第7章 培优课 二项式定理的综合应用（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学讲义通过题型分类系统构建二项式定理知识体系，将求特定项、三项展开式、整除问题等核心内容按“例题解析-通性通法-跟踪训练”递进组织，用分步解析呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-方法-应用”的分层设计，如例3用二项式定理解决整除问题，培养逻辑推理与运算能力（数学思维），通性通法总结帮助学生形成解题模型，支持不同层次学生自主复习，为教师精准教学提供清晰路径。

题型一｜求两个二项式乘积的特定项问题 【例1】　（1）（x2＋1）（2x－）6的展开式中常数项为（A） A.－100 B.100 C.－50 D.50 解析：（2x－）6展开式的通项为Tk＋1＝·（2x）6－k（－x－1）k＝（－1）k·26－kx6－2k，令6－2k＝0，则k＝3，令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23＋22＝－160＋60＝－100. （2）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－28（用数字作答）. 解析：（x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝x8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝x2y6，令r＝5，得T5＋1＝x3y5，所以（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－＝－28. 通性通法 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； （2）找到构成展开式中特定项的组成部分； （3）分别求解再相乘，求和即得. 【跟踪训练】 　已知（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为－640. 解析：（x＋）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝x6－k（）k＝2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝（舍去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－a22＝－240，解得a＝4.令6－2k＝－1，得k＝（舍去）；令6－2k＝0，得k＝3.故（2x－4）（x＋）6的展开式中的常数项为－4·23＝－640. 题型二｜求三项展开式中的特定项问题 【例2】　（1）（＋＋）5（x＞0）的展开式中的常数项为； 解析： （＋＋）5（x＞0）可化为（＋）10，因而Tr＋1＝·（）10－r·（）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为·（）5＝. （2）（x2－＋y）6的展开式中，x3y3的系数是－120.（用数字作答） 解析：（x2－＋y）6表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是×（－2）＝20×3×（－2）＝－120. 通性通法 求三项展开式中特定项（系数）的方法 【跟踪训练】 1.（2x2－x－1）5的展开式中x2的系数为（　　） A.400 B.120 C.80 D.0 解析：D　（2x2－x－1）5＝（x－1）5（2x＋1）5，（x－1）5的展开式的通项为x5－r（－1）r，r＝0，1，…，5，（2x＋1）5的展开式的通项为（2x）5－k，k＝0，1，…，5，故原式的通项为（－1）r25－kx10－（k＋r），当10－（k＋r）＝2时，k＋r＝8，此时k与r的取值有3种情况，分别为k＝3，r＝5；k＝4，r＝4；k＝5，r＝3.故展开式中x2的系数为（－1）522＋（－1）42＋（－1）3＝0. 2.求（x－2y＋1）5的展开式中含x2y项的系数. 解：（x－2y＋1）5＝[1＋（x－2y）]5， 设该二项式的通项公式为Tr＋1＝·15－r·（x－2y）r＝·（x－2y）r， 因为x2y的次数为3， 所以令r＝3，二项式（x－2y）3的通项公式为T'r'＋1＝·x3－r'·（－2y）r'， 令r'＝1，所以x2y项的系数为··（－2）＝－60. 题型三｜有关整除或求余数问题 【例3】　（1）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，则实数a的值为8； 解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋119×（－1）＋…＋（－1）10]＋a＝3（1110－119＋…－×11）＋3×1＋a.因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除.又因为0≤a＜11，所以a＝8. （2）（链接教科书第87页例5）用二项式定理证明1110－1能被100整除. 证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1 ＝（1010＋×109＋…＋×10＋1）－1 ＝1010＋×109＋×108＋…＋102 ＝100（108＋×107＋×106＋…＋1）. 故1110－1能被100整除. 通性通法 整除性问题或求余数问题的处理方法 （1）构造一个与题目条件有关的二项式； （2）用二项式定理解决问题，通常把被除数的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了. 【跟踪训练】 　已知Sn＝2n＋2n－1＋2n－2＋…＋2＋1（n∈N*），求证：当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除. 证明：因为Sn＝2n＋2n－1＋2n－2＋…＋·2＋1＝（2＋1）n＝3n， 所以Sn－4n－1＝3n－4n－1， 又n为偶数，可设n＝2k（k∈N*）， 则Sn－4n－1＝32k－8k－1＝（1＋8）k－8k－1 ＝＋8＋82＋…＋8k－1＋8k－8k－1 ＝82（＋8＋…＋8k－2）.　（*） 当k＝1时，Sn－4n－1＝0，显然能被64整除； 当k≥2时，（*）式能被64整除. 所以，当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除. 1.在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　） A.30 B.20 C.15 D.10 解析：C　因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝xk，所以x（1＋x）6的展开式中含x3的项为x3＝15x3，所以含x3项的系数为15. 2.（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为（　　） A.12 B.16 C.20 D.24 解析：A　法一　（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为1×＋2×＝12.故选A. 法二　∵ （1＋2x2）（1＋x）4＝（1＋2x2）（1＋4x＋6x2＋4x3＋x4），∴ x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A. 3.（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　） A.10 B.20 C.30 D.60 解析：C　法一　（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，含y2的项为T3＝（x2＋x）3·y2.其中（x2＋x）3中含x5的项为x4·x＝x5.所以x5y2的系数为＝30，故选C. 法二　（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为＝30，故选C. 4.今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期（　　） A.一　　　 B.二 C.三　　　 D.四 解析：A　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810＝（7＋1）10＝710＋×79＋…＋×7＋1＝7M＋1（M∈N*），所以第810天相当于第1天，故为星期一. 5.在（2＋x）6（1＋y）m的展开式中，若x3y的系数为800，则含xy4项的系数为（　　） A.30　　　 B.960 C.300　　　 D.360 解析：B　由题意可知×23×＝800，即160m＝800，解得m＝5，所以含xy4项的系数为×25×＝6×32×5＝960.故选B. 6.〔多选〕对于二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*），以下判断正确的有（　　） A.存在n∈N*，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 解析：AD　（＋）n的展开式的通项为Tr＋1＝·3r·，r＝0，1，2，…，n，（＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝·x4k－n，k＝0，1，2，…，n.则二项式（＋）n（＋x3）n（n∈N*）的展开式的通项为·3r···x4k－n，未知数x的次数为＋4k－n＝－－＋4k，令－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×3×＝75，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；令－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×30×x3××x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 7.（x＋2＋）3展开式中的常数项为20. 解析：因为（x＋2＋）3＝［］3＝，所以展开式中的常数项即分子（x＋1）6展开式中x3的系数，即＝20. 8.设（1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝. 解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n　①.令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n　②.①＋②得3n＋1＝2（a0＋a2＋…＋a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝. 9.若（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为30，则a＝2. 解析：（x＋）10的展开式的通项为Tr＋1＝x10－r·（）r＝x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为，所以（x2－a）（x＋）10的展开式中x6的系数为－a＝30，解得a＝2. 10.设的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝2. 解析：由5＞＞＝4，得的整数部分为4，则＝x＋4，所以（x＋4）4＝258，即x4＋4x3＋16x2＋64x＋256＝x4＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋16x3＋96x2＋256x＝2. 11.（1）试求1 99510除以8的余数； （2）求1.9975的近似值（精确到0.001）. 解：（1）1 99510＝（8×249＋3）10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310＝95＝（8＋1）5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即1 99510除以8的余数也为1. （2）1.9975＝（2－0.003）5≈25－×0.003×24＋×0.0032×23＝32－0.24＋0.000 72≈31.761. 12.已知（ax2＋）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1. （1）求n和a的值； （2）求（2x－1）（ax2＋）n的展开式中的常数项. 解：（1）由条件可得 解得 （2）（2x－1）（ax2＋）n＝（2x－1）（－2x2＋x－1）7. ∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝（－2x2）7－k（x－1）k＝（－2）7－kx14－3k. ∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x·（－2）2x－1＝168； 当14－3k＝0，即k＝时，舍去. ∴所求的常数项为168. 13.当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1＋）n＜3. 证明：（1＋）n＝＋×＋（）2＋…＋（）n＝1＋1＋×＋×＋…＋× ＝2＋×＋…＋× ＜2＋＋…＋＜2＋＋＋…＋ ＝2＋＝3－（）n－1＜3. 显然（1＋）n＝1＋1＋×＋×＋…＋×＞2. 所以2＜（1＋）n＜3. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $