山东烟台市某校2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题

**基本信息** 高一（下）期中数学卷，以向量、复数、立体几何、解三角形为核心，融入陶艺、民宿改造等现实情境，通过选做题设计实现基础巩固与创新应用的梯度考查，凸显数学眼光观察、思维推理与语言表达的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|民宿改造（19题）、欧拉公式（15题）、选条件解三角形（18题）|以实际问题构建模型，结合数学史渗透文化，通过条件选择考查思维灵活性| |多选题|3/18|复数方程根（9题）、三角形性质（10题）、圆锥挖圆柱（11题）|多角度辨析立体几何表面积与体积，强化空间观念与推理能力|

2025级高一（下）学中质量检测 数学参考答案 1、 单项选择题： 1．【答案】C【分析】利用平面向量的相关概念及数量积定义与计算公式一一判定选项即可.【详解】对于A，两向量模长相等，不一定共线，故A错误； 对于B，若，不能得到， 比如为任意非零向量，时满足，但不一定相等，故B错误； 对于C，若，则有，所以，故C正确； 对于D，若同向，即夹角为零角时仍能满足，故D错误.故选：C 2. 【答案】B【分析】利用复数的除法法则和共轭复数的概念即可求解. 【详解】由,得，所以.故选：B. 3. 【答案】D【分析】利用斜二测画法规则求出底面三角形面积，再利用柱体体积公式计算即得.【详解】直观图对应的原图形为如图所示的，其中， ，因此的面积， 所以三棱柱的体积为. 故选：D 4．【答案】D【分析】根据复数模长的几何意义可求答案. 【详解】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点 到点的距离为3，点到原点的距离为， 所以的最大值为.故选：D 5. 【答案】C【分析】根据投影向量的定义计算即可. 【详解】由题意可知在上的投影向量， 所以，又，所以故选：C 6.【答案】D【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 7.【答案】C【分析】根据正四棱台体积公式先求棱台的高，再利用勾股定理计算侧棱即可. 【详解】 如上图所示，正四棱台，，易知即棱台的高， 由棱台的体积公式知：， 所以， 所以侧棱长. 故选：C 8. 【答案】B【分析】根据余弦定理化简得到，结合正弦定理、三角恒等变换公式，推导出，可得，然后将化简为，结合为锐角三角形算出角的取值范围，进而根据正弦函数的性质算出答案． 【详解】解：根据，结合余弦定理， 得，即，由正弦定理化简，得， 其中， 所以， 结合、为三角形的内角，可得，即， 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 而 ，因为，所以， 即的取值范围为．故选：B． 二、多项选择题： 9．【答案】ABC【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可. 【详解】根据题意知，所以， 不妨令，，则，，，而， 故A、B、C正确，D错误. 故选：ABC 10．【答案】ABC 【分析】对于A：结合大角对大边及正弦定理即可求解；对于B：由向量夹角公式即可判断；对于C：由锐角三角形内角的性质与诱导公式即可求解；对于D：由余弦定理变形式即可求解. 【详解】对于A：由大角对大边及正弦定理可知： ，故A正确； 对于B：因为，所以， 所以为钝角，所以为钝角三角形，故B正确； 对于C：因为为锐角三角形，所以, 所以，故C正确； 对于D：因为，由正弦定理得： ，设， 由余弦定理变形式得：， 所以为钝角，故D错误.故选：ABC. 11．【答案】BCD【分析】结合图形，利用圆锥、圆柱的表面积和体积公式计算即可判断A，B；对于C，根据圆柱的对称性判断外接球的球心，易得其半径，即得其表面积；对于D，利用等体积列方程求解即得. 【详解】对于A，设圆柱体的底面半径为，高为，则，， 圆锥的母线长为，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱得到的几何体的表面积为： ，故A错误； 对于B，由题意，剩下几何体的体积为： ，故B正确； 对于C，如图，设的中点为，由圆柱的对称性可知，圆柱的 外接球的球心即点，设外接球的半径为，由图知，， 则圆柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于D，设该实心球的半径为，依题意，， 即得，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题： 12．【答案】3【分析】利用平面向量数量积公式及其与模长的关系计算即可. 【详解】由， 即，解之得.故答案为：3 13. 【答案】 ①. ②. 【分析】利用补形法结合长方体的特征及球的体积公式计算即可得第一空，利用等体积法计算即可得第二空. 【详解】如图所示，补三棱柱为长方体， 易知三棱柱的外接球即长方体的外接球， 其体对角线即球的直径，易得， 所以球体积为；易知直角三角形，其面积为， 设底面上的高长，则. 故答案为：；. 14. 【答案】【分析】作于，作于E，利用正弦定理及锐角三角函数解三角形计算即可. 【详解】 作于，作于E， 由题意易知，， 易知， ， 所以，在中，由题意可知， 根据正弦定理有， 所以.故答案为：. 四、解答题： 15.（本小题满分13分） 【分析】（1）利用复数的四则运算法则及的周期性，再利用复数的模公式即可求解； （2）根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解. 【小问1详解】由题可知， ， ， 所以， 所以． 【小问2详解】因为， 所以． 16.（本小题满分15分） 【分析】（1）利用平面向量三点共线的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量数量积的坐标表示、二次函数的性质可先确定值，再利用平面向量数量积公式计算夹角结合三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为点A，B，P不能构成三角形，所以A，B，P三点共线，即， ，，则有，所以，所以； 【小问2详解】 因为，， 所以， 当时，取得最小值1，此时，， 所以， 因为，所以， 则的面积． 所以面积为． 17.（本小题满分15分） 【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，由正弦定理可得下底面半径，可求以圆台表面积； （2）由三角形面积公式可求得的面积，在中，由余弦定理得，可得，则的面积，得到底面ABCD面积的最大值，再在轴截面直角梯形中，由勾股定理求出圆台的高，即可求得四棱锥的体积的最大值． 【小问1详解】因为，所以， 在中，由余弦定理得， 得，由正弦定理可知外接圆直径， 所以下底面半径，上底面半径， 圆台侧面积，，， 所以圆台表面积． 【小问2详解】在四边形ABCD中，， 在中，由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时“”成立， 所以面积， 底面ABCD面积的最大值为， 在轴截面直角梯形中，由勾股定理可得， 所以四棱锥的体积的最大值为． 18.（本小题满分17分） 【分析】（1）若选①，利用平面向量垂直的坐标表示及正弦定理边化角计算即可；若选②，先正弦定理角化边，化简变形后利用余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算即可； （3）利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式计算即可. 【小问1详解】选择①：因为，所以， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，所以，所以，又，所以． 选择②：因为，由正弦定理得，， 即，即， 即，即，由余弦定理得，， 又，所以． 【小问2详解】由余弦定理得，， 即，即， 所以，得，当且仅当时取得等号， 所以周长的取值范围为． 【小问3详解】 由面积公式，得， 由余弦定理可得，即， 所以，所以，当且仅当“”时等号成立 所以，所以面积的最小值为． 19.（本小题满分17分） 【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. 【小问1详解】是定值. 理由如下：在中，，，所以， 由正弦定理得，，所以． 在中，，，， 由正弦定理得，，所以． 所以 为定值． 【小问2详解】由题意可知，要使总费用最低，只需最小， 在中， ， 当且仅当时“=”成立， 所以，所以的最小值为， ， （元） 所以修路费用最少为8742元． 2025级高一（下）学中质量检测 数学（参考答案） 第1页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 烟台爱华高级中学2025级高一（下）学中质量检测 数学 时长：120分钟 满分：150分 出题人：蔡璞先 审题人：刘欣 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则，夹角为锐角 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 4．若复数满足，则|z|的最大值为（ ） A． B． C． D． 5. 若，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 10．已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则为钝角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为锐角三角形 11．陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥，若该圆锥底面直径和高均为2，现过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．剩下几何体的表面积为 B．剩下几何体的体积为 C．挖去圆柱体的外接球表面积为 D．若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，的夹角为，若，，则_________． 13. 在直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的体积为__________，在三棱锥中，底面上的高长为_________． 14. 南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见．如图是一三角形木屋的建筑示意图．三角形斜屋顶在地面的投影为，且，．在M点测得N点的仰角为，在N点测得P点的仰角为，M点到地面的距离为3m，N点到地面的距离为4m，则P点到地面的距离为____________m． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． （1）若复数，求； （2）在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 16.（本小题满分15分） 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，． （1）若点A，B，P不能构成三角形，求； （2）当取得最小值时，求的面积． 17.（本小题满分15分） 如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1． （1）求该圆台的表面积； （2）求四棱锥的体积的最大值． 18.（本小题满分17分） 请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． （1）求B的大小： （2）若，求周长的取值范围； （3）若边上的高为1，求面积的最小值． 19.（本小题满分17分） 近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐．小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，临街，长16米，，在上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路，，小路终点E、F在墙、上，且，为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面用防腐木铺设． （1）是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值．（最终结果保留整数）（参考数据：） 2025级高一（下）学中质量检测 数学（试题卷） 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $2025级高一（下）学中质量检测 数学答题卡 一、 单项选择题（共8小题，每小题5分，满分40分) 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 5 二、 多项选择题（共3小题，每小题6分，满分18分) 区 10. 11. 三、 填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 13. 14. 尽 四、解答题（共5小题，满分77分） 15.（本小题满分13分) R 茶 16.(本小题满分15分) 座号 17.(本小题满分15分) P B 18.(本小题满分17分) 酷 易 4 彩 1 柒 乎 G