8.2.2非线性回归模型及回归分析课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦非线性回归模型及回归分析，涵盖核心概念、模型线性化、建模步骤、典例剖析与残差分析等内容。课堂通过散点图观察变量关系，衔接线性回归知识，搭建从线性到非线性的学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 其亮点在于以七步建模流程为主线，结合指数、对数等模型的线性化转化及典型案例（如细菌繁殖、研发费与销售量问题），培养学生用数学眼光观察数据规律、用数学思维推理建模过程、用数学语言表达回归方程的核心素养。学生能提升数据分析与建模能力，教师可依托系统流程与实例高效开展教学。

8.2.2非线性回归模型及回归分析 人教A版2019 · 选择性必修第三册 1.7.2013 同学们好，今天我们来学习第八章的第二节——非线性回归模型及回归分析。在之前的学习中，我们了解了线性回归，知道如何用一条直线去拟合数据。但在现实世界中，很多变量之间的关系并非直线，而是呈现出各种各样的曲线。那么，如何处理这些非线性关系呢？这就是我们这节课要解决的核心问题。 ‹#› 课程目录 01 核心概念 深入解析非线性回归模型、残差分析方法以及评估模型拟合效果的关键指标，夯实理论基础。 02 模型线性化 重点掌握指数、对数、幂函数及二次函数等常见非线性模型转化为线性模型的实用技巧。 03 建模步骤 梳理从数据收集、模型选择、参数求解到检验评估的非线性回归建模完整流程，建立全局视角。 04 典例剖析与易错警示 结合典型案例进行实战演练，剖析常见的建模误区，帮助大家规避错误，提升解题准确率。 1.7.2013 本节课我们将分为四个部分。首先，我们会回顾和深化一些核心概念，比如什么是非线性回归，如何评估模型的拟合效果。接着，我们将重点学习几种常见非线性模型的线性化技巧，这是解决问题的关键。然后，我们会梳理出一套完整的非线性回归建模步骤。最后，通过一个典型例题来巩固所学，并指出一些常见的易错点。 ‹#› 一、非线性回归模型 什么是非线性相关关系？ 当两个变量的散点图不呈现“直线带状分布”时，即呈现曲线或不规则形态时，二者存在非线性相关关系。此时，不能直接套用线性回归模型进行分析。 核心解题思路：换元线性化 通过引入新变量进行替换，将原本复杂的非线性关系转化为我们熟悉的线性回归模型，求解线性方程后，再回代变量，最终得到原变量的非线性回归方程。 常见非线性模型类型： • 指数函数模型 • 对数函数模型 • 幂函数模型 • 二次函数模型 线性相关散点图 样本点大致分布在一条直线附近，呈“直线带状”。可以直接用线性回归方程来拟合数据趋势。 非线性相关散点图 样本点呈现明显的曲线趋势，或无规则分布。需通过换元法将其转化为线性模型求解。这是本节课的重点分析对象。 1.7.2013 首先看什么是非线性回归模型。简单来说，当我们画出数据的散点图，如果这些点不是大致分布在一条直线附近，而是呈现出曲线形态，就像右下角卡片所描述的这样，我们就需要用非线性回归模型来描述它们的关系。处理这类问题的关键技巧，叫做“换元线性化”，就是通过引入新变量，把复杂的曲线问题，转化为我们熟悉的直线问题来解决。最后再把变量回代，得到最终的非线性回归方程。 ‹#› 二、非线性回归建模七步法 01画散点图 根据原始数据绘制散点图，初步判断变量关系的形态，区分线性与非线性。 02选模型类型 结合散点图的大致形状，选定匹配的非线性模型（如指数、对数、幂函数等）。 03换元线性化 通过引入新变量进行替换，将复杂的非线性模型转化为标准的线性回归模型。 04求线性回归方程 利用最小二乘法，对变换后的新变量数据进行拟合，求解出线性回归方程。 05 回代 将步骤3中建立的变量替换关系反向代入到线性方程中，还原得到关于原始变量的非线性回归方程。 06 残差分析 通过绘制残差图或计算决定系数(R²)，检验模型的拟合效果。若效果不理想，则返回步骤2重新选择模型。 07 预测与应用 利用经过检验并最终确定的非线性回归方程，对未知数据进行预测，或者对实际问题进行深入分析与决策。 1.7.2013 总结一下，非线性回归建模可以遵循这七个步骤：第一步，画散点图，观察趋势；第二步，根据趋势选择合适的模型；第三步，通过换元把它变成线性模型；第四步，用我们熟悉的最小二乘法求出线性方程；第五步，也是非常关键的一步，把变量换回来，得到最终的非线性方程；第六步，用残差分析来检验我们的模型好不好；最后，用这个模型去做预测。这七个步骤环环相扣，构成了完整的建模流程。 ‹#› 三、指数模型与对数模型 指数模型： 📌 核心特征：增长或衰减的速率随变量变化呈加速趋势，即“越变越快”。 ⚙️ 线性化变换步骤： 1. 对等式两边同时取自然对数： 2. 引入新变量替换：令， 3. 转化为标准线性模型：(此时 与线性相关) 对数模型： 📌 核心特征：初期变化较快，随着变量增大，变化速率逐渐放缓并趋于稳定。 ⚙️ 线性化变换步骤： 1. 引入新变量进行直接替换：令 2. 转化为标准线性模型：(此时 与线性相关) 💡 提示：该模型常用于描述具有“饱和效应”的增长过程。 1.7.2013 首先看指数模型和对数模型。对于指数模型y等于a倍的e的bx次方，我们通过两边取自然对数，再令z等于lny，就把它变成了z关于x的线性方程。而对于对数模型y等于a加b倍的lnx，我们只需要令t等于lnx，就直接得到了y关于t的线性方程。这两种换元方法非常经典，请大家务必掌握。 ‹#› 典型例题讲解 例1：为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下： （1）判断y＝a＋bx与y＝c1 哪一个作为繁殖的个数y关于 时间x变化的回归方程类型最佳；（给出判断即可，不必说明理由） 天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 选择y＝c1 1.7.2013 我们来看这个植物生长的例子。给出的数据显示，植物高度y随着时间x的增加而快速增长。我们首先判断它符合指数增长模型。然后，我们对y取自然对数得到z，再求z关于x的线性回归方程。得到线性方程后，我们把z换回lny，最终得到了y关于x的非线性回归方程。最后通过计算R²，发现它非常接近1，证明我们的模型是正确的。 ‹#› 典型例题讲解 （2）根据（1）中判断的最佳回归方程及表中的数据，建立y关于x的回归方程； 其中:,参考公式： ＝ ， ＝ － （xi－ ）2 （xi－ ）·（yi－ ） （xi－ ）·（zi－ ） 3.5 62.83 3.53 17.5 596.505 12.04 ＝ ＝0.688，则 ＝ － ＝1.122 因此 ＝0.688x＋1.122，从而 ＝e0.688x＋1.122. 1.7.2013 我们来看这个植物生长的例子。给出的数据显示，植物高度y随着时间x的增加而快速增长。我们首先判断它符合指数增长模型。然后，我们对y取自然对数得到z，再求z关于x的线性回归方程。得到线性方程后，我们把z换回lny，最终得到了y关于x的非线性回归方程。最后通过计算R²，发现它非常接近1，证明我们的模型是正确的。 ‹#› 典型例题讲解 （3）试估计第7天细菌繁殖的个数.（参考数据e5.938≈379） (3)∵ ＝e0.688x＋1.122，∴当x＝7时， ≈379， 故第7天细菌繁殖的个数约为379. 1.7.2013 我们来看这个植物生长的例子。给出的数据显示，植物高度y随着时间x的增加而快速增长。我们首先判断它符合指数增长模型。然后，我们对y取自然对数得到z，再求z关于x的线性回归方程。得到线性方程后，我们把z换回lny，最终得到了y关于x的非线性回归方程。最后通过计算R²，发现它非常接近1，证明我们的模型是正确的。 ‹#› 三、指数模型与对数模型 指数模型： 📌 核心特征：增长或衰减的速率随变量变化呈加速趋势，即“越变越快”。 ⚙️ 线性化变换步骤： 1. 对等式两边同时取自然对数： 2. 引入新变量替换：令， 3. 转化为标准线性模型：(此时 与线性相关) 对数模型： 📌 核心特征：初期变化较快，随着变量增大，变化速率逐渐放缓并趋于稳定。 ⚙️ 线性化变换步骤： 1. 引入新变量进行直接替换：令 2. 转化为标准线性模型：(此时 与线性相关) 💡 提示：该模型常用于描述具有“饱和效应”的增长过程。 1.7.2013 首先看指数模型和对数模型。对于指数模型y等于a倍的e的bx次方，我们通过两边取自然对数，再令z等于lny，就把它变成了z关于x的线性方程。而对于对数模型y等于a加b倍的lnx，我们只需要令t等于lnx，就直接得到了y关于t的线性方程。这两种换元方法非常经典，请大家务必掌握。 ‹#› 典型例题讲解 例2：某公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费 对年销售量（单位：百件）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量数据做了初步处理，得到下面的散点图以及一些统计量的值.表中. 1.7.2013 我们来看这个植物生长的例子。给出的数据显示，植物高度y随着时间x的增加而快速增长。我们首先判断它符合指数增长模型。然后，我们对y取自然对数得到z，再求z关于x的线性回归方程。得到线性方程后，我们把z换回lny，最终得到了y关于x的非线性回归方程。最后通过计算R²，发现它非常接近1，证明我们的模型是正确的。 ‹#› 典型例题讲解 (1)根据散点图判断哪一个更适合作为年销售量关于年研发费的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 解：令 ＝ 所以，故的回归方程为 1.7.2013 我们来看这个植物生长的例子。给出的数据显示，植物高度y随着时间x的增加而快速增长。我们首先判断它符合指数增长模型。然后，我们对y取自然对数得到z，再求z关于x的线性回归方程。得到线性方程后，我们把z换回lny，最终得到了y关于x的非线性回归方程。最后通过计算R²，发现它非常接近1，证明我们的模型是正确的。 ‹#› 幂函数模型与二次模型 3. 幂函数模型： ▌ 模型特征 非线性关系，曲线的具体形态完全取决于指数的取值，适用范围广泛。 ▌ 线性化求解步骤 1. 等式两边取自然对数： 2. 变量替换：令, 3. 转化为标准线性模型：+ 4. 二次模型： ▌ 模型特征 呈现抛物线形状，适用于描述随自变量变化先增后减或先减后增的趋势。 ▌ 线性化求解步骤 1. 变量替换：令新变量 2. 转化为多元线性回归模型： 1.7.2013 接下来是幂函数模型和二次模型。幂函数模型y等于a乘以x的b次方，处理方法和指数模型类似，也是两边取对数，然后通过换元z=lny和t=lnx，转化为线性模型。而二次模型y等于ax²+bx+c，处理起来更简单，我们只需令t等于x的平方，就把它变成了一个关于t和x的二元线性回归模型。 ‹#› 典型例题讲解 例3:“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 （1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） 1.7.2013 我们来看这个植物生长的例子。给出的数据显示，植物高度y随着时间x的增加而快速增长。我们首先判断它符合指数增长模型。然后，我们对y取自然对数得到z，再求z关于x的线性回归方程。得到线性方程后，我们把z换回lny，最终得到了y关于x的非线性回归方程。最后通过计算R²，发现它非常接近1，证明我们的模型是正确的。 ‹#› 典型例题讲解 （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测 2026年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1） 参考数据： ＝22.72， （wi－ ）2＝374， （wi－ ）（yi－ ） ＝851.2（其中wi＝ ）. 1.7.2013 我们来看这个植物生长的例子。给出的数据显示，植物高度y随着时间x的增加而快速增长。我们首先判断它符合指数增长模型。然后，我们对y取自然对数得到z，再求z关于x的线性回归方程。得到线性方程后，我们把z换回lny，最终得到了y关于x的非线性回归方程。最后通过计算R²，发现它非常接近1，证明我们的模型是正确的。 ‹#› 典型例题讲解 解：令w＝x2，则 ＝ w＋ . 易知 ＝11， ＝ ＝≈2.28， ＝ － ≈22.72－2.28×11＝－2.36，所以 ＝2.28w－2.36， 所以y关于x的回归方程为 ＝2.28x2－2.36. 令x＝6，得 ＝79.72≈79.7. 1.7.2013 我们来看这个植物生长的例子。给出的数据显示，植物高度y随着时间x的增加而快速增长。我们首先判断它符合指数增长模型。然后，我们对y取自然对数得到z，再求z关于x的线性回归方程。得到线性方程后，我们把z换回lny，最终得到了y关于x的非线性回归方程。最后通过计算R²，发现它非常接近1，证明我们的模型是正确的。 ‹#› 四、 残差与残差分析 残差定义 定义：观测值与预测值之间的差。 公式： 其中：是第个观测值， 是通过回归模型得到的预测值。 残差图 一种用于展示残差分布规律的散点图。 ● 横坐标 (轴)：样本编号或解释变量 ● 纵坐标 (轴)：残差值 拟合效果判断 判断模型是否合适的核心依据： 随机分布：残差点均匀落在水平带状区域内，且无明显趋势。 精度指标：带状区域越窄，说明模型拟合精度越高。 1.7.2013 我们如何判断一个模型好不好呢？这里要介绍一个重要工具——残差分析。残差就是每个数据点的真实值和我们模型预测值之间的差距。我们把这些残差画在图上，就得到了残差图。如果残差图看起来像这样，所有的点都随机地、均匀地分布在中间这条零线的上下，没有明显的规律，那就说明我们的模型选对了。这个带子越窄，说明我们的预测越准。 ‹#› 五、 拟合效果的量化指标 除了通过散点图和拟合直线进行直观判断，我们还可以利用以下数值指标来精确衡量模型的拟合优度。 残差平方和 含义：回归模型预测值与真实值之间所有残差的平方之和，反映了数据的波动中未被模型解释的部分。 判断标准：的数值越小，说明拟合效果越好。 决定系数 () 判断标准：越大，模型拟合效果越好；越小，模型拟合效果越差。 概念辨析：不要将决定系数 R²与相关系数 r混淆。前者衡量的是回归模型对数据的整体拟合优度，即解释力的大小；后者衡量的是两个变量之间的线性相关程度。二者在数值上有联系，但在统计学含义上完全不同。 1.7.2013 除了看图，我们还可以用数字说话。这里有两个关键指标。第一个是残差平方和，顾名思义，就是把所有残差的平方加起来，这个值当然是越小越好。第二个是决定系数R²，它的计算公式看起来复杂，但我们只需要记住它的意义：R²越接近1，说明我们的模型对数据的解释能力越强，拟合效果也就越好。大家要注意区分R²和我们之前学的相关系数r，它们的含义是不同的。 ‹#› 小结 1.非线性回归模型 2.残差 3.决定系数 1.7.2013 好的，同学们，关于非线性回归模型的内容我们就学习到这里。希望通过今天的学习，大家能够掌握非线性回归的核心思想和方法，并能运用它解决实际问题。课后请大家完成相关练习，巩固所学。谢谢大家！ ‹#› $