精品解析：山东淄博市桓台第一中学2025-2026学年高一下学期5月阶段性检测数学试题

山东高一5月阶段性检测卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或是异面直线 4. 在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（ ） A. B. C. D. 74 8. 如图，在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘故障船．在处北偏西75°方向，距处2海里的处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从处向北偏东30°方向行驶．救援船最快追上故障船需要（ ）（精确到1分钟，） A. 12分钟 B. 15分钟 C. 16分钟 D. 19分钟 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 是纯虚数 D. 若复数是方程的一个根，则 10. 如图，将棱长为2的正方体挖去一部分，得到几何体，，交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体的体积为 B. ，是异面直线 C. D. 点到平面的距离为 11. 在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为边上的高，且，则的最大值为 C. 若，则有一解 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则的最小值为___________． 13. 如图，是的斜二测画法的直观图，，，则原平面图形的周长为________. 14. 如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（，且，），且. （1）求的值； （2）证明：； （3）设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值. 16. 已知． （1）若与共线，求k的值； （2）若与的夹角为，求k的值； （3）求向量和向量的夹角，并求出向量在向量上的投影向量． 17. 如图，在三棱柱中，，分别是棱，上一点，且，. （1）证明：直线，，交于同一点； （2）记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 18. 在中，角的对边分别为．且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 19. 如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东高一5月阶段性检测卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限． 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则或相交或是异面直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，当平面α与β相交时，m与n可能相交，故C错误； 对于D，若，则直线m, n无公共点，所以或是异面直线，故D正确。 4. 在中，，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出BC，再利用等面积法求得BC边上高线 【详解】在中，， 由余弦定理，得， 则． 设边上的高为，由等面积法，得，则． 5. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值. 【详解】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即， 又，所以， 则，于是由正弦定理，的外接圆半径为， 故球心到面的距离为. 所以点到面距离的最大值是. 故选：C. 6. 在中，且，，，若动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，由数量积的运算律得，而的最大值等于，计算后可得. 【详解】取中点，连接， 则 ， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，如图， 则， 所以的最大值是. 7. 如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（ ） A. B. C. D. 74 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示， 取的中点，且点靠近点，且点靠近点， 连接， 由P为正方形的中心知，过点P， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，且， 又∥∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，且，所以∥，且， 所以四边形为平行四边形，且平面过、、三点， 所以过点A、P、Q的截面为平面， 因为正方体棱长为4，所以，， 则截面四边形的周长为：. 8. 如图，在海岸处发现北偏东方向，距处海里的处有一艘故障船．在处北偏西75°方向，距处2海里的处的救援船奉命以海里/时的速度追赶故障船，此时故障船正以10海里/时的速度，从处向北偏东30°方向行驶．救援船最快追上故障船需要（ ）（精确到1分钟，） A. 12分钟 B. 15分钟 C. 16分钟 D. 19分钟 【答案】B 【解析】 【分析】设救援船行驶小时在处最快追上故障船，则在中、中分别利用正弦定理可求，从而可求救援船最快追上故障船所需时间. 【详解】如图，设救援船行驶小时在处最快追上故障船， 则救援船沿方向行驶，且，． 由题意，得，连接． 在中，由余弦定理，得 ， 即． 由正弦定理，得， 则． 又因为，所以，即点在点的正东方向上， 则． 在中，由正弦定理，得，则． 又因为，则，所以救援船沿北偏东的方向行驶． 在中，，则，即， 所以，解得小时，所以分钟， 所以救援船应沿北偏东的方向行驶，才能最快追上故障船，大约需要15分钟． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 是纯虚数 D. 若复数是方程的一个根，则 【答案】BC 【解析】 【详解】因为，所以复数的虚部为2，故A错误； ，故B正确； ，是纯虚数，故C正确； 若复数是方程的一个根，则另一个根为， 则可得即故D错误． 10. 如图，将棱长为2的正方体挖去一部分，得到几何体，，交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体的体积为 B. ，是异面直线 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】采用分割法，将其拆分为两个三棱锥分别求体积后求和；判定异面直线可借助正方体中面面平行的性质分析；判定线线垂直可通过计算对应线段长度，利用勾股定理逆定理验证是否满足垂直条件；求点到平面的距离可采用等体积法，通过同底三棱锥体积相等转化求解. 【详解】由题意可知原正方体棱长为，故平面，平面， 因此，且； 底面是边长为的正方形，对角线，二者交于点， 故是正方形的中心，. A：将几何体拆分为两个三棱锥、的组合： ， ，同理， 几何体总容积，故A正确. B：平面，平面，平面且，所以是异面直线，故B正确. C：平面，平面， ，则在中， 同理可得，且， 所以，故C错误. D：设点到平面的距离为. ， 是边长为的等边三角形， . 由等体积法可得， ， ， 代入得，解得，故D正确. 11. 在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为边上的高，且，则的最大值为 C. 若，则有一解 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理和三角形的内角的性质，化简得到，求得，可判定A正确；利用三角形的面积公式，求得，结合余弦定理和基本不等式，可判定B正确；根据题意，得到，可判定C错误；由余弦定理得到，再列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】对于A，在中，因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即， 因为，所以，所以， 两边平方得， 由，得，解得，即，故A正确； 对于B，由，因为，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故B正确； 对于C，当且时，可得， 满足，所以有两解，故C错误； 对于D，由余弦定理得，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，由余弦定理得，解得或， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则的最小值为___________． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得，， 所以，则当时，的最小值为1． 13. 如图，是的斜二测画法的直观图，，，则原平面图形的周长为________. 【答案】 【解析】 【详解】如图，在中，作于点. 因为，，所以，. 又因为，所以，，. 将直观图还原为原平面图形， 由斜二测画法，可得，，， 所以，， 则原平面图形的周长为. 14. 如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理及两角和的正弦公式将化简得，所以为等边三角形.将四边形的面积用表示出来，结合，可求得四边形面积的取值范围. 【详解】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，（，且，），且. （1）求的值； （2）证明：； （3）设，在复平面上对应的向量分别为，，若，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的模公式直接化简计算即可； （2）结合（1）及复数模的公式直接可得证； （3）根据复数在复平面内点的坐标结合向量数量积公式直接计算. 【小问1详解】 由已知，则，， 所以， 又，则， 所以， 化简可得， 又，所以，即； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 又， 所以； 【小问3详解】 设在复平面上对应的向量为， 在复平面上对应的向量为， 所以， 故，解得. 16. 已知． （1）若与共线，求k的值； （2）若与的夹角为，求k的值； （3）求向量和向量的夹角，并求出向量在向量上的投影向量． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据线性运算的坐标表示，向量共线列方程求解； （2）利用垂直向量的数量积为0求解； （3）根据向量数量积的概念和投影向量的概念求解. 【小问1详解】 ，， 又与共线，，解得. 【小问2详解】 ， 又与的夹角为， ，解得. 【小问3详解】 ，， ，又因为, 故向量和向量的夹角为， 向量在向量上投影向量为. 17. 如图，在三棱柱中，，分别是棱，上一点，且，. （1）证明：直线，，交于同一点； （2）记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 【答案】（1）因为，，所以，所以，. 因为，，所以，，则直线与相交. 设直线与的交点为，如图. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为平面平面，所以点在直线上， 即直线，，交于点. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三棱柱的结构特征判定两条直线共面且相交，再结合平面的基本公理证明交点在第三条直线上，即可完成三线共点的推导. （2）先通过相似三角形的性质求得棱台小底面的面积，代入棱台体积公式计算，再通过三棱柱总体积减去得到，最终化简得到体积比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积. 因为，所以，且， 所以的面积， 则三棱台的体积. 故. 18. 在中，角的对边分别为．且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可； （2）由面积可得，由内切圆半径可得，结合余弦定理可得答案； （3）由等面积法可得，结合由基本不等式可得，即可得面积最小值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 又因为，则，， 可得，即， 可得，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则的面积，即， 又因为内切圆的半径为，则， 可得，即， 由余弦定理可得， 即，解得. 【小问3详解】 因为的平分线交于，由（1）知， 则， 又， 可得， 又， 则， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为. 19. 如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明； （3）由题可知点是的中点，结合可得点是的中点.根据题中条件，在平面内，利用平面向量基本定理和共线向量基本定理即可求解. 【小问1详解】 ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. 【小问2详解】 由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. 【小问3详解】 ∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $