数为：1200×0.6＝720． 故答案为：720． 13．【解答】解：命题“如果x＝y，那么x3＝y3”的逆命题是如果x3＝y3，那么x＝y，正确，是真命题， 故答案为：真． 14．【解答】解：如图，连接OA， ∵⊙O的半径为12cm， ∴AO＝CO＝12cm， ∵CD＝16cm， ∴OD＝CD﹣CO＝4（cm）， ∵CD经过圆心O，且垂直于AB， ∴在Rt△AOD中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝6， ∴∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB，BC＝AD＝6， ∵BF＝2， ∴CF＝BC﹣BF＝6﹣2＝4， ∵F是EC的中点， ∴EF＝CF＝4， ∴CE＝EF+FC＝8， ∵∠ABC＝90°， ∴∠AFE+∠BAF＝90°， ∵AF⊥DE， ∴∠E+∠AFE＝90°， ∴∠E＝∠BAF， 又∵∠C＝90°＝∠ABF， ∴△ECD∽△ABF， ∴，即， 解得：AB＝4或AB＝﹣4（舍去）， 在Rt△ABF中，． 故答案为：2． 16．【解答】解：（1）由题知， 当甲生产线生产2批产品时， 材料费为：35+16+17＝68（万元）； 当乙生产线生产2批产品时， 材料费为：15+37+17＝69（万元）； 当丙生产线生产2批产品时， 材料费为：15+16+39＝70（万元）； 因为68＜69＜70， 所以应向生产线甲分配2批产品． 故答案为：甲； （2）当全部分给一条生产线时， 甲：125，乙：130，丙：120， 则材料费最小为120万元； 当一条线分配4批，另外一条线分配1批时， 甲4乙1：90+16＝106，甲4丙1：90+17＝107，乙4甲1：109，乙4丙1：111，丙4甲1：108，丙4乙1：109， 则材料费最小为106万元； 当一条线分配3批，另外一条线分配2批时， 甲3乙2：97，甲3丙2：99，乙3甲2：98，乙3丙2：102，丙3甲2：101，丙3乙2：103， 则材料费最小为97万元； 当一条线分配3批，另外两条线各分配1批时， 甲3乙1丙1：93，乙3甲1丙1：95，丙3甲1乙1：97， 则材料费最小为93万元； 当两条线分配2批，一条线分配1批时， 甲2乙2丙1：89，甲2丙2乙1：90，乙2丙2甲1：91， 则材料费最小为89万元； 因为89＜93＜97＜106＜120， 所以材料费的最小值为89万元． 故答案为：89． 三．解答题（共12小题） 17．【解答】解：原式 ＝5． 18．【解答】解：解不等式x+1得x＞﹣2， 解不等式4（1﹣x）＞x﹣2得， 故不等式组的解集为． 19．【解答】解：∵a﹣b﹣4＝0， ∴a﹣b＝4， ∴ ∵a+b≠0， ∴原式 ． 20．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AE＝CD， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AD∥CE， ∴∠DAC＝∠ACE， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠EAC＝∠ACE， ∴AE＝CE， ∴四边形AECD是菱形； （2）解：∵E是AB的中点，AE＝CE， ∴AE＝BE＝CE， ∴∠EAC＝∠ACE，∠ECB＝∠B， ∵∠EAC+∠ACB+∠B＝180°， ∴∠EAC+∠ACE+∠ECB+∠B＝180°，即2（∠ACE+∠ECB）＝180°， ∴∠ACE+∠ECB＝∠ACB＝90°， ∵， ∴， 设BC＝4x，AC＝3x， 在直角三角形ABC中，AB＝10， 由勾股定理得：BC2+AC2＝AB2， ∴16x2+9x2＝102， 解得：x＝2（负根已舍去）， ∴BC＝2×4＝8． 21．【解答】解：（1）函数y＝kx+b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到， ∴k＝2， ∴y＝2x+b， 由条件可得：2×（﹣1）+b＝2， 解得：b＝4； （2）函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+4， ∵mx+2＜2x+4， ∴（m﹣2）x＜2， 当m＜2时，m﹣2＜0， 可得：， ∴x＞1时，函数y＝mx+2（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值恒成立， 当m＝2时，函数y＝mx+2（m≠0）的关系式为y＝2x+2， 当x＞1时，2x+2＜2x+4恒成立， 当m＞2时，m﹣2＞0， 可得：， ∴x＞1不成立， ∴函数y＝mx+2（m≠0）的值小于函数y＝kx+b时，m≤2； 当﹣x+3m＜mx+2时， 整理得：（m+1）x＞3m﹣2， 当m+1＞0，即m＞﹣1时， 可得：， ∵x＞1， ∴， 解得：， 当m＝﹣1时， 可得：0＞﹣5， ∴m＝﹣1时，（m+1）x＞3m﹣2成立， 当m+1＜0时， 可得：， ∴x＞1不成立； 综上所述，且m≠0． 22．【解答】解：原始长方形布料的长与宽之比一般为16：7， 设原始长方形布料的长为16xcm，则宽为7xcm， 由题意可得，成品香囊的长为16x＝7x（cm）， 宽为x（cm）， ∵成品香囊的长比宽多2.1cm， ∴， 解得x＝1.25， ∴16x＝20，7x＝8.75， 答：制作端午香囊所用的原始长方形布料的长是20厘米，宽是8.75厘米． 23．【解答】解：（1）X款汽车的中位数为：； Y款汽车的众数为：9； ∴a＝8，b＝9． 故答案为：8，9； （2）根据20名汽车测评体验官中有14人X款汽车的智能驾驶体验得分高于Y款汽车来估计1500名试驾用户中，更青睐X款汽车的人数可知： （人）． （3）该问题是针对“智能驾驶体验得分”， 原平均数为7.5，大于0， 剔除3个0分后，剩余数据的总和不变，但数量由20变为17，故平均数增大； 剔除极端值0分后，数据波动程度变小，故方差减小． 故答案为：增大，减小． 24．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，点C为⊙O一点， ∴OA＝OB＝OC，AB＝2OA ∴∠ABD＝∠OCB， AD是⊙O的切线， ∴AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∴在Rt△ABD中，∠ABD+∠D＝90°， ∴∠OCB+∠D＝90°， ∵AF⊥OC， ∴∠CGF＝90°， ∴在△CGE中，∠OCB+∠AED＝90°， ∴∠D＝∠AED， ∴AE＝AD； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴AB⊥AD， ∴∠AGO＝90°， ∴∠AFB＝∠AGO＝90°， ∴OC∥BF， ∴OA＝OB， ∴OG是△ABF的中位线， ∴BF＝2OG，AG＝FGAF， ∵， ∴BF＝2OG， ∵OC∥BF， ∴△CGE∽△BFE， ∴， ∵， ∴， ∴CGBF， ∴OC＝OG+CG， ∴OA＝OB＝OC， ∴AB＝2OA， 在△ABF中，∠AFB＝90°， 由勾股定理得：AF9， ∴AG＝FGAF， ∵， 设GE＝5k，FE＝4k， ∴FG＝GE+FE＝9k＝9/2， 解得：k， ∴GE＝5k， ∴AE＝AG+GE7， 由（1）得：AE＝AD， ∴AD＝7， 即AD的长为7． 25．【解答】解：（1）描点、绘制出大致图象如图， （2）①由图象可得： 当绿植吸收有害气体的时间约为2.2天时，A，B两种绿植吸收有害气体的量相同，当有害气体吸收量首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为2.7天； 故答案为：2.2；2.7（答案不唯一）； ②否．理由如下： 18﹣2.4＝15.6（毫克）， 绿植A从第10天到第12天的有害气体吸收量低于0.45毫克， ∴第12天A绿植的吸收量小于10.2毫克，绿植B第12天的有害气体吸收量约为4.5毫克， ∴总的吸收量约为10.2+4.5＝14.7＜15.6， 因此不能成功通过验收． 故答案为：否． 26．【解答】解：（1）∵经过原点O（0，0）， ∴c＝0， ∵经过A（1，a﹣a2）， ∴a+b＝a﹣a2， ∴b＝﹣a2； （2）①∵b＝﹣a2； ∴y＝ax2﹣a2x， ∵a＝2，t＝4， ∴P（4，0）， ∴M（4，16），N（4，4）， ∴MN＝12； ②∵P（t，0）， ∴M（t，at2﹣a2t），N（t，at﹣2a2+2a）， ∴MN＝|at2﹣a2t﹣at+2a2﹣2a|＝|a（t）2|， ∴线段MN是关于t的函数， ∴对称轴为直线x， 当at2﹣a2t﹣at+2a2﹣2a＝0时，解得t＝2或t＝a﹣1， 当a≥3时，线段MN的长随t的增大而增大； 当a+3时，即a≤﹣5，线段MN的长随t的增大而增大； 综上所述：a≥3或a≤﹣5． 27．【解答】解：（1）补全题图，如图1即为所求； （2）△OCD为等边三角形； 证明：∵将射线OE绕点O逆时针旋转60°得到射线OE′，取射线OE′上一点为F， ∴∠EOF＝60°， ∴∠DOF+∠POE＝60°， ∵∠OFC＝∠POE， ∴∠DOF+∠OFC＝60°， ∴∠ODC＝∠DOF+∠OFC＝60°， 又∵∠AOB＝60°， ∴△OCD为等边三角形； （3）DF＝OC+DP； 证明：如图2，∠AOB＝60°，过点P作PG∥OC交射线OE于点G， ∴∠OPG+∠AOB＝180°，∠GPE＝∠OCE，∠PGE＝∠COE， ∴∠OPG＝120°， ∵点E为线段CP的中点， ∴PE＝CE， 在△PEG和△CEO中， ， ∴△PEG≌△CEO（ASA）， ∴PG＝OC， 由（2）可知△OCD为等边三角形， ∴∠ODC＝60°，OC＝DO， ∴DO＝PG，∠FDO＝180°﹣∠ODC＝120°， ∴∠FDO＝∠OPG， ∵∠FOE＝∠POC＝60°， ∴∠FOE﹣∠POG＝∠POC﹣∠POG， ∴∠FOD＝∠COE， ∵∠PGE＝∠COE， ∴∠FOD＝∠OGP， 在△FOD和△OGP中， ， ∴△FOD≌△OGP（ASA）， ∴FD＝OP， ∵OP＝OD+DP， ∴DF＝OC+DP． 28．【解答】解：（1）①如图， △ABC1为钝角三角形，则C1（﹣1，1）不符合题意； △ABC2为锐角三角形，且BC2是⊙O的切线，则符合题意； △ABC3为锐角三角形，且AC3是⊙O的切线，则符合题意， 故答案为：C2，C3； ②∵OC＝2， ∴点C在以点O为圆心，2为半径的圆上， 设A（0，1），， 则此时AC一定是⊙O的切线，只需满足△ABC为锐角三角形，则△ABC为直角三角形即可找到临界值， 如图，当∠B1AC＝90°时， AB1为圆的直径，即AB1＝2， 如图，当∠AB2C＝90°时，过点O作OD⊥AB于D， ∵OD⊥AB2， ∴设AD＝B2D＝x，则AB2＝2x， ∵∠OAC＝∠AB2C＝90°， ∴∠OAD＝∠ACB2＝90°﹣∠CAB2， ∴， ∵OA＝1，AD＝x， ∴， 则， 解得，x（不符题意，舍去）， 则AB2＝2x， 则当时，△ABC为锐角三角形，即点C是⊙O的弦AB的“锐切点”， 故答案为：； （2）已知点T（t，0）（t＞0），⊙O经过点T，则⊙O的半径为t， 由题可知，AB＝t，则△ABO为等边三角形， 如图，过点B分别作BC1∥y轴，BC2⊥AB交过点A垂直于y轴的直线于点C1C2， 连接OC1OC2， ∵∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°， ∴∠BAC1＝30°， ∴， 则，A， 当点C位于C1，C2之间时，△ABC为锐角三角形，此时，， 以点O为圆心，分别以，O为半径画圆，长为的线段在圆弧区域内时，线段上的任意一点都是⊙O的长为的弦的“锐切点”， 如图，与圆环内圆相切时，是线段在此范围内的最长状态，仅有此时存在EF使得条件成立时，圆的半径最小，连接OF； ∴， ∴， 在 Rt△FDO 中，， 解得t（不符合题意，舍去）， 即． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $