精品解析：2025年浙江省宁波市江北区中考数学二模试题

2025年中考模拟练习卷 数学 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卷规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，最小的是（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小判断即可． 【详解】解：∵2，1是正数， ， 是负数， ∴最小数的是在 ， 里， 又，，且， ∴， ∴最小数的是 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则． 2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．主视图是从正面所看到的图形，根据定义和立体图形即可得出选项． 【详解】解：主视图是从正面所看到的图形，该立体图形的主视图是： 故选：D． 3. 2025年1月，中国人工智能企业深度求索（）宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，称为全球用户量最大的智能助手之一．数据120000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的形式为，其中，n为整数，确定n的值时，看原数小数点移动的位数． 【详解】解：∵，且1.2满足， ∴ 用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，合并同类项，同底数幂乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用积的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂乘除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，错误，故该选项不符合题意； B．，错误，故该选项不符合题意； C．，错误，故该选项不符合题意； D．，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（ ） A. 8株 B. 9株 C. 10株 D. 11株 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数，先根据平均数求出5各小组植树的总数，进而求出另外一组的植树数，然后根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：∵5个小组参加植树活动，平均每组植树10株， ∴5各小组植树的总数为株， ∵其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株， ∴另外一组植树的数量为株， 把这5各小组植树的数量按照从小到大排序为：8株， 8株，9株，12株，13株， ∴中位数为9株， 故选：B． 6. 如图，四边形 和四边形是位似图形，位似比为，且四边形 的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的相关知识，相似多边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，周长比等于相似比．根据位似图形的性质可得四边形 和四边形的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵四边形 和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形 和四边形的周长比为， ∵四边形 的周长为， ∴四边形的周长为． 故选：C． 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，解答即可． 本题考查了方程组的应用，正确理解题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得绳子长=木头的长，绳子的一半长+1=木头的长，列方程组得， 故选：A． 8. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 9. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，根据四个选项中 的范围，逐一分析，结合反比例函数的增减性判断出函数值的大小． 【详解】解：反比例函数，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随 的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当时，，都在第一象限，当时，即时，有，即，故A错误； 当时，，关于原点的对称点为，则，都在第一象限，若，则，即，故B错误； 当时，，此时，都在第一象限， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，故C正确； 当时，，在第三象限，取关于原点的对称点，此点在第一象限，也在第一象限， ∴， ∴， ∴，即，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，不等式的基本性质，关于原点对称的点的坐标特征，根据反比例函数的图象比较函数值的大小，解题关键是将不同象限的点利用关于原点对称化为同一象限的点求解． 10. 如图，在 中，，， ，，记，，当 不变， 改变的过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质．过点 和 作 的垂线，垂足分别为 和 ，设为定值，由勾股定理求得，再证明，推出，得到，据此求解即可． 【详解】解：过点 和 作 的垂线，垂足分别为 和 ， ∵ ， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∵ 不变， ∴设为定值， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 整理得， ∴为定值， 故选：C． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母 的取值范围是________________． 【答案】x≥4 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：由题意，得 x-4≥0， 解得：x≥4， 故答案为：x≥4． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】解：由题意可得， 任意摸出一个球恰好为红球的概率， 故答案为：． 13. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图， 为的直角边 上一点，以 为半径的半圆与斜边 相切于点 ，交 于点 ．已知，，则的长为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，三角形的内角和，弧长公式的计算，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出即可求出，根据弧长公式的计算，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵ 是 的切线，切点为D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 15. 如图，正方形 由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成， 与， 分别交于 ， 两点，若．则长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意可得，可得，再证明，利用勾股定理列方程即可解答，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解： 正方形 由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成， ，， ， ，即， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得，即， 解得（负值舍去）， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点，，将沿折叠，点 的对应点 刚好落在边上，则与平行四边形 的面积之比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的面积，三角形的面积，同高不同底的三角形的面积之比，相似三角形的性质与判定． 先证明，可得，设的面积为 ，即可表示出各个三角形的面积，即可解答． 【详解】解：如图，在平行四边形 中，有， ∴， 由折叠，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即 ∴，则． 设的面积为 ，则，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴ 故答案为 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值，负整数指数幂，实数的混合运算． 先分别计算算术平方根，绝对值，负整数指数幂，再进行加减，即可解答． 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先计算括号内的分式，通分相加，然后把除法转化为乘法，约分，即可化简式子，最后把代入计算即可，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 如图，在中， ，，是 边上的中线，，，垂足为 ． （1）求的值． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先解直角三角形求出，然后勾股定理求出 ，然后根据正弦函数的定义求解即可； （2）首先解直角三角形求出 ，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ，，， 在 ∴． ∵是 边上的中线， ∴，． 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴； ∵ 是的高线， ∴在中，． ∴． 20. 近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件．某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 调查问卷 1．你最感兴趣的研学类型是__________（单选） A．研学+历史 B．研学+科学 C．研学+艺术 D．研学+农业 E．研半+外文 F．研学+工业 （1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中的百分比； （2）“ ”与“ ”所在的扇形圆心角的度数和为_______°； （3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数． 【答案】（1）补全条形统计图，如图所示： ； 扇形统计图中的百分比分别是； （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由样本所占百分比估计总体的数量，求扇形统计图的圆心角，画条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用“研学+历史”的人数除以占比，得总人数，再求出“研学+农业”的人数，最后补全条形统计图，运用总人数乘上“研学+艺术”的百分比，总人数乘上“研学+农业”的占比求出扇形统计图中的百分比分别是，即可作答． （2）运用“ ”与“ ”的百分比与度相乘，求出“ ”与“ ”所在的扇形圆心角的度数，即可作答． （3）运用样本估计总体公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（人）， （人）， ∴， ∴ ∴扇形统计图中的百分比分别是； 图略； 【小问2详解】 解：依题意，，， ∴， ∴“ ”与“ ”所在的扇形圆心角的度数和为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：依题意，（人） ∴该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数为人． 21. 如图，在矩形 中，， 为对角线． （1）尺规作图：作菱形，使点 ， 分别在边 ，上（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 如图，菱形即为所求． ； （2） 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图，菱形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握基本作图以及菱形的性质． （1）作线段 的垂直平分线，分别交边 ，于E、F，则四边形即为所求； （2）设，则有，解方程求出 可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形是菱形，设， 四边形 是矩形， ， 在中，， ， 解得， ． 22. 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2小时后追上大巴，此时两车与学校相距150千米，如图，、分别表示大巴、轿车离开学校的路程（千米）与大巴行驶的时间 （小时）的函数图象． （1）大巴的速度为___________千米／时． （2）求 所在直线的函数解析式． （3）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米． 【答案】（1）50 （2） （3）轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （ ）运用路程除以时间，得出速度，即可作答． （ ）由题意可得，再利用待定系数法解答即可求解； （3）分别求出大巴和轿车的速度，再根据题意列出方程解答即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，大巴的速度为（千米／时）， 故答案为：50； 【小问2详解】 解：由题意得，， 设 所在直线的函数表达式为，把、代入得， ．解得， 所在直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（ ）得大巴的速度为50千米/时， 轿车的速度为（千米/时）， 设轿车出发 小时后，轿车与大巴首次相距5千米， 由题意得，， 解得， 答：轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距5千米． 23. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线的顶点为 ，且与轴交于点 ． （1）求点 的坐标（用含 的代数式表示）． （2）若点 的纵坐标为 ，求 的最小值． （3）当，为锐角时，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质； （1）把抛物线化为顶点式即可得到答案； （2）由题意可得：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由时，顶点 在第四象限，结合为锐角，可得点 在 轴上方，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为 ， 而， ∴顶点； 【小问2详解】 解：当 时， ， 当时， 的最小值为． 【小问3详解】 解：当时，顶点 在第四象限， 又 为锐角， 点 在 轴上方， ， ∴， ， ， ． 24. 如图1，为锐角 的中线，延长与 的外接圆 交于点 ，点 在上，连结 ， ，， ，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，连结，若，求证：为等腰三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，连结 ，若 平分，求的值． 【答案】（1） 证明： 点 在 的外接圆上， ， 为 的中线， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形； （2） 证明：如图，连结，， 四边形为平行四边形， ． ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，求得，，即可证明四边形为平行四边形； （2）利用等腰三角形的性质求得，推出，得到，即可证明为等腰三角形； （3）作，证明，得到，即，证明，推出，设，求得，推出，利用等角的补角相等，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，作， ， 平分， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 在平行四边形中，， 作， 设， ， ， ． ，， ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟练习卷 数学 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卷规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，最小的是（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年1月，中国人工智能企业深度求索（）宣布，其研发的智能助手的用户数量突破120000000，称为全球用户量最大的智能助手之一．数据120000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（ ） A. 8株 B. 9株 C. 10株 D. 11株 6. 如图，四边形 和四边形是位似图形，位似比为，且四边形 的周长为，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在 中，，，，，记，，当 不变， 改变的过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A. B. C. D. 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次根式中字母 的取值范围是________________． 12. 在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同．如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是________． 13. 因式分解：_______． 14. 如图， 为 的直角边 上一点，以 为半径的半圆与斜边 相切于点，交 于点 ．已知，，则的长为___________．（结果保留） 15. 如图，正方形 由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成， 与， 分别交于 ， 两点，若．则长为___________． 16. 如图，在平行四边形 中， 为对角线 上一点，，将沿 折叠，点 的对应点刚好落在边上，则与平行四边形 的面积之比为___________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 19. 如图，在 中， ，，是 边上的中线，，，垂足为 ． （1）求的值． （2）求 的长． 20. 近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件．某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 调查问卷 1．你最感兴趣的研学类型是__________（单选） A．研学+历史 B．研学+科学 C．研学+艺术 D．研学+农业 E．研半+外文 F．研学+工业 （1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中的百分比； （2）“ ”与“ ”所在的扇形圆心角的度数和为_______°； （3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数． 21. 如图，在矩形 中，， 为对角线． （1）尺规作图：作菱形，使点 ，分别在边 ，上（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，，求 的长． 22. 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2小时后追上大巴，此时两车与学校相距150千米，如图， 、分别表示大巴、轿车离开学校的路程（千米）与大巴行驶的时间 （小时）的函数图象． （1）大巴的速度为___________千米／时． （2）求 所在直线的函数解析式． （3）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米． 23. 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线的顶点为 ，且与轴交于点 ． （1）求点 的坐标（用含的代数式表示）． （2）若点 的纵坐标为 ，求 的最小值． （3）当，为锐角时，求的取值范围． 24. 如图1，为锐角 的中线，延长与 的外接圆 交于点 ，点在上，连结 ， ， ，，． （1）求证：四边形 为平行四边形； （2）如图2，连结，若，求证：为等腰三角形； （3）如图3，在（2）的条件下，连结 ，若 平分，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $