精品解析：2026年浙江省绍兴市新昌县初中毕业生学业水平调测数学

2026年初中毕业生学业水平调测 数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（ ） A. “常压下水的沸点是”中的100 B. “氧气在空气中的占比约为”中的 C. “月球公转周期27天”中的27 D. “圆周率π”中的π 2. 下列常见汽车标志中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 2025年上半年，全省一般公共预算支出亿元．亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线c与a，b分别交于点A，B，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数的图象上有点，，且，则值可能为（ ） A. B. C. D. 7. 一根弹簧在不受力时，长度为，在弹性限度内，弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）满足一次函数关系（）．已知当物体的质量每增加时，弹簧的长度就相应增加，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和都是等边三角形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 为选拔兴趣小组成员，现将筛选出名同学的成绩整理如下：．后因实际需求新增一位同学，其成绩数据也被纳入到原来小组的成绩数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 10. 如图，在矩形中，，．点E为的中点，点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G，连接，则点F从点A运动到点B的过程中，的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 12. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 13. 如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和矩形位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在轴上，且点B的坐标为．若E为的中点，则点F的坐标为______． 15. 某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了约______．（结果精确到，） 16. 如图，在中，，，过点作，垂足为点，交于点．若点为射线上一点（不与点重合），连接，点为的中点，连接，且，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 某中学在九年级组织了一次知识竞赛活动，成绩分为四个等第：A．一般，B．合格C．良好，D．优秀．为了解本次活动的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）老师随机抽取了 名学生的成绩，这部分学生中B等第的人数为 ． （2）求出m的值． （3）已知等第为D的优秀同学可以在本次竞赛中获奖，请估算九年级500名参赛学生中的获奖人数． 20. 如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，适当长为半径作圆弧，两弧交于点G，连结并延长交于点E．已知，F为上一点，满足，连结． （1）求的长． （2）求证：四边形是平行四边形． 21. 春节期间，超大规模的无人机灯光秀点亮康乐广场上空，为广大市民奉上了一场视觉盛宴．其中甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度h（米）与无人机飞行的时间t（秒）之间的函数关系如图所示．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升，甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动作后，再继续按原速飞行上升．两架无人机同时上升至距离地面100米处，并进行联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面． 请结合图象解答下列问题： （1）求两架无人机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度． （2）求甲无人机第一次表演的时长． 22. 根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形拼成一个大正方形． （1）求解方程的正根，可令，，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形，大正方形的面积各是多少？ ②利用大正方形的边长，请你求出方程的正根． （2）小明用此方法求关于的方程（t为常数，且）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点．点为抛物线上第一象限内的动点，设点的横坐标为． （1）求的值． （2）当时，记二次函数的最大值、最小值分别为，．若，求的值． （3）过点分别作轴和对称轴的垂线，垂足分别为点，，当矩形的周长最大时，求点的坐标． 24. 如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知． （1）若，求线段的长． （2）求证：． （3）设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业生学业水平调测 数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 科学生活中常会遇到各类常数，下列实数中，属于无理数的是（ ） A. “常压下水的沸点是”中的100 B. “氧气在空气中的占比约为”中的 C. “月球公转周期27天”中的27 D. “圆周率π”中的π 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A的是整数，属于有理数； 选项B的是分数，属于有理数； 选项C的是整数，属于有理数； 选项D的是无限不循环小数，是无理数． 2. 下列常见汽车标志中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴，逐一判断各选项即可. 【详解】解：选项不是轴对称图形，无法由一条直线折叠后完全重合，选项不符合题意； 选项是轴对称图形，可以由中间一条直线折叠后完全重合，选项符合题意． 3. 2025年上半年，全省一般公共预算支出亿元．亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：亿． 4. 如图，直线，直线c与a，b分别交于点A，B，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴． 5. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设有辆车，人数为，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有辆车，人数为人，依题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6. 已知反比例函数的图象上有点，，且，则值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将两点坐标代入反比例函数解析式，得到关于的表达式，再根据的条件求出的取值范围，最后结合选项判断即可. 【详解】解：∵ 点，都在反比例函数的图象上， ∴ 将坐标代入解析式得：，， ∵ ， ∴ ， 即 ， 故选：A. 7. 一根弹簧在不受力时，长度为，在弹性限度内，弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）满足一次函数关系（）．已知当物体的质量每增加时，弹簧的长度就相应增加，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数中自变量和因变量的变化关系，求解一次函数的比例系数，代入解析式化简即可得到结果. 【详解】解：设所挂物体质量为时，弹簧长度为，代入解析式得， ∵物体质量每增加，弹簧长度相应增加， ∴此时质量为，长度为，代入解析式得， 把代入上式，得， 解得 . 8. 如图，和都是等边三角形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，得出对应角相等，然后利用三角形的内角和定理求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 9. 为选拔兴趣小组成员，现将筛选出名同学的成绩整理如下：．后因实际需求新增一位同学，其成绩数据也被纳入到原来小组的成绩数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计量的概念，分别分析新增一个数据后各统计量的变化，即可得到结论. 【详解】解：原数据从小到大排序为，共个数据. 分析中位数： ∵原数据共个，中位数是第个和第个数据的平均数， ∴原中位数为. 新增个数据后，总数据变为个，中位数是排序后的第个数据. 若新增数据小于，排序后第个数据为；若新增数据大于等于，排序后第个数据仍为， 因此中位数一定不变； 分析其他选项：A新增数据不确定，若新增数据不等于原平均数，平均数会发生改变，因此平均数不一定不变； B原众数为，若新增一个，此时和都出现次，因此众数不一定不变； C方差是描述数据波动大小的量，新增数据后，原数据的平均数和离散程度通常会发生改变，所以方差不一定保持不变，不符合要求； 故答案选：D. 10. 如图，在矩形中，，．点E为的中点，点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G，连接，则点F从点A运动到点B的过程中，的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定点G的运动轨迹，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点F为边上的动点，连接，作点A关于的对称点G， 则由对称的性质可知，， ∴点G的运动轨迹是以点E为圆心，为半径的一段弧，如图， 当点F与点A重合时，有最大值为， 则由勾股定理， ∴的最大值为10， 当点E，点G，点C三点共线时，有最小值， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值与最小值之和为． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 在一个不透明袋子中，装有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，根据概率的求法求解，找准两点：①全部等可能情况的总数，②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：摸到红球的概率为， 故答案为：． 13. 如图，是的直径，直线切于点C，连结，若，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】连接，根据切线的定理，得到，根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵直线切于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和矩形位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在轴上，且点B的坐标为．若E为的中点，则点F的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质以及点的坐标得出相关线段的长度，根据线段中点的性质得出，然后利用位似图形的性质得出，即可求出坐标． 【详解】解：如图所示，连接， 根据位似图形的性质可得，点在上，点在上， ∵四边形和四边形为矩形，且点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，， 由位似图形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 15. 某校的电动伸缩门（如图1）每行由20个完全相同的菱形构件依次铰接组成（示意图如图2），每个菱形的边长为．当菱形内角的度数从缩小到时，伸缩门的总长度缩小了约______．（结果精确到，） 【答案】4.4 【解析】 【分析】连接，相交于O，首先根据勾股定理及度角的性质求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，根据菱形的性质及等边三角形的判定和性质求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，相交于O， ， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴校门关闭时，伸缩门的宽度为． 如图所示，连接， ∵校门部分打开时，菱形内角的度数从缩小到， ∴是等边三角形， ∴， ∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为， ∴伸缩门的总长度缩小了． 16. 如图，在中，，，过点作，垂足为点，交于点．若点为射线上一点（不与点重合），连接，点为的中点，连接，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识点． 分情况讨论，当点不在之间时，过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的判定和性质得到，通过证明，得到，通过证明是的中位线得到，根据勾股定理得到，进而得到，，继而得到；当点在之间时，同理得到． 【详解】解：情况一，如图，当点不在之间时，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 情况二，如图，当点在之间时，过点作于点，过点作于点， 由情况一可知，，，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式组的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得 ， 由②得， ， ∴不等式组的解集为． 19. 某中学在九年级组织了一次知识竞赛活动，成绩分为四个等第：A．一般，B．合格C．良好，D．优秀．为了解本次活动的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）老师随机抽取了 名学生的成绩，这部分学生中B等第的人数为 ． （2）求出m的值． （3）已知等第为D的优秀同学可以在本次竞赛中获奖，请估算九年级500名参赛学生中的获奖人数． 【答案】（1）50；16 （2）40 （3） 【解析】 【分析】（1）根据部分数据和占比求出总量，根据总量求出部分数据； （2）利用部分数据除以总数即可； （3）利用样本频数估计总体频数． 【小问1详解】 解：（名）； （名）； ∴老师随机抽取了50名学生的成绩，这部分学生中B等第的人数为16名； 【小问2详解】 解：∵， ∴； 【小问3详解】 解：（名）， ∴九年级500名参赛学生中的获奖人数为20名． 20. 如图，在中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，适当长为半径作圆弧，两弧交于点G，连结并延长交于点E．已知，F为上一点，满足，连结． （1）求的长． （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先推导出，，得到，继而推导出，得到，即可解答； （2）在中，，，推导出，得到，继而推导出，则四边形是平行四边形，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：在中，，， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 即，  ∵， ∴四边形是平行四边形． 21. 春节期间，超大规模的无人机灯光秀点亮康乐广场上空，为广大市民奉上了一场视觉盛宴．其中甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度h（米）与无人机飞行的时间t（秒）之间的函数关系如图所示．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升，甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动作后，再继续按原速飞行上升．两架无人机同时上升至距离地面100米处，并进行联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面． 请结合图象解答下列问题： （1）求两架无人机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度． （2）求甲无人机第一次表演的时长． 【答案】（1）米/秒 （2）10秒 【解析】 【分析】（1）通过函数图象获取信息求解； （2）通过函数图象获取信息求解． 【小问1详解】 解：由图可知，两架无人机联合表演时长：秒， 乙无人机上升时的飞行速度：米/秒； 【小问2详解】 解：甲无人机的速度：米/秒， 再上升40米需要时间：秒， 所以， 所以甲无人机第一次表演时长：秒． 22. 根据数学名著《勾股圆方注》中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根．如图，将四个长为m，宽为n的长方形纸片和一个小正方形拼成一个大正方形． （1）求解方程的正根，可令，，则图中每个长方形的面积为6． ①小正方形，大正方形的面积各是多少？ ②利用大正方形的边长，请你求出方程的正根． （2）小明用此方法求关于的方程（t为常数，且）的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为25，求t的值． 【答案】（1）①49；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先求出小正方形的边长，即可求出小正方形的面积，进而可求出大正方形的面积． ②求出大正方形的边长，进而得出，进而可求出x的值． （2）同（1）可得出小正方形的边长为，大正方形的边长为，解方程组求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积：25． ∴大正方形的面积：． ②由大正方形的面积为49，则边长为7， ∴，解得． 即方程的正根为． 【小问2详解】 解：如下图： 设，，则长方形的面积为14， ∵小正方形的面积为25，即边长为5， 小正方形的边长为：， 大正方形的面积为：， 大正方形的边长为：， 联立方程组， 解得． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴正半轴交于点，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点．点为抛物线上第一象限内的动点，设点的横坐标为． （1）求的值． （2）当时，记二次函数的最大值、最小值分别为，．若，求的值． （3）过点分别作轴和对称轴的垂线，垂足分别为点，，当矩形的周长最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式，即可求解； （2）先求得抛物线与轴的交点坐标，进而由，得出，分两种情况：①若，则，②若，则，分别求得，根据，列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）由题意得，，设矩形的周长为L，分两种情况讨论，①点P在对称轴左侧时，②点P在对称轴右侧时，表示出，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由，得． 【小问2详解】 由（1）得，令，得，， 所以． 分两种情况： ①若，则， 当时，； 当时，； 因为，所以， 解得（舍去），． ②若，则，当时，；因为，所以． 又因为当时，，所以该情况不存在满足条件的点P． 综上所述， 【小问3详解】 由题意得，，设矩形的周长为L，则： ①点P在对称轴左侧时，如图，， 时L最大． 当L最大时，点． ②点P在对称轴右侧时，根据对称性得． 所以点P坐标为或． 24. 如图，在正方形中，为边上一点（不与点重合），连接，以为直径作圆，交对角线于点，连接并延长交于点，连接．已知． （1）若，求线段的长． （2）求证：． （3）设，记与的面积差为，试确定与的函数关系式． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，即得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解； （）延长至点，使得，连接，，可证，得到，，，再证明，得到，进而由 即可求证； （）连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点，可得，由四边形是矩形得，又由正方形的轴对称性可知，由（）已知，进而得到，即得到 ，由根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得，，得到，最后根据列出函数关系式即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接、，过点分别作、的垂线，交、于点，过点作的垂线，交于点， ∵，， ∴， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由正方形的轴对称性可知，由（）已知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $