精品解析：2026年云南省楚雄彝族自治州楚雄市初中学业水平考试数学测试卷（二模）

2026年初中学业水平考试数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（　　） A. 高于海平面15250米 B. 低于海平面15250米 C. 比“拉索”高15250米 D. 比“拉索”低15250米 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数表示具有相反意义的两种量：“”表示高出海平面，则“”即为低于海平面，即可得出答案． 【详解】解：“米”，表示高出海平面4410米， 则“米”，表示低于海平面15250米； 故选：B． 【点睛】本题考查了正负数所表示的意义，以海平面的高度为基准，高于则为正，低于则为负，由此可得出结果． 2. 据交通部研判，今年国庆假期全社会跨区域人员流动量将达到1940000000人次，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 3. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过的顶点作直线，则，根据角的和差得到，利用平行线的传递性可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，分析原式，即可得出答案． 【详解】解：函数有意义， ， ， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘除、幂的乘方运算法则逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项计算错误； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算正确； 故选：． 6. 的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据相似三角形的性质确定相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵∽，的最长边长为，的最长边长为， ∴两三角形的相似比为， ∵的周长为，且相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为． 7. 在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形进行判断即可． 【详解】解：A、主视图和左视图相同，俯视图不同，不符合题意； B、主视图、左视图和俯视图形状都不相同，不符合题意； C、主视图和左视图相同，俯视图不同，不符合题意； D、主视图、左视图和俯视图形状都相同，符合题意． 8. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将单项式拆分为分子、分母、字母a的指数三部分，分别找出各部分和序号n的对应规律，即可得到第n个单项式. 【详解】解：设单项式的序号为（为正整数），拆分各部分找规律： ∵ ①字母的指数：第1个单项式指数为1，第2个为2，第3个为3...，可得第个单项式中的指数为 ②分数的分子：第1个分子为，第2个分子为，第3个分子为...，可得第个单项式的分子为 ③分数的分母：第1个分母为，第2个分母为，第3个分母为...，可得第个单项式的分母为 ∴ 第个单项式是 9. 正三角形是一种具有独特美感的几何图形．它在设计、艺术和自然界中都有广泛的应用．正三角形的美在于它的对称、稳定、简洁与和谐．它不仅是一种数学图形，更是一种美学符号，能够为我们的生活带来更多的美好与乐趣．已知一个正三角形的边长为，则它的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正三角形三线合一性质得到底边一半长度，再用勾股定理求出高，最后代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵一个正三角形的边长为， ∴底边上的高平分底边，底边一半的长度为， ∴正三角形的高为． ∴正三角形的面积为． 10. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的判定，关键是明确两个定义：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合的图形． 【详解】解：选项A的图形，沿过中心的直线折叠后直线两旁部分能完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形，符合要求； 选项B的图形，是轴对称图形，但绕中心旋转后，水滴方向与原图形相反，不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合要求； 选项C的图形，是轴对称图形，但绕中心旋转后，箭头方向与原图形相反，不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合要求； 选项D的图形，是轴对称图形，但绕中心旋转后，内部图案的方向与原图形相反，不能与自身重合，不是中心对称图形，不符合要求； 故选：A． 11. 如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，证明，利用直角三角形的两锐角互余求出，然后由同弧所对的圆周角相等即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理得应用． 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：． 12. “低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ） A. 2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B. 2023年低空经济市场规模增量最多 C. 从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D. 2026年低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与折线统计图，根据统计图逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，不符合题意； B、2022年低空经济市场规模增量（亿元）， 2023年低空经济市场规模增量（亿元）， 2024年低空经济市场规模增量（亿元）， 2025年低空经济市场规模增量（亿元）， 所以2025年低空经济市场规模增量最多，选项说法错误，符合题意； C、从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，不符合题意； D、2026年低空经济市场规模约亿元，将突破万亿元，说法正确，不符合题意； 故选：B． 13. “指尖上的非遗——刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．取一幅长、宽的刺绣，在四周镶嵌宽度相同的边框便制成了一幅矩形挂图（如图），且整幅挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边框的宽度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：设边框的宽度为， 根据题意得：， 故选：． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 15. 中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径．喝汤时，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，，再根据弧长公式求解即可； 【详解】解：∵为的直径，且， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为． 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平方差公式和整体代入法进行求值即可. 【详解】解：∵，，， ∴. 17. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键． 先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数． 【详解】解：多边形的每一个内角都等于， 多边形的每一个外角都等于， 边数 故答案为： 18. 在奥运会备战训练中，中国四位射击运动员10次练习的平均成绩均为环．他们这10次练习成绩的方差如下表所示，则这四位选手中，成绩最稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 【答案】甲 【解析】 【分析】当各组数据平均数相等时，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，据此即可解答． 【详解】解：四位运动员10次练习的平均成绩相等，且方差， 甲的方差最小，甲的成绩最稳定． 19. 如果反比例函数的图像经过点，那么k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，可得到关于的一元一次方程，再解方程即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的图像经过点， ， 解得：． 三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 21. 如图，点在一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由得到，再证明即可得到． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 22. 义务献血利国利民，是每个健康公民光荣的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库．已知两个采血点到中心血库的路程分别为，经了解获得两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆的平均速度的1.2倍； 信息二： 两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时． 求两个采血点运送车辆的平均速度各是多少? 【答案】采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为，根据“ 两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时”列出分式方程，解方程并检验即可得出答案． 【详解】解：设采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 采血点运送车辆的平均速度为，则采血点运送车辆的平均速度为． 23. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． (1)利用公式计算即可． (2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【小问1详解】 一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性， 故抽到决策类人工智能的卡片的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种． 故两张卡片中不含D卡片的概率是． 24. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，连接AE和CF． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB= ，BC=3，求菱形AECF的边长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得AF＝CF，AE＝CE，根据矩形和平行线的性质可得∠FAO＝∠ECO，进而可根据ASA推出△AOF≌△COE，可得AF＝CE，进一步即得AE＝EC＝CF＝AF，从而可得结论； （2）设AE＝CE＝x，则BE＝3﹣x，在Rt△ABE中根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F， ∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△COE中， ∵∠FAO＝∠ECO，OA=OC，∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝CE， ∴AE＝EC＝CF＝AF， ∴四边形AECF为菱形； （2）解：设AE＝CE＝x，则BE＝3﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2， 即（）2+（3﹣x）2＝x2， 解得：x＝2，即AE＝2， ∴菱形AECF的边长是2． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质以及勾股定理等知识，能综合运用以上知识进行推理是解此题的关键． 25. 为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 （1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量； （2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值． 【答案】（1）制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；（2）制作三种产品总量的最小值为75． 【解析】 【分析】（1）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解； （2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，可得，结合x，y取正整数，可得制作三种产品总量的最小值． 【详解】（1）解：设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y， 根据题意得：，解得：， 5×10=50， 答：制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10； （2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，制作三种产品总量为w， 由题意得：，即：， ∴， ∴w=， ∵x，y取正整数， ∴x可取的最小整数为2， ∴w=的最小值=55，即：制作三种产品总量的最小值为75． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系，列出方程组以及一次函数的解析式，是解题的关键． 26. 已知二次函数（，是实数，）． （1）求证：该函数的图象与轴一定有两个不同的交点． （2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）的最小值为 【解析】 【分析】（1）要证明二次函数的图象与轴有两个不同的交点，只需证明其对应的一元二次方程的判别式，将函数系数代入判别式公式，结合平方的非负性即可完成证明； （2）先将已知点代入二次函数解析式，得到与的等量关系；再根据 “时，总有随的增大而减小”的条件，结合二次函数的开口方向和对称轴位置，确定、的取值范围；最后将转化为关于的二次函数，利用二次函数性质在取值范围内求出最小值即可． 【小问1详解】 证明：令，得一元二次方程， ， ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数的图象与轴一定有两个不同的交点； 【小问2详解】 解：∵图象过点， ，即， 时，总有随的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴在轴左侧或与轴重合，即，且对称轴， ， 将代入，得 ， ∵该式是关于的二次函数，二次项系数，开口向上，对称轴为， ∴当时，的值随着的增大而减小， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为−， 的最小值为． 27. 如图，内接于， 连接并延长交弦 于点E， 交于点D， 且，连接，． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若，求 (用含k 的式子表示)． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得，，再根据直径所对的圆周角是直径得，继而得到，最后由三角形内角和定理得即可； （2）证明及，由相似三角形的性质即可得证； （3）设，根据圆周角定理得，继而得到，由勾股定理得，继而得到，再由（2）知得 ，再分点E在上，两种情况求出，最后根据可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵圆周角和所对的弧是，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， 当点与点重合时，则，得，即， 此时不存在，不符合题意， ∴， 如图所示，当点E在上时， ∴， ∵的底和的底共线，且高相等， ∴，即． 如图所示，当点E在上时， ∴， ∵的底和的底共线，且高相等， ∴，即， 综上所述，或． 【点睛】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形两锐角互余，三角形的面积及等积变换等知识点．掌握圆的基本性质及正切的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（　　） A. 高于海平面15250米 B. 低于海平面15250米 C. 比“拉索”高15250米 D. 比“拉索”低15250米 2. 据交通部研判，今年国庆假期全社会跨区域人员流动量将达到1940000000人次，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）． A. B. C. D. 4. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（ ） A. B. C. D. 8. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 9. 正三角形是一种具有独特美感的几何图形．它在设计、艺术和自然界中都有广泛的应用．正三角形的美在于它的对称、稳定、简洁与和谐．它不仅是一种数学图形，更是一种美学符号，能够为我们的生活带来更多的美好与乐趣．已知一个正三角形的边长为，则它的面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. “低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作报告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图：根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（ ） A. 2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B. 2023年低空经济市场规模增量最多 C. 从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D. 2026年低空经济市场规模将突破万亿元 13. “指尖上的非遗——刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．取一幅长、宽的刺绣，在四周镶嵌宽度相同的边框便制成了一幅矩形挂图（如图），且整幅挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（ ） A. B. C. D. 15. 中国饮食文化源远流长，其中过桥米线是云南的地方特色美食之一．如图是某人吃完过桥米线准备喝汤的示意图，碗体部分为半圆，直径．喝汤时，若，则弧的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若，，则______． 17. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______． 18. 在奥运会备战训练中，中国四位射击运动员10次练习的平均成绩均为环．他们这10次练习成绩的方差如下表所示，则这四位选手中，成绩最稳定的是________． 甲 乙 丙 丁 19. 如果反比例函数的图像经过点，那么k的值是________． 三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 21. 如图，点在一条直线上，．求证：． 22. 义务献血利国利民，是每个健康公民光荣的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库．已知两个采血点到中心血库的路程分别为，经了解获得两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆的平均速度的1.2倍； 信息二： 两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时． 求两个采血点运送车辆的平均速度各是多少? 23. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 24. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，连接AE和CF． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB= ，BC=3，求菱形AECF的边长． 25. 为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间（小时） 1 制作一件产品所获利润（元） 20 3 10 （1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量； （2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值． 26. 已知二次函数（，是实数，）． （1）求证：该函数的图象与轴一定有两个不同的交点． （2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，求的最小值． 27. 如图，内接于， 连接并延长交弦 于点E， 交于点D， 且，连接，． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若，求 (用含k 的式子表示)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $