8.2 一元线性回归模型及其应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

8.2一元线性回归模型及其应用 8.2.1一元线性回归模型+8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 白题 基础过关 限时：40min 题组1线性回归分析 A.y与x具有负的线性相关关系 1.如图所示的四个散点图中，适合用线性回归模 B.m=6.25 型拟合其中两个变量的是 C.点(2,25)落在经验回归直线下方 D.x=15时，y的值为-9 5.（2024·黑龙江绥化高二期中)某研究机构对 高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分 析，获得的数据如下表， A.①②B.①③ C.②③ D.③④ 2.(2024·湖北十堰高二期末)已知一系列样本 5 8 10 12 点(x,y:)(i=1,2,3…)的一个经验回归方 2 3 6 程为y=9x+a.若x=10,y=22,则a=( 请根据上表提供的数据，求出y关于x的经验 A.67 B.68 C.-67D.-68 回归方程为 据此可预测判断 3.为研究学生的语文成绩和英语成绩之间是否 力为4的同学的记忆力为 具有线性相关关系，统计某班两科成绩得到 (经验回归方程是y=x+a,其中b= 如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相 含n 同)，用经验回归直线y=x+a近似地刻画其 ,a=y-Bx) Exi-nx 相关关系，根据散点图，下列结论最有可能成 i= 题组2 回归效果的刻画方式 立的是 ( 6.（多选)(2024·浙江绍兴高二期中)下列关于 A.线性相关关系较强，b的 y(英语成绩) 回归分析的说法中正确的是 ( ) 值为1.25 A.经验回归直线一定过样本中心(x,y) B.线性相关关系较强，b的 2 B.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的 值为0.83 0 x(语文成绩) 效果越好 C.线性相关关系较强，b的值为-0.87 C.若甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和 D.线性相关关系太弱，无研究价值 0.80,则模型乙的拟合效果更好 4.(多选)(2024·福建漳州高二期末)已知在某 D.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带 次试验中获得数据如下， 状区域中，说明选用的模型比较合适 2 10 7.（2024·安徽毫州高二期末)某市旅游局对全 2 3 4 市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同 25 19 1512 4 数额的经费x(单位：千万元)，得到各旅游景 y与x线性相关，且经验回归方程为y= 区收益的增加值y(单位：万元)，对应数据如 -2.4x+27,则下列正确的是 下表所示 第八章黑白题55 重难聚焦 2 题组3 3 非线性回归分析 11.(2024·江西新余高二月考)某人新房刚装 若x与y的经验回归方程为y=1.214x+a,则 修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每 相应于点(7,9)的残差是 天在固定的时间测一次甲醛浓度（单 A.-0.358 B.0.358 位：mgm3),连续测量了10天，所得数据绘 C.-8.642 D.8.642 制成散点图如下 8.(2024·福建泉州高二期中)为研究某地区一 甲醛浓度y/mg/m) 6 段时间内的复工率，用模型(1)和模型(2)模 拟复工率y(%)与复工时间x(x的取值为5， 10,15,20,25,30,单位：天)的回归关系.设两 0012345678910天数： 模型的决定系数依次为R和，若两模型的 用y:表示第i(i=1,2,…,10)天测得的甲醛 残差图分别如下，则 ( 浓度，令=n,经计算得号=128， 模型()的残差图 模型(2)的残差图 h 残3 残， 艺0=385,2a=60 % (1)由散点图可知，y与i可用指数型回归 -6 51015202530 51015202530 模型进行拟合，请利用所给条件求出经 A.Ri<R2 验回归方程.（系数精确到0.01） B.R=R (2)已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全 C.R> 范围是低于0.08mg/m3,则根据(1)中 所得经验回归方程，该新房装修完第几 D.R,R关系不能确定 天开始达到此标准？（参考数据： 9.已知一系列样本点(x,)(i=1,2,3,…,9)满 ln0.08≈-2.53) 足了=5，含2=265，由最小二乘法得到y与x 附：6盈307列 xy:-n元可 i=1 (1,2,3,…,9)的经验回归方程.现用决定系数 含（黑刘 R来判断拟合效果(R2越接近1，拟合效果越 a=y-Bx. 好)，若()2=1.60，则R2= 参考公式：决定系数R=1 含 含（x- 10.已知一系列样本点(x,y)(i=1,2,3,…,n) 的经验回归方程为y=x+a.若样本点(1,1) 与(2,4)的残差相同，则= 选择性必修第三册·RJ黑白题56四方法总结 相关系数和相关程度： ①当>0时，表明两个变量正相关：当r<0时，表明两个变量负相关； ②1rl≤1，且Ir越接近1，两个变量的线性相关程度越强：lr|越接近 0,两个变量的线性相关程度越弱，几乎不存在线性相关关系； ③如果Irl>0.75,那么两个变量有很强的线性相关关系，这时求线性 回归方程有必要也有意义，否则，在11≤0.75时，求到的回归直线就 没有多大意义. 4.C解析：由散点图可知第1幅题图表示的是正相关，故r1>0;第2,3 幅题图表示的是负相关，且第2幅题图中的点比第3幅题图中的点 分布更为集中，故r2,r3<0,且1r21>|r3I,故2<r3<0,综合可得T2< r3<1,即r1>3>r2故选C. 5.0.99解析：由题意，知云=1+2+3+45+6+7：40，万 7 290+3:.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90=4.30,2(x-)2=(1-4)2+ (2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28. 14.00 所以r= 28x7.08198.24i4100.9,所以y与x的相关系数 14.0014.00 近似为0.99.故答案为0.99 8.2一元线性回归模型及其应用 8.2.1一元线性回归模型+ 8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计 白题基础过关 1,B解析：由题图易知，①③两个散点图中的样本点都在一条直线附 近，因此适合用线性回归模型拟合故选B. 2.D解析：由题意得22=9×10+a,得a=-68.故选D. 3.B解析：题图中，变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集 故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直 线斜率小于1.故选B. 4.AD解析：少=-24x+27,6=-24<0,放A正确元=m+19, 15,经验回归方程经过样本中心点（玉，），.27-2.4×m+19 5 =15,m= 6,故B错误；把x=2代人经验回归方程得y=27-2.4×2=22.2<25 点(2,25)落在经验回归直线上方，故C错误；当x=15时，y=27 2.4×15=-9,故D正确.故选AD. 5.y=0.7x-2.39解析：设y关于x的经验回归方程为y=x+a,且经 验回归直线过样本中心点（玉，），由题表数据得玉=6+8+10+1-=9， 4 万-2+3+5+6-4，交x=6x2+8x3+10x5+12x6=158,号=62+82+ 4 4 A 102+122=344,故根据最小二乘原理知)= 含-4 158-4×9x4=0.7,所以a=-6x=4-07×9=-2.3,即经验回归方程为 344-4×92 y=0.7x-2.3.将y=4代入方程，得x=9,即可预测判断力为4的同学 的记忆力为9.故答案为y=0.7x-2.3:9. 6.ABD解析：经验回归直线一定过样本中心(x,),A正确；两个模型 中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，B正确：甲、乙两个模型 的R2分别约为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好，C错误；残差 图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比 较合适，D正确.故选ABD. 7.B解析：=1+2+3+4+5+6+7 4,万=2+3+2+5+7+7+9=5，所以à 7 7 y-bx=5-1.214×4=0.144,y=1.214x+0.144.当x=7时，y=1.214×7+ 0.144=8.642,因此残差为9-8.642=0.358.故选B. 8.A解析：根据残差图，模型(2)残差点比较均匀地落在水平的带状 区域中，带状区域宽度窄，拟合精度较高，所以R<贬，故选A. 参考答案 )2 是()2 9.0.96 解析：因为2=1- =1- =1- 含8-9明 265-9x3=0.96.散答案为0.96. 1.60 10.3解析：由残差的定义可得1-(3+a)=4-(2b+a),化简得3=3.故 答案为3 重难聚焦 1熊，0令k因为品2总=5,2=18 10台 所以名= 2-102 60-10x5.5×1.28=-0.13,a=z-6i=1.28+ 385-10×5.52 1 0.13×5.5≈2.00 因此=2-0.13i,即y=e2-013,所以所求经验回归方程为y=e2-0.135 (2)由(1)知，产=e20<008,即2-Q13ha08≈-253，解得>2*253 0.13 因为i取整数，所以i=35,即在新房装修完第35天开始达到此标准 四方法总结 解决非线性回归分析问题的一般方法和步骤： (1)确定变量：确定解释变量为x,响应变量为y; (2)画散点图：通过观察散点图并与已学过的函数（幂函数、指数函 数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算决定系数或相关系数等来判断拟合效果； (5)写出非线性回归方程， 8.1~8.2阶段综合 黑题阶段强化 1.C解析：影响的是经验回归直线的斜率，r影响的是两个变量之间 的相关性，所以？与之间数值大小没有关系，但符号有影响，故 选项AB错误；若r大于零，则说明两个变量之间呈现正相关，故？一 定大于零，故选项C正确，D错误故选C 2.ACD解析：对于A:对于经验回归方程y=-2x+2,变量x每增加1个 单位，则y平均减少2个单位，故A正确； 对于B:Ir越接近于1，则x,y之间的线性相关程度越强，Ir越接近 于0，则x,y之间的线性相关程度越弱，故B错误； 对于C:在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越 小，即模型的拟合精度越高，拟合效果越好，故C正确； 对于D:若增加的样本点恰好为原经验回归直线的样本中心点时，则 增加该样本点后，经验回归方程不会发生改变，故D正确.故选ACD. 1 3.B解析：由题意得元=5×(2+4+5+6+8)=5，了=5×(30+40+50+ 60+70)=50,∴.样本中心为(5,50).：经验回归直线y=7x+ā过样本 中心(5,50)，.50=7×5+a,解得a=15,.经验回归方程为y=7x+ 15.当x=10时，y=7×10+15=85,故当投入10万元广告费时，销售额 的预测值为85万元.故选B. 4.B解析：因为所有样本点都在直线y=-2x+1上，所以经验回归方程是 y=-2x+1,可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为 负值，且所有样本点都在直线上，则有1rl=1,∴.相关系数r=-1故选B. 5.AC解析：因为共8个点且离群点B的横坐标较小而纵坐标相对过 大，去掉离群点后经验回归方程的斜率更大，而截距变小，所以C正 确，D错误；去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且是正相 关，所以T1<T2,R<R3,故B错误，A正确.故选AC. 6.C解析：根据题图可知，散点大致分布在一条“对数型”函数曲线的 周围，而A选项是“抛物线型”的拟合函数，且是增加的：B选项是 “直线型”的拟合函数，且是增加的；D选项是“幂函数型”的拟合函 数，且是增加的，只有C选项的拟合函数符合题意故选C. 7.4.5解析：因为在样本(4,3)处的残差为-0.15，即y-y=3-(0.7×4+ a)=-0.15,所以a=0.35,所以经验回归方程为y=0.7x+0.35. 黑白题27