期末复习核心突破篇第八章实数 2025-2026学年人教版七年级数学下册

2025-2026人教版七年级数学下期末复习核心突破篇 第八章------实数 本章是学生从“有理数”跨越到“实数”的关键，核心在于建立无理数的概念，并掌握实数系的新运算与性质。命题重点围绕概念辨析、计算准确度以及数形结合思想展开。以下是针对考试的系统性命题点归纳。 一、命题点一：平方根、算术平方根与立方根（概念与计算） 这是本章的基础与核心考点，几乎必考，主要出现在选择、填空和简单计算题中。 1. 平方根与算术平方根的概念辨析（高频易错点） 命题形式： 直接求一个数的平方根或算术平方根。 给出一个数的平方根，反求这个数。 判断关于平方根说法的正误（如：“4的平方根是2”是典型错误）。 解题关键： 算术平方根（）：非负性（a≥0，≥0），表示正的平方根。 平方根（±）：一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0。 2.立方根的概念与计算 命题形式：直接求一个数的立方根（包括负数）。 解题关键：任何数都有唯一的立方根，且 = 。注意与平方根性质的区别。 3.开方运算与乘方运算的互逆关系 命题形式：解简单方程，如 x² = 9，(x-1)³ = 8。 解题关键：利用开方是乘方的逆运算求解，注意平方根情况下的双解可能。 二、命题点二：无理数与实数的概念及分类 考查对实数体系整体框架的理解，常见于概念选择题。 1. 无理数的识别 命题形式：从一组数中选出无理数。 解题关键：掌握无理数的三种常见形式： (1)开方开不尽的数（如，），但注意、等是有理数。 (2).与π有关的数（如π， ）。 (3).有规律但不循环的无限小数（如0.1010010001…）。 典型陷阱：误认为带根号的数都是无理数，或误认为无限小数都是无理数（如0.3˙是有理数）。 2. 实数的分类与数系结构 命题形式：将给定的实数填入有理数、无理数集合的韦恩图中；或判断“实数包括有理数和无理数”等说法的正误。 三、命题点三：实数的运算与估算（核心计算考点） 考查在实数范围内进行运算的能力，常与绝对值、相反数、倒数结合。 1. 实数的混合运算 命题形式：计算题，包含乘方、开方、绝对值、四则运算。 解题关键： 1.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减。 2.精确计算：若含无理数（如），则保留根号形式作为结果的一部分；若题目要求近似值，则按精确度取近似值。 3.常用公式：()² = a (a≥0)， ² = |a|。 2. 实数的估算与大小比较 命题形式： 估计一个无理数（如）在哪两个连续整数之间。 比较一组实数的大小（如：-， -2， 0， π）。 解题策略： 估算：找到它前后两个完全平方数（如9<10<16，故3<<4）。 比较大小：① 数轴法：在数轴上标出大致位置；② 平方法（适用于正数）；③ 统一形式法（如都写成小数近似值）。 四、命题点四：实数与数轴、绝对值（数形结合考点） 考查对实数几何意义的理解，是综合性较强的命题点。 1. 实数与数轴上的点一一对应 命题形式： 数轴上标出、-π等无理数的近似位置。 已知数轴上的点，判断其对应的实数。 解题关键：利用勾股定理，在数轴上构造长度为无理数的线段（如以单位长度为直角边作等腰直角三角形，斜边长即为）。 2. 绝对值的几何意义与非负性 命题形式：化简含绝对值的式子，如 | - 1| + | - 3|。 解题关键：先判断绝对值内式子的正负（利用估算），再利用“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值。 五、命题点五：规律探究与新定义问题（能力提升考点） 作为压轴小题或阅读材料题出现，考查迁移和应用能力。 1. 数字规律探究 命题形式：观察被开方数的变化规律，求一系列算术平方根的整数部分、小数部分或第n项的值。 2. “新定义”运算 命题形式：定义一种关于实数的新运算（如：a⊕b = ），要求按新规则进行计算或探究性质 命题点1 平方根与算术平方根 1．下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 2．下列说法中正确的是（   ） A．任何数的平方根有两个 B．一个正数的平方根的平方就是这个数 C．只有正数才有平方根 D．不是正数，没有平方根 3．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 4．的平方根是（   ） A．3 B． C． D．81 5．已知、为实数，且，则_____． 6．若，则的算术平方根是______． 命题点2求一个数的立方根 7．的绝对值是______． 8．的立方根等于______． 9．的算术平方根是_______，的平方根是_______． 10．如果正数的平方根是和，则的立方根是_________． 命题点3 利用开方运算与乘方运算的互逆关系解方程 11．方程的解是____． 12．若，则___． 13．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 14．为宣传洛阳旅游资源，促进旅游业发展，洛阳某中学课外活动小组制作了精美的洛阳景点卡片，并为每一张卡片制作了一个具有特色的包装封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 洛阳景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 计算结果 …… 请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 15．利用平方根或立方根的意义，求下列各式中的值： (1)； (2)． 16．已知，求实数x的值． 命题点4无理数的识别 17．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 18．在实数3.141，，，，0，（每两个1之间依次多一个0），无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 命题点5实数的分类 21．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                    }； (2)无理数：{                    }； (3)正实数：{                    }； (4)负实数：{                    }． 22．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 23．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加） （1）整数集合：{ }； （2）正实数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 24．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 命题点6实数的运算 25．有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为_________． 26．求下列各式的值： (1) (2) 27．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 28．计算： (1)； (2)． 命题点7实数的估算及大小比较 29．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 30．如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 31．将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（   ） A． B． C． D．0 32．比较大小：________ 33．中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 命题点8实数与数轴，实数的绝对值 34．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 35．如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 36．的相反数是______，的绝对值是______． 37．的绝对值为___________． 38．已知是数轴上两点，，点在点右侧，点表示的数为，点表示的数为的算术平方根． (1)求的值 (2)是数轴上两点，点在点右侧，所表示的数分别为和，且满足与互为相反数，其中为实数，求的平方根． 39．计算：． 命题点9实数中的规律探究 40．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：__________； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出的值：__________． 41．根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 42．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 43．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 44．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 命题点10实数中的新定义 45．对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，求x的值； (2)已知，且，求的值． 46．定义：若有理数，满足等式，则称，是“雉水有理数对”，记作．如：数对，都是“雉水有理数对”． (1)判断数对是否为“雉水有理数对”，并说明理由； (2)若是“雉水有理数对”，求m的值． 47．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 48．定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，∴1，4，9这三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)求证：3，12，27这三个数是“和谐组合”； (2)已知4，25，a这三个数是“和谐组合”，且，若最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 1.混淆“平方根”与“算术平方根” 典型错误：认为“4的平方根是2”或“ = ±4”。 正确理解： 算术平方根（）：结果一定是非负数。例如： = 4。 平方根（±）：一个正数有两个互为相反数的平方根。例如：16的平方根是 ±4。 1．下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 2．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 避坑口诀：“平方根，俩兄弟；算术根，非负的。” 2.误判“无理数” 典型错误： （1）.认为所有带根号的数都是无理数。 错例：=3，是有理数） （2）.认为所有无限小数都是无理数。（ 错例：0.333… = 1/3，是循环小数，属于有理数 （3） 误把π的近似值 错例：3.14当作π本身，从而误判为有理数。 3．下列说法中错误的是（    ） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 4．下列实数中：，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在实数中，，，（每相邻两个5之间9的个数依次加1），，中，无理数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 正确判断：无理数的本质是无限不循环小数。常见三类：①开方开不尽的数（如√2）；②与π有关的数（如π/2）；③构造的无限不循环小数。 3.忽视立方根的唯一性 典型错误：认为立方根也有正负两个，例如认为-8的立方根是±2。 6．的相反数的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 7．若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 正确理解：任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 = -2。 4.开方运算中的符号错误 典型错误：化简²时，直接写成a。 8．的平方根是（　　） A． B．3 C． D． 9．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 正确做法：² = |a|，必须根据a的符号化简。 5.实数混合运算的顺序与形式错误 顺序错误：未遵循“先乘方开方，再乘除，后加减”的顺序。 结果形式错误： 10．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 11．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6.去绝对值时忽略分析符号 典型错误：直接去掉绝对值符号，不判断内部正负 12．计算结果为（） A． B． C． D． 13．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 二、 分层突破专练 三、 易错点剖析 一、 核心考点详解 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末复习核心突破篇 第八章------实数 （解析版） 本章是学生从“有理数”跨越到“实数”的关键，核心在于建立无理数的概念，并掌握实数系的新运算与性质。命题重点围绕概念辨析、计算准确度以及数形结合思想展开。以下是针对考试的系统性命题点归纳。 一、命题点一：平方根、算术平方根与立方根（概念与计算） 这是本章的基础与核心考点，几乎必考，主要出现在选择、填空和简单计算题中。 1. 平方根与算术平方根的概念辨析（高频易错点） 命题形式： 直接求一个数的平方根或算术平方根。 给出一个数的平方根，反求这个数。 判断关于平方根说法的正误（如：“4的平方根是2”是典型错误）。 解题关键： 算术平方根（）：非负性（a≥0，≥0），表示正的平方根。 平方根（±）：一个正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0。 2.立方根的概念与计算 命题形式：直接求一个数的立方根（包括负数）。 解题关键：任何数都有唯一的立方根，且 = 。注意与平方根性质的区别。 3.开方运算与乘方运算的互逆关系 命题形式：解简单方程，如 x² = 9，(x-1)³ = 8。 解题关键：利用开方是乘方的逆运算求解，注意平方根情况下的双解可能。 二、命题点二：无理数与实数的概念及分类 考查对实数体系整体框架的理解，常见于概念选择题。 1. 无理数的识别 命题形式：从一组数中选出无理数。 解题关键：掌握无理数的三种常见形式： (1)开方开不尽的数（如，），但注意、等是有理数。 (2).与π有关的数（如π， ）。 (3).有规律但不循环的无限小数（如0.1010010001…）。 典型陷阱：误认为带根号的数都是无理数，或误认为无限小数都是无理数（如0.3˙是有理数）。 2. 实数的分类与数系结构 命题形式：将给定的实数填入有理数、无理数集合的韦恩图中；或判断“实数包括有理数和无理数”等说法的正误。 三、命题点三：实数的运算与估算（核心计算考点） 考查在实数范围内进行运算的能力，常与绝对值、相反数、倒数结合。 1. 实数的混合运算 命题形式：计算题，包含乘方、开方、绝对值、四则运算。 解题关键： 1.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，后加减。 2.精确计算：若含无理数（如），则保留根号形式作为结果的一部分；若题目要求近似值，则按精确度取近似值。 3.常用公式：()² = a (a≥0)， ² = |a|。 2. 实数的估算与大小比较 命题形式： 估计一个无理数（如）在哪两个连续整数之间。 比较一组实数的大小（如：-， -2， 0， π）。 解题策略： 估算：找到它前后两个完全平方数（如9<10<16，故3<<4）。 比较大小：① 数轴法：在数轴上标出大致位置；② 平方法（适用于正数）；③ 统一形式法（如都写成小数近似值）。 四、命题点四：实数与数轴、绝对值（数形结合考点） 考查对实数几何意义的理解，是综合性较强的命题点。 1. 实数与数轴上的点一一对应 命题形式： 数轴上标出、-π等无理数的近似位置。 已知数轴上的点，判断其对应的实数。 解题关键：利用勾股定理，在数轴上构造长度为无理数的线段（如以单位长度为直角边作等腰直角三角形，斜边长即为）。 2. 绝对值的几何意义与非负性 命题形式：化简含绝对值的式子，如 | - 1| + | - 3|。 解题关键：先判断绝对值内式子的正负（利用估算），再利用“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值。 五、命题点五：规律探究与新定义问题（能力提升考点） 作为压轴小题或阅读材料题出现，考查迁移和应用能力。 1. 数字规律探究 命题形式：观察被开方数的变化规律，求一系列算术平方根的整数部分、小数部分或第n项的值。 2. “新定义”运算 命题形式：定义一种关于实数的新运算（如：a⊕b = ），要求按新规则进行计算或探究性质 命题点1 平方根与算术平方根 1．下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 【答案】B 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，先化简题目中的二次根式，再根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： A. ∵， ∴的算术平方根是，不是，A错误； B. ∵， ∴是144的平方根，B正确； C. ∵， ∴的平方根是，不是，C错误； D. 当时，的算术平方根是，因此的算术平方根不一定是，D错误． 2．下列说法中正确的是（   ） A．任何数的平方根有两个 B．一个正数的平方根的平方就是这个数 C．只有正数才有平方根 D．不是正数，没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的基本概念，根据平方根的定义逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：A、正数的平方根有两个，负数没有平方根，的平方根为，故原说法不正确； B、一个正数的平方根的平方就是这个数，故原说法正确； C、也有平方根，故原说法不正确； D、不是正数，但有平方根，故原说法不正确． 3．下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，根据定义计算各选项即可判断出正确结果． 【详解】A、，故选项A错误； B、 ，故选项B错误； C、，等式成立，故选项C正确； D、，故选项D错误． 故选：C． 4．的平方根是（   ） A．3 B． C． D．81 【答案】C 【详解】解： 3的平方根是 ∴的平方根为． 5．已知、为实数，且，则_____． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性与平方的非负性求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：、、， ， 解得：， ． 6．若，则的算术平方根是______． 【答案】9 【分析】先根据非负数的性质求出，然后求出的值，再求的算术平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 命题点2求一个数的立方根 7．的绝对值是______． 【答案】4 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再根据绝对值的性质计算最终结果． 【详解】解：， ， ∴的绝对值是． 8．的立方根等于______． 【答案】/ 【详解】解：的立方根为． 9．的算术平方根是_______，的平方根是_______． 【答案】 8 ±2 【分析】先根据算术平方根的定义求的算术平方根；再计算的值，然后根据平方根的定义求该值的平方根． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是8． ∵， ∴； ∵， ∴4的平方根是，即的平方根是． 10．如果正数的平方根是和，则的立方根是_________． 【答案】 【分析】正数的两个平方根互为相反数，由此列方程求出x的值，进而求出的值，代入，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：正数的平方根是和， ， 解得， ， ， ， 的立方根是． 命题点3 利用开方运算与乘方运算的互逆关系解方程 11．方程的解是____． 【答案】 【分析】将方程两边平方转化为一元一次方程求解，求解后需检验根的有效性． 【详解】解：， 两边平方，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时，左边＝右边， 因此是原方程的解． 12．若，则___． 【答案】13或 【分析】将看作整体，根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 13．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 14．为宣传洛阳旅游资源，促进旅游业发展，洛阳某中学课外活动小组制作了精美的洛阳景点卡片，并为每一张卡片制作了一个具有特色的包装封皮．小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形封皮． 课题 洛阳景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 计算结果 …… 请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】设长为，则宽为．根据面积为列方程，利用平方根的意义解方程，比较后即可得到结论． 【详解】解：设长为，则宽为．根据题意，得 ， 或（负值舍去）． ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 15．利用平方根或立方根的意义，求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）利用立方根定义求解即可； （2）利用平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：整理得， 解得； （2）解：， 开方得， 解得或． 16．已知，求实数x的值． 【答案】 【分析】根据立方根定义解方程即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， ∵， ∴， 解得：． 命题点4无理数的识别 17．下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是先化简各数，再根据无理数的定义判断． 先分别化简选项中的数，再判断其是否为无限不循环小数，从而确定无理数． 【详解】解：A．，是整数，属于有理数，此选项不符合题意； B．是无限不循环小数，属于无理数，此选项符合题意； C．，是整数，属于有理数，此选项不符合题意； D．是有限小数，属于有理数，此选项不符合题意． 故选：B． 18．在实数3.141，，，，0，（每两个1之间依次多一个0），无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是整数，属于有理数； （每两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数共有2个． 19．在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个判断给定实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：（相邻两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 含无理数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ∴无理数共个． 20．在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【答案】⑥⑨；①④；②③⑦⑧⑩ 【分析】逐个分析每个数：如果一个数是像0、绝对值化简后为整数的数，那么它属于整数；如果一个数是小于0的分数（包括可化为分数的有限小数），那么它属于负分数；如果一个数是大于0且无限不循环的小数，那么它属于正无理数． 【详解】解：整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 命题点5实数的分类 21．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，2π，3.14159265，，（两个3之间依次增加一个0）． (1)有理数：{                    }； (2)无理数：{                    }； (3)正实数：{                    }； (4)负实数：{                    }． 【答案】(1)，，，， (2)，，（两个3之间依次增加一个0） (3)，，，，（两个3之间依次增加一个0） (4)，， 【详解】（1）解：，， 有理数：{，，，，}； （2）解：无理数：{，，（两个3之间依次增加一个0）}； （3）解：正实数：{，，，，（两个3之间依次增加一个0）}； （4）解：负实数：{，，}． 22．将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数：_______；分数：_______；无理数：_______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 【详解】解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 23．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加） （1）整数集合：{ }； （2）正实数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【答案】（）；（）；（）；（）；（） 【详解】解：先化简各数：，， （）整数包括正整数，零，负整数，符合条件的数为； （）大于的实数是正实数，符合条件的数为； （）小于的有理数是负有理数，符合条件的数为； （）无限不循环小数是无理数，符合条件的数为； （）大于等于的整数是非负整数，符合条件的数为． 24．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【答案】(1)0；；5.3；； (2)见解析 (3)4，0，；，5.3；，． 【分析】此题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的分类等知识，熟练掌握实数的分类是关键． （1）根据A、B、C、D在数轴上的位置进行解答即可； （2）根据实数与数轴的关系进行解答即可； （3）根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数， 故答案为：0，，，； （2）解：如图所示： ； （3）解：整数：{4，0，…}； 分数：{，…}； 无理数：{，…}． 命题点6实数的运算 25．有四个实数分别是，请你计算其中有理数的和与无理数的积的差，其计算后的结果为_________． 【答案】 【分析】根据有理数和无理数的概念列出式子，再根据实数的运算顺序进行计算． 【详解】解：四个实数分别为中有理数为32，-23；无理数为； 有理数的和与无理数的积的差为-8+9-×=-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 26．求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的计算，平方根的运算，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简，绝对值的性质化简，乘方的运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质及运算，三次根式的性质及运算，绝对值的性质，乘方的运算法则是解题的关键． 27．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质，化简得出答案； （2）直接利用二次根式以及立方根的性质，化简得出答案． 【详解】（1）解： = = （2）解： = = 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 命题点7实数的估算及大小比较 29．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【分析】利用算术平方根的估算方法，通过比较被开方数与相邻完全平方数的大小，确定的范围，再计算的取值范围. 【详解】解：，，且 ，即 不等式三边同时减1，得 即 因此的值在5和6之间． 30．如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．无理数的大小． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点． 31．将实数，，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据数轴的性质，数轴上左边的点对应的数小于右边的点对应的数，因此找出四个数中最小的数即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∵ 数轴上数越小对应的点位置越靠左， ∴ 对应的点在最左边． 32．比较大小：________ 【答案】 【分析】根据立方根定义，将转化为，进而就容易比较出与的大小，即可解答． 【详解】解：， ， ， 即． 33．中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割比．已知黄金分割比为，则____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】通过估算无理数的近似值，得到黄金分割比的取值范围，再与比较大小即可． 【详解】解： ， ． ∴． ∴． 又 ，且 ， ． 命题点8实数与数轴，实数的绝对值 34．如图，数轴上表示的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】先估算 的取值范围，再结合数轴上各点的位置进行判断 【详解】解：，，且 观察数轴可知： 点 表示的数在 和 之间； 点 表示的数在 和 之间； 点 表示的数在 和 之间； 点 表示的数在 和 之间 ， 数轴上表示 的点可能是点 ． 35．如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数与数轴上的点一一对应，先求出，再根据半径相等得到，即可求出与点对应的实数． 【详解】解：数轴上的点，分别与实数，对应， ， ， 与点对应的实数是：， 故选：． 36．的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 / / 【详解】解：的相反数为． ∵， ∴， ∴． 37．的绝对值为___________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 38．已知是数轴上两点，，点在点右侧，点表示的数为，点表示的数为的算术平方根． (1)求的值 (2)是数轴上两点，点在点右侧，所表示的数分别为和，且满足与互为相反数，其中为实数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再由2的算术平方根为得到点B表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据相反数的定义可得，则由非负性的性质可得，，再根据求出d的值，进而求出b的值，最后求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解；∵，2的算术平方根为， ∴点B表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点A表示的数为，即； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点在点右侧， ∴， 当时，则，解得， ∴， ∴的平方根为； 39．计算：． 【答案】 【分析】依次计算绝对值、算术平方根与立方根即可． 【详解】解： ． 命题点9实数中的规律探究 40．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：__________； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出的值：__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 41．根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【答案】(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 42．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 43．观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 44．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 命题点10实数中的新定义 45．对实数a、b，定义的含义为：． 例如：，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，求x的值； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先判断，再根据新定义可得 ，再解方程可得答案； （2）由，且，可得，，再根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据新定义运算： ∵，， ∴ ， 解得； （2）解：∵，且， ∴，， ∴根据新定义运算：． 46．定义：若有理数，满足等式，则称，是“雉水有理数对”，记作．如：数对，都是“雉水有理数对”． (1)判断数对是否为“雉水有理数对”，并说明理由； (2)若是“雉水有理数对”，求m的值． 【答案】(1)数对是“雉水有理数对”．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据，计算即可求解． （2）根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：数对是“雉水有理数对”. 理由：∵，， ∴， ∴数对 是“雉水有理数对”； （2）解：∵是“雉水有理数对”， ∴，解得． 47．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)2；6 (2)1或2或3 (3)的值为 (4)①；② 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）①同（1）逐项化简，然后求解即可； ②由①归纳规律，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且为整数， ∴或或． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点是的中点， ∴点C表示的数为， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即的值为． （4）解：① ； ②由①得， ， ， ； ∵，， ∴ ． 48．定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果2，3，6都是整数，∴1，4，9这三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)求证：3，12，27这三个数是“和谐组合”； (2)已知4，25，a这三个数是“和谐组合”，且，若最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1) 见解析 (2) 100 【分析】（1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意可得，求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，，这三个数是“和谐组合”； （2）解：，， 最大算术平方根是，最小算术平方根是， ， 解得，经检验符合题意． 则的值为100． 1.混淆“平方根”与“算术平方根” 典型错误：认为“4的平方根是2”或“ = ±4”。 正确理解： 算术平方根（）：结果一定是非负数。例如： = 4。 平方根（±）：一个正数有两个互为相反数的平方根。例如：16的平方根是 ±4。 1．下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根的定义，根据平方根与算术平方根的定义逐一判断每个结论即可得到答案． 【详解】①因为，所以是的平方根，该结论正确； ②负数没有算术平方根，所以没有算术平方根，该结论错误； ③ 表示的算术平方根，不是的平方根，该结论错误； ④因为，所以的平方根是，该结论正确； ⑤因为，所以的算术平方根是4，该结论正确． 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选：B 2．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根，熟练掌握其定义和性质是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和绝对值的定义，直接计算每个等式的值，判断是否正确. 【详解】解：A、∵ ， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； B、∵ ，， ∴ ，故该选项说法错误，不符合题意； C、∵ ，， ∴ ， 故该选项说法正确，符合题意； D、∵ ， ∴，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 避坑口诀：“平方根，俩兄弟；算术根，非负的。” 2.误判“无理数” 典型错误： （1）.认为所有带根号的数都是无理数。 错例：=3，是有理数） （2）.认为所有无限小数都是无理数。（ 错例：0.333… = 1/3，是循环小数，属于有理数 （3） 误把π的近似值 错例：3.14当作π本身，从而误判为有理数。 3．下列说法中错误的是（    ） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 【答案】D 【分析】根据平方根，立方根，有理数与无理数的概念，需要逐一判断各选项正误，找出错误说法． 【详解】解：∵，的平方根为， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵，是整数，整数属于有理数， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∵是无理数， ∴仍然是无理数，分数都属于有理数，因此不是分数， ∴D选项说法错误，符合题意． 4．下列实数中：，无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先计算立方根，算术平方根，根据无限不循环小数是无理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】是有理数，，是无理数，共2个 5．在实数中，，，（每相邻两个5之间9的个数依次加1），，中，无理数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：，是整数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；是无限循环小数，属于有理数． 无理数为（每相邻两个5之间9的个数依次加1）和，共2个． 【点睛】初中范围内的无理数为无限不循环小数，常见类型有含的数，有规律但不循环的无限小数，开方开不尽的数三大类． 正确判断：无理数的本质是无限不循环小数。常见三类：①开方开不尽的数（如√2）；②与π有关的数（如π/2）；③构造的无限不循环小数。 3.忽视立方根的唯一性 典型错误：认为立方根也有正负两个，例如认为-8的立方根是±2。 6．的相反数的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根、相反数、平方根的定义，按步骤逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 的相反数是 根据平方根的定义，若，则 ∴ 的平方根是 即的相反数的平方根是． 7．若a是的平方根，则（    ） A．－3 B． C．或 D．3或－3 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，掌握先计算平方得到基础值，再求平方根确定的可能值，最后求立方根是解题的关键． 先计算 的值，得到 9，则 是 9 的平方根，即或，再求的立方根即可． 【详解】解：∵  ， ∴ 是 9 的平方根，即 ， 当 时，， 当 时，， ∴ 或 ， 故选： C． 正确理解：任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。 = -2。 4.开方运算中的符号错误 典型错误：化简²时，直接写成a。 8．的平方根是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，求一个数的平方，解题的关键是逐步计算． 先计算根号内的平方，得到算术平方根，再求其平方根． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 9．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，掌握算术平方根和平方根的区别与联系成为解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题题意； B．表示算术平方根，结果应为非负数，即，故该选项错误，不符合题题意； C．，故，故该选项错误，不符合题题意； D．，则，正确，符合题意． 故选D． 正确做法：² = |a|，必须根据a的符号化简。 5.实数混合运算的顺序与形式错误 顺序错误：未遵循“先乘方开方，再乘除，后加减”的顺序。 结果形式错误： 10．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算开方，再算括号内运算，后算除法，最后算加减的顺序求解即可． 【详解】解：∵==，=，=， ∴原式 = = =． 11．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根与算术平方根，实数的运算，熟练掌握会求一个数的平方根与算术平方根是解题的关键． 根据实数的运算法则，以及平方根与算术平方根定义逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，故此选项符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 6.去绝对值时忽略分析符号 典型错误：直接去掉绝对值符号，不判断内部正负 12．计算结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键． 原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根． 【详解】解： =， ． 故选：B． 13．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 二、 分层突破专练 三、 易错点剖析 一、 核心考点详解 学科网（北京）股份有限公司 $