广东惠州市泰雅实验高中2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

2025一2026学年惠州市泰雅实验高中高一下学期第二次月考试题 数学 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.复数之1=43i,x2=一2十2i,则之1十2= A.1 B.3 C.√5 D.3 2.下列命题中，正确的是 A.零向量没有方向 B.单位向量的模都相等 C.平行向量一定相等 D.向量的模可以是负数 3.已知，b,c是空间中的三条直线，则下列说法中错误的是 A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C.若α，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D.若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 4.下列说法中正确的是 A.一个多面体至少有4个面 B.矩形旋转一周一定形成一个圆柱 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 5.如图，这是一个正方体的平面展开图，对该正方体，给出下面四组直线，其中垂直的组 数是 (1)CG与EF (2)BF与EG H (3)BH与EF (4)EG与DF A.1 D B.2 C.3 D.4 高一数学第1页（共4页) 6.某同学将一个直角三角形硬纸板ABC绕斜边BC所在的直线进行旋转，得到如图所示 的旋转体.测量出AA'=2,上、下旋转面的面积比是2：1，则BC= A号 5 B. C.33 2 D.3 7.如图，在△ABC中，已知BD=号DC,A正=2EC,P是线段AD与BE的交点，若A户- mAB+nAC,则m-n的值为 A.1 c.7 D.号 D &.在锐角△ABC中，角A,B.C所对应的边分别为ab,c已知a=2,B=号，则△ABC周 长的取值范围为 A.(3+3,6+2√3) B.(3+25,6+2√3) C.(3+√3,6+35) D.(3+25,6+3√3) 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知平面向量a=(1,2),b=(2,一1)，则下列说法正确的是 A.向量m=(4,8)与a互相平行 B.a与b互相垂直 C.a,b可以作为平面内的一组基底 D.向量b在a上的投影向量为(5,12) 10.已知圆台的上底面半径r=2,下底面半径R=4,圆台有内切球，则 A.圆台的母线长为6 B.圆台的高为4√2 C.圆台内切球的半径为√2 D.圆台的侧面积为72π 11.如图，已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论正确的是 A.直线AC与BD1为异面直线 D B三棱锥C一ABD,的体积为号 B C.异面直线BD,与B,C所成角的正弦值为5 3 D D,平面A1BC,与平面ACD间的距离为23 高一数学第2页（共4页） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.计算：42026-23十i= 13.已知一梯形OABC的斜二测直观图是下图的等腰梯形O'A'B'C',B'C'=1,OA'=3, 高为1，则梯形OABC的面积为 ∠459 A'x 14.我国古代数学家祖暅提出祖暅原理：幂势既同，则积不容异，即夹在两个平行平面间的 两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的截面面积总相等，则这两 个几何体的体积相等.现将一个棱长为4的正方体内部挖掉一个圆锥，其中圆锥底面 为正方体一个面的内切圆，顶点为该面相对面的中心.现有一个几何体与所得几何体 夹在同一对平行平面之间，且满足祖恒原理的等截面条件，则该几何体的体积 为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(一2,3)，b=(t,2). (1)当t=1时，求2a-3b和cos(a,b); (2)求一2a+b的最小值. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB,平面PAB⊥平面ABCD,BC=AD,AD∥ BC,点M为AD的中点. (1)求证：CM∥平面PAB; (2)若AB⊥BD,求证：平面PAB⊥平面PBD. B. 高一数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cosA=5,b=3,c=5. 4 (1)求a及sinC的值； (2)∠A的平分线交BC边于点D,求AD的长. 18.(本小题满分17分) 如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. (1)证明：A1D⊥平面AD1E; (2)当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离； (3)当二面角D,一BC-D的正切值为号时，求怨的值。 C B D E 19.(本小题满分17分) 已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bc十a3=ab+ac2,a≠c. (1)若B=λA,求实数入的值； (2)若a=1,求b+方的取值范围； (3)若△ABC为锐角三角形，且该三角形的面积为9，边c的长度是否可以为√17？ 并说明理由. 高一数学第4页（共4页）2025一2026学年惠州市泰雅实验高中高一下学期第二次月考试题 数学 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算 ⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢv②③④⑤⑥ 档次 系数 选择题 5 复数运算与复数模求法 易 0.94 2 选择题 5 向量的概念辨析 易 0.90 3 选择题 5 线线位置关系的判断 易 0.85 选择题 5 基本几何体的特征 易 0.84 正方体中线线垂直关系的 5 选择题 5 易 0.82 判断 6 选择题 5 圆锥侧面积相关计算 易 0.80 向量基本定理的运用（爪子 7 选择题 5 0.65 模型，求参数) 解三角形中的周长取值范围 8 选择题 5 中 0.60 问题（锐角三角形） 向量坐标运算与相关概念 9 选择题 (平行、垂直、基底、投影向 易 0.85 量) 圆台中有关量的计算（个别 10 选择题 / 易 0.83 选项涉及内切球) 正方体综合：线线位置判断、 11 选择题 6 异面直线所成角计算、等体 0.65 积法、空间距离计算 12 填空题 5 复数的化简（高次方） 易 0.80 13 填空题 5 斜二测画法的应用 易 0.72 ·%1 (数学) 数学文化题（与圆锥、内切 14 填空题 球、正方体等有关的综合问 中 0.65 题) 15 解答题 13 向量坐标运算 易 0.93 四棱锥中线面平行、面面垂 16 解答题 15 易 0.87 直的证明 17 解答题 15 解三角形，求角平分线长 易 0.80 直四棱柱的线面垂直；点到 18 解答题 17 务 0.65 面的距离；二面角 19 解答题 17 探究性问题（解三角形） 难 0.45 ·%2 参考答案及解析 ·高一数学· 参考答案及解析 高一数学 一、选择题 4.A【解析】多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故 1.C【解析】|x1十x|=|2-i川=√2+(-1)下= A正确；矩形绕其一条对角线旋转一周，所形成旋转 √5.故选C. 体不是圆柱，故B错误；正棱锥底面是正多边形，还需 2.B【解析】选项A:零向量方向任意，故A错误；选项 要满足顶点到底面投影落在底面正多边形的中心，故 B:单位向量的模为1，都相等，故B正确；选项C:平 C错误：用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底 行向量的方向相同或相反，但模长不一定相等，故平 面与截面之间的部分是棱台，故D错误.故选A. 行向量不一定相等，故C错误；选项D:向量的模非 5.C【解析】如图所示，将展开图重新组合成正方体. 负，故D错误，故选B. 3.D【解析】对于A,由平行的传递性知A正确；对于 B,如图①，在正方体ABCD-A1BCD1中， D 9 D B 对直线CG与EF,因为CG∥BF,BF⊥EF,所以CG D ⊥EF;对直线BF与EG,因为BF⊥平面EFGH,EG C平面EFGH,所以BF⊥EG;对直线BH与EF,因 ① 为EF∥GH,所以∠BHG(或补角)为异面直线BH 当AD⊥AB,AB⊥AA1时，AD与AA1相交：当AD 与EF所成的角，显然∠BHG≠受，因此BH与EF ⊥AB,AB⊥BC时，AD∥BC:当AD⊥AB,AB⊥CC 时，AD与CC1异面，所以由a⊥b,b⊥c可得a与c可 不垂直；对直线EG与DF,连接HF,BD,因为EG⊥ 能相交、平行或异面，故B正确；对于C,若a,b分别 DH,EG⊥HF,DH∩HF=H,所以EG⊥平面 在两个相交平面内，如图所示， BDHF,所以EG⊥DF.即给出的四组直线中，其中垂 直的组数是3.故选C 6.B【解析】设AA'与BC的交点为O,OB=x,OC= y,则OA'=O0A=1,AB=√J+1,AC=y+1. 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确：对 于D,如图①，在正方体ABCD-A1B1CD中，AB 与BC相交，CD1与BC异面，此时AB与C1D平 行：AB与BC相交，AA1与BC异面，此时AB与 AA1相交；AB与BC相交，DD1与BC异面，此时AB 与DD异面，所以a与c相交，b与c异面，则a与b 可能相交、平行或异面，故D错误.故选D. 由∠BAC是直角，得AB+AC=BC,即x2十1十y ·高一数学· 参考答案及解析 +1=(x十y)2,得xy=1①，由上、下旋转面的面积 足数乘关系，两向量平行，故A正确：对选项B:a·b 比是2：1，得AB=2AC,即√+I=2√y+I,所以 =1×2十2×（一1）=2-2=0，故a⊥b,故B正确；对 x2=4y2+3②，①②两式联立，整理得x1-3.x2-4 选项C:不共线的两个非零向量才可作为平面内的一 0,解得x2=4(负值舍)，则x=2(负值舍)，所以y= 组基底，因为a,b垂直，故不共线，所以可作为一组基 合则BC=x十y=号放选B 底，故C正确；对选项D:投影向量公式：因为a·b= 0,所以向量b在a上的投影向量为(0,0)，不是(5， 7.D【解析】因为BD=号D心，A它=2E式，所以Aò= 12),故D错误.故选ABC. 10,AB【解析】有内切球的圆台满足性质：母线长1= Ai+BC=AB+AC-号AB=号AB+号AC R十r=6,圆台高h=√-(R-)严= 号A+子×受=号+花，设市=x市， √/(R+r)-(R一r)严=2√R7=4√2，内切球直径 则A护-号xA店+}xA花，因为B,P,E三点共线， 等于圆台的高4√2，故半径为2√2；圆台侧面积S侧 =π(R十r)l=π(R十r)2=36π.故A,B正确，C,D错 所以号x十x=1,得x=今，则市=号市 误.故选AB. 11.ACD【解析】对选项A,因为ACC平面ABCD, (号A+AC)=号Ai+号AC,故m=号，n BD1∩平面ABCD=B,B4AC,D4平面ABCD, 会，则m一=号故选D 所以直线AC与BD1为异面直线，故A正确：对选 项B,因为V三校轮C-ABD,=V三校能D,-AC,又由正方体 &.A【解析】由正弦定理可得ABC,得 b 的性质可得△ABC为等腰直角三角形，所以△ABC sin A,e=asin C b=asin B mA,又a=2,B=号C=元-(A+ 的面积为2，D到平面ABC的距离为2，故三棱锥 D一ABC的体积为等，故B错误；对选项C,因为在 a B),所以b十c=snA(sinB+sinC)= 正方体ABCD-ABCD1中，BC1∥BC,所以 3+2sin (A+B) √5+sinA十√3cosA ∠DBC(或补角)为异面直线BD1与BC所成的 sin A sin A 角，在直角△D1BC中，DB=2√5，DC=2√E,BC 3(1+cosA)+1= 5×2cos2 2 十1， sin A A 2sin 2cos A tan 2 =2sn∠D,CB气故C正确：对选项D, 2 因为在正方体ABCD-A:BCD中，AC∥AC, 0<A<罗 AC史平面ACD,ACC平面ACD,所以AC∥ 因为△ABC为锐角三角形，则 ,解 0<号-A<受 2 平面ACD,同理BC∥平面ACD,又AC∩BC =C,所以平面A1BC1∥平面ACD,故平面ABC 得否<A<受，则am合∈(an是1)小，其中an是 与平面ACD间的距离为点B到平面ACD,的距离 1 =m(停-）=号2-，所以6+e h,由选项B得子=V我，议=V三B-知，=子 (1+√，4+2√3)，所以△ABC的周长a+b十c∈ ×9×2)6,得-25，即平面ABC,与平面 (3十√3,6十2√3).故选A ACD间的距离为25.故D正确放达ACD 二、选择题 9.ABC【解析】对选项A:m=(4,8)=4(1,2)=4a满 ·2 参考答案及解析 ·高一数学· 三、填空题 16.解：)因为AD∥BC,BC-号AD, 12.-4十3i【解析】4i026-2+i=4i+1×50-2·i 所以BC∥AM,且BC=AM. +i=一4十3i.故答案为一4十3i. 所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB. 13.4E【解析】由题意OC=sn4行=E,且B'C (4分) 1,0A'=3,则OC=20C'=2√2，BC=1,OA=3,所 又ABC平面PAB,CM寸平面PAB, 以原梯形是上下底分别为1,3，高为2√2的直角梯 所以CM∥平面PAB. (6分) (2)由已知平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平 形，则其面积为号×22×(1十3)=4厄.故答案为 面ABCD=AB,PA⊥AB,PAC平面PAB, 4√2. 所以PA⊥平面ABCD, (9分) 14.64-16π 3 【解析】由题意，正方体棱长a=4,故此正 BDC平面ABCD,从而PA⊥BD (10分) 又BD⊥AB,AB∩AP=A,AB,APC平面PAB, 方体的体积为4=64，因为圆锥底面是正方形的内 所以BD⊥平面PAB. (13分) 切圆，放半径，=号=2，圆锥的高么等于该正方体 又BDC平面PBD, 所以平面PAB⊥平面PBD. (15分) 棱长4，故圆锥体积V= 3π产h= 3πX2X4= 17.解：(1)由余弦定理得a=b2+c2-2 bccos A 9根据祖厢原理：满足夹在平行平面间、任意截 =9+25-2×3X5×号=10， 面面积相等，则体积相等，所以所求几何体体积等于 所以a=10, (3分) 正方体与圆锥的体积之差，即64一16=，故答案为64 3 由c0sA=号及A∈(0，x),得sinA=-osA -16π 3 5 (5分) 四、解答题 15.解：(1)当t=1时，由a=(-2,3),b=(1,2), 由正孩定理品A品C得如C-出4 a (1分) 5×号3四 (7分) 得2a-3b=2(-2,3)-3(1,2)=(-4,6)-(3,6)= √/10 10 (-7,0). (3分) (2)因为AD为△ABC的角平分线， a·b=(-2)×1+2×3=4, (5分) 所以SAABC=S△ABD十S△ADC, |a=√(-2)+32=√13，|b|=√+2z=√5， 得宁snA=c·ADn号b:ADsn A (6分) 故a6=回间F 4 =4√65 所以AD= bcsin A 65 6十0sn音 6+0sn会 (8分) (2)|-2a十b|=|(4,-6)+(t,2)1 bc·2cos2 _15 A 4c0s2, (13分) b+c =|(t+4,-4)|=√/(t+4)+16, (10分) A 当t=-4时，|一2a十b|取最小值4. (13分) 将cos2=1 cosA=3代入上式解得AD= 2 10 9/10 (15分) 8 ·3· ·高一数学· 参考答案及解析 18.解：(1)在长方体ABCD-A1B1CD中，有AE⊥平 ∴.tan∠DHD= DD 面AAD1D, DH 2 2 又ADC平面AADD, 解得x=1, AE⊥AD, 此时AE=1,得品子 (16分) 又AD=AA1=1, .四边形AA1D1D为正方形， 即当二面角n一EC-D的正切值为号时，铝 ∴A1D⊥AD1, (17分) 又AE∩AD1=A,AE,ADC平面ADE, 19.解：(1)由b2c十a3=ab2十ac2得b2c=ab2十ac2-a3 .AD⊥平面ADE. (4分) =a(b+c2-a2)=aX2bccos A, (2)设点E到平面ACD1的距离为h, 所以b=2 acos A, 在△ACD1中，AC=CD=√5，AD=√2， 由正弦定理得sinB=2 sin Acos A=sin2A,(2分) (6分) 因为B∈(0，π)，2A∈(0,2π)，sinB=sin2A>0, 故2A∈(0，π)， 而SaAE=号·AE·BC=合 (7分) 所以B=2A或B+2A=元. 又Vp,-AE=VE-PaC, 当B+2A=π时，因为A十B十C=π，所以A=C, 号××1=号×× 所以a=c,这与a≠c矛盾，故不成立. 故B=2A,即1=2. (4分) (2)由bc十a3=ab十ac2得b(c-a)=a(c2-a2) =a(c-a)(c+a), “点E到平面ACD:的距离为子 (10分) 因为a≠c,所以=a(a十c), (3)过D作DH⊥CE于H,连D1H, (11分) 当a=1时，b62=1十c,即c=b-1, D C 所以-1≠1，b≠√2， A 根据三角形任意两边之和大于第三边， B a+b>c,1+b>b-1, D 得a+c>b,即1+b-1>b, - b+c>a: b+b-1>1, E 由DD⊥平面ABCD,得DD⊥CE,且DD∩DH 所以b∈(1，w2)U(W2,2), (7分) =D, 因为函数∫(x)=x十 在区间1,2)上单调递增， 可得CE⊥平面DD1H,则D1H⊥CE, ∴∠DHD为二面角D一EC-D的平面角， f1)=2.f)=32f2)=, (13分) 所以b十 1 设BE=x,x∈[0,2]，则CE=√1+x, 的取值范周为(，婴)U(,) 由SaE=子DCX BC=号CEX DH得DH (9分) (3)不可以 (10分) 2 √1+x2 理由如下：因为a≠c,所以4A≠元，即A≠平 ·4 参考答案及解析 ·高一数学· 因为△ABC为锐角三角形， -18(2sin Acos2A+cos 2Asin A) 2sinAcos A 0<A<, 9(2cos A+cos 2A)9(3cos'A-sin'A) sin Acos A sin Acos A 故0<B=2A<受.解得后<A<牙，《12分) =9(3-tanA) 27 tan A tan A-9tan A, (15分) 0<C-x3A<受， 令nA=,则c2-2-9r. t 由正孩定理品品BC b 因为晋<A<晋，所以（停，1小， sin C,a=sin A 可得b=csin B sin C' 2alsin CxsinAx 因为函数g:)=-9r在区间（悟）上单调 所以该三角形的面积S= 2 sin C 递减， csin B sin C-csin Asin B c'sin Asin 2A-. 2sin C 2sin 3A 所以-91∈(18,24)，即c∈18,24). 所以c2=18sin3A sin Asin 2A 因为√I7(18,√243)，所以c的长度不可以 =18(sin 2Acos A+cos 2Asin A) 为√17. (17分) 2sin'Acos A ·%5