精品解析：山东省桓台第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

高一下学期期中考试数学试题 2025.04 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（为虚数单位），则模（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将化简，再根据模长的运算公式以及性质求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式计算即得. 【详解】. 故选：B 3. 已知向量.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标计算，再利用数量积即可求. 【详解】因，则， 因，，则， 得. 故选：C 4. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，若，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得，进而可外接圆半径与面积. 【详解】由正弦定理得，， 解得，故， 则， 故所求外接圆的面积为， 故选：B. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 向量能作为平面内所有向量的一组基底 B. 若，则 C. 若，则与垂直的单位向量坐标为或 D. 若，则与的夹角是钝角 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底定义判断A；举例说明判断B；求得与垂直的单位向量坐标判断C；利用向量夹角的定义判断D. 【详解】选项A，，即，向量不能作为平面内所有向量一组基底，A错误； 对于B，当时，不共线，也满足，B错误； 对于C，设与垂直的向量，则，取，得， 因此与垂直的单位向量为，其坐标为或，C正确； 对于D，由，得与的夹角是钝角或平角，D错误. 故选：C 6. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可. 【详解】令，，得，则， 即，整理得，且， 那么，则. 故选：C. 8. 已知函数，则正确的是（ ） A. 对任意正整数n，为偶函数 B. 当时，的单调递增区间是 C. 当时，的值域是 D. 对任意正整数n，的图象都关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用特值法可判断A的正误；利用整体法求出对应函数的增区间后可判断B的正误；根据三角变换公式结合余弦函数的性质可判断C的正误；根据可判断D的正误. 【详解】对于A，当时，， 故， 故此时不是偶函数，故A错误； 对于B，由A的分析可得， 令，解得， 故的增区间为，其中，故B错误； 对于C，时，， 故， 因为，故即的值域是，故C错误； 对于D，， 故对任意正整数n，的图象都关于直线对称，故D正确； 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误. 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 10. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理求得，得到，可判定A正确；由，得到或，得到为等腰或直角三角形，可判定B错误；由，结合，得到，判定C正确；由，得到，得到，得到，可判定D正确. 【详解】对于A，设的外接圆的半径为， 若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确； 对于B中，因为，可得，且， 若，可得或，即或， 所以为等腰或直角三角形，所以B错误； 对于C中，因为，可得， 若，则，可得，即为钝角， 所以为钝角三角形，所以C正确； 对于D中，因为，可得 若，可得， 由函数在上为单调递增函数，所以，即， 又因，则，所以为锐角三角形，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，向量的模，向量垂直，投影向量的求法逐一验证即可. 【详解】依题意，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，， 则在方向上的投影向量为，D正确. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设z为复数，若=1，则的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，由模长公式得到.然后由模长公式得到的代数式，由函数的单调性可知，当取最大值时取得最大，由求出的最大值，从而得出结果. 【详解】设，则，即， ，∴， ∵在上单调递增， ∵，， ∴当时，取最大值3. 故答案为：3. 13. 若非零向量满足，则夹角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出的表达式，再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由，，得，则， 因此， 所以夹角的余弦值为. 故答案为： 14. 在中，，AC边上的中线，则面积的最大值为______． 【答案】24 【解析】 【分析】首先利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值． 【详解】设，， 由于， 在和中应用余弦定理可得： ，整理可得：， 结合勾股定理可得的面积： ， 当且仅当时等号成立． 则面积的最大值为24． 故答案为：24. 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设函数，其中向量，. （1）求的最小值； （2）在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数性质求最小值. （2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值. 【小问1详解】 由题设，， 所以，当时的最小值为. 【小问2详解】 由，得：，则，又， 所以，故，则. 由，可得：. 在△中，由余弦定理得：， 所以. 由，则. 16. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. 【小问3详解】 由图可得， ， ， 由，则. 17. 函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象．令，求的最大值，若取得最大值时x的值为，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 分析】（1）求出对称轴结合零点求出及，再由点求出A，写出函数解析式作答. （2）根据图象平移得解析式，利用三角恒等变换化简，即可得最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可. 【小问1详解】 观察图象，该图象过点与，则为函数图象的对称轴，而为函数的一个零点， 因此函数的周期，， 由，得，即，而，则， 于是，由，得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，的图象向左平移个单位长度得的图象， 将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，则， 因此 ， 当，即时，有最大值， 此时. 18. 如图，在平面四边形中，，，. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由同角三角函数的基本关系求出，再在中由锐角三角函数定义求出，再由三角形的面积公式即可求得； （2）由题中条件得，在和中，由正弦定理及积化和差公式求出，最后由求得. 【小问1详解】 ，， 所以， 在中，， ， 的面积. 【小问2详解】 ，， ， ， 在中，，， 在中，由正弦定理有， 即， 由积化和差公式有， ， 将此结果代入式中化简可得：， 解得（舍负）， . 19. 在锐角中，设角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角结合诱导公式与正弦两角和公式化简即可得的值； （2）根据数量积的定义、用数量积求模长，将转化为，结合换元法求函数值域，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 在锐角中，，则， 由正弦定理得，则 又， 则. 【小问2详解】 由余弦定理得，所以， 则， 由正弦定理得， 所以，其中，，， 由锐角三角形可知，则， 因为，，则， 又， ， 所以，故， 由得，故， 令，则，， 所以，， 因为函数在上单调性递减， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期中考试数学试题 2025.04 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（为虚数单位），则的模（ ） A. 1 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量.若，则（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 4. 已知在中，角，，所对边分别为，，，其中，若，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 向量能作为平面内所有向量的一组基底 B 若，则 C. 若，则与垂直的单位向量坐标为或 D. 若，则与的夹角是钝角 6. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则正确的是（ ） A. 对任意正整数n，为偶函数 B. 当时，的单调递增区间是 C. 当时，的值域是 D. 对任意正整数n，的图象都关于直线对称 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 11. 如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设z为复数，若=1，则的最大值为__________. 13. 若非零向量满足，则夹角的余弦值为________． 14. 在中，，AC边上的中线，则面积的最大值为______． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 设函数，其中向量，. （1）求的最小值； （2）在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 16. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求长； （3）求的取值范围． 17. 函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为． （1）求的解析式； （2）将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象．令，求的最大值，若取得最大值时x的值为，求． 18. 如图，在平面四边形中，，，. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 19. 在锐角中，设角的对边分别为，且，． （1）求的值； （2）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$