第7章常见的排列组合问题解题策略课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦计数原理中的排列组合问题，系统梳理特殊元素优先、先选后排等六种解题策略，通过实例（如五位奇数组成、小球入盒）衔接计数原理基础，搭建从概念到复杂应用的学习支架。 其亮点在于题型分类清晰且解法多元，结合数学思维（推理、分类讨论）与数学眼光（抽象、模型），如正难则反策略简化相邻问题，构造模型法转化路灯关灯问题。学生能掌握解题逻辑，教师可直接用于教学提升效率。

第7章　计数原理 培优课　常见的排列组合问题解题策略 要点深化·核心知识提炼 排列、组合问题联系实际,注重能力与应用的考查,主要涉及化归与转化的思想和分类讨论的思想,且题型多样、思路灵活.下面通过实例介绍六种常见的排列组合问题的解题策略. 题型分析·能力素养提升 【题型一】特殊元素(位置)优先的策略 例 1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数? 解 (方法一　位置分析)由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. (1)先排末位共有,(2)然后排首位共有,(3)最后排其他位置共有,由分步计数原理得=288(个). (方法二　元素分析)第1类,没有0.(1)先排末位共有,(2)排其他位置共有,由分步计数原理得=72(个); 第2类,有0.(1)先排末位共有,(2)排0,只有中间三个数位可选,共有,(3)最后排其他位置共有,由分步计数原理得=216(个). 综上,共有288个符合条件的数字. 题后反思　位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其他元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置.若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件. 跟踪训练17种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少种不同的种法? 解 先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的4个位置,不同的种法有种;再在其余5个位置种剩余的5种花,不同的种法有种.总共有=1 440种不同的种法. 【题型二】混合问题先选后排的策略 例 2 4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一个空盒的方法有多少种? 解 因恰有一个空盒,故必有一个盒子放两球.(1)选:从4个球中选2个有种,从4个盒子中选3个盒子有种;(2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒作全排列有种,故所求放法有=144(种). 题后反思　排列与组合的混合问题,可采取先选出元素,后进行排列的策略.先选后排是最基本的指导思想. 跟踪训练2(1)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行男女混合双打训练,有多少种不同的分组方法? 解 (1)先取男、女运动员各2名,有种,这四名运动员混合双打练习有2种排法, 故共有=120(种). (2)先在正、副班长中选1人,有种选法,再在剩余4人中选3人,有种选法,最后对选出的4人进行全排列,有种选法,总共有=192种选法. (2)现有6名战士,其中正、副班长各1人,从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正、副班长有且只有1人参加,则不同的选法有多少种? 【题型三】正难则反,等价转化的策略 例 3 (1)某电影院的倒数第二排共有6个座位,最后一排共7个座位,现有2名学生购票选座,若倒数第二排中间的两个座位已被售出,且这两名学生不想相邻而坐,则有多少种不同的选座方法? 解 电影院的最后两排可选的座位共有11个,这2名同学有=110种选法;2名同学相邻而坐,有(2+6)=16种选法.因此,这两名同学不相邻而坐的选法有-(2+6)=94(种). (2)将10名学生分成3组,若其中一组4人,另两组3人,且正、副班长不能分在同一组,则有多少种不同的分组方法? 解 (方法一　直接法——按照正、副班长所在组的人数分类) 第1类:正、副班长的其中1人所在的组共4人,另1人所在的组有3人,共有=1 120种分组方法(先分组,再从正、副班长中选1人去2人组,再选1个3人组安排正、副班长剩下的1人). 第2类:正、副班长所在的组均有3人,共有=420种分组方法. 综上,共有1 120+420=1 540(种). (方法二　间接法) 没有限制的分组方法有=2 100种分组方法, 正、副班长分在同一组有两类: 第1类:正、副班长所在的组有3人,共有=280种分组方法. 第2类:正、副班长所在的组有4人,共有=280种分组方法. 综上,正、副班长不能分在同一组,共有2 100-280-280=1 540种分组方法. 题后反思　若直接求两名同学不相邻,且倒数第二排中间两个位置不能坐的方案数,则需分几种情况进行讨论,解题的过程比较繁琐.于是采用间接法,分别求出2名同学随意选座位以及相邻而坐的方案数,将二者相减,即可快速解题. 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简洁,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.运用该方法解题,需先讨论不满足题意的排列组合数,求得所有的排列组合数;然后用总数减去不满足题意的排列组合数,即可间接求得满足题意的排列组合数. 跟踪训练3(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有(　　) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 C 解析 原题意等价于“至少一个班去甲厂”没有限制,共有43=64种方案. 所有班级都不去甲厂,有33=27种方案, 故共有64-27=37种方案. (2)某公司准备从4个重点城市和6个普通区县中各选择2处扩大规模进行建设,要求重点城市甲和普通区县A至少有一个被选中,则有多少种不同的选择方法? 解 从4个重点城市和6个普通区县中各任意选择2处,有=90种不同的方案,若重点城市甲和普通区县A都没有被选中,则有=30种方案,故重点城市甲和普通区县A至少有一个被选中的方案有90-30=60(种). 【题型四】合理分类与分步的策略 例 4 五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有多少种?   解 (方法一　直接法)由题意可先安排甲,并按其分类讨论,(1)若甲在末尾,剩下四人可自由排,有种排法;(2)若甲在第二、三、四位上,则有种排法,由分类计数原理,排法共有=78(种). (方法二　排除法)甲在排头有种排法,乙在排尾有种排法,甲在排头且乙在排尾有种排法,故符合题意的不同的排法有=78(种).(注:甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排尾,所以多减了要补回来.) 题后反思　解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏. 跟踪训练4从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙同学不到西宁,共有多少种不同的派遣方案? 解 因为甲、乙有限制条件,所以按照是否含有甲、乙来分类,有以下四种情况:若甲、乙都不参加,则有种不同的派遣方案;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有种方法,所以共有3种不同的派遣方案;③若乙参加而甲不参加同理也有3种不同的派遣方案;④若甲、乙都参加,先从其余8人中选出2人,有=28种选法.甲、乙与选出来的两人按题意进行排列组合,甲在银川有种排法,乙在西宁有种排法,甲在银川且乙在西宁有种排法,故符合题意的不同的排法有=14(种).所以共有28×14=392种不同的派遣方案.故不同的派遣方法总数有+3+3+392=4 088(种). 【题型五】构造模型(对应思想转化)的策略 例 5 马路上有编号1,2,3,4,5,6,7,8,9的九盏路灯,现要关掉其中3盏,但不能关掉相邻2盏或3盏,也不能关掉两端2盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解 把此问题当作一个排队模型,6盏亮灯5个空隙中插3个不亮的灯有=10(种). 规律方法　对于较复杂的排列问题,可通过构造一个相应的模型来处理.处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题,通过解决这个简要的问题找到解题方法,从而进一步解决原来的问题. 跟踪训练5圆周上有10个点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个? 解 因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形,显然有个,所以圆周上有10个点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有=210(个). 【题型六】多排问题单排法 例 6 有6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是(　　) A.36 B.120 C.720 D.1 440 C 解析 前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共有=720种.故选C. 题后反思　把元素排成几排的问题可先归结为一排考虑,再分段处理. 跟踪训练68个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同的排法? 解 看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有种排法,某1个元素在后半段的四个位置中选排1个,有种排法,其余5个元素任排在5个位置上,有种排法, 故共有=5 760种排法. $