重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一下学期6月定时检测数学试题

**基本信息** 本卷聚焦高中数学核心知识，通过解三角形（16题周长计算）、立体几何（17题面面垂直证明）等综合题，考查空间观念、推理能力，适配月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、直观图、向量|基础概念辨析，如菱形直观图周长（2题）| |多选|3/18|立体几何位置关系|多选项分层，如正方体动点轨迹（11题）| |填空|3/15|三棱柱外接球|空间想象与运算结合，如外接球体积（13题）| |解答|5/77|立体几何证明、解三角形|综合应用，如正三棱台体积与夹角（19题）|

数学试题 (满分:150 分; 考试时间:120 分钟) 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写: 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。 3. 考试结束后，将答题卡交回(试题卷学生保存，以备评讲)。 一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足 ( 是虚数单位),则 ( ) A. B. C. D. 2. 如图,菱形 是水平放置的四边形 的直观图,其中 ，则四边形 的周长为( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 已知平面向 ，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 4. 在 中,内角 所对的边分别为 . 若 的面积 ( ) A. B. 60° C. 45° D. 30° 5. 已知一个圆锥的体积为 ，任取该圆锥的两条母线 ，若 所成角的最大值为 ， 则该圆锥的侧面积为( ) A. B. C. D. 6. 如图，为测量河对岸 两点间的距离. 在楼顶 处观察 的俯角为 ，观察点 的俯角为 为楼底一点且 平面 ,若楼高,则 ( ) A. B. C. D. 6 题图 7 题图 7. 如图,在四面体 中, 为 的中点，则点 到平面 的距离为( ) A. B. C. D. 8. 在 中,内角 所对的边分别为 ,且 . 则 的最大值为( ) A. 2 B. C. D. 二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,下列说法中正确的是 ( ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D 若 ，则 10. 点 是 所在平面内的一点，下列说法正确的有( ) A. 若 ，则 为 的重心 B. 若 ,则点 为 的垂心 C. 在 中,向量 与 满足 ,且 ,则 为等边三角形 D. 若 分别表示 的面积,则 11. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，上底面 内(含边界)有一动点 ， 下列说法正确的有( ) A. 若平面 平面 ，则 B 当 时，点 的轨迹长度为 C. 若异面直线 与 所成角为 ，则 的取值范围是 D. 若 是 上一动点，则 的最小值为 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知 是虚数单位,则 _____. 13. 已知在直三棱柱 中， ， ，则该三棱柱外接球的体积为_____. 14. 已知函数 ,向量 是平面内三个不同的单位向量,其中向量 相互垂直,且满足 ,则 的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知向量 满足: . (1)求 与 的夹角 的余弦值； (2)若 ，求实数 的值. 16. (15 分) 已知 中,内角 的对边分别是 ,且 . (1) 求角 的大小； (2)若 ，求 的周长. 17. (15 分) 如图所示，正方形 和四边形 所在的平面互相垂直， ， . (1) 求证: 平面 ； (2)求证: 平面 ； (3)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值 . 18. (17 分) 在 中, ,分别为内角 的对边, . (1) 求角 的大小； (2)若 是锐角三角形， ，求 面积的取值范围； (3) 若 ，且 的面积为 ，求 的长度. 19. (17分)如图，在正三棱台 中， 为 的中点. (1) 求正三棱台 的体积; (2)设 分别为棱 ， 上的点，且 均在同一个平面上. (i) 当 为 的中点时,证明: ; (ii) 当 最小时，求平面 与平面 的夹角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $