精品解析：广东省深圳市深圳实验学校高中园、惠州市惠东县惠东高级中学2024-2025学年高一下学期第二阶段联考数学试卷

深圳实验学校高中园与惠东高级中学 2024-2025学年度第二学期第二阶段联考试卷（数学） 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则x＝（　　）. A. 8 B. 2 C. 4 D. 3. 已知复数z满足（i是虚数单位），则（ ） A 1 B. C. 2 D. 4. 若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. “近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得超然楼在北偏西，楼顶C的仰角为，则超然楼的高度（单位：米）为（ ） A. 26 B. C. 52 D. 8. 长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错得0分. 9. 已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与可以作为一组基底 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，，点C在底面圆周上，且二面角为，则下列选项正确的是（ ） A. 该圆锥体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 11. 八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论中正确的是（ ） A. B. ∠EAD=30° C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知分别为三个内角的对边，且，则______. 13. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. 14. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角的正切值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足． （1）求向量的数量积； （2）求向量夹角的余弦值； （3）求的值． 16. 如图，三棱柱中，平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5. （1）求证：平面； （2）若异面直线与所成的角为30°，求三棱柱的体积. 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且的面积. （1）求角A； （2）若，求的取值范围. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 19. 法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，． （1）求； （2）若面积为，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中园与惠东高级中学 2024-2025学年度第二学期第二阶段联考试卷（数学） 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果. 【详解】根据平面向量减法原则，，而， 故. 故选：C 2. 已知向量，且，则x＝（　　）. A. 8 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直得到方程，求出的值. 【详解】由题意得：，解得：. 故选：A 3. 已知复数z满足（i是虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算求得，然后求得. 【详解】由，得， 则. 故选：B 4. 若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据大边对大角，得到边长为6的边所对的角为最大角，利用余弦定理求出，得到这个三角形是钝角三角形. 【详解】大边对大角，故边长为6的边所对的角为最大角，设为， 则， 故为钝角，所以这个三角形钝角三角形. 故选：B 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，根据其表面积为，得到，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求得半径和高，利用体积公式求解. 【详解】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线为， 因为其表面积为， 所以， 即， 又因为它的侧面展开图是一个半圆， 所以， 即， 所以， 所以此圆锥的体积为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面积及体积等知识点，考查运算求解能力，属于基础题型. 6. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题目条件有，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 【详解】因，平面ABCD，平面ABCD， 则，又因四边形ABCD为矩形，则. 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：， 则外接球的表面积为： 故选：B 7. “近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东的点D处（A，B，D在同一水平面上），在B点测得超然楼在北偏西，楼顶C的仰角为，则超然楼的高度（单位：米）为（ ） A. 26 B. C. 52 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合直角三角形分析运算即可. 【详解】由题意可得：（米）， 在中，可得，则（米）， 在Rt中，可得为等腰直角三角形，即（米）. 故选：C. 8. 长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合长方体性质和线面成角的定义计算，再计算和的值即可. 【详解】依题意，体对角线l满足则， 设l与上下底面成角，则，； 设l与左右侧面成角，则，； 设l与前后面成角，则，. 所以，. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错得0分. 9. 已知，，是与同向的单位向量，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 与可以作为一组基底 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出向量的模判断A；求出的坐标判断B；利用基底的定义判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，与不共线，则与可以作为一组基底，C正确； 对于D，，向量在向量上的投影向量，D错误. 故选：ABD 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，，点C在底面圆周上，且二面角为，则下列选项正确的是（ ） A. 该圆锥体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积公式判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，则， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项正确； C选项，设是的中点，连接， 易得，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：ABC. 11. 八卦是中国文化中基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论中正确的是（ ） A. B. ∠EAD=30° C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合正八边形的几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， 正八面体的边长为， 三角形是等腰直角三角形，所以，所以，A选项正确. 由于，所以三角形是直角三角形，所以，B选项错误. ，D选项错误 由于，所以三角形是直角三角形，且，所以C选项正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知分别为三个内角的对边，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为在中，， 所以， 则. 故答案为：. 13. 已知单位向量满足，则与的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律求得，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】由，可得，解得， 则，又， 所以与的夹角为. 故答案为： 14. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角的正切值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，根据条件列式，得到，再根据二面角的定义，找到二面角的平面角，即可计算正切值. 【详解】如图，设此四棱锥P-ABCD底面边长为，斜高为，连结AC、BD交于点O，连结OP，底面，取的中点，连结，，则，， 则，，中，． ，，所以是侧面和底面的夹角，， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足． （1）求向量的数量积； （2）求向量夹角的余弦值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积坐标公式计算即可； （2）根据向量数量积夹角坐标公式计算即可； （3）先求出向量坐标再应用向量模长坐标公式计算即可； 【小问1详解】 由题设，. 【小问2详解】 ， 所以. 【小问3详解】 ， . 16. 如图，三棱柱中，平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5. （1）求证：平面； （2）若异面直线与所成的角为30°，求三棱柱的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1) 由平面ABC可得，勾股定理可证，由线面垂直的判定定理可证结论. (2) 由异面直线与所成的角为30°，求出，再由体积公式计算三棱柱的体积. 【小问1详解】 平面ABC，平面ABC，有. AB=3，AC=4，BC=5，有，由勾股定理得. ，平面，∴平面 【小问2详解】 由，异面直线与所成的角即为，， 又平面ABC，平面ABC，∴，则，得， ，所以三棱柱的体积. 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且的面积. （1）求角A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积求得的值，再依据角A的范围即可求得角A的值； （2）先利用正弦定理和三角函数诱导公式将转化为关于角B三角函数式，再利用正弦函数的图像性质即可求得的取值范围. 【小问1详解】 ∵，∴. ∵，∴，又∵，∴. 【小问2详解】 ∵， ∴ . ∵，∴，∴， ∴，∴， 即的取值范围为. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接.证明是平面与平面所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求. 【小问1详解】 在等边中，因为为的中点，所以， 在正方形中，， 又因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为,平面， 所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接. 则，又正方形中，，所以, 在等边中，因为为的中点，所以. 因平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角. 设，则， 所以. 19. 法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知．以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，． （1）求； （2）若的面积为，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知等式利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出角； （2）连接，，则由等边三角形的性质可求得其长度，再利用的面积求出，在△中利用余弦定理可得，结合基本不等式可求出的最大值，从而可求出的面积的最大值． 【小问1详解】 在中，因为， 所以， 根据正弦定理可得， 即， 因为，， 可得，由，可得； 【小问2详解】 如图，连接，， 则， 正△面积， ，而，则， △中，由余弦定理得：， 即，则， 由基本不等式知，， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以， 所以的面积的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $