第02讲 常用逻辑用语（新课讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第02讲 常用逻辑用语 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解命题的概念，理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含一个量词的命题进行否定． 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 3．全称命题和特称命题 （1）全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ （2）全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 特称命题 存在M中的元素x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) （3）全称命题与特称命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，﹁p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，﹁p(x) 常用结论 1．从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件； （4）若AB，则p是q的充分不必要条件； （5）若AB，则p是q的必要不充分条件； （6）若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．命题的否定与原命题的真假：p与﹁p→真假相互． 一、充分条件、必要条件的判断 例1．（1）已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“>”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 规律方法： 判断充要条件的3种常用方法 （1）定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假． （2）等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． （3）利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． [提醒]判断充要条件需注意3点： （1）要分清条件与结论分别是什么． （2）要从充分性、必要性两个方面进行判断． （3）直接判断比较困难时，可举出反例说明． 变式训练： 1．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、充分条件、必要条件的探求及应用 例2．（1）设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是(　　) A．－1<x≤1 B．x≤1 C．x>－1 D．－1<x<1 （2）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为 ． 【迁移探究】本例（2）条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 反思提升： 根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项 （1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． （2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 变式训练： 1．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 2．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为 ． 三、全称命题与特称命题 角度一：全称命题、特称命题的否定 例3．（1）命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　) A．∃x＜0，≤0 B．∃x＞0，0≤x≤1 C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1 （2）已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为　(　　) A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数 C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数 角度二：全称命题、特称命题的真假判断 例4．（1）下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R，2x－1＞0 C．∃x0∈R，lg x0＜1 D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2 （2）下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，ex＞0 B．∀x∈N，x2＞0 C．∃x0∈R，ln x0＜1 D．∃x0∈N*，sin x0＝1 规律方法： （1）全称命题与特称命题的否定 ①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； ②否定结论：对原命题的结论进行否定． （2）全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 [提醒]因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假． 变式训练： 已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则﹁p为(　　) A．∀f(x)∈A，|f(x)|∉B B．∀f(x)∉A，|f(x)|∉B C．∃f(x)∈A，|f(x)|∉B D．∃f(x)∉A，|f(x)|∉B 四、由命题的真假确定参数的取值范围 例5．已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p、q均为假命题，求实数m的取值范围． 【迁移探究1】在本例条件下，若p、q均为真命题，求实数m的取值范围． 【迁移探究2】在本例条件下，若p，q一真一假，求实数m的取值范围． 求解策略： 根据命题的真假求参数取值范围的策略． （1）全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． （2）含逻辑联结词问题： ①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假； ③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解． 变式训练： 1．若命题“∀x∈，1＋tan x≤m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是 ． 2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若命题p和q一真一假，则实数a的取值范围是________． 1．已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则(　　) A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0 B．p是假命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0 C．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0 D．p是真命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0 2．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的(　　) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．a＋b＞0 B．a－b＞0 C．ab＞1 D．＞1 6．有四个关于三角函数的命题： P1：∃x∈R，sin x＋cos x＝2；P2：∃x∈R，sin 2x＝sin x； P3：∀x∈， ＝cos x；P4：∀x∈(0，π)，sin x＞cos x． 其中真命题是(　　) A．P1，P4 B．P2，P3 C．P3，P4 D．P2，P4 7．有下列四个命题： （1）命题p：∀x∈R，x2＞0为真命题； （2）设p：＞0，q：x2＋x－2＞0，则p是q的充分不必要条件； （3）命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题； （4）非零向量a与b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°． 其中真命题有(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p可写为 ． 9．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且p与“﹁q”同时为假命题，则x＝ ． 10．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的 条件． 11．给出下列说法： ①“若x＋y＝，则sin x＝cos y”是真命题； ②“在△ABC中，sin B＞sin C是B＞C的充要条件”是真命题； ③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否定为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”． 以上说法中正确的是 (填序号)． 1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 2．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． 4．若非零向量，满足，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（多选）下列说法正确的是 A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充要条件 C．命题“，”的否定是“，使得” D．已知函数 的定义域为，则“ ”是“函数 为奇函数”的必要不充分条件 6．（多选）下面命题正确的是 A．“”是“”的充分不必要条件 B．在中，“”是“”的充要条件 C．设，，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 7．命题“，”的否定是： ． 8．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 9．已知集合，． （1）求集合、； （2）当时，若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第02讲 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．（1）A；（2）C 变式训练：1．B 2．A 例2．（1）D；（2）[0，3]． 【迁移探究】解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件， 所以P⇒S且S⇒P，所以[－2，10][1－m，1＋m]． 所以或所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)． 变式训练：1．C 2．3 例3．（1）B；（2）D 例4．（1）D；（2）B 变式训练：C 例5．解：当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2． 所以实数m的取值范围为[2，＋∞)． 【迁移探究1】解：依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；当q是真命题时，有－2＜m＜2，由可得－2＜m＜0． 【迁移探究2】解：若p，q一真一假． 当p真q假时所以m≤－2；当p假q真时所以0≤m＜2． 所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)． 变式训练：1．[1＋，＋∞) 2．(－∞，－12)∪(－4，4) 1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．C 8．∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1 9．－2 10．充要 11．①② 1．B 2．A 3．A 4．C 5．ACD 6．AD 7．， 8．(2，) 9．解：（1）由，解得．故集合，． 由．解得，或． 当时，，解集为：，． 故集合，． 当时，，解集为：，． 故集合，． 当时，由，解得，故集合． （2）是成立的充分不必要条件， ，是，的真子集， 则有，解得， 又当时，，，，不合题意． 实数的取值范围为． $$