精品解析：黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度下学期高一期中考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，得出，建立方程组，求解即可得出答案. 【详解】设，则 即，解得： 则 故选B 【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 2. 在正方体中，棱所在的直线与直线是异面直线的条数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示：在正方体中，棱所在的直线与直线是异面直线的有： 、、、、、. 3. 如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（ ） A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDE⊥平面ABC 【答案】D 【解析】 【分析】 利用线面平行的判定定理可判断A；利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可判断B、C，从而可得结果. 【详解】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故选项A正确； 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， 且AE，PE⊂平面PAE， 所以BC⊥平面PAE， 因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE， 又DF⊂平面PDF， 从而平面PDF⊥平面PAE. 因此选项B，C均正确. 故选：D 【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 4. 已知向量与向量的方向相反，，点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出后，可得向量，再结合点坐标即可得点坐标. 【详解】由，则， 由向量与向量的方向相反，且 ， 故，由点坐标为，则点坐标为. 5. 设为不同的平面，为直线，给出下列条件：①；②；③；④ .其中能推出的条件是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明判断①③；利用面面平行的性质推理判断②；利用线面垂直的性质推理判断④. 【详解】对于①，当 时，满足，此时不平行，①不是； 对于②，由，得，②是； 对于③，当 时，满足，此时不平行，③不是； 对于④，由，得，而，因此，④是. 6. 正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】结合正四棱锥的性质得到平面，底面为正方形，根据二面角及线面角的定义判断对应的平面角，结合三角函数求解即可. 【详解】设与的交点为，连接，则平面. 因为平面，所以，. 则即为侧棱与底面所成角. 过点作，交于，连接. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以， 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角，故. 设正四棱锥底面正方形边长为，则，. 在中，，所以，， 在中，， 又，所以. 7. 在长方体中，，，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助等体积法计算即可得. 【详解】，， 则， ， 设点到平面的距离为， 则，解得. 8. 半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积，结合点的位置求解即可. 【详解】如图，设圆的圆心为点，，则为等边三角形. 过点作，交于点， 当点在点右侧时， 当点在点左侧时，； 当点在点正上方时，，. 当点在点右侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，即； 当点在点左侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，则， 综上，的取值范围为. 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若存在实数，使得，则与共线 B. 若与共线，则存在实数，使得 C. 若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，使得 D. 若对平面内的任一向量，均存在实数，使得，则与不共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断出正确选项. 【详解】根据平面向量共线的知识可知A选项正确. 对于B选项，若与共线，可能，当为非零向量时，不存在实数，使得，所以B选项错误. 根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题. 10. 设是两个非零向量和的夹角，若对任意实数，的最小值为1，则下面说法错误的是（ ） A. 若确定，则唯一确定； B. 若确定，则唯一确定； C. 若确定，则唯一确定； D. 若确定，则唯一确定； 【答案】ACD 【解析】 【分析】对进行平方，根据题意结合二次函数的性质得到，再逐项分析判断即可. 【详解】. 这是关于的二次函数，二次项系数，最小值在时取得， 所以的最小值为 ， 已知的最小值为1，即的最小值为1，所以，即. 对于A，若确定，则确定，但可以取任意非零值，不唯一确定，A错误. 对于B，若确定，则，唯一确定，B正确. 对于C，若确定，由，未知，所以不唯一确定，C错误. 对于D，若确定，则，有两个解，不唯一确定，D错误. 11. 已知正方体的棱长为2，为中点，与交于，与交于，则下面结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 三棱锥外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【详解】如图1，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、 、、、. 设，则，，，， 因为、、三点共线，则存在实数使得，， 即，，解得，即. 因为、、三点共线，则存在实数使得，， 则，即. 故有，解得，即得. 同理可得，. 选项A：，平面的一个法向量为. 得，所以，直线与平面不平行.故A错误. 选项B：因为，， 则，得，即.故B正确. 选项C：因为，， 设平面的一个法向量为. 则，故可取. ，所以，与共线， 则直线与平面垂直，故C正确. 选项D：如图2，对于三棱锥， 、、、. 底面在平面上， 是直角三角形且，其外接圆的圆心为斜边的中点 ， 设三棱锥的外接球的半径为，球心为 ， 则 ，即，解得， 半径,所以，外接球的表面积为.故D正确. 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量满足，，若，则＝________. 【答案】 【解析】 【分析】因为，可结合坐标法，设出向量坐标，利用向量数量积的坐标表示求出，进而求出. 【详解】因为，，可设，. 设， 由，得，解得； 由，得，解得， 所以，故. 13. 如图，已知正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，连接DN，得到一个直角三角形△MDN，P为斜边MN的中点，所以|DP|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，利用球的表面积计算可得. 【详解】如图所示，连接DN，则△MDN为直角三角形， 在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，连接DP，则DP＝1， 点P在以D为球心，半径R＝1的球面上， 又点P只能落在正方体上或其内部， 点P的轨迹的面积等于该球面面积的， 所求面积. 故答案为： 【点睛】本题考查球的表面积公式，解答本题的关键是熟悉几何体的结构特征与球的定义及其表面积的计算公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题. 14. 在棱长为正方体中，点在线段 （包括端点）上运动，有下列判断：①平面平面；②平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④顶点到直线距离的取值范围是其中，正确的是________．（把所有正确判断的序号都填上） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合正方体的线面垂直、面面平行关系判断①②；把点参数化，利用向量夹角判断③；利用点到直线距离公式判断④． 【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 则 对于①，平面内有 又 计算得 所以，且． 因为与是平面内两条相交直线，所以平面 又平面，故平面 平面，①正确． 对于②，平面内有， 计算得 ， 所以，且 ． 因为与是平面内两条相交直线，所以平面 所以平面. 因为，所以平面，且不在平面内，因此平面，②正确． 对于③，设 ， 则，所以 设异面直线与所成角为，则 当或时，，此时； 当时，，此时． 因此的取值范围不是，③错误． 对于④，顶点到直线的距离记为． 由点到直线的向量距离公式， 因为，所以， 于是 因为，所以 ，从而，即，④正确． 综上，正确判断为①②④． 四．解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系可构造方程求得，由向量模长的坐标运算可求得结果； （2）根据向量共线的坐标表示可求得的值，根据夹角为锐角可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 ，，解得：或， 当时，，； 当时，，； 综上所述：或10 【小问2详解】 若共线，则，解得：或， 当时，，，此时同向； 当时，，，此时反向； 若与的夹角为锐角，则，解得：且， 的取值范围为. 16. 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.  下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 17. 的内角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求； （2）是的角平分线，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及三角函数平方关系求解即可. （2）根据三角形面积关系得到，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即，整理得 ，解得， 又，所以. 【小问2详解】 在中，，是的角平分线，且， 而， 则，即， 整理得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 18. 已知四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面是矩形，为正方形的中心，在线段上． （1）证明：平面平面； （2）若四棱柱的体积是，且直线平面， ①求； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①1；②． 【解析】 【分析】1）证明平面平面：先由正方形底面和侧面矩形的性质，证得且，结合线面垂直判定定理推出平面，再由面面垂直判定定理得证； （2）①取中点，利用为正方形中心推出，结合平面及线面平行的性质，得，进而证四边形为平行四边形，故； ②先算出，由体积公式得四棱柱的高，再用等体积法，求出点到平面的距离，最后由线面角定义得正弦值． 【小问1详解】 连接， 因为是正方形，所以， 因为侧面是矩形，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 ① 取的中点，连接， 因为为正方形的中心，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为是平行四边形，所以， 所以，即，所以四点共面， 因为直线平面，平面平面， 所以，所以是平行四边形， 所以． ② ，过作垂直底面于，于， 由四棱柱的体积是，则，， 所以， 设到的距离为，则， 所以，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知正方形的边长为6，点为边的中点，将沿着折起，使点到的位置，此时点在平面内的射影在上，是线段上一点. （1）求点到平面的距离； （2）求证：； （3）当二面角的余弦值为时，求. 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）设点在平面内的射影为，则平面；过点作，交于，连接，，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质得到，即三点共线；以点为原点，以，为轴，轴建立平面直角坐标系，结合直线与直线相交求出点、点坐标，得到，，结合勾股定理即可求出. （2）设对角线，的交点为，连接，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质得到，结合勾股定理及勾股定理逆定理证出，进而得到线面垂直，即可得证. （3）过点作，交于，连接，结合二面角定义得到为二面角的平面角，即，利用勾股定理求出，根据点到直线的距离公式求出直线方程，与方程联立求得点，利用两点间距离公式即可求出. 【小问1详解】 设点在平面内的射影为，则平面. 又平面，所以. 过点作，交于，连接，，则. 又，平面，所以平面. 又平面，所以，所以三点共线，即. 在平面中，以点为原点，以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，，. 所以直线：；直线：， 因为，所以，则直线：. 联立，解得，即，所以. 联立，解得，即，所以. 又平面，平面，所以. 在中，. 所以点到平面的距离为2. 【小问2详解】 设对角线，的交点为，连接， 所以，，所以，，. 又平面，平面，所以，. 又，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，，，所以. 在中，，，所以. 在中，，所以. 又 ， 平面，所以平面. 因为是线段上一点，所以平面，所以. 【小问3详解】 过点作，交于，连接. 因为平面，平面，所以 . 又 ， 平面，所以平面. 又平面，所以. 所以即为二面角的平面角，所以. 在 中，，则 ，又， 由勾股定理得，，即，解得. 设直线：，则， 所以，整理得，解得或， 即直线：或. 又直线：， 联立，解得；联立，解得，即或， 当时，； 当时，， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年度下学期高一期中考试 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 在正方体中，棱所在的直线与直线是异面直线的条数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是（ ） A. BC∥平面PDF B. DF⊥平面PAE C. 平面PDF⊥平面PAE D. 平面PDE⊥平面ABC 4. 已知向量与向量的方向相反，，点坐标为，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设为不同的平面，为直线，给出下列条件：①；②；③；④ .其中能推出的条件是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 6. 正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 7. 在长方体中，，，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. 1 D. 8. 半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分. 在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若存在实数，使得，则与共线 B. 若与共线，则存在实数，使得 C. 若与不共线，则对平面内的任一向量，均存在实数，使得 D. 若对平面内的任一向量，均存在实数，使得，则与不共线 10. 设是两个非零向量和的夹角，若对任意实数，的最小值为1，则下面说法错误的是（ ） A. 若确定，则唯一确定； B. 若确定，则唯一确定； C. 若确定，则唯一确定； D. 若确定，则唯一确定； 11. 已知正方体的棱长为2，为中点，与交于，与交于，则下面结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 三棱锥外接球表面积为 三、填空题:本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量满足，，若，则＝________. 13. 如图，已知正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是________． 14. 在棱长为正方体中，点在线段 （包括端点）上运动，有下列判断：①平面平面；②平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④顶点到直线距离的取值范围是其中，正确的是________．（把所有正确判断的序号都填上） 四．解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知平面向量，，. （1）若，求； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 17. 的内角，，所对的边分别是，，，已知． （1）求； （2）是的角平分线，且，求的最小值. 18. 已知四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面是矩形，为正方形的中心，在线段上． （1）证明：平面平面； （2）若四棱柱的体积是，且直线平面， ①求； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知正方形的边长为6，点为边的中点，将沿着折起，使点到的位置，此时点在平面内的射影在上，是线段上一点. （1）求点到平面的距离； （2）求证：； （3）当二面角的余弦值为时，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $