期末复习专题：不等式与不等式组-2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以“性质应用-解集分析-实际建模-思想迁移”为主线，系统整合不等式与不等式组核心方法，突出运算能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质与解集|单选1-2、填空11-13、解答17-18|不等式性质应用、数轴表示法|从概念（性质）到技能（解集求解与表示）| |参数与综合问题|单选3、5-6、9-10、填空15-16|解集端点对应法、分类讨论|性质拓展到含参问题，培养推理意识| |实际应用与建模|单选4、填空14、解答19、21|等量关系转化不等式、方案优化|抽象实际问题为数学模型，发展应用意识| |数学思想方法|解答22|整体换元法、结构类比|方法迁移，提升创新意识与抽象能力|

期末复习专题：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式组的解集是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 6．若数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（    ） A．9 B．9或10 C．8或10 D．8或9 7．已知非负数，，满足，设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于x，y的方程组，若方程组的解满足，则m的最小整数值为（   ） A． B． C．0 D．1 9．已知整式，其中、、为自然数，且．下列说法： ①满足条件的整式共有16个； ②若是方程的解，则的值为1； ③若时，整式，则关于的不等式的解集是． 正确的个数是（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．使方程和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法：①方程与不等式有且仅有一个正整数“同频解”；②若与有正整数“同频解”，则；③是与的“同频解”，则；④存在整数、使得方程的所有解均是其与的“同频解”．正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．已知是不等式的一个解，请写出一个符合条件的的值______． 12．不等式的非负整数解为______． 13．如图是高速公路的限速标志，该标志表明在此道路上行驶的小客车的最低车速为，最高车速为．如果用v（单位：）表示此道路小客车的速度，则v的取值范围是______． 14．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全． 15．如果关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和__________． 16．一个各数位均不为0的三位自然数，若，则称为“方加数”．例如：三位数723，∵，∴723是“方加数”．若为“方加数”，则的最大值为_____；若一个方加数是奇数，且是整数，则满足条件的的最小值是______． 三、解答题 17．解下列不等式（或不等式组）． (1)； (2)． 18．解不等式组．请根据题意完成问题 解不等式①，得：_____ 解不等式②，得：_____ 在同一数轴上表示出不等式①②的解集： 不等式组的解集为_____． 19．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均8秒采摘一个成熟的苹果．现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个？ 20．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，． (1)若，求x的取值范围； (2)已知关于x的方程的解满足，求a的最小整数解． 21．为响应眉山东坡区“蜀里安逸∙约惠东坡”消费焕新工程，落实家电“以旧换新”补贴政策，某家电卖场特推出惠民促销活动．请根据以下素材完成任务： “以旧换新”政策 素材1 购买3台节能空调和2台智能洗衣机，补贴后实际花费7900元； 素材2 购买2台节能空调和3台智能洗衣机，补贴后实际花费8100元． 解决问题 (1)任务1，计算节能空调和智能洗衣机每台的补贴后金额各是多少元？ (2)任务2，东坡区某企业为职工采购节能空调和智能洗衣机共10台，要求节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元，请计算出有几种采购方案？哪种方案最省钱？ 22．“换元法”是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识． 例1：关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解． 解：将看作一个整体， ∵两方程形式完全相同， ∴根据方程的解的定义得，即． 例2：二元一次方程组的解是，求方程组的解． 解：将方程组，整理得， ∵两方程形式完全相同，方程组的解是， ∴根据方程的解的定义得，即解得：； 根据以上信息，解决下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程的解为，求关于y的一元一次方程的解； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解； (3)已知关于x的不等式的解集为，求关于y的不等式的解集． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《期末复习专题：不等式与不等式组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A C B B A B D 1．A 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项A正确. 2．D 【详解】 解：由不等式可知：解集在数轴上表示为． 3．A 【分析】本题考查一元一次不等式的基本性质，解题思路是根据不等号方向的变化判断系数的正负，进而求解的取值范围． 【详解】解：由题意可知原不等式为 ， ∵ 不等式 的解集为 ，不等号方向发生改变， ∴ 根据不等式的性质，不等式两边除以负数时不等号方向改变，可得 ， 解得 ． 4．A 【分析】根据题意分别表示出答对得分和扣分数，再结合获奖的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得： ． 5．C 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知解集对应端点，建立关于的方程，求出的值后即可计算． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集是， ∴，解得， ∴． 6．B 【分析】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴或或， 故所有整数解的和是9或10． 7．B 【分析】设，则，，，，利用非负数的性质求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∵，，是非负数， ∴， 解得， ∴， ∴的最大值为． 8．A 【分析】利用整体变形得到关于的表达式，再代入不等式得到的取值范围，即可求出的最小整数值． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小整数值为． 9．B 【分析】本题结合自然数的定义，根据已知条件逐个分析三个说法，通过计算系数、求解不等式判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】∵ 为自然数，且，逐个分析如下： ① 枚举所有可能的组合： 当时，，共5种； 当时，，共4种； 当时，，共3种； 当时，，共2种； 当时，，共1种； 总共有个不同的整式，不是16个，故①错误． ② ∵ 是方程的解， 代入得， 又∵ ， 两式相减得，解得，故②正确． ③ ∵ 时，整式， 又∵ ， 两式相减得， ∵ 是自然数，可得唯一解，， 则， 因此， 解不等式，得，故③正确． 综上，正确的说法共2个，故选B． 10．D 【分析】先根据方程用含的式子表示，再求不等式或不等式组的解，最后结合定义解答即可． 【详解】解：①， 可转化为， 解得， 方程与不等式有且仅有一个正整数“同频解”为，故①正确； ②由得， 将代入得， 解得， 此时整数解为，则， 即与有正整数“同频解”，则，故②正确； ③由得， 将代入得， 解得， ，即， 是与的“同频解”， ，， ，故③正确； ④由得， 将代入，得， 整理得， 若不等式对所有成立，则系数必须为， ， 解得， 则不等式为，即， 解得， 若取，，则不等式为，恒成立， 方程的所有解都满足不等式，故④正确； 综上可得正确的共有个． 11．（答案不唯一） 【分析】根据不等式的解的定义，推出的取值范围，在取值范围内写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解，将代入不等式，得，即， ∴符合条件的值可以是． 12．0，1，2 【分析】先求出一元一次不等式的解集，再从解集中找出符合要求的非负整数即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 不等式的非负整数解是，，． 13．（单位：） 【详解】解：由题可得：（单位：） 14．64 【分析】因为要保证操作人员安全，所以需先计算人跑到400米安全区域所需的时间，可利用公式（其中为时间，为路程，为速度）．因为导火线燃烧时间要大于人跑到安全区域的时间，所以可根据导火线燃烧速度，利用公式计算导火线的最小长度． 【详解】解：设导火线长度为，保证安全的核心条件：导火线燃烧时间 > 人跑到安全区域的时间． 导火线燃烧速度为，燃烧时间为； 人需要跑，跑步速度为，跑到安全区的时间为． ∴ ， 解得， 因此导火线必须超过． 15． 【分析】先由一元一次方程的解法以及一元一次不等式的解法求解y的值与x的范围，再结合条件确定的取值范围，由此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有非负整数解， ∴且为整数， 即，可得，且为偶数，即为奇数； ∵关于的不等式组， ∴解可得，，解可得，， ∵不等式组的解集为， ∴，解得， ∴，且为奇数， ∴符合条件的整数为，， 它们的和为． 16． 925 521 【分析】（1）要使方加数最大，优先让百位数字a取最大9，结合关系式，利用数位不为0推出的最大取值，再求出对应c，即可得到最大三位数． （2）由N为奇数确定个位c是奇数，结合a的取值范围确定b只有1、2两种取值；把三位数与两位数代数式化简合并，代入整理式子；利用3的倍数特征，判断只需前半部分式子能被3整除，筛选出符合条件的b；结合取值范围确定c的可能值，写出所有符合条件的数，比较大小得出最小值． 【详解】解： 为三位数的百位数字， ，且a，b，c均为不为0的正整数． 要使三位数N最大，则百位数字a取最大值9． ， ． ， ． 是正整数， 最大可取2． 当时， ， 此时三位数为925． 方加数N的最大值为． 三位数是方加数， ． 是奇数， 个位数字c为奇数． ，， ． 又为不为0的正整数， 或． ，， ． 将代入得 ． 是的倍数， 能被整除． 要使整个式子为整数，只需能被整除即可． 当时， ， 121不能被3整除，不符合题意，舍去． 当时， ， 462能被整除，符合题意． 只能取2， 此时， ， ，即． 又是不为0的奇数， 可取1，3，5． 当时，，； 当时，，； 当时，，． ， 满足条件的N的最小值为521． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： 解得 ∴不等式的解集为； （2）解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为． 18．见解析 【详解】解：解不等式组． 解不等式①，得： 解不等式②，得： 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 不等式组的解集为． 19．至少需要6个这样的机器人． 【分析】设需要个这样的机器人同时工作1小时，由总采摘量不少于10000个建立一元一次不等式求解即可． 【详解】解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据运算规则列出关于x的不等式，再求解即可； （2）先解一元一次方程得到x的值，再代入列出关于a的不等式，求出a的范围后找出最小整数解即可． 【详解】（1） 解 ：∵， ∴ 解得； （2）解： 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 ∵ 将代入得 整理得 解得 ∴的最小整数解为． 21．(1)补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元 (2)有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台更最钱 【分析】（1）设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，根据素材1和素材2的购买情况列方程组求解即可； （2）设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，根据节能空调的数量不超过7台，且补贴后的实际总花费不超过16000元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设补贴后节能空调每台x元，智能洗衣机每台y元，由题可得： ， 解得：， ∴补贴后节能空调每台1500元，智能洗衣机每台1700元； （2）解：设采购节能空调a台，则采购智能洗衣机台，由题可得： ， 解得：， ∵a为正整数， ∴， 方案一：采购节能空调5台，智能洗衣机5台，元， 方案二：采购节能空调6台，智能洗衣机4台，元， 方案三：采购节能空调7台，智能洗衣机3台，元， ∵， ∴有三种采购方案，采购节能空调7台，智能洗衣机3台最省钱． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程的解的意义进行求解； （2）将方程组进行整理，利用整体思想得出，然后解二元一次方程组； （3）将不等式进行整理，利用整体思想得出，然后解一元一次不等式． 【详解】（1）解：将看作一个整体， ∵两方程形式完全相同， ∴根据方程的解的定义，得：，即； （2）解：将方程组整理，得：， ∵两方程形式完全相同，方程组的解是， ∴根据方程的解的定义,得:， ∴， 解得：； （3）解：将不等式整理，得：， ∵两不等式形式完全相同， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $