精品解析：江苏省苏州市相城区2025-2026学年九年级数学模拟试卷（一）

2025～2026学年初三模拟试卷（一） 数学 本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共27题，满分130分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、姓名、考场号、座位号、考试号填写在答题卷相应的位置上． 2．答题必须用0.5mm黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3. 某中学规定九年级学生的学期数学综评成绩满分为130分，其中平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小苏同学的三项成绩如下表所示，则小苏同学这学期的数学综评成绩是（ ） 项目 平时 期中 期末 成绩 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照各成绩对应的权重加权求和即可得到综评成绩． 【详解】解：小苏的综评成绩为：， 因此小苏同学这学期的数学综评成绩是94分． 4. 已知点，在一次函数的图像上，则下列关于，大小关系的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断y随x的变化趋势，再比较两点横坐标大小，即可得到和的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为，其中， ∴该一次函数中，y随x的增大而增大， ∵点，，且， ∴对应函数值． 5. 如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，利用等腰三角形性质求出，进而求出和，最后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 6. 已知抛物线向左平移个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物线关于轴对称，则的值是（ ） A. － B. C. － D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出原抛物线顶点横坐标，再得到平移后的顶点横坐标，根据对称性质列方程计算即可． 【详解】解：首先将原抛物线配方，得 ∴原抛物线顶点的横坐标为． ∵抛物线向左平移个单位长度，平移后顶点横坐标为原横坐标减， ∴平移后顶点横坐标为． ∵平移后的抛物线与原抛物线关于轴对称， ∴两个顶点关于轴对称，横坐标互为相反数， 可得方程 解得． 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【详解】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 8. 定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①，②，③若，则，④若该函数图象的对称轴为直线，则，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股二次函数的定义，二次函数与一元二次方程的根的关系，逐项判断，即可． 【详解】解：如图，连接， ∵二次函数是勾股二次函数， ∴为直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； 设点，则，， ∴m，n为方程的两根， ∴， 当时，， ∴点，即， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴，即， ∵m，n为方程的两根， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵该函数图象的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 年月日晚间，中国人民银行发布年度一季度金融统计数据显示，至月末我国人均存款约元，将用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 因式分解：________. 【答案】(1+x)(1-x) 【解析】 【分析】根据平方差公式即可得到答案. 【详解】对用平方差公式，得 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. 11. 如图，将一个棱长为的正方体的表面涂上绿色，再把它分割为棱长为的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体表面没有涂色的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出分割成的小正方体的总个数，再根据正方体的结构特征确定表面没有涂色的小正方体的个数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：将一个棱长为的正方体分割成棱长为的小正方体． 一共可得到（个）． 其中表面涂颜色的有26个，表面没有涂色的有1个， 所以从中个小正方体中任意取个，则取得的小正方体表面没有涂色的概率为． 12. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好围成一个圆锥侧面，则圆锥底面圆的半径为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长和围成圆锥的底面圆的周长的关系，熟知扇形的弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．设底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长列出方程，进而得出底面圆半径． 【详解】解：设底面圆的半径为， 根据题意可得：， 解得：， ∴底面圆的半径为， 故答案为：10． 13. 如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得，可知，根据圆周角定理作答即可． 【详解】解：连接，如图， 为的切线， ， ． ， ， ． 14. 设是方程的两个根，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 根据根与系数的关系得，根据方程解的定义得，即，代入所求的式子计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，，， ， ． 故答案为：9． 15. 如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线上运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时（一个交点），此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（舍去）， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， 则二次函数与矩形有两个交点时，二次函数图象在与矩形第一次相交和与矩形最后一次相交之间，且不包含第一次相交和最后一次相交， ∴． 16. 如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故， 【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：． 作于点M，于点N，则， 过点G作于点P， ∵于点M， ∴， 设，则，， 又∵，， ∴，，， ∵，即， ∴，， 在中，，， 设，则 ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 化简得：， ∴， ∴ 故答案是：． 【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解一元一次不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴该不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再解一元二次方程得到的可能取值，根据分式有意义的条件排除使分母为零的，最后代入化简式计算即可得到结果． 【详解】解： 解方程得， ∵原分式有意义时分母不能为， ∴， ∵是方程的解 ∴ 将代入得：原式． 20. 在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了如下的频数分布表和统计图． 分组 频数 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 AI 请你根据图表中的信息完成下列问题： （1）频数分布表中________，________，并将统计图补充完整； （2）如果该校七年级共有女生人，估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有多少人？ 【答案】（1）4，， （2）人 【解析】 【分析】（1）根据统计图可知a的值，根据第一组的频数和频率求出总数，进而可知b的值，根据第二组的频数补全统计图即可； （2）用乘以能够一分钟完成或次以上的女学生的比例即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知， 总人数为， 则， 统计图补充见答案； 【小问2详解】 解：（人） 答：估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有121人． 21. 校园文化艺术节中，九年级某班有名男生和名女生获得美术奖，另有名男生和名女生获得音乐奖． （1）从获奖的名学生中随机选取名学生参加颁奖大会，选中男生的概率是________； （2）分别从获得美术奖和音乐奖的学生中随机选取名学生参加颁奖大会，请用画树状图法或列表法求选中名男生名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，然后再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵5名获奖学生中有3名男生， ∴选中男生的概率为：； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵共有6种等可能的结果数，其中刚好选中名男生名女生的结果数为3， 所以刚好是一男生一女生的概率为． 22. 如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟记平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质并灵活运用． （1）由平行四边形的性质可得，从而有，，再由是边上的中点得，利用可判定； （2）由（1）可得，再结合平行四边形的性质可得的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 由（1）可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴的长为． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，矩形的边，，是的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点，连接，，直线交轴于点． （1）求值和直线的函数表达式； （2）为轴上一点，的面积与的面积相等，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出，，，，再利用待定系数法，即可得出反比例函数解析式和直线的函数表达式； （2）先得出，再利用三角形的面积公式，得出的面积和的面积均为，设，得出，进一步得出的面积可表示为，最后得出，解答即可． 【小问1详解】 解：矩形的边，， ，，． 是的中点， ， 将点代入得，， 解得，， 反比例函数解析式为， 当时，即，解得，， ． 设直线的函数表达式为， 将和代入得，， 解得， 直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：直线的函数表达式为， 当时，，即． 由题意可知，的面积为，且的面积与的面积相等， 的面积为． 设， ， 的面积可表示为， 即， 解得，或， 点的坐标为或． 24. 家用投影仪逐步被大众所喜爱．图①是投影仪投屏情景图，图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留整数） （2）求光源投屏最高点与地面间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则，，， 在中，，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴光源投屏最高点与地面间的距离约为． 25. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，过点作⊙的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）连接，如图， 则， ∴， ∵过点作的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，结合切线的性质和直径所对的圆周角为直角可得到，再利用等腰三角形的性质和圆的内接四边形性质得到，即可证明； （2）由得，可得，进一步证明，得，解得，，，，即可得，结合，可得，即，解得，利用勾股定理求得，结合，即可求得． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 在中，， ∵， ∴． 26. 如图，和是两条互相垂直的城市道路，两条道路相交于点．甲、乙两人分别从点，出发，分别去往，两地，，甲、乙两人在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．甲上午出发，在处恰巧绿灯，上午到达地．乙上午出发，在处因红灯等待1分钟后继续行驶，上午到达地．设甲的行驶速度为，与点的距离为；乙的行驶速度为，与点的距离为． 根据以上信息，解决下列问题： （1）________； （2）已知，，． ①求和的值； ②从上午开始计时，经过的时长记为分钟．那么在乙的行驶过程中，当时，求的值． 【答案】（1） （2）①，；②或27 【解析】 【分析】（1）分别计算出甲乙行驶所用的时间，结合路程时间速度求解即可； （2）①根据，，可得的长度，由此可得的长度，再由时间求解速度即可； ②在同一坐标系下画出与，与的函数图象，根据，求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲上午出发，在处恰巧绿灯，上午到达地， ∴甲共用时，即， ∵乙上午出发，在处因红灯等待1分钟后继续行驶，上午到达地， ∴乙共用时，即， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∴，； ②根据题意作出与，与的函数图象，如图： 设时的与的函数关系式为， 由图象可知，函数过点与点， 则有，解得， ∴； 同理可得时与的函数关系式为； 同理可得时与的函数关系式为； 令，解得，满足的取值范围， 令，解得，满足的取值范围， 综上，当时，求的值为或27． 27. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】（1）或； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【小问1详解】 解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； 【小问2详解】 解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年初三模拟试卷（一） 数学 本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共27题，满分130分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、姓名、考场号、座位号、考试号填写在答题卷相应的位置上． 2．答题必须用0.5mm黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. -2的倒数是（ ） A. -2 B. C. D. 2 2. 如图所示的几何体是由个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某中学规定九年级学生的学期数学综评成绩满分为130分，其中平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小苏同学的三项成绩如下表所示，则小苏同学这学期的数学综评成绩是（ ） 项目 平时 期中 期末 成绩 A. B. C. D. 4. 已知点，在一次函数的图像上，则下列关于，大小关系的判断正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线向左平移个单位长度后，得到的抛物线正好与原抛物线关于轴对称，则的值是（ ） A. － B. C. － D. 7. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 定义：若二次函数的图像与坐标轴有三个公共点，且以这三个公共点为顶点的三角形是直角三角形，则称这样的二次函数为勾股二次函数．如图，若二次函数是勾股二次函数，且其图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．下列结论：①，②，③若，则，④若该函数图象的对称轴为直线，则，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 年月日晚间，中国人民银行发布年度一季度金融统计数据显示，至月末我国人均存款约元，将用科学记数法表示为________． 10. 因式分解：________. 11. 如图，将一个棱长为的正方体的表面涂上绿色，再把它分割为棱长为的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体表面没有涂色的概率是________． 12. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好围成一个圆锥侧面，则圆锥底面圆的半径为________． 13. 如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数为_______． 14. 设是方程的两个根，则______． 15. 如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 16. 如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则______． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 解一元一次不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中是方程的解． 20. 在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了如下的频数分布表和统计图． 分组 频数 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 AI 请你根据图表中的信息完成下列问题： （1）频数分布表中________，________，并将统计图补充完整； （2）如果该校七年级共有女生人，估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有多少人？ 21. 校园文化艺术节中，九年级某班有名男生和名女生获得美术奖，另有名男生和名女生获得音乐奖． （1）从获奖的名学生中随机选取名学生参加颁奖大会，选中男生的概率是________； （2）分别从获得美术奖和音乐奖的学生中随机选取名学生参加颁奖大会，请用画树状图法或列表法求选中名男生名女生的概率． 22. 如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，矩形的边，，是的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点，连接，，直线交轴于点． （1）求值和直线的函数表达式； （2）为轴上一点，的面积与的面积相等，请求出点的坐标． 24. 家用投影仪逐步被大众所喜爱．图①是投影仪投屏情景图，图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果保留整数） （2）求光源投屏最高点与地面间的距离．（结果保留根号） 25. 如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，过点作⊙的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 26. 如图，和是两条互相垂直的城市道路，两条道路相交于点．甲、乙两人分别从点，出发，分别去往，两地，，甲、乙两人在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．甲上午出发，在处恰巧绿灯，上午到达地．乙上午出发，在处因红灯等待1分钟后继续行驶，上午到达地．设甲的行驶速度为，与点的距离为；乙的行驶速度为，与点的距离为． 根据以上信息，解决下列问题： （1）________； （2）已知，，． ①求和的值； ②从上午开始计时，经过的时长记为分钟．那么在乙的行驶过程中，当时，求的值． 27. 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $