精品解析：北京平谷区2026年初中学业水平考试综合练习（一）数学试卷

平谷区2026年初中学业水平考试综合练习（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可. 轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形. 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；  C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意. 2. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是(　　) A. a＞b B. |a|＞|b| C. ﹣a＜b D. a+b＞0 【答案】B 【解析】 【分析】根据比较a、b在数轴上的位置进行解答即可． 【详解】解：如图所示： A、a＜b，故此选项错误； B、|a|＞|b|，正确； C、﹣a＞b，故此选项错误； D、a+b＜0，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置确定式子的正负，掌握数形结合思想是解答本题的关键. 3. 一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案 【详解】解：∵多边形的外角和等于360°，且这个每个外角都等于72°， ∴它的边数为. 故选A 【点睛】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360°. 4. 一个盒子中有2个红球、1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画树状图，列出所有等可能的结果，再计算两次摸到不同颜色的球的概率． 【详解】解：由题意，画树状图如下 所有等可能的结果共9种，其中两次摸到不同颜色的球有4种， 即两次摸到不同颜色的球的概率为 故选：D． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得： 6. 一根普通的头发丝的直径约为，而光刻机的精度可以达到级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知，则h约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，科学记数法，分别用科学记数法表示出头发丝的直径和光刻机的精度，再根据光刻机的精度当于一根头发丝直径的h分之一列式求解即可． 【详解】解：头发丝直径为． 光刻机精度为． ∴． 故选C． 7. 如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（ ） A. 152° B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可得，平分，，可得，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图可得，平分，， ∴， ∴． 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】确定交点坐标，得到对应线段长及面积即可判断①②；利用对称性可知当的解析式为时，的长度最大，再求出坐标即可判断③④． 【详解】解：一次函数，则， ，解得或， ，则， ，，故①正确； 由题可知四边形为直角梯形，且， 四边形的面积为，故②错误； ∵点A与点B关于直线对称，反比例函数关于对称， ∴当的解析式为时，的长度最大， 解方程组得或， ∴此时M点的坐标为，故③正确； 当的长度最大时，求对应的点的坐标， 得 此时N点的坐标为，故④错误． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】根据题意得≠0， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 11. 方程的解为____． 【答案】3## 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘， 得， 展开各项，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 12. 已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式确定函数图象位置与增减性，计算得到的值，再结合确定的取值范围，写出范围内任意一个值即可． 【详解】解：由反比例函数，可得， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 将代入，得， 当时，点在第三象限，此时，满足， 当时，点在第一象限，由结合反比例函数增减性可得， ∴满足或即可， ∴取符合条件的值． 13. 如图，内接于，，若，则的长为___． 【答案】π 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，再根据勾股定理求出圆的半径，最后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， 设的半径为，则 ， 解得（舍负）， 的长为 ． 14. 每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 【答案】240 【解析】 【分析】先计算样本中视力在范围内的频数，再计算该范围频数占样本容量的比例，最后用八年级总人数乘以该比例，即可得到估计的人数． 【详解】解：由题意可得，样本中视力在范围内的频数为， 估计名八年级学生中视力在该范围的人数为：（人）． 15. 如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，取的中点G，连接，根据菱形的性质可知，利用勾股定理得到，结合中位线的性质可得，且，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接， ∵菱形的对角线与相交于点， ， ， ∵点是的中点，点G是的中点， ∴是的中位线， ∴，且，，， 又， ，， ． 16. 根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示： 运动能力I 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数 篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21 足球 12 游泳 4 实心球 m 排球 2 表中的____；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有____人． 【答案】 ①. 12 ②. 17 【解析】 【分析】先根据总人数相等计算的值，再结合已知限定条件，根据求最大值的要求推理求解 【详解】解：由题意，该班男生总人数为运动能力I各项目的人数之和， 即， 因为素质项目II人数之和等于总人数，因此 已知选择排球的2位同学均选择健身长拳和立定跳远组合， 选择游泳的4位同学的运动能力I和素质项目II组合各不相同， 所有可能的不同组合共4种， 为（篮球，立定跳远），（篮球，实心球），（足球，立定跳远），（足球，实心球）， 因此4位游泳同学中，有2人选择立定跳远，2人选择运动能力I的篮球， 要使目标组合人数最多，应将剩余立定跳远名额尽可能分配给目标组合， 立定跳远总人数为21，已被排球占用2个名额，被游泳占用2个名额， 因此剩余立定跳远名额为， 运动能力I的篮球总人数为19，其中2人选择游泳， 因此最多有名篮球考生选择健身长拳， 健身长拳总人数为29，已被排球占用2个名额，剩余名额为， 足球总人数12，其中2人选择游泳，剩余10名足球考生均可选择健身长拳，，刚好满足健身长拳的名额限制， 因此选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有17人． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22题，5分，第23题，6分，第24-25题，每题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 . 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为. 19. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】先对所求式进行化简，再利用整体法求解即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， 代入得，原式． 20. 如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于，若，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ． 21. 榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 【答案】 【解析】 【分析】设榫头长为，则榫身长为，根据榫身长与榫头长之和为求出的值，进而根据比例关系求出各边长，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设榫头长为， 榫身长榫头长， 榫身长为， 榫身长与榫头长之和为， ， 解得， 榫头长为，则榫身长为， 榫头长榫头宽， 榫头宽为， 榫身宽榫头宽， 榫身宽为， 此面的表面积为：． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据题意，可知当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象，结合图像得到的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵函数与的图象交于点， ∴，解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为，， ∵要使得当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴即当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得，当时，的图象永远在的上方，那么只要当时，在的上方即可， 结合图象，可知当直线与直线平行时符合题意，此时或者时也符合题意， ∴m的取值范围为． 23. 如图，为直径，是的切线，连接交于点为上一点，连接并延长交于点，交切线于点，若． （1）求证：为中点 （2）连接交于点，若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，再由，即可证明结论； （2）连接，证明，可得，则，设,则，，证明，可得，在中，利用勾股定理列方程可得，可得，，再证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为直径，是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即为中点． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为直径， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设,则，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵为直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 24. 为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： （1）a的值为_____． （2）请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 （3）结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． （4）假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 【答案】（1）750 （2）见解析 （3）② （4）5.5 【解析】 【分析】（1）观察乙同学路程数据，在时间段内的速度，再求出的值即可； （2）用平滑曲线将平面直角坐标系中乙同学的跑步数据连接起来即可； （3）根据表2中甲、乙两名同学的跑步数据逐一判断即可； （4）根据乙同学匀速速度不变，再计算跑完全程的总时间，最后对照评分标准确定分值． 【小问1详解】 解：观察乙同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为， 则该阶段速度为， 当时，从起经过的时间为， 则； 【小问2详解】 解：的图象如下； 【小问3详解】 解：当时，由表2可知，在时，甲路程，乙路程，此时乙同学在甲同学前面， 故①错误； 由（1）可知，乙同学最后阶段速度为，乙跑了，剩余路程为，还需要的时间为， 则乙同学完成1000米的测试时间为：， 故②正确； 由表2观察甲同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为，则甲同学匀速跑步阶段速度为， 而乙同学匀速跑步阶段速度为， 则两名同学在匀速跑步阶段速度不同， 故③错误； 综上所述，正确结论的序号是②； 【小问4详解】 解：乙同学匀速跑步阶段速度为，且在时恰好跑了， 因此，乙同学跑完全程的总时间为：， 对应评分标准：， 因此，乙同学得分为5.5分． 25. 北京市举办“未来之城”青少年人工智能与无人机综合应用大赛．某校“凌云”科技社团要从进入大赛名单的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员．选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的“定点精准空投”能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这四名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分；d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 94 中位数 94 94 93.5 方差 1.2 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为___________，的值为___________； （2）表中___________1.2（填“”“”或“”） （3）大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮： 第一轮（平均水平初筛）：四名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第二轮）； 第二轮（极度稳定复筛）：在进入第二轮的同学中，比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单． 第三轮（核心战力比拼）：针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数W”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态．设核心战力指数的计算公式为：中位数众数．分最高者最终当选为正式参赛队员． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是______同学，该同学的W分是_______分． 【答案】（1）94，94 （2） （3）甲，282 【解析】 【分析】（1）根据中位数和平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据折线图判断波动性大小，即可得出结果； （3）先确定进入第三轮的选手，根据计算公式进行计算后，判断即可． 【小问1详解】 解：甲同学成绩的10个数据排序为92，93，93，94，94，94，94，95，95，96，第5个和第6个数据均为94， 故； ； 【小问2详解】 解：由折线图可知，乙同学成绩的波动性明显高于甲同学成绩的波动性， 故乙同学成绩的稳定性低于甲同学成绩的稳定性，即乙同学的方差大于甲同学， ∴； 【小问3详解】 解：∵四位同学成绩的平均数相同，甲和丁两位同学的方差相同且均比乙和丙两位同学的方差小， ∴甲和丁两位同学进入第三轮， ∵甲同学在10次测试中，出现次数最多的分数是94分，丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分， ∴甲同学的分数的众数为94分，丁同学的分数的众数为93分， 又∵甲同学的分数的中位数为94分，丁同学的分数的中位数为93.5分， ∴（分），（分）， ∵， 故最终当选正式参赛队员的是甲同学，该同学的W分是282分． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）用含a的式子表示b； （2）点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 27. 在中，，点是边上一点（不与重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系并证明； 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）等边对等角，求出的度数，旋转，得到，证明，得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）连接，证明，得到，，进而得到，证明为等腰直角三角形，得到，证明，得到，然后根据直角三角形斜边上的中线，推出，证明，推出，进而得到即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点分别为的中点，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 28. 如图，是的一条弦，点关于的对称点为，在射线上截取，则点为“弦心衍生点”． （1）在平面直角坐标系中，的半径为2，以下各点属于“弦心衍生点”的有_____； （2）平面直角坐标系中，若的半径为1，直线分别与轴，轴交于点，若线段上的点都是“弦心衍生点”，则的取值范围是___； （3）在（2）的条件下，若存在上的所有点都是“弦心衍生点”，则的半径的取值范围为____． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得圆心到的“弦心衍生点”的距离，据此即可判断； （2）由题意得点到线段上的点的距离，，，过点作于点，则，则，，，则，即可求解； （3）设，的半径为，当与圆心重合时，的取值范围与的衍生点的范围一致，即：；当时，可得，综合两种情况，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得，当的半径为时，设圆心到弦的距离为，则， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴圆心到的“弦心衍生点”的距离， ∵，，，， ∴属于“弦心衍生点”的有． 【小问2详解】 解：∵的半径为1， 设点到线段上的点的距离为， ∵线段上的点都是“弦心衍生点”， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点， ∴，， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵线段上的点都是“弦心衍生点”， ∴，，， ∴，，， ∴，即， 当时，，当时，， 两条抛物线的形状，如下图所示， ∴，，，， ∴或． 【小问3详解】 解：设，的半径为，“弦心衍生点”与圆心的距离为m， 半径为1，m的范围：， 当与圆心重合时，r的取值范围与m一致，即：， 当在圆周之外时，即时， ，即 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷区2026年初中学业水平考试综合练习（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是(　　) A. a＞b B. |a|＞|b| C. ﹣a＜b D. a+b＞0 3. 一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 一个盒子中有2个红球、1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 一根普通的头发丝的直径约为，而光刻机的精度可以达到级别，相当于一根头发丝直径的h分之一，已知，则h约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，若分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，再以点A为圆心，长为半径画弧交射线于点D，则的度数为（ ） A. 152° B. C. D. 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：______． 11. 方程的解为____． 12. 已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____． 13. 如图，内接于，，若，则的长为___． 14. 每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 15. 如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 16. 根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示： 运动能力I 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数 篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21 足球 12 游泳 4 实心球 m 排球 2 表中的____；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有____人． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22题，5分，第23题，6分，第24-25题，每题5分，第26题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于，若，，求和的长． 21. 榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 22. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 如图，为直径，是的切线，连接交于点为上一点，连接并延长交于点，交切线于点，若． （1）求证：为中点 （2）连接交于点，若，，求的值． 24. 为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： （1）a的值为_____． （2）请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 （3）结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． （4）假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 25. 北京市举办“未来之城”青少年人工智能与无人机综合应用大赛．某校“凌云”科技社团要从进入大赛名单的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员．选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的“定点精准空投”能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这四名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分；d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 94 中位数 94 94 93.5 方差 1.2 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为___________，的值为___________； （2）表中___________1.2（填“”“”或“”） （3）大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮： 第一轮（平均水平初筛）：四名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第二轮）； 第二轮（极度稳定复筛）：在进入第二轮的同学中，比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单． 第三轮（核心战力比拼）：针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数W”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态．设核心战力指数的计算公式为：中位数众数．分最高者最终当选为正式参赛队员． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是______同学，该同学的W分是_______分． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． （1）用含a的式子表示b； （2）点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 27. 在中，，点是边上一点（不与重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系并证明； 28. 如图，是的一条弦，点关于的对称点为，在射线上截取，则点为“弦心衍生点”． （1）在平面直角坐标系中，的半径为2，以下各点属于“弦心衍生点”的有_____； （2）平面直角坐标系中，若的半径为1，直线分别与轴，轴交于点，若线段上的点都是“弦心衍生点”，则的取值范围是___； （3）在（2）的条件下，若存在上的所有点都是“弦心衍生点”，则的半径的取值范围为____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $