精品解析：广东中山市实验中学2025-2026学年高一下学期第一次段考数学试题

2025-2026学年广东中山市实验中学高一下数学一段考 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由，得． 2. 已知向量 ，若与平行，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由与平行，利用向量共线的坐标运算求解. 【详解】由 ， ， 得， 又因为与平行， 所以 ， 解得. 故选：． 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系可得的值，再根据余弦二倍角公式即可求得的值. 【详解】由向量， 由可得：， 整理得， 所以. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，解得，则“”是“”的充分不必要条件. 6. 已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因，. 则向量在方向上的投影向量为. 7. （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式，正弦二倍角公式化简求值即可. 【详解】原式 ． 8. 已知向量，且，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用向量数量积的坐标运算公式代入已知条件，得到关于正余弦值的方程，再利用余弦差角公式化简方程.又因为，所以结合余弦函数的特殊值，确定的取值. 最后将求得的代入，再利用正切函数的特殊值计算结果. 【详解】因为向量， 所以， 即， 又因为，所以，所以，可得， 所以， 故选：C. 二、多选题 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上投影向量的模为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共线，垂直以及模长公式的坐标公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，，故B选项不正确； 对于C选项，若，在上的投影向量为， 于是在上的投影向量的模为，故C选项正确； 对于D选项，若，则，所以，所以D选项正确． 10. 下列等式不成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 11. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 零点绝对值的最小值为 C. 在区间上单调递增 D. 曲线的一条对称轴为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数性质可判断A；根据正弦型函数性质整体代换计算可判断BCD. 【详解】对于A，由辅助角公式得，可知值域为，故A正确； 对于B，记，解得， ，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，由得， 取得， 而，易知此时单调递增，故C正确； 对于D，由，知为的一个对称中心， 所以不为对称轴，故D错误. 三、填空题 12. 已知是第一象限角，且，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系求得，再结合正切的差角公式求解即可. 【详解】因为是第一象限角，所以， 所以， 又因为 所以． 13. 在中，，，为边上靠近点的三等分点，为的中点，则 _____ 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 因为，，所以，，， 因为为中点，所以 ， 则 ，，则． 所以，． 所以． 故答案为： 14. 如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC，设，根据条件及三角函数的定义，可得BC、AB的表达式，代入面积公式，结合二倍角公式及辅助角公式，可得面积S的表达式，根据的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得答案. 【详解】连接OC，设， 在中，，则， 因为为矩形，所以， 又，则， 则， 所以矩形面积 ， 因为，所以， 所以当时，即时，有最大值. 四、解答题 15. 设，已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线. （1）求的值； （2）若，， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算和平面共线的条件计算； （2）①由向量夹角的坐标运算求解；②由求点的坐标. 【小问1详解】 由已知得，又， 因为三点共线，所以，即. 【小问2详解】 由已知得， ； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即 16. 已知平面内三个向量，，. （1）若，求实数，的值； （2）若，求实数的值； （3）已知，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （3）表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 ，又，，， 即， ，解得. 【小问2详解】 因为，， 又， ，即，解得. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以当时，取最小值. 17. 已知向量，，. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，求的最小值. 【答案】（1），单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标表示以及辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据周期的计算公式以及单调区间的求法即可求解； （2）先根据三角函数图形伸缩、平移变换的规律得到，再根据正弦函数的奇偶性，求出，从而可得答案. 【小问1详解】 已知， 可得：， 化简得： ，最小正周期， 令，可得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 的图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，得到的图象. 再向左平移个单位， 得到的图象， 因为为偶函数，所以， 移项可得，则， 因为，当时，取得最小值为. 18. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. （1）若，，求之间的余弦距离； （2）已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 【答案】（1）； （2）①；②5 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）①由新定义及所给点的坐标得出，，再求出，即可得出之间的余弦距离； ②由，，展开化简可得解. 【小问1详解】 由题意得， ∴之间余弦距离为； 【小问2详解】 ①由题意得 ∵，∴，∴， ∵， ∴，∵，∴ ∴，之间的余弦距离为. ②由①可得，， ∴，∴ ∴ 19. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为． （1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； （2）已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为．若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“伴随函数”的定义得到求解； （2）根据函数求解； （3）根据题意得到求解. 【小问1详解】 由，得， 故， 当且仅当 ，即时， 取得最大值； 【小问2详解】 向量，， 由题意得，可得 ， 所以函数的“伴随向量”． 【小问3详解】 由题意得，设，， ，所以， ， ， ， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东中山市实验中学高一下数学一段考 一、单选题 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ，若与平行，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. （    ） A. B. C. D. 8. 已知向量，且，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题 9. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上投影向量的模为 D. 若，则 10. 下列等式不成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 零点绝对值的最小值为 C. 在区间上单调递增 D. 曲线的一条对称轴为 三、填空题 12. 已知是第一象限角，且，则的值为_________． 13. 在中，，，为边上靠近点的三等分点，为的中点，则 _____ 14. 如图，在扇形中，半径，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值是________． 四、解答题 15. 设，已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且，，三点共线. （1）求的值； （2）若，， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 16. 已知平面内三个向量，，. （1）若，求实数，的值； （2）若，求实数的值； （3）已知，求的最小值. 17. 已知向量，，. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将图象的纵坐标不变，横坐标变成原来的倍，再向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，求的最小值. 18. 人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中，为了检测样本之间的相似度主要运用余弦距离进行测试.二维空间有两个点，，定义之间的余弦距离为，其中. （1）若，，求之间的余弦距离； （2）已知，，，，若，， ①求之间的余弦距离； ②求的值． 19. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为． （1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； （2）已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为．若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $