精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一下学期4月定时检测数学试题

西南大学附中高2028届高一下4月定时检测 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 2026年4月 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（ ） A. －5 B. C. －1 D. 1 6. 在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 8. 已知函数，若是方程的解，则不等式成立的最小整数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数一定过第一象限 B. 函数且的图象过点且不与直线相交 C. 函数的定义域为 D. ，当时，恒有 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数最大值为2 C. 将函数的图像向左平移个单位后得到的函数为偶函数 D. 函数的图象关于直线对称 11. 平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 13. 重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______． 14. 已知平面向量，定义线性变换，且满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，点在边上，且． （1）求和； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． （1）求的值和在区间上的单调递减区间； （2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 17. 已知是定义域为的奇函数． （1）求实数的值； （2）用定义证明在上是增函数： （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积； （3）若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值． 19. 人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为． （1）菱形ABCD中，，动点在直线CD上． （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的取值范围． （2）在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中高2028届高一下4月定时检测 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 2026年4月 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由，，得， 所以. 2. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】向量在上的投影向量为. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由二倍角余弦公式可知， 即. 4. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的中点，， 因为，所以，又， 由题意得，故B正确. 5. 已知是定义在上的函数，且满足；则的值为（ ） A. －5 B. C. －1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据是奇函数和的值可得出的值，进一步可求出的值. 【详解】令，则，因为是奇函数，所以. 因为，所以，所以， 所以. 6. 在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 因为BD平分，所以， 又因为，所以，， 在中，, 在中，， 所以． 7. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合向量共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】解：由，，又，故，所以. 因为，所以，又三点共线， 所以. 因此，当，时，， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 8. 已知函数，若是方程的解，则不等式成立的最小整数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题干等式得出，结合函数的单调性得出，构造函数，其中，利用零点存在定理得出，且，进而得到，于是得出，结合对勾函数的单调性可得出满足条件的最小整数的值. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 由，所以， 因为是方程的解，则，可得， 构造函数，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，所以函数的零点在区间上， 即，且，即，所以， 所以， 构造函数，则函数在上为减函数，且，， 所以，故满足的最小整数为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数一定过第一象限 B. 函数且的图象过点且不与直线相交 C. 函数的定义域为 D. ，当时，恒有 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A：因为的图象必过点， 所以函数一定过第一象限.故A正确； 对B：因为，所以函数的图象过定点， 又，所以，所以函数的图象 不与直线相交.故B正确； 对C：由， 所以函数的定义域为，故C错误； 对D：根据指数函数，一次函数和对数函数的增长速度可得，对， 当足够大时，必定成立，故D正确. 10. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数最大值为2 C. 将函数的图像向左平移个单位后得到的函数为偶函数 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】AB 【解析】 【详解】，则，可化为，所以， 对A，函数的最小正周期，A对； 对B，的值域为，最大值是2，B对； 对C，将函数的图像向左平移个单位后得到的图像，该函数是奇函数，不是偶函数，C错； 对D，因为，所以是图像的对称中心，的图象不关于直线对称，D错. 11. 平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，，所以，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，， 因为， 所以， 因为向量夹角范围为，所以，C正确； 对于D，， 所以 ， 令，则， 所以，故，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理建立等量关系，从而求出的值. 【详解】由向量共线，根据平面向量共线定理可得， 化简得：， 所以，解得， 因此. 13. 重庆“云端之眼”观景台位于解放碑联合国际写字楼第六十七层，是各地游客来重庆旅游的网红打卡地．如图，一架无人机在点处观测到“云端之眼”顶端的仰角为，地面上点的俯角是，若无人机离地面的高度为，，则“云端之眼”的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，继而利用正弦定理求出，再解，即可求得答案. 【详解】由题意知，，则， 在中，， 故，则， 在中，， 故. 14. 已知平面向量，定义线性变换，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知条件化简整理，再结合均值不等式求的最小值. 【详解】由题意得，所求的. 由， 令，则，解得， 则， 代入，得， 当且仅当且时等号成立，此时所求最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，点在边上，且． （1）求和； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由平面向量数量积定义：. 代入，，， 得. 因为点在边上，且,所以是中点，所以. 则 . 故. 【小问2详解】 ， 所以 . . 设向量与的夹角为，则. 16. 已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． （1）求的值和在区间上的单调递减区间； （2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由相邻对称轴间距为，得周期. 由，且得，即. 令， 解得. 结合定义域，对整数分类讨论： 取时，得区间，该区间完全包含在内，符合要求； 取时，得区间，与无交集，舍去； 取时，得区间，与无交集，舍去。 同理易得取非零整数时， 单调区间均与无交集. 综上所述，在上的单调递减区间为. 【小问2详解】 方程可化为， 即函数与直线的图象有个不同交点，时， . 令， 在有最大值，最小值. 故. 如图所示： 当时，一个函数值对应个不同； 当或时，一个函数值对应个. 要使有个不等实根，需满足， 解得. 17. 已知是定义域为的奇函数． （1）求实数的值； （2）用定义证明在上是增函数： （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由求出值并验证即得. （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用函数单调性将问题转化为不等式在上恒成立，再分离参数并借助基本不等式求解. 【小问1详解】 由定义在上的奇函数，得，解得， 此时，， 因此函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 ，， 由函数是上的增函数，得，， 则，即，所以在上是增函数. 【小问3详解】 由（1）得，由（2）知函数在上是增函数 则， 依题意，对任意，不等式恒成立， ， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 18. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积； （3）若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平行向量的坐标公式化简，再结合正弦定理即可求解； （2）根据条件及余弦定理求得，再结合三角形的面积公式即可求解； （3）先设，根据正弦定理分别求出，和关于的表达式，从而得到关于的表达式，进而根据正弦函数的性质即可求出其最大值． 【小问1详解】 由，，且， 则， 则由正弦定理得， 又在锐角中，， 则,即，解得． 【小问2详解】 由，的周长为，则， 又由余弦定理有， 即，得， 所以的面积为． 【小问3详解】 在中，，不妨设，则，， 由正弦定理有， 得，， 在锐角中，由，则， 由正弦定理有，得， 所以 ， 又，则，则，所以， 故，即线段的最大值为． 19. 人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为． （1）菱形ABCD中，，动点在直线CD上． （ⅰ）当时，求； （ⅱ）求的取值范围． （2）在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，用坐标法表示有关向量. （ⅰ）利用的定义求值； （ⅱ）先利用定义表示，再利用函数的奇偶性结合基本不等式求的取值范围. （2）先表示出，通过换元法结合基本不等式进行证明. 【小问1详解】 如图：以为原点，建立平面直角坐标系，不妨设（）. 则，，所以 （ⅰ）因为点在直线CD上，当时，，所以. 所以，，， 所以. （ⅱ）因为点在直线CD上，可设，则. 所以，，. 所以. 设，由，所以函数为奇函数. 当时，（当且仅当时取等号）. 所以. 所以. 【小问2详解】 因为， ，. 所以. 设，，，. 则，. 问题转化为证明，即. 只需证. 因为不共线，所以， 所以，即成立. 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $