精品解析：2026年浙江宁波市初中学业水平考试数学试题（浙真组合.钱塘甬真卷1号作品·明州）

浙江省2026年初中学业水平考试 浙真组合·钱塘甬真卷1号作品·明州数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年9月3日在北京隆重举行中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念活动，全球超34亿人次收看，数据34亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 球 4. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 8. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，为线段上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转交轴于点，若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题，共1） 11. 分解因式：______． 12. 一个不透明的袋子里有四张大小、形状相同的卡片，分别写着数字3，4，5，6，从中任取一张，数字为奇数的概率是________． 13. 已知，，则a，b的比例中项为_______． 14. 如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点，设，则的长是________． 15. 已知点，，且，反比例函数的图象与线段相交于点（不与点，重合），当时，的取值范围是________． 16. 如图，为等边三角形的外心，点以的速度从点出发沿方向运动，连结并延长交于点，点关于的对称点为点，连结，．设点运动的时间为，已知，当时，则点运动的路径长为_________cm． 三、解答题（本大题共8小题，共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 20. 如图，由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成下列问题． （1）在图1中，将绕点顺时针旋转得，画出旋转后的； （2）在图2中作的平分线，交于点． 21. 校田径队教练选出甲、乙两名运动员参加100米比赛．对这两名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：）的数据进行收集、整理和分析，下面给出了部分信息． 【数据收集】乙运动员10次测试成绩： 【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中甲运动员10次测试成绩绘成条形统计图，如图所示． 【数据分析】甲、乙运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差如下表： 甲、乙运动员测试成绩统计表 运动员 平均数 中位数 方差 甲 a 乙 b c 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补齐甲运动员成绩条形统计图； （2）表中________，________，________； （3）学校从甲、乙两人中挑选一名运动员参加比赛，通过以上数据分析，你认为挑选哪名运动员更合适． 22. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（单位：分） 1 2 3 4 5 … 总水量（单位：毫升） 6 11 16 21 26 … （1）通过分析数据，发现可以用函数（，为常数，）刻画总水量与时间之间的关系，画出这个函数的图象，并求函数解析式． （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①求小明在第20分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用1200毫升水，请计算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 23. 已知关于的二次函数（，为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为直线． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数的图象向下平移7个单位得到新函数的图象，当时，求的取值范围． （2）若，当时，二次函数的最小值为21，求的值． 24. 如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点． （1）求证：． （2）已知，，且． ①求证：； ②当时，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省2026年初中学业水平考试 浙真组合·钱塘甬真卷1号作品·明州数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 2025年9月3日在北京隆重举行中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念活动，全球超34亿人次收看，数据34亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将34亿转化为数的形式，再按照科学记数法规则改写，科学记数法形式为，要求，为整数． 【详解】解：34亿． 3. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 球 【答案】A 【解析】 【分析】由主视图和左视图都是长方形确定为柱体，再结合俯视图为圆即可得出答案． 【详解】解：由主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱． 4. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数 ∴本题中被开方数满足 移项得 两边同时除以得． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵，∴原运算错误； B、∵，∴原运算错误； C、∵，∴原运算错误； D、∵，∴原运算正确． 6. 将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示如下： 故选：B． 7. 如图，为的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，，下列结论正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由垂径定理推出，由圆周角定理推出，，得到，即可证明． 【详解】解：如图，连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即选项D正确； 若平分，则，由已知条件无法证明，故选项A错误； 根据垂径定理可得，不能证明，故选项B错误； 由已知条件无法证明，故选项C错误； 8. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用；根据宽比长少12步，设阔为步，则长为步，利用矩形面积公式列方程. 【详解】解：由题意可得，长为步， ∴， 故选：A． 9. 如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作于G，过点F作于H，由正方形的性质得到；由线段中点的定义得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可证明，解得到，由三线合一定理得到，则；解得到，，则，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴； ∵为的中点， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∵，， ∴， ∴； 在中，， ， ∴， ∴． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，为线段上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转交轴于点，若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入求出，进而求出，得出是等腰直角三角形，，，，，证明是等腰直角三角形，得出，，利用旋转的性质及外角性质得出，根据得出，即可求出，根据点在轴负半轴可得点坐标． 【详解】解：如图，过点作于， ∵直线分别交轴，轴于，两点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题，共1） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式b即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，理解提取公因式法是解答关键． 12. 一个不透明的袋子里有四张大小、形状相同的卡片，分别写着数字3，4，5，6，从中任取一张，数字为奇数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵共有4张卡片，其中数字为奇数的有3和5，共2张， ∴从中任取一张，数字为奇数的概率是． 13. 已知，，则a，b的比例中项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的定义列式求值即可． 【详解】解：设a、b的比例中项为x， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴a，b的比例中项为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例线段．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b＝b：c，即b2＝ac，那么b叫做a与c的比例中项． 14. 如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点，设，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由作图可知，是等边三角形，根据含角的直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 由作图可知， 是等边三角形， ， ， ， ， ， . 15. 已知点，，且，反比例函数的图象与线段相交于点（不与点，重合），当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点，坐标特征确定线段为竖直线段，得到点的坐标表达式，再结合不与端点重合得到的初步范围，最后根据列不等式求解得到最终取值范围． 【详解】点，， 线段平行于轴，所有点横坐标为， 点是反比例函数与线段的交点， 将代入，得， 不与点，重合，， ， 解得， 由距离定义得：，. ， ， 解得， 综上，的取值范围是． 16. 如图，为等边三角形的外心，点以的速度从点出发沿方向运动，连结并延长交于点，点关于的对称点为点，连结，．设点运动的时间为，已知，当时，则点运动的路径长为_________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质、三角形外接圆的性质可知，利用勾股定理求出，根据翻折的性质可知，由点 的运动轨迹可知点运动的轨迹是，根据弧长公式即可求出点的运动轨迹长度． 【详解】解：如下图所示，连接、，过点作， 点为等边三角形的外心， ，，， ， ，是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ， 由翻折可知， 当时，点在点的位置，点与点重合， 当时，点在的中点处，点与点重合， 点运动的轨迹是， 点为等边三角形的外心， ， 的长度为， 点的运动轨迹长度为． 三、解答题（本大题共8小题，共7．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由解得， 把代入得， 所以方程组的解为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 【答案】（1）证明：， ． 四边形为矩形， ， ． ， （2） 【解析】 【分析】（1）找直角相等，根据平行线找角相等，根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）由勾股定理计算的长，再根据相似三角形对应边成比例计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在矩形中，， 在中，， 由（1）得，， ∴，即， 解得：． 20. 如图，由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成下列问题． （1）在图1中，将绕点顺时针旋转得，画出旋转后的； （2）在图2中作的平分线，交于点． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据旋转作图即可解答； （2）找到格点E，使得连接与的交点即为点D． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：理由如下：连接，如图 ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 即是的平分线； 21. 校田径队教练选出甲、乙两名运动员参加100米比赛．对这两名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：）的数据进行收集、整理和分析，下面给出了部分信息． 【数据收集】乙运动员10次测试成绩： 【数据整理】为了便于分析数据，统计员对数据进行了整理，其中甲运动员10次测试成绩绘成条形统计图，如图所示． 【数据分析】甲、乙运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差如下表： 甲、乙运动员测试成绩统计表 运动员 平均数 中位数 方差 甲 a 乙 b c 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补齐甲运动员成绩条形统计图； （2）表中________，________，________； （3）学校从甲、乙两人中挑选一名运动员参加比赛，通过以上数据分析，你认为挑选哪名运动员更合适． 【答案】（1） ； （2），， （3）选择乙运动员参加比赛 【解析】 【分析】（1）求出第6次的成绩，据此补齐条形统计图即可； （2）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （3）根据平均数，中位数，方差进行分析求解即可． 【小问1详解】 解：甲运动员的10次测试成绩的平均数是，总成绩为， ∴第6次的成绩为， 据此补齐条形统计图略 【小问2详解】 解：将甲运动员的10次成绩从小到大排列为：， 中位数是第5和第6个数据的平均数，即， 乙运动员的平均数， 乙运动员成绩的方差 ； 【小问3详解】 解：选择乙运动员更合适，理由如下： 从平均数看，乙的平均数大于甲的平均数，说明乙的整体成绩较慢； 从中位数看，乙的中位数大于甲的中位数，说明乙的中间水平成绩较慢； 从方差看，乙的方差小于甲的方差说明乙的成绩更稳定． 综合来看，乙运动员的成绩更稳定，所以选择乙运动员参加比赛． 22. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（单位：分） 1 2 3 4 5 … 总水量（单位：毫升） 6 11 16 21 26 … （1）通过分析数据，发现可以用函数（，为常数，）刻画总水量与时间之间的关系，画出这个函数的图象，并求函数解析式． （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①求小明在第20分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用1200毫升水，请计算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 【答案】（1） y与x的函数解析式为； （2）①101毫升；②180天 【解析】 【分析】（1）将表格数据在坐标系中描点、连线，即可求解． （2）①将代入函数，即可解答； ②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答． 【小问1详解】 函数图象略； 将分别代入，得 ， 解得， ∴y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①当时，（毫升）， 答：小明在第20分钟测量时量筒中的总水量是101毫升． ②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升， 30天分钟分钟， 可供一人饮用天数天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用180天． 23. 已知关于的二次函数（，为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为直线． ①求该二次函数的表达式； ②将二次函数的图象向下平移7个单位得到新函数的图象，当时，求的取值范围． （2）若，当时，二次函数的最小值为21，求的值． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①由待定系数法求解即可；②根据抛物线与不等式的关系求解； （2）当时，，对称轴为直线，然后分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； ②， 则向下平移7个单位得到新函数，即， 令，则，解得或， ∵抛物线开口向上， ∴当时，； 【小问2详解】 解：当时，，对称轴为直线， ①当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ②当，即时， 将，代入解析式得，， 解得． ， ． ③当时，将，代入解析式得， ， 解得． ， 此时的值不合题意，舍去． 综上所述，或． 24. 如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点． （1）求证：． （2）已知，，且． ①求证：； ②当时，求的周长． 【答案】（1）证明：是的外角， ， 又四边形内接于， （同弧所对的圆周角相等）， ． （2）①证明：由题知是的外角， ， ． 四边形内接于， （同弧所对的圆周角相等） （同弧所对的圆周角相等）， ， ， ． ， ． ② 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质得，因同圆中同弧所对的圆周角相等，得，即可得出结论． （2）①根据三角形外角的性质得，同弧所对的圆周角相等得，得出，根据三角形相似的判定定理：，根据三角形相似的性质：，得出结论． ②作辅助线如下图，根据三角形外角的性质和同弧所对的圆周角相等得出，由题意，，求出，，由已知，得出，，，又根据，得，根据平行线的判定定理：，又得，即，进而得出结论． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 ① 证明： 略 ②解：如图，过点作交于点，过点作交于点． 是的外角， ， （同弧所对的圆周角相等）， ． 由题知，， 设：，则， 根据勾股定理得：， 即： 解得 ，． 设，则． 由（2）①知：，即． 在中，，即，解得，（舍去）， ，，， 又，设， ，， 根据勾股定理: 解得 ． ， 弧弧， ， ， ， ． ． 弧=弧， 弧=弧， （在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等）， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $