第7章　计数原理 培优课　二项式定理破解三项式问题课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“二项式定理破解三项式问题”，系统梳理三项式展开的转化策略，通过要点深化搭建从二项式定理到三项式问题的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于结合题型分析（如(x+y+z)⁴项数计算、(a-2b-3c)⁴特定项系数求解），运用数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），总结因式分解法、逐层展开法等技巧，助力学生提升抽象能力与解题逻辑，教师使用可高效开展分层教学。

第7章　计数原理 培优课　二项式定理破解三项式问题 要点深化·核心知识提炼 对于三项式的展开问题,一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解,但在转化为二项式的时候,又有不同的处理策略:一是若三项式能够化为完全平方的形式,或者能够进行因式分解,则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析,进而解决问题;二是不能化为完全平方的形式,也不能进行因式分解时,可直接将三项式加括号变为二项式,套用通项公式展开后,对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解,但要结合要求解的问题进行合理的变形,以利于求解. 题型分析·能力素养提升 【例题】 (1)(x+y+z)4的展开式共(　　) A.10项 B.15项 C.20项 D.21项 B 解析 ∵(x+y+z)4=[(x+y)+z]4 =(x+y)4+(x+y)3z+(x+y)2z2+(x+y)z3+z4,由二项式定理可知, (x+y)n展开式中共有n+1项,∴(x+y+z)4的展开式共有5+4+3+2+1=15(项).故选B. (2)(x+-2)4的展开式中,常数项为(　　) A.-72 B.-70 C.70 D.72 C 解析 (x+-2)4=()8展开式中,第r+1项Tr+1=(-)r()8-r =(-1)rx4-r,所以常数项为T5=(-1)4=70.故选C. (3)(a-2b-3c)4的展开式中abc2的系数为(　　) A.208 B.-216 C.217 D.-218 B 解析 根据二项式定理可得,(a-2b-3c)4=[a+(-2b-3c)]4的展开式中,含abc2的项为·a1··(-2b)1·(-3c)2=-216abc2,所以(a-2b-3c)4的展开式中abc2的系数为-216.故选B. 题后反思　(a+b+c)n展开式中特定项的求解方法 跟踪训练(1)在(x+-y)9的展开式中,x4y3的系数为　　　　　.  -504　 解析 二项式(x+-y)9的通项公式为Tr+1=·(x+)9-r·(-y)r,令r=3,二项式(x+)6的通项公式为T'r'+1=·x6-r'·()r'=·x6-2r',令6-2r'=4⇒r'=1,所以x4y3的系数为·(-1)3·=-504.故答案为-504. (2)(x2-3x+2)3的展开式中,x的系数为　　　　　.  -36 解析 因为(x2-3x+2)3=(x-1)3(x-2)3,因此(x2-3x+2)3的展开式含x的项是(x-1)3展开式的x一次项与(x-2)3展开式的常数项的积,加上(x-2)3展开式的x一次项与(x-1)3展开式的常数项的积的和,即x·(-1)2·(-2)3+(-1)3·x·(-2)2 =-36x,所以(x2-3x+2)3的展开式中x的系数为-36.故答案为-36. (3)在(ax-y+z)7的展开式中,记xmynzk项的系数为f(m,n,k),若f(3,2,2)=,则a的值为　　　　.  　 解析 因为在(ax-y+z)7的展开式中,记xmynzk项的系数为f(m,n,k),所以xmynzk项的系数f(m,n,k)=am(-1)n, 即f(m,n,k)=(-1)nam,由f(3,2,2)=,可得(-1)2a3,即35×6a3=, 所以a=.故答案为. $