第7章 计数原理 章末知识点总结提升课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学课件系统梳理了计数原理单元的核心内容，涵盖两个基本计数原理、排列组合及二项式定理，通过网络构建的知识导图将知识点串联，清晰呈现从原理应用到综合问题解决的逻辑脉络。 其亮点在于采用“要点归纳-典例提升-跟踪训练”的复习策略，如典例中通过分类分步解决数字排列问题，培养逻辑推理能力，二项式定理的赋值法提升数学运算能力，多种解题方法设计实现分层教学，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习支持。

第7章 计数原理 章末知识点总结提升 1 网络构建·知识导图 2 3 要点归纳·典例提升 4 要点一 两个基本计数原理的应用 1.利用分类计数原理和分步计数原理进行计数时,常因分类不明导致增（漏）解, 因此在解题过程中既要保证类与类的互斥性,又要关注总数的完备性. 2.掌握分类计数原理和分步计数原理及其区别和联系,有助于提升逻辑推理和数学 运算能力. 5 【典例1】（1） 从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数.若 有1和3时,3必须排在1的前面;若只有1和 3中的一个时,它应排在其他数字的前面.这样 不同的三位数共有____个（用数字作答）. 60 [解析] 1与3是特殊元素,以此为分类标准进行分类. 分三类:①没有数字1和3时,满足条件的三位数有 个; ②只有1和3中的一个时,满足条件的三位数有 个; ③同时有1和3时,把3排在1的前面,再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即 可,满足条件的三位数有个.所以满足条件的三位数共有 （个）. 6 （2）甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛,每科至少1人 （且每人仅报一科）.若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛,则不同的参赛方案共有 ____种. 30 [解析] 从4人中选出两个人作为一个元素有 种方案,同其他两个元素在三个位置上 排列有 （种）方案,其中有不符合条件的,即学生甲、乙同时参加同一竞赛, 共有种方案,所以不同的参赛方案共有 （种）. 规律方法 应用两个基本计数原理计数的四个步骤 （1）明确完成的这件事是什么; （2）思考如何完成这件事; （3）判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类; （4）选择计数原理进行计算. 7 跟踪训练1 车间有11名工人,其中5名男工是钳工、4名女工是车工,另外2名老师傅既能 当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床,则有 多少种选派方法？ 解 （方法一）设, 代表2位老师傅. ,都不在内的选派方法有 （种）, ,都在内且当钳工的选派方法有 （种）, ,都在内且当车工的选派方法有 （种）, ,都在内且一人当钳工、一人当车工的选派方法有 （种）, ,有一人在内且当钳工的选派方法有 （种）, ,有一人在内且当车工的选派方法有 （种）. 8 所以共有 （种）选派方法. （方法二）5名男钳工有4名被选上的方法有 （种）, 5名男钳工有3名被选上的方法有 （种）, 5名男钳工有2名被选上的方法有 （种）. 所以共有 （种）选派方法. （方法三）4名女车工都被选上的方法有 （种）, 4名女车工有3名被选上的方法有 （种）, 4名女车工有2名被选上的方法有 （种）. 所以共有 （种）选派方法. 要点二 排列、组合的应用 1.排列、组合是两类特殊的计数求解方式,在计数原理求解中起着举足轻重的作用, 解决排列与组合的综合问题要树立先选后排、特殊元素（特殊位置）优先的原则. 2.对于排列和组合的运算,有助于提升数学建模及数学运算能力. 【典例2】 在高三（1）班元旦晚会上,有6个演唱节目、4个舞蹈节目. （1）当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序? 解 第1步，将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有 （种）方法;第2步松绑,给4个舞蹈节目排序,有 （种）方法. 根据分步计数原理,一共有 （种）安排顺序. 10 （2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序? 解 第1步，将6个演唱节目排成一列（如图中的“”）,一共有 （种）方法. 第2步，将4个舞蹈节目排在6个演唱节目所形成的空中,其中包含首尾两空（即图中“×” 的位置）,这样相当于7个“×”选4个来排,一共有 （种）方法. 根据分步计数原理,一共有 （种）安排顺序. （3）若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节 目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序? 解 若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有 种排法,但原来的节目已定好顺序,所以 节目演出的顺序有 （种）. 11 规律方法 解决排列、组合综合问题的注意事项 （1）首先要分清该问题是排列问题还是组合问题. （2）对于含有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类 还是分步,分类时要不重不漏,分步时要步步相接. （3）对于含有“至多”“至少”的问题,常采用间接法,此时要考虑全面,排除干净. 跟踪训练2 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加 米接力赛,在下列条件下,各有 多少种不同的排法？ （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； 解 甲、乙2人必须跑中间两棒,则有 种排法,余下的两个位置需要在剩余的6人中选2 人排列,有种排法,根据分步乘法计数原理,不同的排法种数为 . （2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒. 解 甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒,则需要从甲、乙2人中选出1人,有 种 选法,然后在第一棒和第四棒中选一棒,有 种结果,另外6人中要选3人在剩余的三个位 置上排列,有 种排法, 根据分步乘法计数原理,不同的排法种数为 . 13 要点三 二项式定理及其应用 1.二项式定理有比较广泛的应用,可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计 算、证明不等式等,其原理可以用于二项式相应展开式中项的系数的求解. 2.二项式定理有助于提升数学运算和数学建构能力. 角度1 二项展开式的“赋值问题” 【典例3】（1） 已知 ,若 ,则自然数 ( ) B A.6 B.5 C.4 D.3 [解析] 令,则 . 令,则 , 所以,解得 .故选B. 14 （2）若 ,求 . 解 令,得 ; 令,得 .两式相乘, 得 . 规律方法 “赋值法”在二项展开式中的应用 （1）观察:先观察二项展开式左、右两边式子的结构特征. （2）赋值:结合待求和上述特征,对变量赋值,常见的赋值有,, 等等,具体视情况而定. （3）解方程:赋值后结合待求建立方程（组）求解. 15 跟踪训练3（1） 若 ,则 的值为( ) C A. B.0 C.1 D.2 [解析] 令,得 . 令,得 . 两式相乘,得 , 所以 . 16 （2）若 ,则 ___, ____（用数字作答）. 1 10 [解析] , 令,得 , 令,得 , . , . 17 角度2 二项展开式的特定项问题 【典例4】 若,则 ( ) C A. B. C.112 D.448 [解析] 由已知可得为 的系数, 又二项式可以化为 , 则此二项式的展开式中含的项为 ,则 .故选C. 18 【典例5】 已知二项式 . （1）若它的二项式系数之和为128. 解 ,.所以二项展开式的通项为 . ①求展开式中二项式系数最大的项； 解 二项式系数最大的项为第4,5项, , . 19 ②求展开式中系数最大的项. 解 设展开式中系数最大的项为第 项,则 ,2,3,4,5,6, 即解得 , 所以或 , 所以展开式中系数最大的项为第6,7项, , . 20 （2）若, ,求二项式的值被7整除的余数. 解 当,时, , 因为 ， 所以二项式的值被7整除的余数就是 被7整除的余数, 因为 , 所以 被7整除的余数为1, 所以二项式的值被7整除的余数为1. 21 规律方法 二项式特定项的求解策略 （1）确定二项式中的有关元素:一般是根据已知条件,列出等式,从而可解得所要 求的二项式中的有关元素. （2）确定二项展开式中的常数项:先写出其通项,令未知数的指数为零,从而确定 项数,然后代入通项确定常数项. （3）求二项展开式中条件项的系数:先写出其通项,再由条件确定项数,然后代入 通项求出此项的系数. （4）确定二项展开式中的系数最大或最小项:利用二项式系数的性质. 22 跟踪训练4 已知 的展开式中所有项的二项式系数之和为1 024. （1）求展开式中的所有有理项; 解 由题意得, , 展开式的通项为 ,令 ,得 ,6. 有理项为, . （2）求的展开式中含 的项的系数. , , 含的项的系数为 . 23 $