23.3一次函数与方程(组)、不等式 23.4实际问题与一次函数 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到迁移应用再到拓展创新，梯度合理，覆盖一次函数与方程(组)、不等式的概念及实际应用，培养数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础测·教材变式|一次函数与方程(组)、不等式的关系及基础应用|以教材原题变式为主，如选择1-5题直接考查函数与方程的交点求解，培养抽象能力与几何直观| |能力测·迁移运用|跨学科情境与动态问题综合|结合物理（摩擦力）、几何（翻折）等情境，如13题弹簧测力计与高度的函数关系，发展推理能力与运算能力| |思维测·拓展创新|真实场景复杂问题解决|以校园安全为背景，如18题七、八年级放学人数与时间的函数关系，体现模型意识与应用意识|

23.3一次函数与方程(组)、不等式 23.4实际问题与一次函数 基础测·教材变式 一、选择题(每小题3分，共15分) 1.已知直线y= kx+b(k≠0)经过点 P(0,2),Q(3,0),则关于x的方程 kx+b=0的解为 ( ) A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. x=3 2.若关于x的方程 bx+a=0的解是x=-1,则直线y= bx+a一定经过点 ( ) A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0) 3.某市出租车收费标准如下：起步价10元(3km以内，包含3km)，超出部分每千米加收2元(不足1 km按1km计算).设乘坐出租车行驶x km(x为正整数且x≥3)的费用为y元，则y关于x的函数解析式是 ( ) A. y=2x-4 B. y=2x+4 C. y=2x-10 D. y=2x+10 4.如图，一次函数 与 的图象相交于点P(1,4),则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是 ( ) A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 5.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式k(x-3)+b<0的解集为 ( ) A. x<-4 B. x>-4 C. x<2 D. x>2 二、填空题(每小题3分，共12分) 6.如果函数y=x-b与y=-2x+4的图象的交点坐标是(a，0)，那么关于x，y的二元一次方程组 的解是 7.二元一次方程组 的解为 则一次函数y=-6-x与y=2x-3的图象的交点坐标为 . 8.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问：良马几何日追及之?”如图所示的是良马与驽马的行走路程s(里)关于行走时间t(日)的函数图象，则两图象交点 P 的坐标是 .(里为我国古代长度单位) 9.如图，已知A，B两地相距60km，小明和小亮两人分别从 A，B两地出发相向而行，小亮先出发，图中 表示两人离 A 地的距离s(km)与时间t(h)的关系，则小亮出发 h后，两人的路程和为60 km. 三、解答题(共33分) 10.(9分)如图，已知函数 的图象与x轴交于点A，一次函数. 的图象分别与x轴、y 轴交于点B,C,且与 的图象交于点 D(m,4). (1)求m,b的值; (2)若 写出x的取值范围； (3)求△ABD 的面积. 11.(12分)直播带货是目前盛行的一种销售方式，小静为了推销家乡的樱桃和甜瓜，在某平台上进行直播带货.小静和她的团队每天在家乡收购两种水果共600箱，且当天全部售出.进货成本、销售价格如表所示，设该团队每天收购樱桃x箱，每天获得的利润为y元. 进货成本/(元/箱) 销售价格/(元/箱) 樱桃 34 50 甜瓜 28 41 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该团队每天的投入总成本不超过19 200元，应怎样安排樱桃和甜瓜的进货量，才能使该团队一天所获得的利润最大?最大利润为多少元? 12.(12分)九龙大道上有A，B两家书店以同样的价格出售相同的商品.暑假期间两家书店都让利酬宾，其中 A 书店所有商品按九折出售，B书店对一次性购物中超过200元的部分打八折. (1)以x(元)表示按原价所购商品的金额，y₁，y₂(元)分别表示到 A，B两家书店购物实际支付的金额，请写出y₁，y₂关于x的函数解析式； (2)暑假期间如何选择这两家书店去购物更省钱? 能力测·迁移运用 一、选择题(每小题3分，共6分) 13.在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面上拉动木块进行实验.如图，用弹簧测力计拉着重为12 N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数F(N)是装置高度h(m)的一次函数.当h=0m时，F为2 N；当h=0.2m时，F为4 N.当弹簧测力计的读数达到最大量程10 N时，此时装置高度h为 ( ) A. B. C. D. 14.直线y=x+n与直线y= mx+6n(m是常数,m≠0且m≠1)交于点A,当n的值发生变化时，点 A 到直线 的距离总是一个定值，则m 的值是 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共6分) 15. 如图，直线 与直线 在同一平面直角坐标系中，则关于x的不等式 的解集是 . 16.已知一次函数 和 当x≤1时，函数y₂的图象在函数y₁ 的图象上方，则a 的取值范围为 . 三、解答题(共28分) 17. (13分)如图，在平面直角坐标系中，直线 (k为常数，且k>0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,已知AB=10. (1)若将直线AB 向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数解析式； (2)若 P 为y轴上一点，将直线 AB 沿AP 翻折，使得点 B 刚好落在坐标轴上，求点 P 的坐标. 思维测·拓展创新 18.(15分)5月12 日是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而产生安全隐患.通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y₁ 与时间x(min)满足关系： 八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数y₂ 与时间x(min)满足 的关系如图所示.已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70，就会发生拥堵. (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数y₂与时间x(min)之间的函数解析式. (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵? (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5 min放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效. 1. D 当y=0时, kx+b=0, 所以关于x的方程 kx+b=0的解即为直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标. 因为直线y= kx+b(k≠0)经过点 Q(3,0),所以关于x的方程 kx+b=0的解为x=3. 2. D ∵关于x的方程 bx+a=0的解是x=-1,∴当x=-1时,bx+a=0,即当x=-1时,y=0,∴直线y= bx+a一定经过点(-1,0). 3. B当x≥3(x为正整数)时，费用由起步价和超出部分费用组成,∴y=10+2(x-3)=10+2x-6=2x+4. 4. D 由题图,得当x≤1时,y₁≤y₂, 所以不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1. 5. C 把一次函数y=kx+b的图象向右平移3个单位长度,得y=k(x-3)+b的图象,∴点(-1,0)向右平移3个单位长度后对应的点的坐标为(2，0)， ∴函数y=k(x-3)+b的图象与x轴的交点坐标为(2,0), ∴k(x-3)+b<0的解集为x<2. 把(a,0)代入y=-2x+4, 得-2a+4=0,解得a=2, ∴函数y=x-b与y=-2x+4的图象的交点坐标是(2, 0),∴方程组 的解是 7.(﹣1,﹣5) ∵二元一次方程组 的解为 一次函数y=-6-x与y=2x-3的图象的交点坐标为(-1,-5). 8.(32,4800) 由题意可知,驽马的行走路程s=150t,良马的行走路程s=240(t-12)=240t-2 880. 由此列出方程组，得 解得 故点 P 的坐标是(32,4 800). 9.1.4 两人的路程和为60 km，即为两人相遇.设l₁ 对应的函数解析式为 对应的函数解析式为 将((0,60),(2,0)代人. 中，得 将((0.5,0),(3.5,60)代入 中，得 当 时,一30t+60=20t-10,解得 t=1.4. 10.解:(1)由题意,得点 D(m,4)在. 的图象上， ∴4=m+5,∴m=-1,∴D(-1,4). ∵点 D(-1,4)也在直线. 上， ∴4=-2×(-1)+b,∴b=2. 3分 (2)∵x+5≥-2x+b,∴y₁≥y₂. 由题图可知，若y₁≥y₂，则x的取值范围是x≥-1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 .当y=0时,x=-5, ∴A(-5,0). 6分 ∴当y=0时,x=1, ∴B(1,0), 8分 9分 11.解:(1)y=(50-34)x+(41-28)(600-x) =16x+7 800-13x =3x+7 800(0≤x≤600). 5 分 (2)由题意,得34x+28(600-x)≤19 200,解得x≤400. 由y=3x+7 800可知,y随x的增大而增大,∴当x=400时,y取最大值, 且 ymax=3×400+7800=9000,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分此时600-x=200. 答：当购进樱桃 400箱、甜瓜 200 箱时，才能使该团队一天所获得的利润最大，最大利润为9000元.⋯⋯12分12.解:(1)y₁=0.9x,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 ∴y₁关于x的函数解析式为y₁=0.9x. 当0≤x≤200时, 4 分 当x>200时,y₂=200+0.8(x-200)=0.8x+40, ∴y₂关于x的函数解析式为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 (2)当0<x≤200时, 当x>200时, 若y₁<y₂,则0.9x<0.8x+40,解得x<400; 若 ,则0.9x=0.8x+40,解得x=400; 若 ,则0.9x>0.8x+40,解得x>400. 综上，当0<x<400时，选择 A 书店去购物更省钱；当x=400时，到A，B两家书店购物实际支付的金额相同，任选一家即可；当x>400时，选择 B书店去购物更省钱. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分 13. A 设一 次 函 数 的 解 析 式 为 F = kh +b ,则 解得 ∴一次函数的解析式为 F=10h+2, ∴当F=10 N时,10h+2=10,解得 14. C ∵直线y=x+n与直线y= mx+6n(m是常数,m≠0且m≠1)交于点A, ∴x+n= mx+6n,解得 ∴点A 在直线 上. ∵点 A 到直线 的距离总是一个定值， ∴直线 与直线 平行， 15.﹣1≤x<0 由题图可知,直线 l₁ 和直线 l₂ 的交点坐标为(-1，-2)，直线 l₂ 经过原点，∴关于x 的不等式 的解集是-1≤x<0. 在 中,当x=1时, 当直线 y₁= ax 过点 时 解得 当直线. 与 平行时，得 如图，由函数图象，知当x≤1时，若函数y₂ 的图象在函数y₂ 的图象上方，则a 的取值范围为 17.解:(1)当x=0时,y=-k;当y=0时,x=8, ∴A(8,0),B(0,-k), ∴平移后的直线与x 轴的交点为(5，0). 2分 又∵k>0,∴k=6,∴直线 AB 的解析式为 设平移后的直线所对应的函数解析式为 将(5,0)代入 得 ∴平移后的直线所对应的函数解析式为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 (2)设点 B 关于AP 的对称点为点 B',P(0,t). 当点 B'在x 轴的负半轴上时，连接PB'，如图1所示. ∵AB'=AB=10,A(8,0),∴B'(-2,0), 解得 8分 当点 B'在x 轴的正半轴上时，连接 PB'，如图2所示. ∵AB=AB'=10,A(8,0),∴B'(18,0), 6. 解得t=24,∴P(0,24). 10分 当点 B'在y轴的正半轴上时，连接j上B',OB=OB'=6,如图3所示， ∴点 P 与点O重合,即.P(0,0). 12分 综上所述，点P 的坐标为 或(0,0)或(0,24). 13 分 18.解:(1)当0≤x≤5 时,设 y₂与 x 的函数解析式为 将(5,40)代入,得 40=5k,解得k=8, 2分 当5<x≤15时，设 y₂ 与x之间的函数解析式为 ax+b. 将(5,40)和(15,0)代入,得 解得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 综上，y₂与x之间的函数解析式为 5 分 (2)设楼梯口的总人数为y. 当0≤x≤5时,y=10x+8x=18x. 令y>70,则18x>70,解得 答 后楼梯口开始拥堵. 8分 (3)由题意，得 即 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分 楼梯口的总人数 即 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分画出图象如图所示. 由图可知，总人数最多为65，65<70，故不会发生拥堵，故学校的这一举措有效.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 学科网（北京）股份有限公司 $