精品解析：2026年陕西省榆林市高新区九年级初中学业水平考试模拟卷数学

2026年陕西省榆林市高新区九年级初中学业水平考试模拟卷数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. 6 C. 10 D. 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、交于点，过点作，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将沿方向平移得到（点、、、在同一直线上），交边于点，若阴影部分的面积为4，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知正比例函数（、为常数，，）中，随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，点是的中点，交于点、交的延长线于点．若，则的长为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 8. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（、为常数，），当时函数值有最大值2，若将该二次函数的图象向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若气温上升5℃记作℃，则气温下降6℃记作________． 10. 如图，正五边形的对称轴条数为______条． 11. “赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中，，则中间小正方形的边长____． 12. 如图，内接于，点在上，且点为劣弧的中点，连接、．若，则的度数为______． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流为______． 14. 如图，在矩形中，，，点为边上的动点（不与端点重合），连接、，点、分别为、的中点，连接、、，过点作交边于点，则的最小值是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知在中，，，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得的周长等于17．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，点、是内的两点，且点在点的左侧，连接、、、、、，，，求证：． 20. 象棋起源于中国，有着悠久的历史文化．如图所示，有五枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“卒”“士”“象”“马”“车”．将它们背面朝上放置搅匀后，从中随机翻开一枚棋子，记下棋子名称后背面朝上放回，记作随机翻棋子1次． （1）随机翻棋子10次，其中翻出“马”3次，则这10次翻棋子中，翻出“马”的频率是 ； （2）随机翻棋子2次，用画树状图或列表的方法，求这两次翻出的棋子中至少有一个“象”的概率． 21. 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为正方形，示意图如图所示，数学兴趣小组的同学利用所学知识测算该雕塑底座的底面积，步骤如下： ①在水池外取一点，使得点、、在同一条直线上； ②过点作，并从点沿方向移动到点，用皮尺测得的长为3米； ③在点处用测角仪测得，． 说明：图中所有点均在同一平面内． 请你根据上述信息帮助该小组计算雕塑底座的底面积（正方形的面积）． 参考数据：，． 22. 2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … （1）求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 23. “身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现．校跳绳队教练选出甲、乙两名学生参加跳绳比赛，对这两名学生最近10次一分钟跳绳个数的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分统计图表． 甲、乙两名学生一分钟跳绳个数统计表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲（个） 210 140 170 200 140 170 190 170 160 190 乙（个） 190 200 180 190 190 200 190 200 190 190 甲、乙两名学生一分钟跳绳个数分析表 平均数 中位数 众数 甲 174 170 乙 190 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中 ， ； ； （2）从折线统计图看， 学生一分钟跳绳成绩较稳定（填“甲”或“乙”）； （3）教练认为乙学生一分钟跳绳成绩较好些，请结合统计图表中的信息写出他的理由．（写一条即可） 24. 如图，是的直径，延长至点，点为上一点，连接、、，过点作于点，交于点，已知． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 25. 抛物线形吊顶，以工艺为底，以美学为形，于方寸之间，感受曲线之美．如图1为某酒店大厅抛物线形吊顶装修效果图，小刚抽象出了如图2中的示意图（部分），它的下方为矩形，上方两条抛物线、交于点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知抛物线的函数表达式为（为常数），抛物线、上最高点之间的距离为，且抛物线、关于轴对称． （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）已知在点处安装的吊灯的竖直高度为（点在上），求吊灯最下端距离地面的高度（即求的长度）． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，延长至点，以为边向右侧作，点为的对称中心，请过点作直线，使直线平分该组合图形的面积；（画出大致示意图即可） （2）如图2，点为内一点，连接、，延长至点，，且，过点作，连接，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3所示，某生态研究所欲规划一个湿地研究基地（五边形），该基地由上方的（F为上方的动点，且）和下方的两部分组成，计划在内的处建一观测点，满足，点在边上，线段、、、、均为观测步道，其中于点，交的延长线于点，且，，现要在线段上选一个出入口点，并修建新步道，使新步道将五边形的面积平分，已知． 请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（图中的点均在同一平面内，观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省榆林市高新区九年级初中学业水平考试模拟卷数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算：（ ） A. B. 6 C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据有理数除法法则，异号两数相除结果为负，再将两数的绝对值相除即可 ， ． 2. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、绕轴旋转一周可得到一个圆锥，故此选项不符合题意； B、绕轴旋转一周，可得到两个圆锥，故此选项不符合题意； C、绕轴旋转一周，可得到圆柱，故此选项符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到一个球体，故此选项不符合题意． 3. 如图，直线、交于点，过点作，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等的性质及垂线的定义，根据图形找出角度间的关系是解题关键，由对顶角相等可得，由垂直可得，进而利用角的和差关系求解． 【详解】解： 直线、交于点，  （对顶角相等），  ，  ，  ． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 5. 如图，将沿方向平移得到（点、、、在同一直线上），交边于点，若阴影部分的面积为4，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由平移的性质得到，再由和推出即可． 【详解】解：由平移的性质可知，平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 已知正比例函数（、为常数，，）中，随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数，随的增大而减小，判断出，即可得到的取值范围，即可根据一次函数的图象性质确定图象的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴在函数中，，函数图象经过二四象限；，函数图象经过一二象限； ∴一次函数的图象大致为： 7. 如图，在菱形中，，点是的中点，交于点、交的延长线于点．若，则的长为（ ） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质得到，，即可推出，得到，接着运算出的长即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴． 8. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（、为常数，），当时函数值有最大值2，若将该二次函数的图象向左平移2个单位长度后经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平移后过原点得到与的关系，再结合二次函数开口方向分情况讨论，利用时的最大值为求解． 【详解】∵二次函数向左平移个单位后经过原点， ∴平移后的解析式为， ∵图像过， ∴， ∴， ∴原函数可化为，对称轴为，且在这个范围内， 分两种情况讨论： （1） 当时，抛物线开口向上，区间内离对称轴越远函数值越大 ∵离对称轴最远 ∴代入得最大值为 ∵最大值为， ， ∴ （2） 当时，抛物线开口向下，顶点在区间内，最大值在顶点处取得 代入得， ∵最大值为， ， ∴ 综上，的值为或． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若气温上升5℃记作℃，则气温下降6℃记作________． 【答案】℃ 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，上升为正，则下降为负，进行表示即可． 【详解】解：气温上升5℃记作℃，则气温下降6℃记作℃， 故答案为：℃． 10. 如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【答案】 5 【解析】 【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线． 【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴． 11. “赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中，，则中间小正方形的边长____． 【答案】 【解析】 【分析】由四个全等的直角三角形可知，已知，，先根据勾股定理求出，再求出的长度即可求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， ∴． 12. 如图，内接于，点在上，且点为劣弧的中点，连接、．若，则的度数为______． 【答案】40 【解析】 【分析】根据圆周角的性质得到，由为劣弧的中点，得到，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为劣弧的中点， ∴， ∴． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻为时，电流为______． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为：，把代入计算出反比例函数的解析式，再把代入运算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， 由图象可得：反比例函数经过点， ∴把代入可得： 解得：， ∴ 把代入可得：． 14. 如图，在矩形中，，，点为边上的动点（不与端点重合），连接、，点、分别为、的中点，连接、、，过点作交边于点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得且，结合矩形性质证得，进而证明四边形为平行四边形，得出；利用直角三角形斜边中线定理可得，，将转化为；作点关于直线的对称点，连接，利用勾股定理求出的长，即为的最小值，从而求得结果． 【详解】解：四边形是矩形，  ，，，  点、分别为、的中点，  是的中位线，  ，，   ， ，  四边形是平行四边形，   ， 在中，为的中点，  ，  在中，为的中点，   ，   要使最小，即求的最小值， 作点关于直线的对称点，连接交于点，此时最小，且最小值为的长  点与点关于直线对称，  ， ， ，  ，  延长，使，连接， ∴， ∵， ∴ 在中 ，   ，  ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线定理，勾股定理，最短路径的问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先通分运算括号内的分式，再利用因式分解进行化简运算，再把，代入运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 如图，已知在中，，，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得的周长等于17．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意只需作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：点D的位置如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故点D即为所求作的点． 19. 如图，点、是内的两点，且点在点的左侧，连接、、、、、，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件和平行四边形的性质证明，进而可得结论． 【详解】证明：， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ∵，，， ， ． 20. 象棋起源于中国，有着悠久的历史文化．如图所示，有五枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“卒”“士”“象”“马”“车”．将它们背面朝上放置搅匀后，从中随机翻开一枚棋子，记下棋子名称后背面朝上放回，记作随机翻棋子1次． （1）随机翻棋子10次，其中翻出“马”3次，则这10次翻棋子中，翻出“马”的频率是 ； （2）随机翻棋子2次，用画树状图或列表的方法，求这两次翻出的棋子中至少有一个“象”的概率． 【答案】（1）0.3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率=翻出“马”的次数÷总次数解答即可； （2）用列表法得到所有可能出现的结果数，然后找出符合题意的结果数，再根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：随机翻棋子10次，其中翻出“马”3次，则这10次翻棋子中，翻出“马”的频率是； 【小问2详解】 解：列表如下: 第二次 第一次 卒 士 象 马 车 卒 （卒，卒） （卒，士） （卒，象） （卒，马） （卒，车） 士 （士，卒） （士，士） （士，象） （士，马） （士，车） 象 （象，卒） （象，士） （象，象） （象，马） （象，车） 马 （马，卒） （马，士） （马，象） （马，马） （马，车） 车 （车，卒） （车，士） （车，象） （车，马） （车，车） 由表可知，共有25种等可能的结果，其中这两次翻出的棋子中至少有一个“象”的结果有9种， ∴P（这两次翻出的棋子中至少有一个“象”）． 21. 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为正方形，示意图如图所示，数学兴趣小组的同学利用所学知识测算该雕塑底座的底面积，步骤如下： ①在水池外取一点，使得点、、在同一条直线上； ②过点作，并从点沿方向移动到点，用皮尺测得的长为3米； ③在点处用测角仪测得，． 说明：图中所有点均在同一平面内． 请你根据上述信息帮助该小组计算雕塑底座的底面积（正方形的面积）． 参考数据：，． 【答案】9平方米 【解析】 【分析】先利用求出，再利用求出，进而求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ， 在中，， ，即， ， ， 答：雕塑底座的底面积为9平方米． 22. 2026年4月22日，我国空军运-20B运输机首次执行迎接任务，将第十三批12位在韩志愿军烈士遗骸及相关遗物接回中国．为传承红色基因，某校开展了“铭记英烈，致敬英雄”红色研学活动，师生们从学校出发匀速行驶至目的地，他们距离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）之间满足一次函数关系，部分对应值如下表所示： （小时） 0 1 2 … （千米） 320 240 160 … （1）求与之间的一次函数关系式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有多少路程？ 【答案】（1） （2） 千米 【解析】 【分析】（1）设一次函数的一般形式为，因为表格中给出了、时对应的值，所以可将两组对应值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，求解方程组即可得到函数关系式； （2）因为已经求得与的函数关系式，所以将代入该关系式，计算即可得到对应的值，即为行驶3小时时距离目的地的路程 【小问1详解】 解：设与之间的一次函数关系式为， 将，和，分别代入， 得 解得 ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，， ∴当他们的行驶时间为3小时时，距离目的地还有千米的路程． 23. “身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现．校跳绳队教练选出甲、乙两名学生参加跳绳比赛，对这两名学生最近10次一分钟跳绳个数的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分统计图表． 甲、乙两名学生一分钟跳绳个数统计表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲（个） 210 140 170 200 140 170 190 170 160 190 乙（个） 190 200 180 190 190 200 190 200 190 190 甲、乙两名学生一分钟跳绳个数分析表 平均数 中位数 众数 甲 174 170 乙 190 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中 ， ； ； （2）从折线统计图看， 学生一分钟跳绳成绩较稳定（填“甲”或“乙”）； （3）教练认为乙学生一分钟跳绳成绩较好些，请结合统计图表中的信息写出他的理由．（写一条即可） 【答案】（1）192，170，190 （2）乙 （3）从平均数看，，所以乙的平均成绩要好些； 从中位数看，，所以乙的成绩要好些； 从众数看，，所以乙的成绩要好些； 从稳定性看，乙的成绩要更稳定，所以乙的成绩要好些． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义解答即可； （2）根据数据波动越小，成绩就越稳定判断即可； （3）从平均数、中位数、众数和稳定性进行分析即可． 【小问1详解】 解：乙的平均数， ∴， 甲的10次成绩按照从小到大的顺序排列后为：140，140，160，170，170，170，190，190，200，210； 排在中间两个数的平均数是， ∴， 乙的10次成绩中，数据190出现的次数最多，为6次， ∴； 【小问2详解】 解：从折线统计图看，乙学生成绩波动要小，所以乙学生一分钟跳绳成绩较稳定； 【小问3详解】 略 24. 如图，是的直径，延长至点，点为上一点，连接、、，过点作于点，交于点，已知． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）如图，连接，先利用已知条件和三角形的内角和证明，进而证明，即，即可得到结论； （2）由是的直径可得，进而可得，推出，再利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的切线． 【小问2详解】 解：， ， 设，，则， 是的直径， ，即， ， ， ， ，即， ． 25. 抛物线形吊顶，以工艺为底，以美学为形，于方寸之间，感受曲线之美．如图1为某酒店大厅抛物线形吊顶装修效果图，小刚抽象出了如图2中的示意图（部分），它的下方为矩形，上方两条抛物线、交于点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知抛物线的函数表达式为（为常数），抛物线、上最高点之间的距离为，且抛物线、关于轴对称． （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）已知在点处安装的吊灯的竖直高度为（点在上），求吊灯最下端距离地面的高度（即求的长度）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性解答即可； （2）求出的长，再求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线、上最高点之间的距离为，且抛物线、关于轴对称， ∴抛物线顶点的横坐标为， ， ∴抛物线的函数表达式为， 由对称性可知，抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， ， ． 故吊灯最下端距离地面的高度为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，延长至点，以为边向右侧作，点为的对称中心，请过点作直线，使直线平分该组合图形的面积；（画出大致示意图即可） （2）如图2，点为内一点，连接、，延长至点，，且，过点作，连接，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3所示，某生态研究所欲规划一个湿地研究基地（五边形），该基地由上方的（F为上方的动点，且）和下方的两部分组成，计划在内的处建一观测点，满足，点在边上，线段、、、、均为观测步道，其中于点，交的延长线于点，且，，现要在线段上选一个出入口点，并修建新步道，使新步道将五边形的面积平分，已知． 请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（图中的点均在同一平面内，观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计） 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的对称中心性质，连接，确定对角线的交点，则直线过点和对角线的交点； （2）先由得，结合题干条件证明，可得，再由可得，进而得到； （3）先由题干条件证明，得，推出，进而得到点在以为直径的圆上运动，连接对角线的交点和的中点，即可平分五边形的面积，找出满足要求的点和点，再求即可． 【小问1详解】 如图1，直线为所作． 【小问2详解】 ，， ， 在和中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即． 【小问3详解】 ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， ， ， ，即． 如图3，取的中点，作的外接圆，则点在上运动，连接、交于点，则为的对称中心，经过点的直线都平分的面积，为的中点，经过点、的直线平分的面积，故作经过、两点的直线，直线交于点，交于点，连接、，则平分五边形的面积．因此存在满足要求的点和点，此时点与重合． ， ， 易得四边形是平行四边形， ， ， ． 综上，存在满足要求的点和点，此时的长为． 【点晴】本题主要考查平行四边形对称中心的性质、三角形外接圆与动点轨迹、组合图形面积平分的方法以及存在性问题的转化，理解“过对称中心的直线平分中心对称图形面积”，将复杂图形拆解为基本图形，再通过关键点构造直线，是解决面积平分类综合题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $