精品解析：2026年云南省楚雄彝族自治州大姚县初中学业水平考试数学测试卷（二模）

2026年初中学业水平考试 数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反则分别叫做正数与负数，若收入30元记作元，则元表示（ ） A. 收入10元 B. 收入20元 C. 支出20元 D. 支出10元 【答案】D 【解析】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，若收入30元记作+30元，则-10元表示支出10元． 故选：D． 【点睛】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2. 电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：亿． 故选：B． 3. 如图，直线，被直线所截，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，利用邻补角的定义求角的度数，根据平行线的性质得出，再根据邻补角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故选：C 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，分别计算即可判断． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、和不是同类项，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 6. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图分析即可． 【详解】根据主视图和左视图为矩形，则几何体为柱体； 由俯视图为三角形，所以得几何体为三棱柱． 故选D 【点睛】本题考查了三视图的概念，理解三视图的概念是解题的关键． 7. 一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数是（ ）. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．利用任何多边形的外角和是除以一个外角度数即可求出答案． 【详解】解：多边形的外角的个数是， 所以多边形的边数是12． 故选：D． 8. 如图，在中，，，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，理解题意，结合图形求解是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 9. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故选： 10. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 11. 在下面的一组数据：2，3，2，2，2，5，4中众数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】众数是在一组数据中出现最多的数，注意有的一组数据中可能不止一个众数，根据众数定义即可解答． 【详解】解：在2，3，2，2，2，5，4中，2出现了4次，出现次数最多，所以这组数据的众数是2． 故选：D． 【点睛】本题考查了众数的意义和求一组数据众数的方法，关键是明确众数的概念． 12. 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ） A. (2n-1) B. (2n+1) C. (n-1) D. (n+1) 【答案】A 【解析】 【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示． 【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键． 13. 如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（　　） A. 30π B. 60π C. 65π D. 90π 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理可求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为． ∴圆锥的侧面积． 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键． 14. 雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，由此可解． 【详解】解：若设每年的下降率为x，则2023年雾霾天气天数为，2024年雾霾天气天数为， 故所列方程为． 故选B． 15. 如图，在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】，，， ． 故选：D． 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，则点A与⊙O的位置关系是______． 【答案】圆外 【解析】 【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为， ∴点A在⊙O外． 17. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 18. 已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：∵菱形的面积为40，一条对角线长为10， ∴另一条对角线的长为， 故答案为：． 19. 某校为开展“阳光体育”活动，从全校名学生中抽取了名学生调查其各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图，估计该学校选择羽毛球的学生有__________名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出羽毛球所占的百分比，然后再乘以全校的学生数即可解答． 【详解】解：羽毛球所占的百分比为， 所以该学校选择羽毛球的学生有（名）， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 21. 如图，点A、D、B、E在一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据线段的和差得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理证得结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等． 22. 端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的倍，已知用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元? 【答案】种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，熟练掌握根据题意列出等式是解题的关键，设种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元，根据“用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒”列出式子，计算即可． 【详解】解：设种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元， 根据题意得， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种，然后利用概率公式可得答案； （2）画树状图展示所有等可能的结果数以及取出的卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，作出树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的结果数为2种， ∴取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为， 答：取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率为． 24. 如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为40，平行线与间的距离为7，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据已知条件证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可得证； （2）根据题意证明是直角三角形，设平行线与间的距离为，即，进而根据菱形的周长公式求得的长，即可求解． 【小问1详解】 证明：点为中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：菱形的周长为40，， ， ， 是直角三角形， ， 设平行线与间的距离为，， ， 又， ， ， ， 四边形是矩形， ． 25. 某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． （1）求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； （2）该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元 （2）该经销商获得最大利润是21500元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每件型童装的进价是元，每件型童装的进价是元，根据购进1件型童装和1件型童装需用50元，购进2件型童装和3件型童装需用120元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件型童装，则购进件型童装，根据进货总价不超过2500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设售完该批童装该经销商获得的总利润为元，利用总利润=每件型童装的销售利润购进型童装的数量+每件型童装的销售利润购进型童装的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每件型童装的进价元，每件型童装的进价元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元． 【小问2详解】 设购进型童装件，则型童装件，利润为元，根据题意得： 即：， 随着的增大而增大， 当时，最大，最大值为： 该经销商获得最大利润是21500元 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）将抛物线记为，将抛物线记为，与合起来的图象记为．对于上的两点和，当，时，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）将代入可得答案； （2）在平面直角坐标系中作出抛物线和，再求出与轴交于点，与轴交于点，分两种情况：①当点在轴右侧和点之间时，总有，并 根据可得，，然后求出解集；②当点在点的左侧时，总有，并结合可得，求出解集即可． 【小问1详解】 解：根据题意，将代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意在平面直角坐标系中作出抛物线和，如图1， 当时，或， ∴与轴交于点，与轴交于点， 时，． ①当点在轴右侧和点之间时，总有． ． ， ，， 解得； ②当时，代入得， 解得或． 结合图象可知应舍去． 当点在点的左侧时，总有． ， ， ， ． 综上，的取值范围是或． 27. 如图，点A，B，C在上，为的直径，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． （1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）若，，，求的面积． （3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）是圆的切线，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，解直角三角形，求函数解析式等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用． （1）依据题意，由圆周角定理得到，从而，然后根据，可以得解； （2）求出，由得到，得到 ，证明，得到，则，即可得到； （3）依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解． 【小问1详解】 解：是的切线． 证明：如图，∵为的直径， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， 由，可设， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， 【小问3详解】 设， ∵， ∴． 如图，连接． ∴在中，． ∴，． ∴在中，，． 在中，．（∵，∴） ． 在中，，． ∴ ． 即． ∵， ∴最大值为F与O重合时，即为1． ∴． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试 数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反则分别叫做正数与负数，若收入30元记作元，则元表示（ ） A. 收入10元 B. 收入20元 C. 支出20元 D. 支出10元 2. 电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，被直线所截，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 6. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 三棱柱 7. 一个多边形的每个外角都是30°，则这个多边形的边数是（ ）. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，在中，，，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 11. 在下面的一组数据：2，3，2，2，2，5，4中众数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 12. 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ） A. (2n-1) B. (2n+1) C. (n-1) D. (n+1) 13. 如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（　　） A. 30π B. 60π C. 65π D. 90π 14. 雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（ ）． A. B. C. D. 15. 如图，在中，，，，则的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，则点A与⊙O的位置关系是______． 17. 因式分解：________． 18. 已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______． 19. 某校为开展“阳光体育”活动，从全校名学生中抽取了名学生调查其各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图，估计该学校选择羽毛球的学生有__________名． 三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 21. 如图，点A、D、B、E在一条直线上，，求证：． 22. 端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的倍，已知用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元? 23. 电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片． （1）第一次取出的卡片图案为“哪吒”的概率为_______； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“哪吒”和“太乙真人”的概率． 24. 如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为40，平行线与间的距离为7，求四边形的周长． 25. 某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． （1）求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； （2）该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，）与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）将抛物线记为，将抛物线记为，与合起来的图象记为．对于上的两点和，当，时，总有，求的取值范围． 27. 如图，点A，B，C在上，为的直径，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． （1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）若，，，求的面积． （3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $