第7章 培优课 二项式定理的综合应用（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

题型一｜求两个二项式乘积的特定项问题

【例1】　（1）（x2＋1）（2x－）6的展开式中常数项为（A）

A.－100 B.100

C.－50 D.50

解析：（2x－）6展开式的通项为Tk＋1＝·（2x）6－k（－x－1）k＝（－1）k·26－kx6－2k，令6－2k＝0，则k＝3，令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23＋22＝－160＋60＝－100.

（2）（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－28（用数字作答）.

解析：（x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝x8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝x2y6，令r＝5，得T5＋1＝x3y5，所以（x＋y）8的展开式中x2y6的系数为－＝－28.

通性通法

两个二项式乘积的展开式中特定项问题

（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点；

（2）找到构成展开式中特定项的组成部分；

（3）分别求解再相乘，求和即得.

【跟踪训练】

　已知（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为－640.

解析：（x＋）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝x6－k（）k＝2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝（舍去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋）6的展开式中x2的系数为－a22＝－240，解得a＝4.令6－2k＝－1，得k＝（舍去）；令6－2k＝0，得k＝3.故（2x－4）（x＋）6的展开式中的常数项为－4·23＝－640.

题型二｜求三项展开式中的特定项问题

【例2】　（1）（＋＋）5（x＞0）的展开式中的常数项为；

解析： （＋＋）5（x＞0）可化为（＋）10，因而Tr＋1＝·（）10－r·（）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为·（）5＝.

（2）（x2－＋y）6的展开式中，x3y3的系数是－120.（用数字作答）

解析：（x2－＋y）6表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是×（－2）＝20×3×（－2）＝－120.

通性通法

求三项展开式中特定项（系数）的方法

【跟踪训练】

1.（2x2－x－1）5的展开式中x2的系数为（　　）

A.400 B.120

C.80 D.0

解析：D　（2x2－x－1）5＝（x－1）5（2x＋1）5，（x－1）5的展开式的通项为x5－r（－1）r，r＝0，1，…，5，（2x＋1）5的展开式的通项为（2x）5－k，k＝0，1，…，5，故原式的通项为（－1）r25－kx10－（k＋r），当10－（k＋r）＝2时，k＋r＝8，此时k与r的取值有3种情况，分别为k＝3，r＝5；k＝4，r＝4；k＝5，r＝3.故展开式中x2的系数为（－1）522＋（－1）42＋（－1）3＝0.

2.求（x－2y＋1）5的展开式中含x2y项的系数.

解：（x－2y＋1）5＝[1＋（x－2y）]5，

设该二项式的通项公式为Tr＋1＝·15－r·（x－2y）r＝·（x－2y）r，

因为x2y的次数为3，

所以令r＝3，二项式（x－2y）3的通项公式为T'r'＋1＝·x3－r'·（－2y）r'，

令r'＝1，所以x2y项的系数为··（－2）＝－60.

题型三｜有关整除或求余数问题

【例3】　（1）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，则实数a的值为8；

解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋119×（－1）＋…＋（－1）10]＋a＝3（1110－119＋…－×11）＋3×1＋a.因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除.又因为0≤a＜11，所以a＝8.

（2）（链接教科书第87页例5）用二项式定理证明1110－1能被100整除.

证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1

＝（1010＋×109＋…＋×10＋1）－1

＝1010＋×109＋×108＋…＋102

＝100（108＋×107＋×106＋…＋1）.

故1110－1能被100整除.

通性通法

整除性问题或求余数问题的处理方法

（1）构造一个与题目条件有关的二项式；

（2）用二项式定理解决问题，通常把被除数的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了.

【跟踪训练】

　已知Sn＝2n＋2n－1＋2n－2＋…＋2＋1（n∈N*），求证：当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除.

证明：因为Sn＝2n＋2n－1＋2n－2＋…＋·2＋1＝（2＋1）n＝3n，

所以Sn－4n－1＝3n－4n－1，

又n为偶数，可设n＝2k（k∈N*），

则Sn－4n－1＝32k－8k－1＝（1＋8）k－8k－1

＝＋8＋82＋…＋8k－1＋8k－8k－1

＝82（＋8＋…＋8k－2）.　（*）

当k＝1时，Sn－4n－1＝0，显然能被64整除；

当k≥2时，（*）式能被64整除.

所以，当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除.