8.1.2 全概率公式 8.1.3 贝叶斯公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦全概率公式与贝叶斯公式，以“三个罐子取红球”情境导入，通过新知初探明确公式条件与推导，结合自我诊断题巩固基础，构建从情境到概念再到应用的学习支架，衔接条件概率与乘法公式，形成完整知识脉络。 其亮点在于以生活实例（如民意调查、射击问题）驱动教学，分题型（两个事件、多个事件、贝叶斯公式）设计典例，提炼“拆分-计算-求和”等通性通法，渗透数学抽象与数学运算素养。分层作业（A/B/C级）满足不同需求，助力学生深化逻辑推理能力，也为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

8.1.2　全概率公式 8.1.3　贝叶斯公式* 1 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率（数学抽象、数学运算）. 2.了解贝叶斯公式（不作考试要求）（数学抽象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装有2红 球2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球. 【问题】　如何求取得红球的概率？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　全概率公式 　一般地，若事件A1，A2，…，An两两 ，且它们的和 Ai ＝ ，P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有 P（B）＝ .这个公式称为全概率公式. 互斥　 Ω　 P（Ai）P（B｜Ai）　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）注意全概率公式的使用条件（i＝1，2，…，n）：① A1，A2，…，An两两互斥；②A1∪A2∪…∪An＝Ω；③P（Ai）＞0，i＝ 1，2，…，n.（2）全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P （B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜ A1）＋P（A2）·P（B｜A2）＋…＋P（An）P（B｜An）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　贝叶斯公式 　一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P （Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P（B）＞0， 有P（Ai｜B）＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 条件概率P（B｜A）＝ 乘法公式 　　　　　　　　P（AB）＝P（A）P（B｜A） 　　　　 全概率公式 P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai） 　　　　 贝叶斯公式 P（Ai｜B）＝ ，i＝1，2，…，n. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 贝叶斯公式的几何意义是什么？ 提示：如图所示，B是由A和 两个原因引起的结果，P （A｜B）表示原因A在结果B中的比重. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全概率公式中，A1，A2，…，An不一定是一组两两互斥的事件. （　×　） （2）使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间. （　√　） （3）设A，B为任意两个随机事件，则BA与B 是互斥的. （　√　） （4）贝叶斯公式是已知某结果发生的条件下，探求各原因发生的可能性大小. （　√　） × √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知事件A，B，且P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（B｜ ）＝ ，则P（B）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝ × ＋ × ＝ .故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 设甲乘火车、汽车前往某目的地的概率分别为0.4，0.6，火车和汽车正 点到达目的地的概率分别为0.8，0.9，则甲正点到达目的地的概率为 （　　） A. 0.72 B. 0.84 C. 0.86 D. 0.96 解析： 　设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的 地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P（B）＝0.4，P（C） ＝0.6，P（A｜B）＝0.8，P（A｜C）＝0.9.由全概率公式得P（A） ＝P（B）P（A｜B）＋P（C）P（A｜C）＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝ 0.32＋0.54＝0.86. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜两个事件的全概率问题 【例1】　（链接教科书第105页例3）某次社会实践活动中，甲、乙两个班 的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为 5∶3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 .求该社区居民遇到一位进行 民意调查的同学恰好是女生的概率. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事 件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P（A1）＝ ，P（A2）＝ ， 且P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝ . 由全概率公式可知P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜ A2）＝ × ＋ × ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 两个事件的全概率问题的求解策略 （1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分，如A1，A2（或A与 ）； （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； （3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2） P（B｜A2）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱 装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： （1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率； 由题意，得P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）P（C｜ B）＝ . 解：记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝ A∪B，且A，B互斥. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 解： P（A）＝ ＝ ， P（B）＝ ＝ ， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）P（C｜ B）＝ × ＋ × ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜多个事件的全概率问题 【例2】　（链接教科书第105页例4）甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射 击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7，飞碟被一人击中而击落的概率 为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，则飞碟必被击 落，求飞碟被击落的概率. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：设B＝“飞碟被击落”，Ai＝“飞碟被i人击中”，i＝1，2，3， 则B＝A1B＋A2B＋A3B，依题意得P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝ 0.6，P（B｜A3）＝1. 由全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2） ＋P（A3）P（B｜A3）， 为求P（Ai），设Hi＝“飞碟被第i人击中”，i＝1，2，3，则 P（A1）＝P（H1 ＋ H2 ＋ H3）， P（A2）＝P（H1H2 ＋H1 H3＋ H2H3）， P（A3）＝P（H1H2H3）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 又P（H1）＝0.4，P（H2）＝0.5，P（H3）＝0.7， 所以P（A1）＝0.36，P（A2）＝0.41，P（A3）＝0.14， 则P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P （B｜A3） ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 所以飞碟被击落的概率为0.458. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 “化整为零”求多个事件的全概率问题 （1）如图，P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）； （2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），事件 B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条 件下事件B发生的可能性的乘积之和. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其 他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1， A2，A3两两互斥，依题意，可得P（A1）＝50%，P（A2）＝30%，P （A3）＝20%，且P（B｜A1）＝95%，P（B｜A2）＝90%，P（B｜ A3）＝70%，由全概率公式，得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P （A2）P（B｜A2）＋P（A3）·P（B｜A3）＝50%×95%＋30%×90%＋ 20%×70%＝88.5%. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜贝叶斯公式* 【例3】　（链接教科书第107页例5）某人到武汉参加会议，他乘火车、轮 船、汽车或飞机去的概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4.如果他乘火车、轮 船、汽车前去，迟到的概率分别为 ， 和 ，乘飞机不会迟到.结果他迟 到了，求他乘汽车去的概率. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：设A＝“迟到”，B1＝“乘火车”，B2＝“乘轮船”， B3＝“乘汽车”，B4＝“乘飞机”， 根据题意，有P（B1）＝0.2，P（B2）＝0.1，P（B3）＝0.3，P（B4） ＝0.4. P（A｜B1）＝ ，P（A｜B2）＝ ，P（A｜B3）＝ ， P（A｜B4）＝0. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 由贝叶斯公式，有P（B3｜A）＝ ＝ ＝ ＝0.5， 即他乘汽车去的概率为0.5. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 应用贝叶斯公式求概率的步骤 （1）根据题目问题，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1， A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分； （2）利用全概率公式求出P（　B　）； （3）代入贝叶斯公式求得概率. B 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1 个黑球.采取掷一骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6 点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过上述选盒摸球后，摸得一 个白球，求此球来自乙盒的概率. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}，A2＝{摸出的球来自乙盒}，A3＝{摸出 的球来自丙盒}，B＝{摸得白球}， 则P（A1）＝ ，P（A2）＝ ，P（A3）＝ ， P（B｜A1）＝ ，P（B｜A2）＝ ，P（B｜A3）＝ . 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为 P（A2｜B）＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的 概率为（　　） A. B. C. D. 解析： 　设甲中奖为事件A，乙中奖为事件B，则P（B）＝P（B｜ A）P（A）＋P（B｜ ）P（ ）＝ × ＋ × ＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知P（BA）＝0.4，P（B ）＝0.2，则P（B）＝（　　） A. 0.08 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.5 解析： 　因为P（BA）＝P（A）P（B｜A），P（B ）＝P（ ） P（B｜ ），所以P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝P（BA）＋P（B ）＝0.4＋0.2＝0.6.故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 小李的朋友从远方来看他，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0，则他迟到的 概率为（　　） A. 0.65 B. 0.075 C. 0.145 D. 0 解析： 　设事件A1＝{他乘火车来}，A2＝{他乘船来}，A3＝{他乘汽车 来}，A4＝{他乘飞机来}，B＝{他迟到}.显然A1，A2，A3，A4构成一个完 备事件组，由全概率公式，得P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）＝ 0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的 概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的 概率为 ⁠. 解析：设事件B表示“中途停车修理”，事件A1表示“经过的是货车”， 事件A2表示“经过的是客车”，则B＝A1B＋A2B，P（A1）＝ ， P （A2）＝ ，P（B｜A1）＝0.02，P（B｜A2）＝0.01.由贝叶斯公式有 P（A1｜B）＝ ＝ ＝ 0.8. 0.8 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在 人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的 概率为（　　） A. 0.025% B. 0.032% C. 0.048% D. 0.02% 解析： 　设不吸烟患肺癌的概率为x，则0.2×0.004＋0.8x＝0.001，解 得x＝0.000 25＝0.025%.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知事件A，B满足P（A）＝ ，P（B｜A）＝ ，P（ ｜ ）＝ ，则P（B）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意可得：P（ ）＝1－P（A）＝ ，P（B｜ ）＝1－P （ ｜ ）＝ ，所以P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜ ）P （ ）＝ × ＋ × ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 在一个水果市场，有三个摊位售卖苹果.一号摊位的苹果来自果园A， 共50箱，其中优质果率为80%；二号摊位的苹果来自果园B，共40箱，优 质果率为70%；三号摊位的苹果来自果园C，共30箱，优质果率为60%.随 机购买一箱苹果，则买到优质苹果的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设事件M表示“买到优质苹果”，B1，B2，B3分别表示购买的 苹果来自一号、二号、三号摊位.则P（B1）＝ ＝ ，P（B2）＝ ＝ ，P（B3）＝ ＝ .P（M｜B1）＝0.8，P（M｜B2）＝0.7， P（M｜B3）＝0.6.由全概率公式可得P（M）＝P（B1）P（M｜B1） ＋P（B2）P（M｜B2）＋P（B3）P（M｜B3）＝ ×0.8＋ ×0.7＋ ×0.6＝ ＋ ＋ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生 知道正确答案的概率为 ，而在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果 他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确答案”，由全概率公 式得，P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（ ）P（A｜ ）＝ ×1＋ × ＝ .又由贝叶斯公式得，P（B｜A）＝ ＝ ＝ .故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕若0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则下列等式中成立的有 （　　） A. P（A｜B）＝ B. P（AB）＝P（A）P（B｜A） C. P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ） D. P（A｜B）＝ 解析： 　由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全 概率公式知C正确；P（B）·P（A｜B）＝P（AB），P（B）＝P （A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ），故D正确.故选B、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白 球.每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件A表示“第1 次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论 正确的是（　　） A. P（A）＝ B. P（B）＝ C. P（B｜A）＝ D. P（B｜ ）＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　P（A）＝ ＝ ，A正确；P（B｜A）＝ ＝ ＝ ，P（B｜ ）＝ ＝ ＝ .由全概率公式可知，P（B）＝P （A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝ × ＋ × ＝ .所以B、C 错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 有两箱同一种产品，第一箱内装50件，其中10件优质品，第二箱内装30 件，其中18件优质品，现在随意地打开一箱，然后从箱中随意取出一件， 则取到的是优质品的概率是 ⁠. 解析：设A＝“取到的是优质品”，Bi＝“打开的是第i箱”（i＝1， 2），则P（B1）＝P（B2）＝ ，P（A｜B1）＝ ＝ ，P（A｜B2） ＝ ＝ ，利用全概率公式，P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2） P（A｜B2）＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车 种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男 性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根 据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率是 ⁠. 解析：设男性中有x%购买了新能源车，则x%×60%＋40%×80%＝74%， 解得x＝70，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是70%. 70% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 某厂的产品中96%是合格品.现有一验收方法，把合格品判为“合格 品”的概率为0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为0.05.当用此验收 方法判一产品为“合格品”时，则此产品为合格品的概率为 ⁠. 解析：设“一产品经验收判为合格品”为事件A，“一产品为合格品”为 事件B. 由题知P（B）＝0.96，P（A｜B）＝0.98，P（ ）＝0.04， P（A｜ ）＝0.05.由贝叶斯公式得P（B｜A）＝ ＝ ≈0.997 9.故一产 品经验收判为“合格品”时，此产品为合格品的概率约为0.997 9. 0.997 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会.根据以往的经验，他骑自 行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50.他出发时首选自行 车，发现自行车有故障时再选择出租车.设自行车有故障的概率是0.01，试 计算李老师迟到的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则P（B｜A）是乘出 租车迟到的概率，P（B｜ ）是骑自行车迟到的概率. 根据题意P（A）＝0.01，P（B｜ ）＝0.05，P（B｜A）＝0.50. 因为A， 互斥，所以AB， B互斥. 利用概率的可加性得到P（B）＝P（AB∪ B）＝P（AB）＋P（ 　 B　）. 因为P（A）＞0，P（ ）＞0，再由全概率公式可知，李老师迟到的概 率P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝0.01×0.50 ＋（1－0.01）×0.05＝0.054 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱 数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失1箱，但不知丢失哪1箱.现从剩下 9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的1箱也是英语书的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　用A表示“丢失1箱后任取2箱是英语书”，用Bk表示“丢失的1 箱为k，k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式得 P（A）＝ P（Bk）P（A｜Bk）＝ × ＋ × ＋ × ＝ ，P （B1｜A）＝ ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响 股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的 概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的 情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价 格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为 ⁠. 解析：设A＝“利率下调”， ＝“利率不变”，B＝“股票价格上涨”. 依题意知P（A）＝60%，P（ ）＝40%，P（B｜A）＝80%，P （B｜ ）＝40%，则P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（ ）P（B｜ ）＝60%×80%＋40%×40%＝64%. 64% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 在一个抽奖活动中，有三个抽奖箱.抽奖箱A中有5个红球、3个白球、 2个黑球，抽奖箱B中有4个红球、4个白球、2个黑球，抽奖箱C中有3个红 球、5个白球、2个黑球.抽奖者先随机选择一个抽奖箱，然后从该箱中抽取 一个球.若抽到红球可获得一等奖，抽到白球可获得二等奖，抽到黑球无 奖.现在已知抽到了二等奖，那么该奖是从抽奖箱B中抽取的概率为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：设事件A表示“抽到二等奖（即抽到白球）”，B1，B2，B3分别表 示选择抽奖箱A，B，C. 则P（B1）＝P（B2）＝P（B3）＝ .P（A｜ B1）＝ ，P（A｜B2）＝ ，P（A｜B3）＝ .由全概率公式得P（A） ＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）·P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜ B3）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .由贝叶斯公式得P（B2｜A）＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3 个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； 解： 从甲箱中任取2个产品的取法种数为 ＝ ＝28， 这2个产品都是次品的取法种数为 ＝3， 所以这2个产品都是次品的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产 品，求取出的这个产品是正品的概率. 解： 设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从 甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次 品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件 B2、事件B3彼此互斥. P（B1）＝ ＝ ，P（B2）＝ ＝ ， P（B3）＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 P（A｜B1）＝ ，P（A｜B2）＝ ，P（A｜B3）＝ ， 所以P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3） P（A｜B3）＝ × ＋ × ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率 分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起. （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； 由全概率公式得P（A）＝ P（Bi）P（A｜Bi）＝0.2×0.95＋ 0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86. 解：设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、 乙、丙厂生产.则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥， 由已知P（B1）＝0.2，P（B2）＝0.3，P（B3）＝0.5， P（A｜B1）＝0.95，P（A｜B2）＝0.9， P（A｜B3）＝0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的 可能性大？ 解：由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝ ＝ ＝ ， P（B2｜A）＝ ＝ ＝ ， P（B3｜A）＝ ＝ ＝ ＝ . 由以上3个数比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $