第二章相交线与平行线期末压轴题专项 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线综合应用，以动态几何、多线角平分线为核心，通过辅助线构造、分类讨论等方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|选择1-2题|平行线判定（同位角/内错角等）|从相交线性质到平行线判定的直接应用| |角平分线综合|选择5-6题、填空13-15题|角平分线+平行线→等角转化|角平分线性质与平行性质的叠加推导| |动态几何|解答19-23题|旋转分类讨论、辅助线（作平行线）|静态性质到动态变化的逻辑延伸，培养空间观念| |规律探究|选择7题、11题|操作归纳（n次平分线/同位角规律）|从特殊到一般的推理，发展数学思维|

七年级数学（北师大版）下册期末压轴题专项 第二章相交线与平行线 一、选择题 1.如图，将一直角三角尺与纸条叠放一起，下列条件不能说明纸条上下两边平行的是() A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=90°C.∠1=∠4 D.∠4+∠5=180° 2.如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头.为了使该村庄到码头的距离最短，码头应 建在（) 河 B C 衫村庄 A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 3.如图，已知∠ABC=104°，过点C作MN∥AB,作CD平分∠BCN,作CF⊥CD交AB于点F, 点G是直线CD上的一点，连接FG,LCGF与∠GFB的关系不可能是() A.∠CGF+∠GFB=62° B.∠CGF+LGFB=52° C.∠CGF+∠GFB=128 D.∠CGF+LGFB=138 4.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边AB与DE相交于点G,当EF∥BC时， LAGE的度数是() A.459 B.60 C.75° D.105 5.如图，AB∥CD，,点E为AB上方一点，FB,HG分别为LEFG,∠EHD的角平分线，若 LE+2LG=150°，则LEFG的度数为() A.90° B.95° C.100° D.105° 6.如图，AB∥CD,M是平面内一点，连接MB,MC,∠MCD的平分线与∠ABM的平分线交 于点N.若LCNB=120°，则∠M的度数为() D A.30° B.40° C.50° D.60° 7.如图，己知AB∥CD,CE、BE的交点为E,现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和 ∠DCE的平分线，交点为E;第二次操作，分别作∠ABE,和∠DCE,的平分线，交点为E2; 第三次操作，分别作∠ABE,和∠DCE,的平分线，交点为E;.；第n次操作，分别作 ∠ABE-和∠DCE的平分线，交点为E,.若∠En=a度，那么∠BEC等于()度. >E3 A.2"a B.2"a C. D.2la 8.如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜 面AB的调节角∠ABM)的调节范围为12°~70°，激光笔发出的光束DC射到平面镜上，若 激光笔与水平天花板（直线EF)的夹角LEPC=30°，则反射光束CH与天花板所形成的 角（∠PHC)不可能取到的度数为(） 天花板 P D 镜面 B wmmmtimmmmmmmmmmmmmmmm 水平桌面 A.20° B.50° C.70° D.120° 9.已知直线AB∥CD,点P在直线AB,CD之间，连接AP,CP.下面结论正确的个数为() ①如图1，若∠APC=a,∠PAB=B,则∠PCD=360°-a-B; ②如图2，点0在AB,CD之间，当∠QAP=∠QAB,∠QCP=∠QCD,则∠APC+2∠AQC=360° ③如图2，点9在AB,CD之间，当40AP=2LQAB,LQCP=2LQCD,则∠APC+3∠AQC=360°； ④如图3，∠PAB的角平分线交CD于M,且AM∥PC,点N在直线AB,CD之间，连接 CN.MN,∠CN=CD,乙AN=MD,a>1,则∠P和∠N的关系为分-（用含 n的式子表示，题中的角均指大于0°且小于180°的角). 图1 图2 图3 A.1 B.2 C.3 D.4 1O.如图，已知直线AB∥CD,直线EF分别交直线AB,CD于点E,F,EM平分∠AEF交CD 于点M,G是射线MD上一动点（不与点M,F重合），EH平分∠FEG交CD于点H.设 LMEH=a,LEGF=B.有下列四个式子：①2a=B;②2a-B=180°；③a-B=30°；④ 2a+B=180°.其中正确的是() A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④ 11.如图，1∥12，第1次，作马相交4、2，则产生了4对同位角，第2次，作相交4、2、 马，则又产生了12组同位角，第3次，作1相交4、马、4、，则又产生了24组同位角， 推测第6次又产生了()对同位角. 文兴 A.60 B.84 112 D.144 12.如果∠a和∠B互补，且∠a<∠B,那么下列式子中一定表示∠a的余角的有()个 ①90-1a；②∠B-90°；③180-∠B):④)2B-∠a. A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 13.如图，AB∥CD,点E和点F分别在AB和CD上，点G在AB和CD之间，连接EG和FG. LEGF=I30°，过点E作射线EH,过点F作射线FK.且nZAEH=LGEH,nZDFK=LGFK ,点P和点Q分别在FK和EH上，连接PQ,∠FPQ-∠EQP=24°，则的值是 A E B K H D F 14.如图(1)，已知AB∥CD,∠ABE与LCDE的角平分线相交于点F,下列结论：① LABE+LCDE+LE=360°；②若∠E=70°，则LBFD=145°；③如图(2)中，若LE=80°， ∠48M-4F,∠CDM-∠CDF,则∠M=75:④如图(2)中，若∠B=m, 48M-4BF,4cDM-<c0F,则∠W=(69小.其中正确的是 (填正确结 论的序号) D 图(1) 图(2) 15.如图，已知AB∥CD,BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE,若2LE-∠F=54°，则∠CDE= 16.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,连接BD,过点A作AE∥BD,连接DE,BE,DE平 分∠ADB,且ED⊥CD,若∠AED+∠BAD=I28°，则∠BCD-∠EAB的值为 17.一个角的余角的2倍比这个角的补角的，少27°，则这个角的度数为 18.如图所示，已知LC0D=a,∠AOB=B,a+B=180°，且0<<90°<B<180°.①图中小于 平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为3β+；③当∠C0D绕点0旋转一周， OE平分∠A0C,0F平分∠B0D,则∠E0F始终等于90°；④若B=130°，a=50°，当∠C0D 绕点0旋转一周，0G平分∠A0D,OH平分∠B0C,则∠G0H始终等于40°.其中正确的 结论 (填序号) D 三、解答题 19.如图1.点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使∠A0C=60°.将一直角三角板的直 角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边OW在直线AB的下方. 文a 图1 图3 (1)将图1中的三角板绕点0处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2.使一边0M在 ∠BOC的内部且恰好平分∠BOC,求∠CON的度数； (2)将图1中的三角板绕点0顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使o在∠A0C的内部. 则∠A0M-∠N0C= (3)将图1中的三角板绕点0沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线 OA、OC、ON中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 20.以直线AB上一点0为端点作射线0C,使LB0C=30°，将一个直角三角板的直角顶点放在 0处，即∠D0E=90°. (1)如图1，若直角三角板D0E的一边OE放在射线OA上，则∠C0D=; (2)如图2，将直角三角板D0E绕点O顺时针转动到某个位置，使0D在∠B0C内部，求 ∠BOD与LCOE的数量关系； (3)直角三角板DOE从边OE在射线OA上时，开始绕点O顺时针以3度/秒的速度转动一周， 同时射线0C绕点0以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线OB重合，再绕点0以相同 速度逆时针旋转，随直角三角板DOE的停止而停止.记旋转时间为t秒，射线OE、 OA形成的夹角（小于180度的角）为∠AOE,射线0C、0D形成的夹角为LC0D,当 ∠C0D-号40E时，求的值. D D 图1 图2 21.直线MN∥PQ,点A在直线P9上，点B在直线MN、PQ之间，LBAP=45°，点C在直线 MN上，记∠MCB=a(0°<a<22.5°). (1)如图1，求∠ABC的度数；（用含a的代数式表示） (2过点B作∠4BD交直线PD于点D(D在A的右侧)使得∠ABD∠ABC.点E为平面内 一点且满足∠MCE=BCE,直线CE与直线BD交于点F. (i)如图2，若点E在直线MW上方，求∠BFC与∠MCB的数量关系； (ii)如图3，若点E在直线MN下方，G是线段CB延长线的动点，H是线段BD上的动点， 且满足∠GFB+LHCF=150°，连接GH,试说明三角形BCF,BFG,BGH,BCH中必有某两 个三角形的面积相等. M C N E C N A A DO 图1 图2 图3 22.如图，CD∥AB,现将一块含30°的三角板EFG按如图1放置，∠G=90°，∠EFG=30°，使 点E、F分别在直线CD、AB上，设LGFB=a(0°<a<90). (1)求LDEG+LGFB的度数； (2)如果∠CEF的角平分线EH交直线AB于点H,如图2. ①当EH∥FG时，求a的度数； ②在①的条件下，如果点P是射线EC上的一点，将三角板EFG绕着点E以每秒1°的速度 进行顺时针旋转，同时射线PC绕着点P以每秒4°的速度进行顺时针旋转，射线PC旋转一 周后停止转动，同时三角板EFG也停止转动.当旋转多少时间时，CP与△EFG的一边平行？ C C D G G A B A H F 图1 图2 23.已知，如图，AB平行CD,直线MN交AB于点M,，交CD于点N,点E是线段MN上一点， P,Q分别在射线MB,ND上，连接PE,EO,PF平分∠MPE,OF平分LDQE. (1)如图1，当PE⊥QE时，直接写出∠PFQ的度数； (2)如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由： (3)如图3，在(1)问的条件下，若∠APE=46°，∠MND=68°，过点P作PH⊥QF交QF的 延长线于点H,将MW绕点N顺时针旋转，速度为每秒4°，直线MN旋转后的对应直线为 M'N,同时将△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒11°，△FPH旋转后的对应三角形为△ F'PH',当MN首次与CD重合时，整个运动停止.在此运动过程中，经过(t≥O)秒后， M'W恰好平行于△F'PH'的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值 A M/ P B A M PB AM人PB CNO CNO D 图1 图2 图3 参考答案 1.C 【详解】解：如图， A、∠1=∠3， ∴.a∥b,原选项不符合题意； B、:∠3+∠4=90，∠2+∠4=90°， .∠2=∠3， ∴.a∥b,原选项不符合题意； C、由∠1=∠4，不能判定a∥b,原选项符合题意； D、:L4+∠5=180°， ∴.a∥b,原选项不符合题意. 2.C 【详解】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点C处 3.D 【详解】解：如图所示，过点G作GH∥AB :∠ABC=104°，MN∥AB N-C M .∠NCB=∠ABC=104°，∠MCB=-180°-∠ABC=76° D :CD平分∠BCN, :∠NCD=∠BCN=529 2 .∠MCF=180°-90°-52°=389 :MN∥AB ∴.∠CFB=∠MCF MN∥AB,GH∥AB .GH∥MW .∠CGH=∠NCG=52 ,GH∥AB ∴.LHGF=LGFB 设LHGF=LGFB=a .LCGF+LGFB=LCGH+LHGF+∠GFB=52°+2a 当G在MN和AB之间时，0°≤∠CFG≤38°，即0≤<a≤38 E .52°≤∠CGF+LGFB≤128°， G C 当G在MN的上方时，如图所示， 同理可得LCGF+∠GFB=∠HGC=∠MCD=180°-NCD=128° 当G在AB的下方时，如图所示， 同理可得LCGF+∠GFB=∠CGH=∠NCG=52°. G D 4.C 【详解】解：过点G作HG∥BC, EF∥BC, .HG∥EF∥BC, ∴.LHGB=∠B,LHGE=LE, D 在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠E=60°，∠B=45°， ∴.LHGB=∠B=45°，∠HGE=∠E=60°， .∠EGB=∠HGE+LHGB=60°+45°=105°， ,∠AGE+∠EGB=180°， .∠AGE=180°-105°=75°. 5.C 【详解】如图，过G作GM∥AB, .L2=∠5， :AB∥CD, .MG∥CD, ∴.∠6=∠4， .ZFGH =25+26=22+24, FB、HG分别为LEFG、∠EHD的角平分线， :∠A=∠2=∠EFG,∠3=∠4=∠EHD, :∠E+2∠FGH=150°， .∠E+2(∠2+∠4)=∠E+2∠2+2∠4=∠E+2∠2+∠EHD=150°， AB∥CD, .ZEHD ZENB, E '∠I=∠ENB+LE, .∠EHD=∠1-∠E=∠2-∠E, .∠E+2∠2+（∠2-∠E)=150°， 解得L2=50°， D ∠EFG=2∠2=100° 6.D 【详解】解：解：如图，过点M作EF∥AB,过点N作PQ∥AB, :AB∥CD; E--- ∴.EF∥PQ∥AB∥CD, ∴.∠EMC=LMCD,∠FMB=∠MBA, P. :.∠CMB=180°-（∠EMC+∠FMB)=180°-（∠MCD+∠MBA), D 同理可得：∠CNB=180°-（∠NCD+∠NBA), .∠CNB=120°， ∴.∠NCD+∠NBA=60° :∠MCD的平分线与∠ABM的平分线交于点. NBA-MBA,ZNCD-ZMC .∠MCD+∠MBA=2(∠NBA+∠NCD)=120° ∴.∠CMB=180°-（∠MCD+∠MBA)=60°. 7.A 【详解】解：如图，过E作EF∥AB, :AB‖CD, :AB∥EF∥CD, :ZABE ZBEF,ZDCE ZCEF :ZBEC ZBEF +ZCEF :ZBEC ZABE 2DCE 同理∠BE,C=∠ABE,+∠DCE, :∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E, RERE ZDCEDCE ∠BEC=ABE+DcE=ABE+∠DcE)=BEc, 同理∠BE,C=∠ABE,+∠DcE号4E+DcE-BEC-BC, 2 ∠BE,C=∠BE,C=∠BEC, 2 8 LE,=2∠BEC, ∠En=a度， .∠BEC=2"a度. 8.B 【详解】解：当12°≤∠ABM≤60°时，如图1所示，过点C作CQ∥MN, :MN∥EF, 天花板 ∴.MN∥EF∥CQ, E wwwuiii e ∴.∠PCQ=∠EPC=30°，∠BCQ=∠ABM, A .∠PCB=∠PCQ+∠BCQ=30°+∠ABM, 镜面 由反射定理可知，∠ACH=∠PCB=30°+LABM, ywwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 水平桌面 图1 .∠PCH=180°-∠ACH-∠PCB=120°-2∠ABM, ∴.∠HCQ=∠PCH+∠PCQ=150°-2∠ABM, .∠PHC=180°-∠HCQ=30°+2∠ABM, .54°≤∠PHC≤150°； 当60°<∠ABM<70°时，如图2所示，过点C作CQ∥MN, 天花板 F 同理可得 D ∠PCQ=∠EPC=30°，∠BCQ=∠ABM,∠PHC=∠HCQ, A ∴.∠ACP=∠HCB=∠HCQ+∠QCB=∠PHC+∠ABM, 镜面 B ∴.∠PCH=180°-∠ACP-∠HCB=180°-2∠PHC-2∠ABM, wwwwwwwwwww 水平桌面 图2 ∴.∠HCQ=∠PCQ-∠PCH=2∠PHC+2∠ABM-150°， .∠PHC=150°-2∠ABM, .10°≤∠PHC<30°， 综上所述，54°≤LPHC≤150°或10°≤LPHC<30°. B 9.D 【详解】解：①过点P作PQ∥AB,则PQ∥AB∥CD, 图1 ∠PAB=B, ∴.∠AP9=180°-B, ∠APC=a, ∴.∠CP0=a-180°+B, .∠PCD=180°-∠CPQ=180°-a+180°-B=360°-a-B;①正确； ②点P作PM∥AB,过点Q作QN∥AB,则PM∥AB∥CD,QN∥AB∥CD, ∴.∠PAB+∠APM=180,∠PCD+∠CPM=180°， .∠PAB+∠PCD+LAPC=360°，即LAPC=360°-LPAB+∠PCD), 同理：∠AQC=∠BAQ+∠DCQ, :∠OAP=∠QAB,∠QCP=∠QCD, 图2 i∠B0-PAB∠Dc0=PcD, .∠APC=360°-（∠PAB+∠PCD)=360°-2（∠BA0+LDC2)=360°-2LA9C, .∠APC=360°-2∠AQC,即∠APC+2∠AQC=360°，②正确； ③过点P作PM∥AB,过点Q作QN∥AB,则PM∥AB∥CD,QN∥AB∥CD, .∠PAB+∠APM=180,∠PCD+∠CPM=180°， ∴.∠PAB+∠PCD+LAPC=360°，即LAPC=360°-LPAB+∠PCD), 同理：∠AQC=∠BAQ+∠DCQ, 图2 ∠QAP=2∠QAB,∠QCP=2∠QCD, ∠BA0PAB∠Dc0SPcD, .LAPC=360°-(LPAB+LPCD)=360°-3LBA0+∠DCQ)=360°-3LAQC, :∠APC=360°-3∠AQC,即∠APC+3∠AQC=360°，③正确： ④过点P作PE∥AB,则PE∥AB∥CD, --E D PE∥AB, 图3 .∠APE+∠PAB=180°，即∠APE=180°-∠PAB, PE∥CD, .LCPE=180°-∠PCD, LAPC=360°-∠PAB+∠PCD) 过点N作NF∥AM, AM∥PC, .NF∥PC, ∴.∠CNF=∠PCN, NF∥AM, .∠FNM=∠AMN, :AB∥CD, ∴.∠BAM=LAMC, :AM平分∠BAP, i∠a4W-a4P, ∠AMC=180°-∠AMF, C)BAP=180°-∠AM :∠AMN=上∠NMD,∠AMN+∠NMD=LAMF n :∠AMN=L∠AM, n+1 :∠FNM=∠AMN=L∠AMF, n+1 ZPCN =nZNCD,ZPCN+ZNCD ZPCD ∠PCN=”∠PCD, n+1 ∠CNF=∠PCN=”∠PCD, n+1 .∠MNC=∠CNF-∠FNM, BC=∠CF=ZFNM-2PcD-∠Af n+1 BAP=180-∠AMF, 2 ∴.BAP=360°-2∠AMF, .LAPC=360°-∠PAB+∠PCD)=360°-(360°-2LAMF+∠PCD) =2∠AMF-∠PCD, AM∥PC, .ZPCD=ZAMF .ZAPC 2ZAMF-ZAMF ZAMF, :.∠MNC=”∠PCD-1∠AMF=n∠AMF-1∠AMF=I-∠AMF, n+1 n+11 n+11 n+11 n+1 n-∠AMFn-l,④正确. :ZMNC =n+1 ∠APC ∠AMFn+1 综上，正确的有4个 10.B 【详解】解：当点G在点F右侧时，如图示： E —B :EH平分∠FEG,EM平分∠AEF, ∠MEF --ZAEF,，ZFEH -ZFEG, F :AB∥CD, .∠BEG=∠EGF=B. ∠MEH=a=∠MEF+∠FEH=KAEF+∠FEG)=2080P-∠BEG)=2080-B), .2a+B=180°， 当点G在M和F之间时，如图： :EH平分∠FEG,EM平分∠AEF, ∠wEF-ABr,∠FEH-FEG, 1 :AB∥CD, C M GH F D .∠AEG=∠EGF=B. AEH=a=∠MEF-∠FEH-AEF-号4FEG-0s0-∠BEP)-s0-B-∠BEA)-=P, ∴.2a=B,则2a-B=0; 综上：①④正确，②③错误. 11.B 【详解】解：设作第n次直线后产生的同位角对数为a, 第1次，作l,相交1、12，此时有2条被截直线l12,1条截线l,产生了a=4=2×1×2对同 位角； 第2次，作14相交1121，此时有3条被截直线1121,1条截线14，产生了 a,=12=2×2×3对同位角； 第3次，作1，相交11114，此时有4条被截直线l12114,1条截线l,产生了 a,=24=2×3×4对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有(n+1)条被截直线，1条截线，产生的同位角对 数a,=2×n×n+1; 当n=6时，代入上述规律公式a.=2×n×n+1)可得：a6=2×6×(6+1)=2×6×7=84(对). 12.C 【详解】解：∠a和∠B互补， .∠a+∠β=180°， ∠u的余角为90°-∠a. ①90°-L4,直接是余角，正确， ②LB-90°=(180°-∠a)-90°=90°-La,是余角，正确. ®80-∠))4a,不一定等于90-a,错误 ④2B-∠a)=2[180°-∠a)-∠a]=180-2∠a)=90-4a，是余角，正确. ∴.正确的有3个. 5.22 13/11 【详解】解：如图，分别过点P,2,G作PM∥AB,QN∥AB,GT∥AB, AB∥CD, A .PM∥AB,QN∥AB,GT∥AB, 0 .∠QPM=∠PON,∠AEH=∠EQN,∠DFK=∠FPM, G M--- ∠FPQ-∠EQP=24°， C D ∴.∠FPM-∠EQN=24°， ∴.∠DFK-∠AEH=24°， :n∠AEH=∠GEH,nZDFK=∠GFK, <GFK-<GEH=<GFK-∠GE)=2,AEEG,∠DK=n∠DrG, n n n n+1 :1∠GFK-1∠GEH=1(∠DFG-∠ABG=24, n+1 AB∥GT∥CD, ∴.∠AEG=LEGT,LDFG+LFGT=180°， ∠EGF=130°， .∠AEG+(180°-∠DFG)=130°， ∴.∠DFG-∠AEG=50°， ×50-=24, n+1 13 .n=12 14.①②④ 【详解】解：分别过E、F、M作EH∥AB,FG∥AB,MN∥AB, :AB∥CD, :AB FG HE MN CD, :∠ABE+∠BEH=180°，∠CDE+∠DEH=180°， :LABE+LCDE+LBEH+∠DEH=360°，即LABE+∠CDE+LE=360°，①正确； :∠E=70°，∠ABE+∠CDE+∠E=360°， ·LABE+∠CDE=360°-70°=290°， :∠ABE与LCDE的角平分线相交于点F, ∠ABF-ABE,∠DF-CDE, FG ABII CD, :∠BFG=∠ABF=∠ABE,∠DFG=∠CDF=∠CDE, ∠BFD=∠BrG+∠DrG-∠MBE+2cDE)=145,②正编： :∠E=80°，∠ABE+∠CDE+∠E=360°， B B :∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°， :∠ABE与LCDE的角平分线相交于点F, G :∠ABP=5ABE,∠CF=∠CDE, D D 图(1) 图(2) :∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF, 2 :∠ABM=∠ABE,∠CDM=∠CDE, 4 4 :MN∥AB∥CD, :∠BMN=∠ABM=∠ABE,∠DMN=∠CDM=∠CDE, A A :∠BMD=∠BMN+∠DMN=∠ABE+∠CDE)=0,③错误： 同理可符：若∠=，Bv-48P,<CDw-4C0F,则∠w=(9,故④正箱： n 故选：①②④. 15.36° 【详解】解：如图，过点E作EM∥AB,过点F作FN∥AB, :AB∥CD, .AB II EM II FN II CD, ∴.∠ABE=∠MEB,LCDF=LDFN,∠MED=LCDE,∠ABF=∠BFN, :BE平分∠ABF,DF平分∠CDE, &A8E=4BF,∠CDF=∠CDE, 1 2 设LABE=∠MEB=a,LCDF=LDFN=B, 则∠ABF=∠BFN=2a,LCDE=LMED=2B, LBED=LMEB+LMED=a+2B,LBFD=LDFN+LBFN=B+2a,2LBED-∠BFD=54°， .2(a+2B）-B+2a=54°， 解得：B=18°， .∠CDE=2B=36° 16.38°/38度 【详解】解：设LADE=x,∠EAB=y, DE平分∠ADB, ∴.∠ADE=∠BDE=x, AE∥BD, .LAED=LBDE=x,LEAD+LADB=180°， :∠AED+LBAD=128°， ∴.LADE+∠BAD=128°， ∴.∠EAB+∠BDE=52°， 即x+y=52°； AD∥BC, .∠ADC+∠C=180°， ED⊥CD, .LEDC=90°， ∴.∠ADE+∠C=90°， 即x+∠C=90°， .∠C-y=38°， 即∠BCD-∠EAB=38°. 17.78 【详解】解：设这个角的度数为x°，则余角为90-x°，补角为180-x°. 根据题意，得方程：)180-)-290-)=27 展开并化简：0--180+2=27 1.5x-90=27 1.5x=117 x=78. 18.①②③ 【详解】解：图中小于平角的角有：∠AOC,∠AOD,∠AOB,∠COD,∠COB,∠DOB,共有6个，故① 正确； ②图中所有小于平角的角之和为LA0C+∠AOD+∠A0B+∠C0D+LC0B+∠D0B =LAOC+∠COD+LDOB)+∠AOD+LCOB+LAOB =∠AOB+∠AOD+∠COB+∠AOB F B =∠AOB+LAOC+∠COD+∠DOB+∠COD+LAOB =B+(a+B)+B =3B+a,故②正确； ③当∠c0D绕点0旋转一周， 如图所示，当LCOD在∠AOB内部时， :OE平分∠AOC,OF平分∠BOD, :∠EOC=}∠AOC,∠BOF=∠B0D,∠AOC+∠BOD=B-a :∠E0F=∠B0C+∠C0D+∠F0D=B-a+a=a+B)=90 当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时， :OE平分∠AOC，,OF平分∠BOD, ∠E0C-3A0C,∠r0D-5∠B0D, 2 ∠AOC+∠BOD=a+B-2∠BOC ∠B0F=∠E0C+∠B0F+∠B0c=B+a-2∠B0C1+ZB0C=5a+B)=90e 当∠COD在∠AOB外部时 OE平分∠AOC,OF平分∠BOD, :∠EOC=∠4OC,∠FOD=∠BOD, ∠AOC+∠BOD=a+B+2∠BOC i∠EoF=∠E0C+∠B0F-∠B0C=B-a+2∠B0C)-∠B0c=a+P)=90 当OD在∠AOB内部，OC在∠AOB外部时， OE平分∠A0C,0F平分∠BOD, ∠A0E=40C,∠F0D=∠B0D,A0C+∠B0D=a+B-2Z40D 2 ∠0F=∠40E+∠D0F+∠A0n=B-a-2Z40Dj+∠A0n=a+l=0 综上所述，LE0F始终等于90°，故③正确； ④若B=130°，a=50°，当4C0D绕点0旋转一周， D 如图所示，当0D在∠G0H的内部，0C在∠GOH外部时， OG平分LA0D,OH平分∠B0C, ∠40G=∠c0D-40D,2c0H-Boc .GOW-ZCOM-ZcOG-B0c-co-40D 2 -a0B+∠40C-∠coD +∠AOD =∠AOB-∠CoD+∠4OD+∠A0C H B =1∠AOB-∠COD+5∠COD 2 A -2408-o0 1 ×130°-50) =40° 如图所示，当0D在∠G0H的外部，OC在∠GOH内部时， H D :0G平分LA0D,OH平分∠B0C, B :∠A0G=∠GOD=∠AOD,∠COH=∠BOC ∠coH=∠c0H+2coGB0c÷}40D-4c0D} 240B-∠A0c)-2CoD+540n -408-∠c0D+∠a0D-∠40g 号408-2co0+5con -∠408-2C0D) 1 =2x130°-50) =40°； 如图所示，当0D、OC在∠GOH的外部， OG平分∠A0D,OH平分∠B0C, :∠AOG=∠G0D=∠AOD,∠COH=∠BOC 2 ∠coH=∠coH+∠coG=5∠B0c+G∠0D+Lc0D 2 D -360°-∠408-∠40C+2C0D+540D =180°-∠A0B+∠COD+(LA0D-∠A0C) 2 2 =180°-1∠A0B+∠C0D-1∠C0D 2 2 =180-240B-∠0Dj 108°-×130°-509 =140°； ∠G0H始终等于40°或140°，故④不正确 19.(1)解：：∠A0C=60°， ∠B0C=180°-∠A0C=180°-60°=120°， OM恰好平分∠B0C, ∠C0M=1∠B0C=x120°=60， 2 ∠C0N=∠C0M+∠M0N=60°+90°=150°； (2)解：：∠A0N=∠M0N-∠A0M=90°-∠A0M, ∠A0N=∠A0C-∠N0C=60°-LN0C, 90°-∠A0M=60°-∠N0C, :∠A0M-∠N0C=90°-60°=30°. (3)解：分三种情况讨论： ①如图，当OA平分∠A0N时， ∠A0N=∠A0C=60°， :旋转的角度是90°-60°=30°； ②如图，当ON平分∠AOC时， ∠40N-A0c=x60=30, :旋转的角度是90°+30°=120°； ③如图，当0C平分∠A0N时， ∠A0N=2∠A0C=120°， :旋转的角度是120°+90°=210°； 综上，当射线0A、0C、ON中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度 数是30°或120°或210° 20.(1)解：：若直角三角板D0E的一边OE放在射线OA上，LD0E=90°，LB0C=30°， ∴.LC0D=180°-∠D0E-LB0C=180°-90°-30°=60°. C 故答案为：60° D (2)解：如图所示，0D在∠B0C内部， .∠C0D=∠B0C-∠B0D=30°-∠B0D, ∠D0E=90°， .∠C0E+∠C0D=90°， .LC0D=90°-∠C0E, ∴.30°-∠B0D=90°-∠C0E, ∴.∠C0E-∠B0D=60°. （3)解：如图，当0C顺时针旋转时， E OE的速度为3度/秒，0C的速度为1度秒， ∴.∠A0E=3t,∠B0C=30°-t, B ∴.LC0D=180°-∠A0E-∠D0E-∠B0C=60°-2t, :∠COD= ∠A0E, 3 ·60-21=3×31, 解得：t=20. 如图，当OC逆时针旋转，OE在AB上方时， ∴.∠A0E=3t,∠B0C=t-30°， ∠C0D=∠A0E+∠D0E-LA0C,∠A0C=180°-∠B0C, :∠C0D=31+90°-[180°-(-30)]=41-120°， ∠C0D三Z4OE, :41-120°=×3， 3 解得：t=40. D 如图，当OC逆时针旋转，OE在AB下方时， ∴.LA0E=360°-31，∠B0C=1-30°， .∠A0D=90°-(360°-31)=31-270°， B ∴.∠C0D=180°-(t-30)-(31-270)=480°-41， :∠C0D=∠A0E, 3 :.480°-41=。×(360-3t), 3 解得：t=120. 此时，LA0E=0°，不符合题意，舍去， 综上所述：1=20或1=40. 21.(1)解：过点B作BK∥MN, M C N :BK∥MN, B、 ∴.∠KBC=∠MCB=a, :MN∥PQ, .BK I PO, .∠KBA=∠PAB=45°， ∴.LABC=∠KBA+LKBC=45°+a; (2)(i)法-：：∠ABD=;∠ABC且LABC=45+e, 3 40-4c=15+0,2c80-号48c=0 3, 过点F作FT∥MN,则FT∥PQ, M B :∠MCE=∠BCE, 2 D O .ZMCF=ZMCB=a, FT∥MN, ∴.LTFC=LMCF=, 过B作BI∥MN,则BI∥EF, .∠CBI=∠MCB=a, ,BI∥FT, 1 ∴.∠TFD=∠IBD=30°- 0, 3 M CN 8rc=r0-rc-30-小a=-: B CB: ·∠BFC=30-4 A DO 法二：∠ABD-A8c且上8C=45+a, :∠aBD-ABc=15+a,tc8D-号aBc-30+号a 3 2Fc=180-c80=180-30r0150-号a, :∠MCE=)∠BCE, ∴.∠MCF=∠MCB=a, .ZBCF 2a, ∴.∠BFC=180°-∠BCF-∠FBC -180-2a150-号0 2 4 =30°- N 3 E :∠BFC=30-4∠MCB, 3 (i)法-：：∠MCE=∠BCE,∠MCB=a, D O 2 30, :∠CBD=30+5a, ∴.∠CBF=180°-∠CBD=180°- 30°+2a）-150-2a, 3 3 ∴.∠BFC=180°-LCBF-LBCF, =180°- 〔w 2a=30° .∠GFB+∠HCF=150°， .∴：∠GFB+∠BFC+∠HCF=180°，即∠GFC+∠HCF=180°， ∴.FG∥HC, 设三角形BCF的面积为S,三角形BFG的面积为S2,三角形BGH的面积为S, 三角形BCH的面积为S4, :FG∥HC, :点C,H到GF的距离相等，则S,+S2=S2+S, .S=S,（或S+S4=S+S4,.1=S), 即三角形BCF的面积与三角形BGH的面积相等 M 法二：：∠MCE=∠BCE,LMCB=a, E .ZMCE-AICB-a.ZCE-NC8 2 2 3 :∠GFB+∠HCF=150°， .设LGFB=B,则∠HCF=150°-B, 又：scF-a, ∠BCH=∠HCF-∠BCF=150°-B-2 , 2 ∠GBF=∠CBD=30°+a, 3 ∠FGc=180-∠G8F-∠GFB=180-（30+号c-B=150-号a-B, 2 3 .ZFGC =ZBCH .FG∥HC, 设三角形BCF的面积为S,三角形BFG的面积为S2,三角形BGH的面积为S, 三角形BCH的面积为S4, :FG∥HC, :点C,H到GF的距离相等，则S,+S2=S2+S, S1=S,（或S,+S4=S+S4,S1=S) 即三角形BCF的面积与三角形BGH的面积相等. 22.(1)解：如图1，过点G,作GM∥AB, 30 :CD∥AB,MG∥AB, .CD∥MG, 图1 :∠MGF=∠BFG,∠DEG=∠EGM, :LDEG+LBFG=LEGM+LMGF=∠EGF=90°， :∠DEG+LBFG=90°； io (2)解：①：EH∥FG, :ZGFB ZEHF =a, E :HE平分∠CEF, G :LCEH=∠FEH, -B 又：CD∥AB, 图2 .LCEH=∠EHF=a,∠CEF=LEFB=2a, .2a=30°+a, 解得u=30°； ②如图2，当PC'‖EG时，延长GE至点Q, .PC'll GO, ∴.∠CPC'=∠CEQ, :∠CEQ=∠DEG, ∠CPC'=∠DEG, P E 由题意知，∠CPC=(4)°， F G 由①得∠DEG=90°-a+t=90°-30°=60°+1°， B 图3 (41°=60°+1°， 解得：t=20; 当PC'EF时， D ∠CPC'=LDEF, 由题意知得∠DEE=∠DEG+∠FEG=120°+t°， B ∴.（41°=120°+1°， 图4 解得1=40； 如图4，当PC'I‖FG时，延长GF交CE于点T,过点G作GV IICD, .∠GE=∠DEG=60°+t°， ∠FGE=90°， ∴.∠7GT=1°-30°， ∴.LETG=LVGT=t°-30°， .PC'Il FG, ∴.LDPC'=∠ETG=t°-30°， ∠DPC=(4t)°-180°， .(41)°-180°=1°-30°， E D 解得：t=50; 如图4，当PC'‖EG(第二次)时， 则LCPC'=LCEG, 图5 .360°-(41)°=180°-(60°+）， 解得：t=80; 综上，当旋转20秒或40秒或50秒或80秒时，CP与aEFG的一边平行. 23.(1)解：如图，延长PE交CD于G,设PE,FQ交于点H, 设∠4PE=2a,则∠FPH=∠4PE=a, AB CD A M P B ∠PGQ=∠APE=2a, H PE⊥QE, G .∠QEH=QEG=90°， .∠EQD=∠QEG+∠PGQ=90°+2a, ∠E01=∠00=45+a 在△EQH和△PFH中， :∠HEQ+∠HQE+∠EHQ=I80°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ, ∴.∠HEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH, A MI P B 即：90°+45°+a=a+∠PFH, F H ∠PFH=135°； E (2)解：2∠PFQ-∠PEQ=180°， 理由如下：如图，延长PE交CD于G,设PE,FQ交于点H, 设∠APE=2a,则∠FPH=}∠APE=a, 2 :AB‖CD, ∴.∠PGQ=∠APE=2a, ∠GEQ=180°-∠PE0, .∠EQD=∠QEG+∠PGQ=180°-∠PEQ+2a, ∠HQE=3E0D=90+aPB0, 在△EQH和△PFH中， ∠PEQ+∠HQE+∠EHQ=180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH=180°，∠PHF=∠EHQ, .∠PEQ+∠HQE=∠FPH+∠PFH, 即：∠PEQ+90°+a- E)∠PE0=a+∠PFQy .2∠PFQ-∠PEQ=180°； (3)解：：∠MND=68°， 1m-68=17, 4 ∠MND=68°-41， :LAPE=46°，PF是∠APE的平分线， ∠APF=23°， .∠BPF=180°-23°=157°， 157 157°-11t,0≤1< :转动过程中，∠BPF= 11 -1s ≤t≤17 由(1)知，∠QFP=135°， ∠HFP=45°， ,PH⊥FH, ∠PHF=45°， .∠HPM=45°-23°=22°， :∠HPB=180°-22°=158°， 158°+11t,0≤t<2 :在转动过程中，∠HPB= 202°-11t,2≤t≤17 设QH所在直线与射线PB的夹角为， a=90°-∠HPA=68°， 68°+11k,0s1<112 11 ·在转动过程中，= 292°-11t, 112 ≤t≤17 11 ①当MN∥PF时， 当0≤1<15？时，此时，F在AB下方， 11 .∠MND+∠BPF=180°， 即，68°-41+157-111=180°， 解得：t=3, 画当1577时，此时，F在AB上万 ∠MND=∠BPF, 即，68°-41=11t-157°， 解得：t=15, ②当MN∥HP时， ()当0≤t<2时，此时，H在AB上方， .∠MND=∠HPB, 即，68°-4t=158°+111， 解得：t=-6,舍去， (i)当2≤t≤17时，此时，H在AB下方， ∴.∠MND+∠HPB=180°， 即，68°-41+202°-11t=180°， 解得：t=6, ③当MN∥FH时， O当0≤1<12时，∠MwD=a, 11 即，68°-4t=68°+11t, 解得：t=0, m当12≤1≤17时，∠MND+a=180o 即，68°-41+292°-11t=180°， 解得：t=12, 综上所述，t=0或3或6或12或15.