期末复习核心突破篇第七章相交线与平行线 2025-2026学年人教版七年级数学下册

2025-2026人教版七年级数学下期末复习核心突破篇 第七章------相交线与平行线 （解析版） 第一部分：相交线——角度关系的基石 核心考点1：邻补角与对顶角的概念及性质 定义辨析： 邻补角：必须满足两个条件——①有一条公共边；②另一边互为反向延长线。两个角的位置相邻且互补。如图∠1与∠2 对顶角：必须满足两个条件——①顶点相同；②一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。如图∠1与∠3 性质应用： 对顶角相等 邻补角互补 易错点：在复杂图形中，容易忽略对顶角或邻补角的前提是“由两条相交直线形成”。常通过计算对顶角来转换未知角。 核心考点2：垂线的定义、性质及点到直线的距离 垂直的定义：两条直线相交成直角（四个角中任意一个为90°即可），则这两条直线互相垂直。记作 AB⊥CD。 垂线的核心性质： 1. 存在性与唯一性：在同一平面内，过一点（无论点在线上还是线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。 2. 垂线段最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 点到直线的距离： . 定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 . 关键：这是一个长度，是一个数值，而不是线段本身。它是可度量的最短距离。 第二部分：“三线八角”模型——平行关系的识别关键 这是判定和运用平行线性质的基础模型，必须做到快速、准确识别。 角的关系 位置特征（核心记忆方法） 几何模型（截线为c，被截线为a, b） 同位角​ 位于截线同侧，且在被截两直线同方向。 形如“F”（正写或倒置、旋转）。如∠1与∠5。 内错角​ 位于截线两侧，且在两条被截直线内部。 形如“Z”（或反Z）。如∠3与∠5。 同旁内角​ 位于截线同侧，且在两条被截直线内部。 形如“U”（或门框形）。如∠3与∠6。 深度剖析与易错点： 1. 识别前提：必须首先明确“哪两条直线被哪条直线所截”。在复杂图形中，需要根据解题目标，灵活选择或添加“截线”。 2. 添加辅助线：当图中缺乏明显的“三线”时，常通过连接两点或延长某条线段来构造截线，从而产生可利用的角关系。 第三部分：平行线的判定与性质——本章的灵魂与核心 这是几何逻辑推理的集中体现，必须严格区分其条件与结论。 类型 公理/定理 几何语言（推理依据） 逻辑方向 判定定理 (证明平行) 1. 同位角相等，两直线平行。 2. 内错角相等，两直线平行。 3. 同旁内角互补，两直线平行。 4. 平行公理推论：平行于同一直线的两直线平行。 ∵ ∠1=∠2（同位角相等） ∴ a∥b 由角的关系​ → 推出线的位置关系​ 性质定理 (应用平行) 1. 两直线平行，同位角相等。 2. 两直线平行，内错角相等。 3. 两直线平行，同旁内角互补。 ∵ a∥b ∴ ∠1=∠2（内错角相等） 由线的位置关系​ → 推出角的关系​ 综合应用与解题策略： 1. 典型推理链条：常出现“平行→角相等/互补→新的角相等/互补→新的平行”的递进或循环推理。解题关键是厘清每一步推理的条件。 2. 与角平分线结合：平行线遇角平分线，常出现等腰三角形。例如，AB∥CD，CE平分∠ACD，则常可证AC=AE。 3. 与垂直结合：若a∥b，且a⊥c，则必然可推出b⊥c。这是性质定理的延伸应用。 第四部分：平移变换——图形运动的初步 核心考点1：平移的定义与性质 定义两要素：①平移方向；②平移距离。二者共同决定了平移的结果。 性质（作图与计算的依据）： 1. 保形保距：平移不改变图形的形状和大小，即平移前后，两个图形全等。 2. 对应点连线：平移前后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 3. 对应元素关系：平移前后，对应线段平行且相等，对应角相等。 核心考点2：平移的作图与应用 作图步骤：确定关键点 → 沿方向平移指定距离得到对应点 → 连接对应点。 应用：利用平移将不规则图形转化为规则图形，从而简便地计算周长或面积。 第五部分：命题、定理与证明——几何逻辑的规范 · 命题的结构：任何一个命题都由题设（已知条件）和结论（由已知推出的判断）两部分组成。形式常为“如果……那么……”。 · 真命题与定理：经过推理验证为正确的命题称为真命题。有些真命题被选定为定理，作为进一步推理的依据。 · 证明的意义：证明是使用严密的逻辑推理，从题设出发，根据已学过的定义、公理、定理，一步步推导出结论的过程。它确保结论的必然性，而非偶然性。 命题点1 对顶角、邻补角 1．下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，对各选项图形进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项A图形中的与是对顶角，其余选项都不符合对顶角的定义，不是对顶角. 2．如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，由此即可求解． 【详解】解：根据邻补角的概念可得，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 只有选项D符合题意． 3．如图，直线、相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对顶角相等的性质，直接得出的度数； （2）先利用邻补角互补，结合与的比例关系求出的度数，再根据对顶角相等得到的度数． 【详解】（1）解：∵直线、相交于点， ∴与是对顶角， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵直线、相交于点， ∴， ∵， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 4．如图，有一块弯折的屏风，要测量在地面上所形成的∠AOB的度数，你有几种不同方法，请写出来和大家交流． 【答案】详见解析. 【分析】延长AO、BO，利用互为邻补角的两个角的和等于180°或对顶角相等解答． 【详解】如图，延长AO、BO， 可以利用∠AOB＝180°－∠BOC， 或∠AOB＝∠COD两种方法测量出∠AOB. 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，互为邻补角的两个角的和等于180°，熟记概念与性质是解题的关键． 命题点2垂线及画法 5．下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当线段的长表示点A到直线距离时， 则，点在直线外，点在直线上， 观察可知只有选项A符合题意，其余选项均不能用线段的长表示点A到直线距离 6．下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 7．如图，下列说法不正确的是（   ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【答案】C 【分析】根据垂线段的定义进行判断即可. 【详解】解：由图可知：点B到的垂线段是线段； 点C到的垂线段是线段； 线段是点A到的垂线段； 线段是点B到的垂线段； 只有选项C的说法错误. 8．已知：如图，在中，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，，则点到直线的距离为_____． 【答案】 3 【详解】根据题意，CD是斜边AB上的高， ，垂足为D，即 , B到直线的垂线段就是。 ， 点到直线的距离为． 命题点3垂线的性质及点到直线的距离 9．有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质、平行线公理，点到直线的距离，解题关键是准确掌握相关性质和概念，正确进行判断．根据平行线公理，点到直线的距离、垂线的性质、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：（1）对顶角相等，正确； （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误； （4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 故选：A． 10．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线相交于点，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据垂线段的性质，垂直的定义，对顶角的定义和点到直线的距离定义逐一判断即可． 【详解】解：①连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，原说法缺少“直线外”的前提条件，故错误错误； ②直线相交于点，若，则，原说法正确； ③相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，原说法正确； ∴说法正确的有2个． 11．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 12．立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：该女生获得满分但未加分， ， 选项A、B不符合题目要求，选项D符合题目要求， 又， 选项C错误，不符合题目要求． 故选：D． 命题点4三线八角 13．如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义和特点，逐一进行判断即可． 【详解】和是同位角，①说法正确； 和不是对顶角，②说法错误； 和是内错角，③说法正确； 和不是同旁内角，④说法错误． 故说法错误的有②，④，共2个． 故选B． 14．如图，四位同学根据所学数学知识在找同位角，其中正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是同位角 D．与是同位角 【答案】C 【详解】解：A. 与不是同位角； B. 与不是同位角； C. 与是同位角； D. 与不是同位角． 15．如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）根据内错角的定义即可求得答案； （2）根据同旁内角的定义即可求得答案； （3）根据同位角的定义即可求得答案． 【详解】（1）与是内错角，它们是直线，被直线所截形成的． （2）与是同旁内角，它们是直线，被直线所截形成的． （3）与是同位角，它们是直线，被直线所截形成的． 16．如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． 命题点5平行线定义、公理及性质 17．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 18．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条不重合直线的位置关系，需明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，根据基础定义即可判断选项． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合的直线，若没有交点则为平行，若有一个交点则为相交， 又由于垂直是相交的特殊情况，不能作为单独的位置关系分类， 则同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有平行或相交． 19．下列说法中正确的是（   ） A．两条直线的位置关系只有两种：相交和平行． B．有且只有一条直线垂直于已知直线． C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． 【答案】C 【详解】解：A、未说明“在同一平面内”，缺少前提条件，说法错误，故A不符合要求； B、未说明“在同一平面内，过一点”，同一平面内任意一条已知直线有无数条垂线，说法错误，故B不符合要求； C、根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，说法正确，故C符合要求； D、点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，说法错误，故D不符合要求． 20．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 21．如图，内有一点． (1)用三角板，直尺过点画，交于点；画，垂足为，交于点； (2)在（1）的基础上判断：图中线段，PG，中最长的是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用推平行线法作平行线，再根据三角板有直角，作垂线段； （2）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：根据垂线段最短，可得比短，所以最长的是． 22．如图，已知：，，垂足分别为、，． (1)求证：； (2)如果，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先证明，利用等角的补角相等求得，利用内错角相等两直线平行证明； （2）利用平分线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．综合与探究 问题情景： 在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： (1)【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； (2)【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质即可求解； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，可得，结合，即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）【探究一】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． （2）（2）【探究二】． 理由如下： 如图，过点作，过点作， 因为，所以． 所以． 所以，即． 所以． 命题点6平行线的判定 25．如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，求证：直线与平行． 【答案】见解析 【分析】先由垂直的定义与，可求解的度数，进而可求解的度数，再由即可证明． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 26．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为B，，．试说明：． 解：， _______（______）， 即_________， ，且， _______（______）， _____（______）， （_____）． 【答案】；垂线的定义；；；等量代换；；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】根据两直线垂直的定义，等量代换，同角的余角相等，平行线的判定等知识逐一填写即可． 【详解】解：， （垂线的定义）， 即， ，且， （等量代换）， （同角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 27．如图，点，，在同一条直线上，已知平分平分，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：平分平分， . ∵点，，在同一条直线上， ， ， ， ， . 28．如图，点O在直线上，F是上一点，连接，已知平分，． (1)试说明：平分； (2)若，请说明与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先由角平分线，然后由垂直得到，进而推出，即可得到平分； （2）求出，即可得到． 【详解】（1）解：（1）因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 所以平分； （2）解：因为，， 所以， 所以． 命题点7命题、定理、证明 29．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 【答案】（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题 【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 根据命题的定义即可求解． 【详解】解：由命题的定义可得（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题． 30．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 31．已知命题“相等的两个角是直角” (1)写出此命题的条件． (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)两个角相等 (2)该命题是假命题，反例：两个度数为的角相等，但它们都不是直角 【分析】（1）将原命题改写为“如果…那么…”的形式，“如果”后面的即是原命题的条件； （2）根据两个度数为的角相等，但它们都不是直角即可得到答案． 【详解】（1）解：原命题可以改成：如果两个角相等，那么这两个角是直角， 故原命题的条件是两个角相等； （2）解：该命题是假命题，反例：两个度数为的角相等，但它们都不是直角． 32．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 33．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 34．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 命题点8平移 35．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平移的性质和平行的性质得到，再利用互余的定义即可计算出的度数； （2）根据平移的性质得到，所以，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵平移到的位置， ∴， ∴， ∵与互余， ∴． （2）解：∵分别平移到和的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 36．如图，在中，，，将向左平移得到，交于点D，． (1) ； (2)与之间的关系是 (3)计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）（2）根据平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质得出，进而得出 ，然后根据梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，； （2）解：由平移的性质可得； （3）解：∵平移， ∴，， ∴ ∴． 37．如图是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，且的顶点与点E都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将平移到，使点A与点D重合，点B与点E重合，请画出； (2)若连接，，则与之间的位置关系为 ； (3)请描述平移到的平移方法． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)将向左平移2个单位，向上平移2个单位即可得到． 【详解】（1）解：即为所作； （2）解：由图形得，； （3）解：将向左平移2个单位，向上平移2个单位即可得到． 38．如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 【答案】地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 【分析】根据平移可知地毯的长度等于横向与纵向的长度之和求出地毯的长度，再根据矩形的面积列式求出地毯的面积，然后乘以单价计算即可得解． 【详解】解：， （元）， 答：地毯的长度至少需要米，购买地毯至少需要元． 命题点9经典几何模型与拐点问题 39．已知， P为平面内一点（不在、上），探索，，之间的数量关系． (1)求证：，请补全以下证明过程： 证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．如图1，，直线与，分别相交于点G，H，，佳佳将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，，． (1)请对说明理由． (2)如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求的度数． ②佳佳将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或． 【分析】（1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可．②分点N在点G右侧和点N在点G左侧两种情况，利用平行线的性质和角平分线的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：如答图1，过点P作，交于点Q， 则，   ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 又∵的平分线交直线于点O， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②当点N在点G的右侧时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴； 当点N在点G的左侧时，如答图2，    ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 41．如图，，，，平分． (1)判断与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，则，根据同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：与的位置关系是平行，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 42．解答以下问题 (1)如图，．求证：； (2)如图，已知，平分，平分． ①若，且，求证：； ②若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，并直接写出对应的与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 或 【分析】（）过点作，利用平行线的性质和角的转化即可求证； （）①过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，进而即可求证；②分点在点的左侧和右侧两种情况，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解； 【详解】（1）证明：如图，过点作，则 ， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：如图，过点作，过点作，则 ， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②解：当点在点的左侧时，如图，过点作，则， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴； 当点在点的右侧时，如图，过点作，则， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴； 综上， 或． 43．按要求完成问题 (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______________（直接写出答案）． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解:（1）①， ， ， ， ， ； ②，理由如下： 如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）解：如图所示，，，的顶点分别为C，B，F， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴， 即． 44．某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． (1)【基础探究】如图①，已知，则的度数为 ； (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数保持不变，为 【分析】（1）根据两直线平行同位角相等，以及平角为，利用角的和差关系得到的度数． （2）过点作，根据，得到，根据两直线平行内错角相等，同旁内角互补，以及，得到和的关系． （3）过点作，得到，根据两直线平行内错角相等，同位角相等，得到，由（2）可知，，继而得到，即，在三角板旋转的过程中保持不变． 【详解】（1）解：如图，标注， 直线， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， , ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：的度数保持不变，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， ， ，且在三角板旋转的过程中保持不变． 易错1“三线八角”识别不清 1．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 易错：B 【答案】C 【分析】同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的角叫做同位角． 【详解】解：根据同位角的定义可知，只有选项C中的与不是同位角． 2．如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【答案】见解析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，被截两直线同侧的两个角称为同位角；内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直线之间的一对角称为内错角；同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角称为同旁内角；由此即可得出答案． 【详解】解：由图可得： 同位角：与，与； 内错角：与，与； 同旁内角：与，与． 易错2平行线的性质与判定混淆使用 3．如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，，求证：． 证明：（___________）， （___________）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （___________）， ___________（___________）， （___________）， （___________）． 【答案】已知；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；；补角性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的判定和性质证明即可求证． 【详解】证明： （已知）， （垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ∴（补角性质）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：已知；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；；补角性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 4．已知：如图点E，F，G分别在边，，上，，且平分，点D是边上的一点，连接，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】首先，根据平分，得，再根据， 得，然后，根据， 得，最后，可得． 【详解】解：，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 易错3说明假命题时反例错误 5．举反例说明下列命题是假命题， (1)如果，那么； (2)两直线被第三条直线所截，同位角相等． 【答案】(1)反例： (2)若两条直线不平行，则被第三条直线所截得的同位角不相等 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理，论证得到的真命题称为定理． （1）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． （2）根据命题举出使得命题不成立的命题即可． 【详解】（1）解：当时，满足，但不成立； （2）解：如图，为同位角，但是， 只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等． 6．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 【答案】(1)命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等． (2)命题是假命题，反例见详解（反例答案不唯一，正确即可） 【分析】本题主要考查命题，反例，掌握命题是有题设和结论组成，有真命题，假命题之分，反例的含义是解题的关键． （1）“如果”后面的部分为题设，“那么”后面的部分为结论； （2）反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子，由此即可求解 【详解】（1）解：命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等； （2）解：命题是假命题， 反例：如图， 与是同位角，但是． 易错4 平移的性质理解错误 7．如图所示，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，如果，则图中阴影部分面积是多少平方厘米？ 【答案】50平方厘米 【分析】根据平移的性质可得，则可证明，四边形是直角梯形，据此求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴ 由题意可得，则四边形是直角梯形， ∵， ∴， 答：图中阴影部分面积是50平方厘米． 8．如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【答案】(1) (2)或；；或 【分析】本题主要考查了利用平移的性质求解，坐标系中的动点问题（不含函数），解题关键是熟练掌握相关知识． （1）根据平移的性质可得，进而得解； （2）根据点的运动路线分类讨论； 结合结论建立方程求解即可； 分类讨论，根据面积表达式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度， ； （2）当点在上时，， 此时， ； 当点在上时，， 此时， ； 综上，或； 当时，则， 解得； 当时，， 解得，此时不符合题意，舍去； 综上所述，； ， ， 当时，点在上， ， ， ， ， 解得； 当时，点在上， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 二、 分层突破专练 三、 易错点剖析 一、 核心考点详解 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末复习核心突破篇 第七章------相交线与平行线 第一部分：相交线——角度关系的基石 核心考点1：邻补角与对顶角的概念及性质 定义辨析： 邻补角：必须满足两个条件——①有一条公共边；②另一边互为反向延长线。两个角的位置相邻且互补。如图∠1与∠2 对顶角：必须满足两个条件——①顶点相同；②一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。如图∠1与∠3 性质应用： 对顶角相等 邻补角互补 易错点：在复杂图形中，容易忽略对顶角或邻补角的前提是“由两条相交直线形成”。常通过计算对顶角来转换未知角。 核心考点2：垂线的定义、性质及点到直线的距离 垂直的定义：两条直线相交成直角（四个角中任意一个为90°即可），则这两条直线互相垂直。记作 AB⊥CD。 垂线的核心性质： 1. 存在性与唯一性：在同一平面内，过一点（无论点在线上还是线外）有且只有一条直线与已知直线垂直。 2. 垂线段最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 点到直线的距离： . 定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 . 关键：这是一个长度，是一个数值，而不是线段本身。它是可度量的最短距离。 第二部分：“三线八角”模型——平行关系的识别关键 这是判定和运用平行线性质的基础模型，必须做到快速、准确识别。 角的关系 位置特征（核心记忆方法） 几何模型（截线为c，被截线为a, b） 同位角​ 位于截线同侧，且在被截两直线同方向。 形如“F”（正写或倒置、旋转）。如∠1与∠5。 内错角​ 位于截线两侧，且在两条被截直线内部。 形如“Z”（或反Z）。如∠3与∠5。 同旁内角​ 位于截线同侧，且在两条被截直线内部。 形如“U”（或门框形）。如∠3与∠6。 深度剖析与易错点： 1. 识别前提：必须首先明确“哪两条直线被哪条直线所截”。在复杂图形中，需要根据解题目标，灵活选择或添加“截线”。 2. 添加辅助线：当图中缺乏明显的“三线”时，常通过连接两点或延长某条线段来构造截线，从而产生可利用的角关系。 第三部分：平行线的判定与性质——本章的灵魂与核心 这是几何逻辑推理的集中体现，必须严格区分其条件与结论。 类型 公理/定理 几何语言（推理依据） 逻辑方向 判定定理 (证明平行) 1. 同位角相等，两直线平行。 2. 内错角相等，两直线平行。 3. 同旁内角互补，两直线平行。 4. 平行公理推论：平行于同一直线的两直线平行。 ∵ ∠1=∠2（同位角相等） ∴ a∥b 由角的关系​ → 推出线的位置关系​ 性质定理 (应用平行) 1. 两直线平行，同位角相等。 2. 两直线平行，内错角相等。 3. 两直线平行，同旁内角互补。 ∵ a∥b ∴ ∠1=∠2（内错角相等） 由线的位置关系​ → 推出角的关系​ 综合应用与解题策略： 1. 典型推理链条：常出现“平行→角相等/互补→新的角相等/互补→新的平行”的递进或循环推理。解题关键是厘清每一步推理的条件。 2. 与角平分线结合：平行线遇角平分线，常出现等腰三角形。例如，AB∥CD，CE平分∠ACD，则常可证AC=AE。 3. 与垂直结合：若a∥b，且a⊥c，则必然可推出b⊥c。这是性质定理的延伸应用。 第四部分：平移变换——图形运动的初步 核心考点1：平移的定义与性质 定义两要素：①平移方向；②平移距离。二者共同决定了平移的结果。 性质（作图与计算的依据）： 1. 保形保距：平移不改变图形的形状和大小，即平移前后，两个图形全等。 2. 对应点连线：平移前后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 3. 对应元素关系：平移前后，对应线段平行且相等，对应角相等。 核心考点2：平移的作图与应用 作图步骤：确定关键点 → 沿方向平移指定距离得到对应点 → 连接对应点。 应用：利用平移将不规则图形转化为规则图形，从而简便地计算周长或面积。 第五部分：命题、定理与证明——几何逻辑的规范 · 命题的结构：任何一个命题都由题设（已知条件）和结论（由已知推出的判断）两部分组成。形式常为“如果……那么……”。 · 真命题与定理：经过推理验证为正确的命题称为真命题。有些真命题被选定为定理，作为进一步推理的依据。 · 证明的意义：证明是使用严密的逻辑推理，从题设出发，根据已学过的定义、公理、定理，一步步推导出结论的过程。它确保结论的必然性，而非偶然性。 命题点1 对顶角、邻补角 1．下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线、相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 4．如图，有一块弯折的屏风，要测量在地面上所形成的∠AOB的度数，你有几种不同方法，请写出来和大家交流． 命题点2垂线及画法 5．下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（　　） A． B． C． D． 6．下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 7．如图，下列说法不正确的是（   ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 8．已知：如图，在中，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，，则点到直线的距离为_____． 命题点3垂线的性质及点到直线的距离 9．有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 10．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线相交于点，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线外一点作于点，则线段的长度是点到直线的距离，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 命题点4三线八角 13．如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，四位同学根据所学数学知识在找同位角，其中正确的是（    ） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是同位角 D．与是同位角 15．如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 16．如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 命题点5平行线定义、公理及性质 17．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 18．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 19．下列说法中正确的是（   ） A．两条直线的位置关系只有两种：相交和平行． B．有且只有一条直线垂直于已知直线． C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． 20．如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 21．如图，内有一点． (1)用三角板，直尺过点画，交于点；画，垂足为，交于点； (2)在（1）的基础上判断：图中线段，PG，中最长的是 ． 22．如图，已知：，，垂足分别为、，． (1)求证：； (2)如果，平分，求的度数． 23．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．综合与探究 问题情景： 在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： (1)【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； (2)【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？并说明理由． 命题点6平行线的判定 25．如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，求证：直线与平行． 26．完成下面的推理过程． 如图，已知，垂足为B，，．试说明：． 解：， _______（______）， 即_________， ，且， _______（______）， _____（______）， （_____）． 27．如图，点，，在同一条直线上，已知平分平分，．求证：． 28．如图，点O在直线上，F是上一点，连接，已知平分，． (1)试说明：平分； (2)若，请说明与的位置关系． 命题点7命题、定理、证明 29．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 30．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 31．已知命题“相等的两个角是直角” (1)写出此命题的条件． (2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 32．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 33．如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 34．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 命题点8平移 35．如图，在四边形中，，与互余，将分别平移到和的位置，． (1)求的度数； (2)若，求的长． 36．如图，在中，，，将向左平移得到，交于点D，． (1) ； (2)与之间的关系是 (3)计算图中阴影部分的面积． 37．如图是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，且的顶点与点E都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题： (1)将平移到，使点A与点D重合，点B与点E重合，请画出； (2)若连接，，则与之间的位置关系为 ； (3)请描述平移到的平移方法． 38．如图，某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，其台阶的尺寸如图所示，则地毯的长度至少需要多少米？已知这种地毯的批发价为每平方米50元，则购买地毯至少需要多少元？ 命题点9经典几何模型与拐点问题 39．已知， P为平面内一点（不在、上），探索，，之间的数量关系． (1)求证：，请补全以下证明过程： 证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 40．如图1，，直线与，分别相交于点G，H，，佳佳将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，，． (1)请对说明理由． (2)如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求的度数． ②佳佳将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 41．如图，，，，平分． (1)判断与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)求的度数． 42．解答以下问题 (1)如图，．求证：； (2)如图，已知，平分，平分． ①若，且，求证：； ②若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，并直接写出对应的与的数量关系． 43．按要求完成问题 (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______________（直接写出答案）． 44．某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． (1)【基础探究】如图①，已知，则的度数为 ； (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 易错1“三线八角”识别不清 1．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 易错：B 2．如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 易错2平行线的性质与判定混淆使用 3．如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，，求证：． 证明：（___________）， （___________）， ___________（同位角相等，两直线平行）， （___________）， （___________）， ___________（___________）， （___________）， （___________）． 4．已知：如图点E，F，G分别在边，，上，，且平分，点D是边上的一点，连接，．判断与的位置关系，并说明理由． 易错3说明假命题时反例错误 5．举反例说明下列命题是假命题， (1)如果，那么； (2)两直线被第三条直线所截，同位角相等． 6．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 易错4 平移的性质理解错误 7．如图所示，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，如果，则图中阴影部分面积是多少平方厘米？ 8．如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 二、 分层突破专练 一、 核心考点详解 三、 易错点剖析 学科网（北京）股份有限公司 $