江西九江市同文中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

2025-2026学年度高二下数学5月月考卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1.己知集合A={x∈Nx≥5}，则集合B={x∈NxEA的元素个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】集合B={x∈Nx廷A=红，2,3,4，共有4个元素，故选B 2.设{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S3=S,则a6=() A.8 B.6 C.3 D.0 【答案】D 【解析】因为S3=S,则4+4++4，+a=5a=0,所以a=0. 3.己知命题p:a-4 0，命题q:不等式a2+ar+1≤0的解集为☑，则p成立是q成立的 a () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由a-4<0得0<a≤4， a>0 由不等式am2+a+1≤0的解集为☑，所以a=0或者 △=d-4a<0'解得0<a<4, 综上9为真时，0≤a<4, 故P成立是9既不充分也不必要条件， 故选：D 4.若命题“x∈L,4],x2-4x-m≠0”是假命题，则实数的取值范围是() A.(-0,-4) B.(-4,+0) C.[-4,0] D.[-4,-3] 【答案】C 试卷第1页，共14页 【详解】原全称命题“x∈[1,4，x2-4x-≠0”为假命题， 则其否定“x∈[1,4]，x2-4x-m=0”为真命题，即方程m=x2-4x在x∈[1,4]上有解， m的取值范围就是函数f(x)=x2-4x在[1,4)上的值域. f(x)=x2-4x=(x-2)-4,这是开口向上，对称轴为x=2的二次函数，x∈[1,4]. 则最小值在x=2处取得：f(2)=-4；最大值在端点x=4处取得：f(4)=0. 因此f(x)的值域为[-4,0]，即m∈[-4,0] 5.若两个正实数x,y满足x+y=y且存在这样的x,y使不等式x+Y<m+2有解，则实 4 数m的取值范围是() 1 B. c D 11Y 42 【答案】C 【解析】因为x+y=,所以上+=1， xV 则x+2+马=1+”+x+15”5+2,x9 4x y 4x y 44 4x y 4 4xy4 当且仅当取等，此时解得x3 4x v 而x+y<m+2,可得<m+2,解得m∈ 9 1 4+∞ 故C正确 4 4 故选：C 6.在等比数列{an}中，42+a4=16,:+a3=32,则40+42+44+46=（) A.192 B.144 C.96 D.48 【答案】A 【解析】设等比数列{a}的公比为9， 因为4+4=164+4=32，可得2±9=22， 3+4416 又因为4+凸=ag+04=q,所以g=2, 4+a442+a4 则40+42+44+a46=q(a+a4+46+)=4×(32+16)=192, 试卷第2页，共14页 7.若函数f(x)=ae-】x2+3a∈R)无极值点，则a的取值范围为() 2 A. B.o 1 C.-.e) 0,e 【答案】B 【解折】直)-a心-r+aeR),得f)-ae-, 则f(w)=ae-x没有变号零点，即M9=a-x没有变号零点， ex 令h(=。言，则w-1 ex 当x∈（←o,1)时，h(>0,函数h(x)=x单调递增， ex 当x∈L+o)时，()<0，函数)-。二单调递减，所以am=h0-是 y=h(x) e y=a 当x>0时，)是>0 当x<0时，()=言0， 当x→+时，y=e的增长速率远远比y=x的要大，所以()=→0， e 作出(x)=X的图象，如图所示， 所以a≥2 e 8.已知a>0,f(x)=(ae- 马n(c+b),当x>0时，f)≥0，则a1-b)'的最大值为(） B. 2 e C.3 D. e 【答案】A 【解析】令函数g(9=ae-上h)=nk+b),x>0, 而a>0,函数y=aC,y=-1在(0，+)上都单调递增，则函数g)在(0，+四)上单调递增， 当x从大于0的方向趋近于0时，g(x)→-0；当x→+m时，g(x)→+∞，则函数g(x)有唯 一零点， 函数h(x)=h(x+b)在(0，+o)上单调递增，当b≥1时，h(x)>0恒成立， 试卷第3页，共14页 当0<x<时，f(x)=8(x)(x)<0,不符合题意，因此b<1,函数h(x)有唯一零点， 函数h(x)=n(x+b)中x∈(-b,+o),依题意，(0，+w)(-b,+m),则b≥0,0≤b<1, 由当x>0时，f(x)≥0恒成立，得函数h(x)与函数g(x)有相同零点x(x。>0), ae-=0 1 a=- 则 三0nweo,于是0e00e南，0<is1 h(x+b)=0 b=1-x 令函数)点.0号s1,求号得9G)15≥0，当且仅当5=1时取等号， 1 函数o。)在(0，]上单调递增，p()x=p)=一， e 1 所以a1-b)2的最大值为 e 二、多选题 9.记Sn为等差数列{a}的前n项和，若S3=2a-6,S6=-18,则() A.a<0 B.4>0 C.=0 D.当n=4或5时，Sn最大 【答案】AC 【解析】设等差数列{a}的首项为a,公差为d, [3a+3d=24+2d-6 由题意可得 4=-8 ,解得 6a+15d=-18 d=2’ 对于A,4=a+d=-6<0,故A正确： 对于B,a=4+4d=0=0,故B错误： 对于C,,=9a=0,故C正确； 对于D,因为4，=4+(n-1)d=2-10, 所以数列{a}单调递增， 当n≤4时，4.<0，当n≥6时，4>0，且4=0， 所以当n=4或5时，Sn最小，故D错误. 10.己知a>0,b>0,2a+b=2,下列选项中正确的有() 试卷第4页，共14页 A. 1,2 二+二的最小值为4 B.b的最大值为号 a b C.2a+的最小值为2 D. ab-2习的茶小发为号万 √ab 【答案】ABD 【解析】对于A,利用"1的代换"可得： 话引ea会日-} b40=4, 成立条件：b-40即b2a,代入2a+b=2得：ab=1,故A a b 对于B,由基本不等式2a+b≥22ab,代入2a+b=2, 可得223宁5面s1台a号，等号成立条所：2a=8=1,即4=01，放B正 2 确： 对于c,将b=2-2a代入得：2+=2a+2-20=2a+2-2, a a a 由基本不等式可得：2a+2之4，故2m+b-2a+ a 2-222, a 等号成立条件为2a=2,即a=1,此时b=2-2a=0,不满足b>0, 因此等号取不到，故C错误； 对于D,展开分子(a+1)b+2)=ab+2a+b+2,代入2a+b=2可得：(a+1)b+2)=ab+4, 4 因此原式化简为： ab+4=√ab+ 令t=ab, Nab √ab 由选项B正确可得：ab≤：可得tEO v 4 √2 再由对勾函数y=t+在t∈0， 上单调 t 2 递减， 所以当励2时，+4励士布取到最小值：2 √ab 2+4N5=9V5,放D正确 11.己知函数f(x)=(e+a)x,g(x)=(x+a)nx,则下列说法正确的是() A.当a=1时，函数y=g(x)在(0，+o)上单调递增 B.当a=1时，若存在x≥1，使不等式f(0x)≥f(2+x)l)成立，则实数m的最小值 为0 C.若函数y=f(x)存在两个极值，则实数a的最大值为。怎 试卷第5页，共14页 D.当a=1时，若f(s)=g(s)=tt>0),则x(伍+1)t的最小值为-1 【答案】ABD 【解析】对于A,当a=1时，g(x)=(x+1)x(x>0),则g(x)=lnr+1+1, 设a)=x++1,则h)=马==， 当0<x<1时，H(x)<0;当x>1时，h(x)>0, 则h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+w)上单调递增， 故g'(x)=h(x)≥h)=2>0,即函数y=g(x)在(0，+∞)上单调递增，故A正确； 对于B,当a=1时，f(x)=(e+1)x,则f'(x)=(x+1)e+1, 设m(x)=(x+1)e+1,则m(x)=(x+2)e, 当x<-2时，m(x)<0;当x>-2时，m(x)>0, 则m()在(-0，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增， 故f'(x)=m(y≥m(-2)=1-e2>0,即函数y=f(x)在R上单调递增 若存在x≥1，使不等式f(x)≥f(x2+x))成立， 等价于存在x≥1，x≥(x2+x)nx成立，也即≥(x+1)lhx成立， 由A项已得，g(x)=（(x+1)lnr在(0，+w)上单调递增，则在L,+o)上单调递增， 故x≥1时，8(x)≥8)=0，则可得实数n的最小值为0，故B正确： 对于C,由f(x)=(e+ax可得f'(x)=(x+l)e+a, 因函数y=∫(x)存在两个极值等价于y=∫'(x)有2个变号零点， 由f'(x)=(x+1)e*+a=0,可得-a=(x+1)e, 设n(x)=(c+1)e,则n'(x)=(x+2)e, 则当x<-2时，(x)<0;当x>-2时，(x)>0, 故(x)在(-w,-2)上单调递减；在(-2，+o)上单调递增， 故n(x)m=n(-2)=-e2，且当x→-0，n()→0，当x→+o0,()→+0， 则y=f(x)有2个变号零点，等价于直线y=-a与y=n(x)有两个交点， 试卷第6页，共14页 即得-e2<-a<0,也即0<a<。,故a没有最大值，即c错误： 对于D,当a=1时，由A,B项可得f(x),g(x)为定义域上的增函数， 因f(0)=0,g(①)=0，且f(x)=g(x2)=t(t>0),则x1>0,x2>1, 由f(s)=g(s)可得(e+1)x=(2+1)x,即(e+1)ne=(x3+1)lnx2, 因g(x)=(x+1)hx是(1，+oo)上的增函数，故x2=e, 又由f(x)=(e+1)x=t>0,故x(x2+1)lnt=1e+1)nt=tnt, 设s(x)=xnx,(x>0),则s'(x)=lnx+1, 当0<x<1时，5(x)<0:当x>1时，5()>0， e 期（©日）上单调运说，在。+上单调范始。 所以s(x)在(0，+∞)上的最小值为5 )放化+)的最小值为-D正 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题 12.若关于x的不等式k2x2-3x-10<0的解集为{x2<x<5},则k= 【答案】1 【解析】不等式k2x2-3x-10<0的解集为{x2<x<5}, .方程k2x2-3-10=0的实数根为-2和5，且k≠0， 〔-3k_3-3 k2k .∴. 10=-10 ,解得k=1. 故答案为：1 13.若函数f(x)=lnx+a-4x在区间(1,3)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【答案】品 【解析】：f()=血x+ar2-4x,∴f(x)=1+2x-4, ,f(x)=nx+ax2-4x在区间(1,3)内存在单调递增区间， 试卷第7页，共14页 f0在xe)上有解，做2a宁在xe3)上有解， 令g)是，则g国-=4+子22四， x3 .x∈(1,3)，∴.g(x)<0,即g(x)在(L,3)上为减函数， >)-考号号2a号故品 14.若正项数列{a}满足2S=G+4,则集合{q,a4,,4}的所有非空子集中最小元素之 和为一： 【答案】2036 【解析】n=1时，4=S=云+4,4=0（合）或1 2 n22时，8=8.-51=父+g+a. 2 2 整理得G-4=a-1+a-1,即(a+a-1)a-a-1-1)=0, 因{a}是正项数列，故a4+a-1>0,所以4-41=1， {a}是以1为首项1为公差的等差数列，a=n {,4,,4}=红，2，，10}，最小元素为1的非空子集有2个，最小元素为2的非空子集有 2个，…，最小元素为10的非空子集有1个，设所求和为T, 则T=1×2°+2×23+3×27++10×2°=2036. 四、解答题 15.设{a}是首项不为0的等差数列，4+a=aH(k∈N),4为4与4，+1的等比中项， 记Sn为数列{b}的前n项和，Sn=2H-2, (1)求{a}和{bn}的通项公式： (2)求数列{a·bn}的前n项和T. 【答案】(1)4=n;b,=2” (2)Tn=(n-1)2m+1+2 【解析】(1)设等差数列{a}的公差为d,则a+1-a=a=d(keN*,所以a,=na=d 试卷第8页，共14页 由a4为4与4+1的等比中项，得(4d)}=2d(7d+1),解得d=1,或d=0(舍去)， 所以4=n. 因为Sn=2m1-2, 所以当n≥2时，Sn-1=2”-2, 所以b=2m+1-2”=2” 当n=1时，b=S=22-2=2,满足上式， 因此b=2” {a}的通项公式为4=1：b}的通项公式为b=2”。 (2)由(1)知， T=4b+4b+..+4bn=1×2+2×22+3×23+..+n×2”, 所以2Tn=1×22+2×2+3x24+..+(n-1)×2”+nx2+1 两式相减，得 -7=2+2+2+2+.+2-nx2*-2-(1-22--2m1=0-02m-2 1-2 所以Tn=(n-1)2H+2. 16.已知函数f(x)=2x-3x2-12x+5(xeR) (1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间[0,3]的最大值和最小值： (3)若曲线y=f(x)与直线y=c有3个不同的交点，求实数C的取值范围. 【答案】(1)y=-12x+4 (2)最大值为5，最小值为-15. 3)(-15,12) 【解析】(1)f(x)=2x-3x2-12x+5,求导可得f'(x)=6x2-6x-12, 当x=1时，f"(1)=-12,f(1)=-8, 试卷第9页，共14页 所以函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y+8=-12(x-1),即y=-12x+4. (2)f'(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令f'(x)=0,解得x=2或x=-1, 当x在区间[0,3]上变化时，'(x),f(x)的变化情况如表所示： 0 (0,2) (2,3) 3 f”(x) -12 0 × 24 f(x) 5 单调递减 -15 单调递增 -4 所以当x=0时，f()在区间[0,3]上取得最大值f(0)=5, 当x=2时，f(x)在区间[0,3]上取得最小值f(2)=-15. (3)由(2)可知，当x<-1时，'(x)>0,y=f(x)单调递增： 当-1<x<2时，f(x)<0,y=f(x)单调递减： 当x>2时，f'(x)>0,y=f(x)单调递增， 所以f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=12, f(x)在x=2处取得极小值f(2)=-15, 因为当x→-∞时，f(x)→-0，当x→+0时，f(x)→+0， 所以若曲线y=∫(x)与直线y=C有3个不同的交点，则c需介于极大值和极小值之间， 因此c的取值范围为(-15,12) 17.己知函数f(x)=nx-x2+(1-2m)x+1. (1)若m=1,求f(x)的极值： (2)若对任意x>0,f(x)≤0恒成立，求整数m的最小值 11 【答案】(1)极大值为f 2/ -h2,无极小值 4 试卷第10页，共14页 (2)1 【解析】(1)当m=1时，f(x)=nx-x2-x+1(x>0), f)=12x-1=- (x+1)(2x-1) 当0<<号时，()>0，则四在0，)上单调适猫： 当x时f(0,则f()在行+n上单调道减 所以在x时取得极大位且极大位为兮)-京加2，无极小监， (2)因为对任意x>0,f(x)≤0恒成立， 所以nx+x+1≤m(x2+2x)在(0，+o)上恒成立， 即m≥血x++'在(0，+o)上恒成立， x2+2x 设国)）=r++1,则F'(x)=+16+2血 x2+2x (x2+2x)月 设p(x)=-(x+2lnx), 显然p(x)在(0，+o)上单调递减， 因为90=1<0，)-}+2,22-0， 所以}1 使得p()=0,即x+2nx=0, 当x∈(0，)时，p(x)>0,F'(x)>0；当x∈(，+o)时，p(x)<0,F(x)<0, 所以F(x)在(0，)上单调递增，在(，+0)上单调递减， 所以F()=F(6)=血名++1L X+2x0 2x0 为所以文 故整数m的最小值为1. 18.已知数列{a}满足a=2,na+1=(+1)a.+n(n+1)(neN) (1)求数列{a}的通项公式： 吸6 号，数列}前u项别为3不又ay对m=N相设，水实藏入 试卷第11页，共14页 的取值范围。 6)数列，，=+子，求证：4++6++b,<+1 Va. n+l: 【答案】(1)a.=n(n+1) (3)证明见解析。 【解析】(1)由g+1=(+1)a.+n(n+1), 两边同除以n(n+1)得出=+1， +1n 即4-a=1, n+l n 又4=2，故号-2，所以岛是以2为首项，1为公差的等差数列， 解得马=2+(-1)1=n+1,所以a.=n(n+1), n+2 2(n+1)-n_1 1 2由（D知c,&2m+2产n+12-n2"n+ 故数列{cn}的前n项和为： 1 1 0m+,即2+Dm+, 因为n∈N,所以n+1>0,两边同乘0+1)得：2>+ 令f(m)= 2， 分析其单调性： fn+1）-f0m)=+3+Ln+2-20n+)-n 20+22+1 2*2 20, 故fm在neN上单调递减，因此fo0m=f)=t出- 2=21 要使2>n+1 1 2票对neN恒成立，只需2>f0m,即> 所以，实数1的取值范围为 1 (3)bn= 2 2 + n(n+1) n(n+1) n(n+1) 试卷第12页，共14页 1+1 n+1)1n+1)1fnn+1 所以b+b+b+…+b +-+3+号}-+日】1即金起将正 19.已知函数f()=e-gx2,其中e为自然对数的底数，aeR. 21 (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： (2)若(x)存在两个不同的极值点x1,x2,且5<为· (i)求实数a的取值范围； (ii)证明x+x3>2 【答案】(1)单调递增区间为(-o,+o).(2)(i)(e,+w)；(ii)证明见解析 【解折】1)当a=1时，f=c分，定义域为R,求导得)=-. 令M(x)=e-x,则M'(x)=e-1,令M'()=0得x=0, 当x∈(-o,0)时，M(x)<0,M(x)单调递减：当x∈(0，+o)时，M'(x)>0,M(x)单调递 增： M(x)n=M(0)=e-1=0Mx)=e-x≥0，即f')>0恒成立. 因此，f(x)在R上单调递增，单调递增区间为(-w,+∞). (2)(i)f'(x)=e-,若f(x)有两个不同的极值点，则方程e=a有两个不同的实数根. 显然x=0不是根，故可化为a=Ck≠0. 设)=g,则i)=ex-D 当x<0时，h(x)<0,h(x)单调递减，且h(x)<0: 当0<x<l时，h(x)<0,h(x)单调递减： 当x>1时，h(x)>0,h(x)单调递增 又x→0*时h()→+o,hI)=e,x→+o时h(x)→+m,故h(x)在(0,1）上从+o减至e,在 (1,+w)上从e增至+0. 试卷第13页，共14页 因此，当a>e时，直线y=a与h(x)的图像有两个交点，分别位于(0,1)和(1，+o),对应两个 不同的极值点x,x2（且0<x<1<x). 当a=e时有一个交点，当0≤a<e时无交点， 当a<0时有一个交点 故实数a的取值范围是(e,+o). (i)不妨设<5，由(i)得0<<1<，c=m,e=m,空=生，即e5=点 . 两边取对数得x,-玉=血当 令t=点>1，则x,=在，代入得t-x=血t,解得￥=f一 Int 于是+g=Q+0x=Q+0l血t t-1 要证x+%>2,即证0+0l血>2，等价于1+nt>2-D. t-1 设g0=0+0nt-20-),>1,则p0=nt+1+t-2=nt+-1. o01.0v00. 故(t)在(1，+)上单调递增，且Ψ)=0，所以Ψ()>0，即p'()>0. 因此p)在(1，+o)上单调递增，又p(1)=0,故p()>0对t>1恒成立. 从而原不等式成立，即x+x2>2. 试卷第14页，共14页2025-2026学年度高二下数学5月月考卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知集合A={x∈Nx≥5}，则集合B=x∈Nx廷A的元素个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.设{a}为等差数列，Sn为其前n项和，若S3=S,则4。=() A.8 B.6 C.3 D.0 3.已知命题p:a-4≤0，命题g:不等式？++1≤0的解集为②，则p成立是q成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若命题x∈卫，4]，x2-4x-m≠0是假命题，则实数m的取值范围是() A.(-0,-4) B.(-4,+0) C.[-4,0] D.[-4,-3] 5.若两个正实数x,y清足x+y=y且存在这样的x,y使不等式x+<m+2有解，则实数m的 取值范围是() B c 11 2 D. 6.在等比数列{an}中，43+a4=16,a6+ag=32,则4+42+44+46=() A.192 B.144 C.96 D.48 7,若函数f)-ae-r+3aeR)无极值点，剥a的取值范国为《） A.但o B.r D.n. 8.己知a>0,f)=(ae-与n(x+b),当x>0时，f()≥0，则a0-b}的最大值为() A.君 C.3 D 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分. 9.记Sn为等差数列{a}的前n项和，若S3=2a-6,S=-18,则() 试卷第1页，共4页 A.43<0 B.a>0 C.S6=0 D.当n=4或5时，Sn最大 10.已知a>0,b>0,2a+b=2,下列选项中正确的有() A.上+2的最小值为4 B.b的最大值为号 a b C.2a+的最小值为2 D. (a+1)(b+2) 的最小值为9V2 √ab 11.已知函数f(x)=（e+a)x,g(x)=(x+a)lnx,则下列说法正确的是() A.当a=1时，函数y=8(x)在(0，+o)上单调递增 B.当a=1时，若存在x≥1，使不等式f(x)≥f(:2+x))成立，则实数m的最小值为0 C。若函数)y=了儿)存在两个极伯，则实数a的最大伯为。 D.当a=1时，若f(5)=g(5)=tt>0),则x(:+1)-t的最小值为-1 第II卷（非选择题) 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12.若关于x的不等式k2x2-3x-10<0的解集为{x-2<x<5},则k= 13.若函数f(x)=lnx+a-4x在区间(1,3)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 14.若正项数列{a}满足2Sn=a+4,则集合{a4,a,,4o}的所有非空子集中最小元素之和为、 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)设{a}是首项不为0的等差数列，4+4=4+1(k∈N),44为4与4+1的等比中项， 记Sn为数列{b}的前n项和，Sn=2”1-2, (1)求{a}和b}的通项公式： (2)求数列{abn}的前n项和T. 试卷第2页，共4页 16.(15分)已知函数f(x)=2x-3x2-12x+5(x∈R) (1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程： (2)求函数f(x)在区间[0,3]的最大值和最小值： (3)若曲线y=∫(x)与直线y=C有3个不同的交点，求实数C的取值范围. 17.(15分)已知函数f(x)=nx-x2+(1-2m)x+1. (I)若m=1,求∫(x)的极值： (2)若对任意x>0,f(x)≤0恒成立，求整数m的最小值. 试卷第3页，共4页 18.(17分)已知数列{an}满足a=2,1=(n+1)g.+n(n+1)(n∈N) (1)求数列{a}的通项公式： ②设c,品，数列的前”项和为3若气 n+2 -工≤1对neN恒成立，求实数A的取值 范围 3)设数列地，三+石，求证：么+6+么++6，<n+1 n+1: 9,(17分)已知函数f)=e,其中e为自然对数的底数，aeR (1)当a=1时，求f(x)的单调区间 (2)若(x)存在两个不同的极值点x1,x2,且方<6. (i)求实数a的取值范围； (i)证明x1+x3>2, 试卷第4页，共4页