精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高一下学期阶段性练习六数学试题

2028届高一年级数学学科阶段性练习六 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知为虚数单位，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各式中，值为的是 A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 5. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 7. 如图，在正方体中，、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关复数的叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，，，的面积为，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. C. 是等边三角形 D. 的周长是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______ 13. 已知向量，的夹角为，，，则________． 14. 已知，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知都是锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知的角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）若的面积为2，求和. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，且边的中线长为，求的面积； （2）若是锐角三角形，求的范围. 18. 如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. （1）证明：平面； （2）若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一年级数学学科阶段性练习六 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知为虚数单位，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简所求复数，利用复数的几何意义可得结论. 【详解】因为，因此，复数对应的点位于第三象限. 故选：C. 2. 下列各式中，值为的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：；对于选项B：；对于选项C：；对于选项D：；故选C 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数和差公式即可. 【详解】 ； 故选：B. 4. 已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的运算公式进行求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 5. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底法，即可求解. 【详解】解：,, , 故选：C 6. 在 中， 分别是角 的对边， ，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 为直角三角形 C. 为钝角三角形 D. 以上三个选项都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】先用余弦定理将题干条件转化为，再次用余弦定理推出，进而得解. 【详解】由余弦定理，，则， 整理可得，则， 结合是三角形的内角，则， 即是钝角三角形. 7. 如图，在正方体中，、分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接、，设正方体的棱长为，分析可知直线与所成角为或其补角，计算出、的长，即可求得的余弦值. 【详解】取的中点，连接、，设正方体的棱长为， 因为四边形为正方形，则且， 、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，故且， 因为，，故直线与所成角为或其补角， 平面，平面，则，故， 因为，， 所以，. 因此，直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案 【详解】由，得，即， 则， 故 ． 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关复数的叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算､复数的概念､复数模的计算及几何意义判断各选项. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，则的虚部为，故B不正确； 对于C，设，由得，所以，故C正确； 对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确. 故选：ACD. 10. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：，则，故A正确； 选项B：已知，则，解得，故B错误； 选项C：若，则， ，故C正确； 选项D：已知，则，解得，故D错误． 11. 在中，，，的面积为，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. C. 是等边三角形 D. 的周长是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得，，再结合正弦定理逐项判断即可. 【详解】由三角形面积公式：， 代入得： ，解得， 由余弦定理，代入得： ， 结合得， 因此，得， 选项A： 由正弦定理（为外接圆半径）， 代入得： ，得，外接圆面积，A正确， 选项B： 由正弦定理，， 得，代入， ，B正确， 选项C： 若为等边三角形，则边长为3，面积为，矛盾，C错误， 选项D： 周长为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘方及复数的模计算即可. 【详解】因为，，，，，， 所以周期为4，则，， 所以. 故. 13. 已知向量，的夹角为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律计算求解. 【详解】， 所以 14. 已知，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式及同角三角函数关系列式计算得解. 【详解】由，得， 又因为，可得，所以， 所以， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知都是锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系式和正弦两角和公式计算即可； （2）利用诱导公式五六，同角三角函数关系式以及两角和与差的余弦公式分析求解即可. 【小问1详解】 因为是锐角，，所以， 由，解得：， 所以. 【小问2详解】 由得：， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 由 ， 又，所以. 16. 已知的角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）若的面积为2，求和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解即可. （2）根据同角三角函数关系求出，，结合三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得，因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又所以，. 所以，即，所以， 所以，解得， 所以. 因此，. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）若，且边的中线长为，求的面积； （2）若是锐角三角形，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，求得，再由，联立方程组，求得，因为为边中线，得到，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解； （2）由正弦定理，化简得到，再由是锐角三角形，求得，结合正切函数的性质，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 解：在中，因为， 由余弦定理可得，即， 整理得，所以， 因为，所以， 又因为， 联立方程组，解得，所以， 因为为边中线，则， 所以， 可得，解得或（舍去）， 所以的面积为. 【小问2详解】 解：由正弦定理，可得 . 因为是锐角三角形，则，可得，所以， 因为，所以，则， 所以，所以. 18. 如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. （1）证明：平面； （2）若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线证得平面. （2）通过证明平面平面，证得平面. 【小问1详解】 如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】（1）最小正周期为， （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； (2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； (3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解. 【小问1详解】 即， 最小正周期为，令，解得， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 由，，， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 由，， 令的两个解为， 则，，，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $